CC BY
23PHYSICS AND MATHEMATICS
ОБОБЩЕНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Даниленко Е.Л.
Одесский национальный политехнический университет Доктор техтчних наук, профессор Профессор кафедры прикладной математики и информационных технологий
GENERALIZATION OF SOME CLASSICAL INEQUALITIES
Danilenko E.L.
Odessa National Polytechnic University Doctor of technical sciences, professor, Professor of the Department of applied mathematics and information technologies
АННОТАЦИЯ
Неравенство Коши и неравенство Иенсена распространяется на случай, когда разности между переменными ограничены. Аналитически решается задача выпуклого сепарабельного программирования и приводятся её интерпретации. Расширяется цепочка неравенств Маклорена, что находит широкое применение в математике. Все эти результаты можно легко обобщить на случай рядов и интегралов.
ABSTRACT
Cauchy inequality and Jensen's inequality extends to the case where the difference between the variables are limited. The problem is solved analytically separable convex programming results of its interpretation. The chain of Maclaurin's inequalities is expanding, which is widely used in mathematics. All these results can be easily generalized to the case of series and integrals.
Ключевые слова: неравенство Коши, неравенство Иенсена, ограничения, сепарабельное программирование, цепочка неравенств Маклорена.
Keywords: Cauchy, Jensen inequality, restrictions, separable programming, Maclaurin's inequality chain.
Общеизвестны классические неравенства, например, описанные в широко известных книгах [1, 2]. Ставится задача распространения этих неравенств на случай, когда разности между переменными ограничены и фиксированно среднее арифметическое, и расширение слева цепочки неравенств Маклорена.
1. Начнём с классического неравенства Коши, согласно которому среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического, нашедшее широкое применение в различных разделах математики [например, 1 - 4]. Введём некоторые ограничения. Пусть х = (xi, x2 , ... , xn) 6 Rn , Sx = (xi , X2 - Xi, ... , Xn xn-i) 6 Rn, ax = ( x1, x2 + x1, ... , x1 + ... + xn-1 + xn ) 6 Rn. Если b 6 Rl , то по определению b + x = (b + x1, ... , b + Xn) 6 Rn. Для любого y = (yi, y2, ... , yn) 6 Rn неравенство x > y означает, что x - y 6 R+. Среднее арифметическое координат вектора x будем обозначать S(x) = n~l(x1 + x2 + ... + xn). Если x 6 R+ , то среднее геометрическое координат вектора x будем обозначать G(x) =rJx1 х2 ... хп > 0.
Теорема 1. Пусть a >0 и £6 R+ фиксированны так, что S(ax) < а. Если La (£) = { х ■ х 6 Rn , Sx > £,S(x) = а}с R+ , то
10. x* = arg max G(x) = a — S(&£) + a£.
x6La(e)
20. xt = arg min G(x) = n(a — S(a£))en + a£, где en = (0,... , 0,1).
x6La(e)
Доказательство. Заметим, что для п = 1 теорема очевидна. Пусть выражение 10 верно для п = т. Это значит, что если £ Е R+г,S(8£) < а, то С(х) < в (а — 5(5£) + 5£) для любого х Е Ьа(£) , причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда х = а — Б(5£) + 5£.
Убедимся, что выражение 10 верно для п = т + 1. Пусть ц = (уг, — ,цт+1) Е Я™*1, 5(5ц) < Ь. Если
У = (Уг.....Ут+г) Е Ьь(^) с >^,Б(у) = Ь, или У1> Л^—Уг > Л2.....Ут+г — Ут >
Лт+1, Уг + —+ Ут+1 > (т+ 1)Ъ . Поэтому ук > Уг — + (т^г + —+ щ), к = 1,т + 1. Сложив эти неравенства, получим (т + 1)Ъ = уг + —+ ут+1 > (т + 1)(уг — т^г) + (т + 1)Б(8ц) или уг<Ъ — 5 (5ц) + что вместе с неравенством уг > дает
УгЕ1 =[щ,Ь — 5(8ф+щ]. (1)
Зафиксируем Уг и положим г = (уг, ■■■ , Ут+г) Е И+}, в(уг) = (уг + г]2, г]3,..., цт+г) ЕИ+1,У= (т)г + Л2,Лг + Л2 + Лз,-,Лг + Л2 + -+ Лт+г) Е Я™. Так как 5г > в(Уг),
_ . (m + l)b - ji
S(z) =-и
m
S(a d(yi)) = m~1((yi + T)2) + [( ji + т)2) + щ\ + ■■■+ [(yi + т)2) + щ + ■■■+ r]m+1\) = ji
41)) — т 42) Т 42) ~г чъ\ -г г [(/! -Г 42) "г г </т+и
Т]1 + т-1((т + 1)Б(аф - < (Ъ - 5(аф + т^1) - ■ц1 + 5(аф - т-1 ((ц1 - 5(аф) = Ь
т-1(ц1 - 5(аф) < Ъ- т-1(у1 - Ь) = т-1((т + 1)Ь - у1), То 2Е Ьт-1((т+1)Ь- У1) (в(у1)).
