Обобщенные гамильтоновы системы на многообразиях со связностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764

С. В. Галаев, А. В. Гохман

ОБОБЩЕННЫЕ ГАМИЛЬ ГОНОВЫ СИСТЕМЫ НА МНОГООБРАЗИЯХ СО СВЯЗНОСТЬЮ

На гладком многообразии Х„ рассматривается неголономное многообразие X", заданное вместе с оснащением Х%~т. Вводится понятие допустимой тензорной структуры, в том числе допустимой симплектической структуры. По аналогии с голономным случаем определяются допустимая гамильтонова система и гамильтониан. Приводятся примеры допустимых симплектических структур, естественным образом возникающих на некоторых расслоенных пространствах.

Под неголономным многообразием будем понимать тотальное пространство X™векторного подрасслоения д = (X™ ,Р,Хп) касательного расслоения х = (Т(Хп),к,Хп) гладко го класса С00 многообразия X п. Многообразие задано вместе со своим оснащением Х"~т. Т. о., в каждой точке хеХ„ имеет место разложение в прямую сумму Тх(Хп)-(Х™)х (В(Х%~т)х. Число т называется размерностью, а п-т коразмерностью многообразия X™. Мы будем наделять X™ допустимыми тензорными структурами типа (5,0, понимая под ними гладкое сечение тензорных расслоений X™ X™ <8> (X™)* ®... <Э (X™)*, где в каждой

5 /

точке хеХп пространства (Х")х является пространством линейных форм, заданных на (Х")х. Будем обозначать с помощью Т7/ (Хп )(/г/ (X™)) модуль тензорных полей (допустимых тензорных полей) типа (5,0, заданных (может быть локально) на Х„. Имеет место естественное вложение (X™ ) с Г' (Хп ). Интерпрет1фуя тензор как полилинейное отображение, мы отождествляем с I = У7/ (Х„), если

■- 0. Например, дифференциальную

форму X б (Хп) мы будем называть допустимой, если X „_„ Важ-

п

нейший пример допустимой тензорной структуры дает риманова метрика

на X™ [1],т.е. полете К? СО-

Под допустимой аффинной связностью на Хп будем понимать закон V, ставящий в соответствие каждому V е (X™) линейное отображение Уц модуля F01(X™) в себя, удовлетворяющее следующим условиям:

2) Vf7(УF) = yV£7lF + (í7/)F.

Действие оператора Уу обычным образом продолжается на произвольные допустимые тензорные поля. Известно [1],

что на X™ существует одна и только одна допустимая метрическая аффинная связность V нулевого кручения.

Пусть т=2к. Назовем дифференциальную допустимую 2-форму со £ 1^2 (.X™)допустимой симплектической структурой (д.с.е.), если выполняются следующие условия:

1) форма со-замкнута: Ж» = 0;

2) ранг формы ю в каждой точке х е Xп равен 2к.

Как следует из определения д.с.с. форма со является вырожденной симплектической формой на Хп. Применяя к со теорему Дарбу, мы в окрестности каждой точки хеХп получаем представление формы со в виде

со = Х<&' лс1х'+к, 1 = 1,...,*. (1)

Карта ае(.га)(а,Э,у = 1,...,«; а,Ь,с-\,...,т; р^ = т+\,...,п), относительно которой записано разложение (1), обладает тем свойством, что век-

Э п-т

торное поле др = —— в каждой точке * е ргхае принадлежит (Хп ).

Отсюда, в частности, следует, что оснащение Х"~т неголономного многообразия X™ с д.с.с. является ииволютивным, Т. о., в дальнейшем мы рассматриваем X™ с инволютивным оснащением . Любая карта ае на X" будет обладать тем свойством, что др е

Многообразие X"' с формой со назовем неголономным симплекти-ческим многообразием (н.с.м.). Для н.с.м. существует взаимнооднозначное соответствие между модулями F0l (X™) и (X™). А именно, если и е /;0' (X™), то в качестве соответствующей ему 1-формы X е Г®(Х™)}лы положим форму X с компонентами Ха - ыь аиь. Векторное поле

— 1 т

и е .Р0 (Хп ) назовем допустимой гамильтоновой системой, если соответствующая ему форма замкнута. Если на Хп существует функция Н такая,

что X = dH, то Я называется гамильтонианом системы U . Заметим, что форма dH допустима тогда и только тогда, когда дрН = 0.

