GA-выпуклые функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 3 (24). 2017

УДК 517.162

СЛ-ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ

С. И. Калинин

В работе рассматривается класс так называемых СЛ-выпуклых на промежутке функций. Приводится геометрическая характери-зация таких функций, изучаются их свойства, в частности, устанавливаются неравенство Иенсена и его аналог. Формулируются достаточные условия СЛ-выпуклости и СЛ-вогнутости функции в терминах производных.

Ключевые слова: СЛ-выпуклая функция, СЛ-вогнутая функция, неравенство Иенсена, аналог неравенства Иенсена.

1. Определения и иллюстрации

Опираясь на работы [1,2], введем сначала необходимые определения, связанные с понятием СА-выпуклой функции.

Пусть I С (0; — произвольный промежуток числовой прямой

Ох и f : I ^ К — функция, заданная на этом промежутке.

Определение 1.1. Функцию f назовем СА-выпуклой на I, если для любого отрезка [а; Ь] С I и любого числа А £ [0; 1] выполняется неравенство

Если в условиях определения 1.1 для всех А £ (0; 1) выполняется неравенство

то функцию f будем называть строго СА-выпуклой на рассматриваемом промежутке I.

Очевидно, строго СА-выпуклая функция является СА-выпуклой.

(1)

(2)

© Калинин С. И., 2017.

Замечание 1.1. В соответствии с тем, какое из неравенств: (2) или (1), характеризует функцию f, условимся говорить соответственно о СА-выпуклости данной функции в строгом или нестрогом смысле.

Замечание 1.2. В терминологии доклада [3] строго СА-выпуклая функция — (0,1)-выпуклая функция. Здесь в соответствии с определением 1. 1 параметр 0 следует ассоциировать со средним геометрическим С значений а и Ь аргумента функции f, которое, как известно, есть среднее степенное порядка 0 этих значений. Аналогично, параметр 1 соответствует среднему арифметическому А чисел а и Ь, которое есть среднее степенное порядка 1 данных чисел.

Аналогично определяются СА-вогнутая и строго СА-вогнутая функции — для этого в соответствующих неравенствах (1)-(2) знак < (<) следует поменять на знак > (>) соответственно.

Рассмотрим некоторые примеры, иллюстрирующие сформулированные определения.

На интервале (0; функция f (ж) = с + 71п ж, где с и 7 — вещественные константы, является как СА-выпуклой, так и СА-вогнутой, поскольку

f (алЬ1-Л) = с + 71п (алЬ1-Л) = с + Л71п а + (1 - Л)71п Ь =

= Л(с + 71п а) + (1 - Л)(с + 71п Ь) = Лf (а) + (1 - Л^(Ь).

Из последнего следует, в частности, что и функция f (ж) = 1п ж, и функция f (ж) = с на всяком промежутке I С (0; являются СА-

выпуклыми и СА-вогнутыми.

Функция f (ж) = ж, ж > 0, является строго СА-выпуклой. Это следует из весового неравенства Коши для положительных чисел а и Ь

аЛЬ1-Л < Ла + (1 - Л)Ь, а = Ь, Л е (0; 1),

реализующего неравенство (2).

Легко видеть, на интервале (0; будет строго СА-выпуклой и

функция f (ж) = ж + с, где с = сопз£.

Весовое неравенство Коши для двух положительных чисел позволяет просто обосновать также строгую СА-выпуклость функции f (ж) = ж9, ж > о, где д — произвольное отличное от нуля действительное число:

(алЬ1-Л)9 = (а")л (Ь9)1-Л < Ла" + (1 - Л)Ь9, а > 0, Ь > 0, а = Ь; Л е (0; 1).

Нетрудно видеть, что функция f (ж) = -ж2, ж > 0, будет строго СА-вогнутой.

Приведенные примеры функций говорят о том, что класс СА-выпуклых (вогнутых) строго или нет функций не пуст.

2. Геометрическая характеризация СЛ-выпуклости

СА-выпуклые функции можно охарактеризовать геометрически подобно тому, как это делается в учебных курсах анализа в отношении обычной выпуклости. Напомним, что если f — выпуклая на промежутке I функция, то для любого отрезка [а; Ь] С I график сужения f |[а;Ь] функции f на этот отрезок всеми своими точками лежит не выше (невертикального) отрезка, соединяющего концы (а; f (а)) и (Ь; f (Ь)) данного графика. Невертикальные отрезки в плоскости К2 — это связные части графиков всевозможных линейных функций, которые являются как выпуклыми, так и вогнутыми функциями.

Для геометрической характеризации понятия СА-выпуклой функции введем в рассмотрение понятие логарифмической дуги (логарифмической кривой).