Поскольку по предположению для п = т теорема верна, то
О(х) < в(т-1((т + 1)Ь - т-1у1 - Б (а в(у1)) + а в(у1)), (2)
причем равенство будет иметь место лишь тогда, когда
г = т-1(т + 1)Ь - т-1у1 - Б(а в(у1)) + а в(у1). (3)
Очевидно, что вт+1 (г) = у1 (г). Поэтому (см. (2))
Ст+1(у) < У1 Ст (т-!(т + 1)Ь - т-1у1 - Б (а в(у1)) + а в(у1)), (4)
причем неравенство переходит в равенство лишь тогда, когда имеет место равенство (3). Обозначим правую часть неравенства (4) через Р(у1).Так как
а У1) = У1- Л1+ У,Б(а в(у1)) = у1- т^1 + т-1((т + 1)Б(ац) - т-1т^1, то т-1((т + 1)Ь -т-1у1 - Б(а в(у1)) + а в(у1) = т-1(г]1 + ту + (т + 1)(Ь - Б(аф) - у1.
Поэтому
Р(У1) = т-тУ1П1?=1[Л1 Напомним, что у1Е I (см. (1)). Так как Р(у1) > 0 и ., ^ т ,Р'( У1) 1 Vг . V
™ У VI
Р(Уг) = m-myi nT=ihi + тЯ+Цщ + (т + 1)(b - S(a^)) - Vl\.
1 V"1 V1«+1
= TT- /[1h+m/ Vi + (™ + 1)(b - S(a^)) - yi\ yi) yi j—t *—4=i
k = i -i
> (b- S(oq)) + Vi)~
m
Z^-ifc + i
foi + Vi + (m + 1)(b - S((J4)) - (b - S(a^)) + Th\-i
k=i l=i
Zm -^-ik + i
(b- S(a^)+ / Vi)-i > 0, то P'( yi) > 0.
k=i ¿—4=i
Поэтому многочлен P( yi) монотонно возрастает на интервале I. Значит
Qm(( ^ -у1 - S(a Q(yi)) + e(yi)) < p(b - S(a11) + Vi)
или
yi Gm(( -yi - s(a O(yi)) + a O(yi)) < Gm+\b - S(a^) + 04), (5)
при этом равенство в (5) будет иметь место тогда и только тогда, когда
yi=b-S(aq)+ (6)
Из неравенств (4) и (5) следует, что для любогоy Е Lb(tf)
Gm+i(y) < Gm+i(b - S(a^) + щ), причем неравенство переходит в равенство, если имеют место равенства (3) и (6). Обозначим через вектор у* = (yl,... ,Ут+ь), удовлетворяющий этим соотношениям. Тогда
y^=b-S(a^)+ Vi, (6*)
а
z* = (у2*.....y*m+i) = У1 - S(a в(у*)) + а в(у*) = b - S(arj) + v,
что вместе с (6*) дает
у* = b - S(oq) + a-q. (8)
Объединяя выражения (7) и (8), имеем
max G(y) = G(b - S(a^) + ац) .
yELa(e)
Причем максимум достигается только на векторе y = y*. Значит значение максимума 10 в теореме 1 верно для n = т + 1, откуда по индукции следует справедливость при любых n. Аналогично доказывается выражение 20 в теореме 1. Из теоремы 1 следуют частные случаи для n = 2, 3. Имеем
^£i(2 - £i < ^Xi%2 < ^а2 - £2/4, Xi > £i > 0,Х2 - Xi > £2 >0,
xi+ х2 = 2а;
3Jei(ei + £2)(3а + £2 + £3) < <
3
<
M
х1> £1> 0,х2 — х1 > е2 >0,х3 — х2 > £3 > 0,х1 + х2+ х3 = 3а.