Пусть теперь Н- произвольная гладкая функция на многообразии Х„. Ей соответствует допустимая 1-форма, определенная равенством

X = laHdxa. Где 1а=да-ГЦдр, la eF^X™). Соответствующее векторное поле U е F0' (X™) назовем допустимой обобщенной гамильтоновой системой.

Допустимые векторные поля образуют алгебру Ли относительно композиции взятия скобки Ли и проектирования. Легко проверить, что обобщенные гамильтоновы системы образуют ее подалгебру Ли, которая, в свою очередь, содержит в себе подалгебры Ли гамильтоновых систем.

В работе [2] был приведен пример обобщенной гамильтоновой системы, возникающей естественным образом на тотальном пространстве расслоения ц* = ((X™)*,q,Xn). В настоящей работе мы приводим пример гамильтоновой системы, которая строится на пространстве R(X2)главного расслоения ортонормированных реперов риманова многообразия Х2. Структурной группой такого расслоения является группа ортогональных матриц 0(2). Обозначим буквой С фундаментальное векторное поле на

011

R(X2), определенное элементом

-10

алгебры Ли L кососимметричных

0 [Л __

матриц —-у— , X * 0. Имеет место разложение [ В1, В2 ] = КС , где В\ и В2 — Л и

- горизонтальные векторные поля, определенные связностью Леви-Чевиты V, К- кривизна пространства Х2. Если отождествить алгебру Ь с алгеброй Ли действительных чисел, то форма связности со превращается в 1 -форму на ЩХ2), обладающую тем свойством, что со(В1) = со(52) = 0, <в(С) = 1. Если АГ^О, то форма dcо является д.с.с. для горизонтального распределения связности V.

Рассматривая кривизну К как функцию на Я(Х2), построенную на слоях, строим соответствующую ей допустимую гамильтонову систему.

т дК _ 8К_ '

- ^ / 1 2 Зч

где е„ =—~~ I а—?. (•* 7х >х ) ~ специальная система координат дх дх

на Я(Х2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вагнер В. В. Дифференциальная геометрия неголономных многообразий // VII Междунар. конкурс на соискание премии им. Н. И. Лобачевского. Казань, 1939. С. 195-262.

2 Галаев С. В., Гохман А. В. Гамильтонова система в неголономном случае. Саратов, 1999. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 26.03.99. № 928-В99.

УДК 514.764

С. В. Галаев, В. Т. Челышев

О ДОПУСТИМЫХ ТЕНЗОРНЫХ СТРУКТУРАХ НА НЕГОЛОНОМНОМ МНОГООБРАЗИИ

На неголономном многообразии X" введено понятие допустимой финслеровой структуры и строится дифференциально-геометрический объект соот ветствующей ей финслеровой связности. Используя X'" как базу, можно построить ещё одно неголо-номное многообразие Х^т, на котором индуцируется допустимая риманова структура. Получены коэффициенты соответствующей римановой связности.

An admissible Finsler structure on a nonholonomic X™ is introduced and the differential-geometric object of Finsler connection is. Using X™ as the base, it is possible to construct another nonholonomic manifold X^m with the inducing admissible Riemannian structure . The object of the connection generated with this structure is obtained.

Неголономное многообразие X" и его оснащение Х"~т (см. [1]) -

7С

это векторные подрасслоения касательного расслоения ТХ->Х - Хп,

причём ТХ = X" ® Х"'т. Пусть на X существует атлас из таких карт

к(х) = [ ха } , что у „ I - базис слоя \Х"~т I . Закон преобразо-^ Лх=1 {/dxpx)p=m+l

вания таких карт:

ха' =ха'(ха\ хр' = ХР'(ха ,ХР\ а,*т 1.....т, р.р' = т + 1,...,п. (1)

Пусть еа = да - Трдр- поля векторов, допустимых для X*, причём dxa(eb)=8%, какв [2]. Тогда [еаеь\ = М phd р * 0, так как X" неголономно.

Карта к определяет на X™ карту = (ха,х"+а), где с, = х"+аеа.