Определение 2.1. Всякую связную часть графика функции у = с + 71пх (—то < с, 7 < > 0) условимся называть лога-

рифмической дугой, или логарифмической кривой.

Существует ровно одна логарифмическая дуга, соединяющая две точки правой полуплоскости плоскости хОу, не лежащие на одной вертикали. Так, точки М^х!; У1) (х1 > 0) и М2(х2; у2) (х2 > 0,х2 = Х1) соединяются логарифмической дугой

У1 1п х2 — У2 1п х1 , У2 — У1 ,

у = ^-й-+ ;-й-1п х (3)

1п х2 — 1п х1 1п х2 — 1п х1

Данный факт легко проверяется подстановкой координат указанных точек в уравнение (3).

Покажем, что логарифмическая дуга, задаваемая уравнением (3), есть единственная логарифмическая кривая, соединяющая точки М1 и М2. Для этого координаты данных точек подставим в общее уравнение логарифмической кривой у = с + 71п х; последнее позволяет записать

/У1 = с + 71п хъ тэ систему уравнений относительно с и 7: < Решая систе-

[у2 = с + 71п х2.

му, получаем с = у1!" Х2—У21п Х1, 7 = У2-т—. Найденные коэффициенты

1п Х2 — 1п Х1 ' 1 1п Х2 —1п Х1 " Т^Г

совпадают с соответствующими коэффициентами в (3).

Таким образом, действительно существует единственная логарифмическая дуга, проходящая через две точки правой полуплоскости плоскости хОу, не лежащие на одной вертикали.

Из (3) легко видеть, что если точки Mi и M2 лежат на одной горизонтали (в этом случае yi = y2), то их соединяющая логарифмическая дуга вырождается в отрезок горизонтальной прямой y = yi.

Рассмотрим сейчас геометрическую интерпретацию GA-выпуклости. Покажем, что если f (x) — GA-выпуклая на промежутке l функция, то для любого отрезка [a; b], принадлежащего l, и любого x,x Е (a; b), выполняется условие: точка (x; f (x)) графика функции f будет находиться не выше точки логарифмической дуги, соединяющей точки (a; f (a)), (b; f (b)) с той же абсциссой x. Для этого, отправляясь от (3), составим уравнение данной логарифмической дуги

f (a) ln b - f (b) ln a + f (b) - f (a) l

y =-ГТ—1-+ ^—i-ln x (4)

ln b - ln a ln b - ln a

и x, x Е (a; b) , представим в виде

log b Xi log a a

x = a a x b b x. (5)

Заметим при этом, что для показателей степеней в правой части представления (5) выполняются условия:

log ь - Е (0; 1), log a a Е (0; 1), log ь - + log a a = 1.

a x b x a T b x

kKj KKJ KKJ KKJ

Используя последнее и условие GA-выпуклости функции f, ее значение f (x) оценим сверху следующим образом:

f (x) = f (aloga X ■ bloga ^ loga x . f (a) + logf x ■ f (b).

\ J a x b x

Но в полученной оценке выражение log b X ■ f (a) +log a x ■ f (b), легко

a x b x

видеть, преобразуется к виду

ln b - ln x ln a - ln x

r^—i—f (a) + 1-TT f (b)

ln b - ln a ln a - ln b

или

f (a) ln b - f (b) ln a + f (b) - f (a) ^ x ln b - ln a ln b - ln a

Отсюда заключаем, что точка (x; f (x)), x Е (a; b), графика функции

^ /(a) ln b-f (b) ln a . / (b)-f(a) i \ ,

f лежит не выше точки I x; lnb-[na--+ inb-ln a ln x ) логарифмической дуги (4).

Аналогичными рассуждениями, очевидно, нетрудно показать, что если f (x) — строго GA-выпуклая на промежутке l функция, то для любого отрезка [a; b], принадлежащего l, и любого x,x £ (a; b), выполняется условие: точка (x; f (x)) графика функции f лежит ниже точки логарифмической дуги, соединяющей точки (a; f (a)), (b; f (b)) с той же абсциссой x.

Соответствующую геометрическую характеризацию читатель может сформулировать и в отношении GA-вогнутых функций.

3. Достаточные условия GA-выпуклости функции

Предположим, что функция f(x) непрерывна на промежутке l, l С (0; и внутри его дважды дифференцируема. В данных условиях введем в рассмотрение величину A(x) = f'(x) + xf''(x), x £ l0, где l0 — внутренняя часть l. Справедлива следующая теорема.

Теорема 3.1. Если внутри промежутка l выполняется условие A(x) > 0, то функция f (x) является GA-выпуклой на этом промежутке. Если же внутри l A(x) < 0, то f (x) будет GA-вогнутой на рассматриваемом промежутке.