2. Рассмотрим неравенство Иенсена [1, 2] n-1YIk=1(P(xk) > (P(n-1YIk=1xk), непосредственно связанное с выпуклым программированием [4, 6]. Здесь x £ X с R, (p(x) - дифференцируемая и выпуклая вниз функция на промежутке (c - d, c + d). Ввиду симметричной зависимости правой и левой части неравенства Иенсена от хк,не ограничивая общности, можно считать х1 < х2 < ■■■ < хп . Набор всех таких монотонных последовательностей, каждый член которых принадлежит области определения функции (p(x), обозначим через Rv = {*}, ф(х)=(^(xl), ф(х2),... , <р(хп)). Тогда в указанных обозначениях неравенство Иенсена запишется в виде
S(<p(x)) > <p(S(x)).
Условимся, что неравенства между векторами - покоординатные неравенства. Тогда
S(ax) = a(Sx) = х,8х> £, x > as.
А для того, чтобы область La(s) = { х £ R^: Sx > £,S(x) = а} Ф0 необходимо выполнение условия а > S(as). В этой области исследуем функцию Ф(х) = YIk=1(P(xk) на минимум и максимум. Легко видеть, что функция Ф(х) дифференцируемая выпуклая вниз на промежутке (c - d, c + d). Поскольку целевая функция и ограничения, описывающие допустимую область, записаны сепарабельными функциями [4], задача нахождения экстремума функции Ф(х) в области La(s) является задачей выпуклого сепарабель-ного программирования [7], локальный экстремум которой совпадает с глобальным экстремумом. Доказана [6, 7] следующая основная теорема, аналогичная теореме 1.
Теорема 2. Если Ф(х) дифференцируемая и выпуклая вниз функция, то
10. х, = arg min Ф(х) = a — S(as) + аг .
x£La(s)
20. x* = arg max Ф(х) = nia — S(ae))en + аг, где en = (0,... , 0,1).
x£La(e)
Доказательство. Докажем единственность вектора10. Заметим, что для n = 1 это очевидно. Пусть это верно для n = m. Это значит, что если S(c£) < а,о£ > 0, то для любого вектора x £ La(s) П R™ имеет место неравенство
Ф(х) > Ф(а — s(ct£)+ as),
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x = а — S(c£) + as.
Убедимся, что вектор 10 имеет место для n = m + 1. Пусть y = (x, xl , ... , xm), tf = (e, еъ ... , em), aq > 0, S (аф < b. Рассмотрим функцию Ф(у) = <p(x) + Z1k=1 ф(хк) и область Lb(tf) = {у: у £ R<p с Rm+l , Sy > tf, S (y) = b}. Прежде всего выясним интервал I = [min x, max x] изменения x. Поскольку x > е, min x = е. Для того, чтобы достигался max x, числа x, хг,... , xm должны принимать наименьшие значения х-= x + S-, Х2 x + £2, . ' '. , ^ffl. x + ^1+ . • • + ^"ffl,.
Дополнив эту совокупность равенством x = x и складывая все равенства, получаем max x = b — S(atf) + е. Тогда x £ I = [ г, b — S (аф + £ ]. Зафиксируем x и рассмотрим область La(x)£(x), где а(х) = m-1((m + 1)b - x ), s(x) = (x + e1, г2, , ... , £m). Проверим что La(x)£(x) Ф 0. Для этого убедимся в правильности неравенства а(х) > s(c£(x)). После подстановки в это неравенство вместо х правого конца интервала I получаем
(m + 1)b > (m + 1)(b - S(atf) + e) + m£1 + (m — 1)£2 + ■■■+ £m, (m + 1)b > (m + 1)b — (m + 1)£ — (m£1 + (m — 1)£2 + —+ £m) + (m + 1)£ + m£1 + (m — 1)£2 + —+ £m, 0 > 0.
Согласно предположению индукции при фиксированном х > 0 можно утверждать, что для любого вектора x(x) £ La(x)£(x) П R™ имеет место неравенство
Ф(*(х)) > Ф(а(х) — S(ae(x)) + ае(х)),
причем равенство будет лишь тогда, когда х(х) = х*( x) = а(х) — S(as(x)) + as(x).
Покажем, что
Ф'(х(х: x = (b— S(atf) + е)) < 0.
Найдём
m
Ф(х,( х)) = ^ф(т-1(( m + 1)b — т-1х + т-1(т + 1)( £— S(atf) + £1 + — + £к).
к=1
Тогда
£<р'( х ) — Y!k=1<p(m-1((m + 1)b — т-1х + т-1(т + 1)( £— S(aq) + е1 + —+£к) < 0,
mx < (m + 1)b - x, x < b — S(atf) + £
(последнее неравенство правильно по предположению). Следовательно, функция достигает минимума на правом конце интервала .
Точка минимума у, £ Rv с R™+1 может быть записана, как у* = (b — S(atf) + £,х*( b — S(atf) + е) ). Осталось убедиться, что у, = b — S(atf) + ац. Проверим это равенство хотя бы для второго члена. Учитывая а(х) и ое(х) получаем
a(x) - S(o£(x)) + x + £1= m-1(( m + 1)b - b + S(aq) - £+ (m + 1)£ - (m + l)S(aq) +
me1 = b - S(aq) + e + e1.
Таким образом, выражение 10 правильно для n = m + 1, откуда по методу математической индукции делаем вывод правильности при любых n.
Аналогично этому доказательству докажем выражение 20 теоремы 2. Убеждаемся, что S(x*) = a.
На интервале x 6 I исследуем функцию (p(x) + ТТ=-1 ф(х + £1 + —+ £к) + + ф(( т + 1)(Ь -х-S(aq) + е) + х + £1 + —+ £т). Производная этой функции
ф'(x) + Тк=1 <Р'(Х + £1 + —+ £к) - тф'(( т + 1)(Ь - х - S(aq) + е) + х + £1 + —+ £т)
в точке левого конца min x = £ > 0 интервала I не положительна, так как x — b - S(aq) + £ = maxx,b - x - S(aq) > 0 . Таким образом, исследуемая функция в точке левого конца min x = £ > 0 достигает своего максимума.
Подставим в точку (x, m(a(x) - S(as(x))em + as(x)) значение x = e и покажем, что координаты этой точки будут равны координатам вектора ( т + 1)(Ь - S(arj))em+1 + ац) из предположения индукции
(x, т (a(x) - S(as(x))em + ае(х)) = (£,( т + 1)(Ь - S(aq))em + (е + £1.....е + £1 + - + ет)) =
(£, £ + £1, ... , £ + £1 + — + £т-1, (т + 1)(Ь- S(oq)) + £ + £1 + - + £т) = (т + 1)(Ь-
S(^V))em+1 + щ).
Теорема доказана.
Проинтерпретируем задачу поиска максимума в теореме 2. В экономике под переменными х подразумеваем последовательные капитальные вложения в плановых периодах, £ - ограничения капитальных вложений, a - среднее арифметическое капитальных вложений за весь перид времени, <р (х) - функция эффективности капитальных вложений. Тогда задача состоит в поиске распределения капитальных вложений х* при их максимальной эффективности. В биологии рассматривается некоторая популяция и под переменными х подразумеваются последовательные затраты на её содержание. Ставится задача максимального роста популяции, заданной функцией <р(х) роста при ограничениях затрат £ и заданной средней затрат a за весь период и нахождение этих оптимальных затрат х*.
Запишем условия Куна - Такера для задачи поиска максимума в теореме 2. Тогда
х* 6 La(£) П R+ ;
дф(х*) (2*\T дв( х") ^ Q Г* с ЦП+2 gT(x*} - Sx*) dS(x*) dS( x*) ]•
дх дх + дх дх дх
- (А ) х - 0
(Л*)ТЬ = 0,ьт = [ 8х*- £, а - $(х*), $(х*) - а]. Проверим удовлетворяет ли выражение 20 из теоремы 2 этим соотношениям. Первое условие очевидно. Чтобы имело место третье условие положим
(у'(х*к) + Гк - А*к+1 - Гп+1 - Гп+2 = 0, к = 1,71 1,
И у1п+2
<р'(хп) - К - К.+ 1 + К+2 =
откуда получаем
<Р'(х$,
к=1
^п-1
ф'(Х*к),
к=1
К-1 = 2(лп+1 - К+2) - ф'&П-О -Лп = (К.+ 1- К1+2)- <р'(хп).
И из этих выражений видим, что значения Х*п+1 и Л„+2, а также вид функции <р(х) определяют , Х*2
— , лп.
Второе условие из условий Куна - Такера преобразуем к виду
Zn
к=1
Zn-1
<p'(xD,
к=1
Л*п-1 < 2(Х*п+1 - А*п+2) - ф'(х^*-1) - (р'(х*п), Я*п < (Х*п+1 - Л*1+2) - ф'(х^).
Из сопоставления второго и третьего условия видим, что множество, определяемое третьим условием, является подмножеством множества, опредеделяемое вторым условием. Следовательно, при любых числах х*, к = 1,п и любой функции <р(х) всегда можно выбрать такие X*, / = 1,п + 1, чтобы второе и третье условие выполнялись.