Доказательство. Пусть [a; b] — произвольный отрезок из промежутка l. Покажем, что при условии A(x) > 0 для любого x, a < x < b, будет выполняться неравенство f (x) < y(x), где y(x) — функция (4), задающая логарифмическую кривую, соединяющую концы графика функции f (x) на отрезке [a; b]. Последнее, согласно геометрической интерпретации GA-выпуклости, будет означать указанную выпуклость данной функции.

Рассмотрим разность y(x) — f (x). Для нее имеем:

— f (x) = f (a)b b — /№)■* a + M-M ]n x — f (x) =

In b — In a In b — In a

bx = loga - ■ f (a) + loga - ■ f (b) — f (x) =

a x a a

bx = loga x ■ (f (a) — f (x)) + loga x ■ (f (b) — f (a)) =

a x a a

In x ■ In x f f (b) — f (x) f (a) — f (x)

a

In b \ In b — In x In a — In x

В последнем произведении множитель, записанный в виде дроби перед скобками, очевидно, положительный, потому нам достаточно дока-

л / (ь)—/(х) /(«)—/(х) зать неотрицательность выражения А = ,, , у — , , .

^ ^ ^ 1п Ь—1п х 1п а,— 1п х

Для этого выражения по классической теореме Коши имеем представление А = — ^4^ = п/'(п)—С/'(С), где С и п — некоторые средние

п «

точки, удовлетворяющие условию а<С<х<п<Ь. Применяя теперь к разности п/'(п) — С/'(С) формулу Лагранжа конечных приращений, получаем:

А = (/ '(С) + С/''(С ))(п — С ) = Д(< )(п — С),

где £ — некоторая точка, лежащая между точками С и п. Так как Д(() > О, то отсюда имеем у(х) — /(х) > 0 или /(х) < у(х), а < х < Ь. Нужное показано.

Второе утверждение теоремы устанавливается аналогично. Теорема доказана.

Замечание 3.1. Техника доказательства установленной теоремы позволяет заключить, что если внутри промежутка I для функции /(х) выполняется условие Д(х) > 0, то данная функция будет строго ОА-выпуклой на /. Аналогично условие Д(х) < 0, х Е /0, влечет факт строгой ОА-вогнутости функции /(х) на промежутке /.

Замечание 3.2. Теорема 3.1 есть своеобразный аналог соответствующего утверждения о достаточных условиях обычной выпуклости функции на промежутке в терминах ее второй производной.

Приведем иллюстрации применения теоремы 3.1.

1. Для функции /(х) = е-,х > 0, величина Д(х) = е- + хе-, очевидно, положительна, следовательно, данная функция будет строго ОА-выпуклой.

2. Рассмотрим функцию /(х) = еЬх, х > 0. Для нее величина Д(х) = ^-р ■ + х— также положительна, значит, и эта функция является строго ОА-выпуклой.

Точно так же можно показать строгую ОА-выпуклость функции /(х) = яЬх, х > 0.

3. На промежутке (0; 1] будет строго ОА-выпуклой функция /(х) = IXх, так как для нее величина Д(х) имеет вид: Д(х) = — -2 + х-

—3 = -2. Очевидно, эта величина внутри промежутка (0; 1] положитель-

-

на.

4. Читатель без труда может подтвердить строгую ОА-выпуклость функции /(х) = х9, х > 0, д € К, д = 0, еще раз. Для этого следует составить величину Д(х) для данной функции и показать, что Д(х) = д2х9-1 > 0.

5. Функция д(х) = 1п ^-Х-, х € (0; 1), является строго ОА-вогнутой, так как на интервале (0; 1) величина Д(х) = — (--1)2 отрицательна.

6. Для логарифмической функции у = с+71п х, х > 0, величина Д(х)

тождественно равна 0. Следовательно, данная функция и СА-выпукла, и СА-вогнута.

4. Свойства СА-выпуклых функций

Рассмотрим по порядку свойства СА-выпуклых и СА-вогнутых на промежутке I С (0; функций, следуя схеме изучения обычных выпуклых функций.

10. Сумма /+д СА-выпуклых (строго СА-выпуклых) на промежутке I функций / и д есть СА-выпуклая (строго СА-выпуклая) на данном промежутке функция.

Сумма / + д СА-вогнутых (строго СА-вогнутых) на рассматриваемом промежутке функций / и д является СА-вогнутой (строго СА-вогнутой) на данном промежутке функцией.

20. Если / — СА-выпуклая на промежутке I функция, а функция д — строго СА-выпуклая на данном промежутке, то их сумма / + д есть строго СА-выпуклая на I функция.

Сформулированные свойства легко выводятся из определений соответствующих понятий. Очевидным является следующее свойство.