Подставим соотношение 20 в четвёртое условие, тогда
(А*)т [ n(a— S (as))en, 0, 0 ] = 0, A*nn(a — S (as)) = 0. Если принять A*n = 0, то это не повлияет на выполнение второго и третьего условий. Аналогично проверяется условие Куна - Такера для выражения 10 теоремы 2.
Запишем для задачи поиска максимума в теореме 2, аппроксимирующую задачу в А — форме [4, 5], оптимальное решение которой получается решением её как задачи линейного программирования (без учёта дополнительных ограничений на выбор базиса)
А* = arg max YH=i ZLoÄiV( xkù, i = 0,r,
La(e) =
Z(ÀiXu) > Е-,
i=o
ZÄi(X2i — Xu )> £2,
i=0
Z^i(xni — X(n-1)i ^ > £7
1 = 0
Z
Zn V~'r
Z Ai xki = а, Ai = 1, Ai >0,i= Ö~r.
Координаты приближенного решения исходной задачи вычисляются по формуле
хк ~ Т,1=0^-1хк1 ,к = 1'гг.
Проводилось сравнение приближенного решения с помощью решения задачи линейного программирования и аналитического решения (теорема 2) при различных и достаточно больших числах п и г, которое показало хорошее соответствие результатов. Следует отметить, что затраты машинного времени при приближенных расчётах в 1000 - 10000 раз превышали аналитические [9, 10, 11].
Все эти результаты обобщаются на случай рядов и интегралов. Особенно интересен случай оптимального управления.
3. Положим
Z
Xt1 ■■■ xíк, к = l,n-,
ак(х-,... ,хп) =
1< i1 < ■■■ < ik< n
&0(х1 , .■■ ,хп ) = 1 ; ап+1(х1, .■■ ,хп ^ = 0 ;
1 _
ßk(Xi,... ,xn ) = (ak(Xi,... ,хп )/С*)к , к = 1,п ;
nr(i1 ...
... , xn ) = Z Z X1
tti + ■■■ + an = г
lk)(x1 , .■■ ,xn ) = Z
ai
n) / X1 ■ лп
ai + ■■■ + an = r al1 = "=alk = 0 ai £{0,1,2,...},xt >0,i = 1/n.
сделать запись компактной
«1
( no(xi, .■■ ,xn) — 1 ;
,ik = 1,n ;
зависимость
величин
\Vn
В дальнейшем, чтобы
и хот переменных хг, х2, ... , хп иногда указывать не будем. Известна классическая цепочка неравенств Маклорена
п-1 Ж=1х1 = [¿г > »2 > ■■■ > »п= (П?=1х1)''п . (9)
Исследуем монотонность последовательности средних хг,Х2, ■■■ , что позволяет расширить эту цепочку неравенств
... > Хз > Х2> Хг= V1= п~1ТЦ=1хь > ^2 > ■■■ > VП= (п?=1хь)1/п. Такие неравенства имеют широкое приложение в различных разделах математики.
Лемма 1.
(10) [8]
лг(х1, .■■ ,xn ) = xi ^r_1(x1, ... ,Xn ) + ïïr(i) (Xi , ... ,Xn)
dnr{xi,... ,xn ) _ y,r_i к f \ ■ _ 1-
gx_ = Lk=0xi nr_k_1(x1, .■■ ,xn ),l = i,n.
(11) (12)
Доказательство. Соотношение (11) очевидно, так как имеет место
кг (Хг ,... , хп) Х1 ^ Хг 1 —
+ ■■■ +а1-1+ ...+ <хп = г—1 а^Ф 0
+ кг(0(хг,... ,хп )Л = Хп. Методом математической индукции доказываем верность соотношения
дпг _ ^1-1 ^к
дх1
Хп
Й=0 xt пг_к_1 +
dnr_L дх,-
,1 = 1,r — 1 ,i = 1,п.
(13)
n
V
0
у "П
лп
а
п
При I = г -1 соотношение (13) запишется в виде
уг-2 к , у.г-1^
дх, = Ьк=0Х1 ПГ-к-1+ Х1 д
т14*г-к-1+ *Г1д-В ,1 = 7.,П. (14)
В связи с тем, что
дп.
п1= У X; ; ——- = 1,1 = 1.п; п0 = 1,
¿—I ОХ:
1 = 1
соотношение (14) примет вид соотношения (12).
Лемма 2. Для любых к и} таких, что 0 <к<] <г, имеют место неравенства ( п >2)
^;(х1 , ... ,Хп ) П]-к(1)(Х1, ... ,Хп ) > П] + 1(1)(Х1, ... ,Хп ) П^-к-1(Х1 , ... ,Хп); (15)
, .■■ ,хп) ~^]-к(х1, .■■ ,ХП ) > ~^] + 1(х1, .■■ ,ХП ) ~^]-к-1(х1 , .■■ ,хп) ; (166)
Доказательство.
1. Пусть п =} = 2. При к = 0 к = 1 неравенство (15) очевидно, так как XI > 0, I = 1.п.
2. Пусть ] = 2,п >2. Докажем неравенство (15).
а) при к = 0 нужно доказать, что
П2(Х1,... ,Хп ) П2(1)(х1,хп ) > Щ(х1,хп ) К1(х1.... ,ХП ). (17)
Применим метод математической индукции. Справедливость неравенства (17) при п = 2 доказана в п.
1. Предположим, что неравенство (17) верно для п = 1 и докажем его для п.
Воспользовавшись равеством (11) получаем
П2 П2(1) = Х1Х2П1 П1(1) + Х1П1П2(12) + Х2П1(1) П2(1) + П2(1) П2(12)';
Щ(1) П1= Х1Х2 Л2(1) + Х1Л3(12) + Х2П1(1) Л2(1) + П1(1) п3(12). (18)
Из предположений индукции
П2(1) П2(12) > П1(1)П3(12). (19)
Докажем неравенства
Л1 ^1(1) > П2(1); П1 Л2(12) > Щ(12). (20)
Заметим, что
П1 п1(1) = П1(1)Тл=2(Х1 + п1(1)хд; п2(1) = Ти=2Х1 п1(12 ... 1-1),
а так как
п1(1) > ПЦ12 ... 1-1), 1 = 2,п, то первое из неравенств (20) верно (доказательство второго неравенства аналогично). Соотношения (18) - (20) доказывают неравенство (17).
б) при к = 0 нужно доказать, что
П2(Х1 ,... , хп ) п1(1)(х1,- ,хп ) > п3(1)(х1, .■■ ,ХП ). (21)
Найдём
п2 п1(1) = Х1(1)Ь1=2Х1 + П2(1)Ы=2Х1; П3(1) = Ы=2 Х1 П2(12 ... 1-1).
Очевидно, что п2(1) > п2(12 . ¿-1), I = 2.п , поэтому выполняется неравенство (21).
3. Пусть 0 < к < ] <г;п = 2. Докажем неравенство (15):
Х2 к ^а+р = 1х1 х2 > Х2 + ^ ^а+р=]-к-1 Х1 х2 , 1 ]-к-1
У ^ ''Ч "V ^ +1 ^^ Ь — \ t
Л1 л2 > Л2 / Л1 л2 = / Л1Л2 .
1=0 1 1=0
4. Предположим, что неравенство (15) доказано для ] - 1 и к <]' -1 при любом п >
2, а также для п - 1 > 1 при любых ] и к < ]. Доказываем его в общем случае ( при любых к и] таких, что 0 < к < ] <г и любом п > 2).
Используя равенство (11), получаем
П] П]-к(1)= Х1Х2-1 '^¡-к-1(1)+ х1п]-1п]-к(12) + х2пЦ1) п]-к-1(1) + лЛ1) п]-к(12); П] + 1(1) П]-к-1 = Х1Х2ПЦ1) nj-k-2+X2nj-k-2nj + 1(12) + Х2ПЦ1) nj-k-1(1) + П]-к-1 nj + 1(12). (22)
Из предположений индукции
п]-1 п2]-к-1(1) > П](1)П]-к-2; п](1) п]-к(12) > П]-к-1(1)П] + 1(12). (23) Докажем неравенство
П]-1 п]-к(12) > nj-k-2nj+1(12), (24)
для чего запишем его в виде
П!-1 П](1)П]-к(12)-П; + 1(12) П](1)П]-к-2 > 0
пК1) '
а так как ПлП]-к(12) > П}-к-1(1)п}+1(12), то левая часть
неравенства (25) больше левой части неравества п^+1(12)(п^-1п^-к-1(1) - ПцП]-к-2 ) ¡пц) > 0 , которое верно по индукции.
Для окончательного доказательства неравенства (11) осталось рассмотреть случай, когда к =]' - 1 , то есть
п
Sciences of Europe # 38, (2019)_13_
Л] n1(1) > nj + 1(1). (26)
Поскольку
nj n1(1) — nj + 1(1) — '<^xi'n:j(12...i-1) i — 2,n,
i=2 i=2
то неравенство (26) верно.
Неравенство (15) доказано, так как выполняются соотношения (22) - (26).
5. Доказательство неравенства (16) осуществляется преобразованием его к неравеству (15) на основе равенств (11). Поскольку п^—к = хг п^—к—1 + п^+к = хг п+ п^+1^1-),то неравенство (16) примет вид
x1nj nj-k+1 + nj nj-k(1) > x1nj nj-k-1 + nj + 1(1) nj-k-1.
Лемма 3.
> Ylk=1nr-k-1Yli-èxï 1 1xn,i — 1,n- (27)
д%1 дх-;
Доказательство. Воспользуемся равенствами (12):
дку дку_ _ —1 —1 т. I _
дх, • ^ = ^т=0 ^¿=0 Х1 хп Яг—т—1^г—1—1 =
= Т,к=\ Я—1 ХТ Хп 1 пг—к—1пг—1—1, I = 1>Тг. На основе леммы 2 запишем цепочку неравенств
пг—1—1 пг—к + 1 > пг—1 пг—к + 1—1 > > пг п]—к—1,
а поскольку справедливо неравенство
х\—1 х1п > х\—1—1х1п, 0 <1 <к — 1,к = 1.Г — 1, то неравенство (27) очевидно.
Теорема 3. Последовательность /г(хг,... ,хп),/2(хг,... ,хп ),/3(хг,... ,хп ),... не убывает и Хг+1(х-1, .■■ ,хп )= Хг(хг, .■■ ,хп),г Е N тогда и только тогда,когда х^ = х) ( I = 1,п ; ] = 1,п ). Доказательство. Теорема очевидна при п = 1, поэтому предположим, что п > 2. Рассмотрим при фиксированном г Е N функцию
ф(х1 ,хп ) (^Г + П—1) ^г+1(х1 , ." , хп ) (£г+ть) Лг (Хг , ... ,Хп).
Покажем, что функция (р(хг,... ,хп ) имеет единственный экстремум при XI = ху = х0 ( I = 1,п ;] = 1,п ) и этот экстремум - минимум (ф(хг,... ,хп ) = 0), что доказывает теорему.
„ „ .. дю(х1,... ,хп) . -г--.
Найдём частные производные-—-, I = 1,п, и приравняв к нулю, разделив I - е уравнение (I =
1,п — 1) на п — е, получим
■ = 0, i-1,n — 1;
дя-г+1 дпг дхп дхп
г(^г+к — 1У+1'пг+1 Ц^— (г + 1)(С—1)гпгг ^-=0. (28)
Учитывая, что пг > 0, ^^ > 0,1 = 1,п, первые п - 1 уравнений системы (28) можно записать в виде
дпг+1 дпг+1
дх< 8х-
п__
= 0, i-1,n — 1.
дп-г дп-г dxi дхп
-гт дпг , дпг—л . -z-
Используя равенство — = nr-1 + х—, i = 1,п, получаем
ОХ^ и Х^
дпТ dftr / ч уджг джг^ ^ • a-^^^^
-rL 1TL (X1 - xn) - nri-TL- TTL)= 0, i = 1,n-1. (29)
dxi dxn 1 "J ' Kdxi dxn
C учётом леммы 1 и уравнений (29) система уравнений (28) записывается в виде
(Хг Хп )(дх дх пгТ1к = 1пг—к — 1^1^0хпх1 ) 0 I = Х,п 1;
г(Сг—+1—1У+1 К—1 — (г + 1Ж—1УК д^-=0. (30)
На основании леммы 3 первые уравнений системы (30) обращаются в равенства тогда и только тогда, когда х^ = X] = 0 ( I = 1,гг ; ] = 1,п ). Непосредственной проверкой показывается, что и последнее уравнение системы уравнений (30) также обращается в равенство, когда хь = ху = 0 ( I = 1,п ; ] = 1,п ). Таким образом, точка (х0,... ,хо ) является единственной стационарной точкой. Функция р(хг,... ,хп )в этой точке принимает минимальное значениравное нулю. Тот факт, что точка (х0,... ,хо ) является точкой минимума функции
р(хг,... ,хп ), показывается неросредственным вычислением при фиксиро — ванных числах п, г. Например, если г = 1 ,то ф(хг ,х2) = (хг — х2)2 > 0; ф(хг ,х2 ,хп ) = 3(х1; + х22; + х^ — хгх2 — хгх3 — х2х3) > 0.
г
Литература
1. Харди Г. Неравенства. Пер. с англ. // Г. Харди , Д. Литтльвуд , Г. Полиа — М., - 1948.—456 с. ( Изд.3. - 2008).
2. Беккенбах Э. Неравенства // Э. Беккенбах , Р. Беллман -М., - 1965.—276 с.
3. Даффин Р. Геометрическое программирование // Р. Даффин , Э. Петерсон , К. Зенер — М., 1972.—318с.
4. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование // Дж. Хедли - М.,1967. - 506 с.
5. Даниленко Е. Л. Неравенство Коши при ограничениях на переменные / Е. Л. Даниленко, И. И. Ежов //Известия вузов. Математика - 1982. - № 1- С. 6-9.
6. Даниленко Е.Л. Обобщение неравенства Иенсена / Е. Л. Даниленко, И. И. Ежов. // Исследование операций и АСУ. Вып. 17. К.: Вища школа. -1981. - С. 111-120.
7. Даниленко Е.Л., Об одной задаче выпуклого сепарабельного программирования. Вычислительная и прикладная математика. Вып. 48. К.: Вища школа. - 1982. - С. 128 - 133.
8. Даниленко Е.Л. Расширение цепочки неравенств Маклорена.
// Вычислительная и прикладная математика. Вып. 49. К.: Вища школа. - 1983. - С. 138 - 143.
9. Даниленко Е.Л. Некоторые классические неравенства при ограничениях. Сборник научных публикаций НИЦ «Знание» по материалам VIII международной конференции "Развитие науки в XXI веке"(академический уровень). Харьков: НИЦ. - 2015. С. 5 - 8.
10. Даниленко Е.Л. Некоторые классические неравенства при ограничениях на переменные. // East European Scientific Journal - 2016. - № 8, pp. 132-135.
11. Danilenko E.L. Some classical inequalities and their role in optimization // Развитие науки в XXI веке - Харьков, 2017. С. 80 - 88. (на англ.языке)
ВЕЛИКОЕ ОБЪЕДИНЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ: ТЕОРИЯ ПОЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЧАСТИЦ И ЭЛЕМЕНТЫ ВАКУУМА
Ибрагимов Р.
Virtual Astrophysical Observatory, motleys mountains, Alma-Ata, 2019 Казахстан, г. Алматы,
GREAT ASSOCIATION PHYSICAL THEORIES (GRASS): FIELD THEORY OF ELEMENTARY
PARTICLES WITH VACUUM ELEMENTS.
Ibragimovic R.
Virtual Astrophysical Observatory, motleys mountains, Alma-Ata, 2019 Kazakhstan, Almaty,
АННОТАЦИЯ
Некоторые из предложенных физиками - теоретиками расширений Стандартной модели предсказывают существование сверхлёгких бозонов, к классу которому относятся, для примера, фотоны. Эти гипотетические бозоны намного легче, чем любые известные частицы с ненулевой массой. Не менее интересны и расширения в классе фермионов - нейтральные электроны и нейтральные мюоны. При этом, обнаружить эти расширения крайне сложно, поскольку они слабо и нестандартно взаимодействуют с обычным веществом. К этим расширениям необходимо добавить и установленное конечное время жизни фотонов, с распадом в конце истории на массив гравитонов Q MeeV, (сверхлёгкие бозоны) в области равновесного микроволновой излучения. И если к этому прибавить представление нейтрино как излучение, с переводом в класс бозонов, то в итоге: стандартная модель преобразуется уже в полевую теорию элементарных частиц.
ABSTRACT
Some of the extensions of the Standard Model proposed by theoretical physicists predict the existence of ultra-light bosons, which, for example, belong to the class of photons. These hypothetical bosons are much easier than any known non-zero-mass particles. No less interesting are the extensions in the fermion class — neutral electrons and neutral muons. At the same time, it is extremely difficult to detect these extensions, since they interact poorly and non-standardly with ordinary matter. To these extensions, it is necessary to add the established finite lifetime of photons, with the decay at the end of history into an array of Q MeeV gravitons, in the region of equilibrium microwave radiation. And if we add to this the representation of the neutrino as radiation, with translation into the class of bosons, then in the end: the standard model is already transformed into the field theory of elementary particles.
Ключевые слова: Вселенная, вакуум, фотон, гравитон, время, резонансы, частицы стабильные, гравитация, тяготение, красное и фиолетовое смещение.
Keywords: Universe, vacuum, photon, graviton, time, resonances, particles stable, gravity, agitation, red-shift, violet shift.