30. Если функция / — СА-выпуклая (строго СА-выпуклая) на промежутке /, то функция — / будет СА-вогнутой (строго СА-вогнутой) на этом промежутке.

Если функция / — СА-вогнутая (строго СА-вогнутая) на промежутке /, то функция — / будет СА-выпуклой (строго СА-выпуклой) на этом промежутке.

Сформулируем свойство, касающееся произведения СА-выпуклых функций.

40. Если / и д — СА-выпуклые, неотрицательные и обе не убывающие или обе не возрастающие на промежутке I функции, то их произведение /д есть также СА-выпуклая на данном промежутке функция.

Доказательство. В имеющихся условиях для функций / и д будут выполняться неравенства

/ (ал61—л) < Л/(а) + (1 — Л)/(6),

д (ал61—л) < Лд(а) + (1 — Л)д(6), [а; 6] С г, Л € [0; 1]. Покажем, что тогда будет выполняться и неравенство

(6)

(/д) (ал61—л) < Л(/д)(а) + (1 — Л)(/д)(6),

(7)

характеризующее ОА-выпуклость произведения /д.

Действительно, в силу неотрицательности функций / и д неравенства (6) можно перемножить, тогда будем иметь:

(/д) (аЛЬ1-Л) < (Л/(а) + (1 — Л)/(Ь)) (Ад(а) + (1 — Л)д(Ь)) =

= Л2/(а)д(а) + (1 — Л)2/(Ь)д(Ь) + Л(1 — Л)[/ (Ь)д(а) + / (а)д(Ь)] = = Л/(а)д(а) + (1 — Л)/(Ь)д(Ь) + +Л(1 — Л)[/ (Ь)д(а) + / (а)д(Ь) — / (а)д(а) — / (Ь)д(Ь)] = = Л/(а)д(а) + (1 — Л)/(Ь)д(Ь) — Л(1 — Л)[(/(Ь) — / (а))(д(Ь) — д(а))].

Так как выражение, заключенное в последние квадратные скобки, неотрицательно, то отсюда имеем (7). Свойство 40 установлено.

Аналогичной техникой устанавливается следующее свойство.

50. Если / и д — ОА-вогнутые и неотрицательные на промежутке I функции, при этом одна из них является неубывающей, а другая невозрастающей на /, то их произведение /д есть также ОА-вогнутая на данном промежутке функция.

Приведем два свойства, связанных с композицией функций.

60. Если функция / является ОА-выпуклой на промежутке I ^ (0; числовой прямой Ох, а функция д — выпуклой и не убывающей на промежутке Ь (/(/) С Ь) числовой прямой Оу, то композиция д о / — ОА-выпукла на /.

Справедливость утверждения вытекает из следующей цепочки соотношений:

(д о /) (аЛЬ1-Л) = д (/ (аЛЬ1-Л)) < д (Л/(а) + (1 — Л)/(Ь)) <

< Лд (/(а)) + (1 — Л)д (/(Ь)) = Л(д о /)(а) + (1 — Л)(д о /)(Ь),

[а; Ь] С /,Л € [0; 1].

В данной цепочке первое неравенство записано на основании ОА-выпуклости функции / на промежутке I и неубывания функции д на промежутке Ь, а второе — на основании выпуклости д.

Аналогично устанавливается следующее свойство.

70. Если функция / является ОА-вогнутой на промежутке I ^ (0; числовой прямой Ох, а функция д — вогнутой и неубывающей на промежутке Ь (/(/) С Ь) числовой прямой Оу, то композиция д о / — ОА-вогнута на /.

Введем в рассмотрение понятие квази-ОА-выпуклой функции.

Определение 4.1. Пусть f : I ^ К — функция, заданная на промежутке I С Условимся называть ее квази-ОА-выпуклой на /, если для любого отрезка [а; Ь], принадлежащего /, и любого числа Л, Л € [0; 1], будет выполняться неравенство

f (аЛЬ1-Л) < sup{f (a),f (Ь)}.

Можно сформулировать следующие очевидные предложения, связанные с данным определением.

80. Всякая ОА-выпуклая на промежутке I функция является квази-ОА-выпуклой на этом промежутке.

90. Если функция f является ОА-вогнутой на промежутке /, то функция — f будет квази-ОА-выпуклой на этом промежутке.

Рассмотрим сейчас некоторые интегральные свойства ОА-выпуклых функций, порождающих своеобразные аналоги неравенств Адамара для обычных выпуклых функций.

100. Если f (ж) — ОА-выпуклая на промежутке I С (0; функция, интегрируемая по Риману на всяком отрезке этого промежутка, то для любого отрезка [а; Ь] из I

Г f (ж)*г < Ьf (Ь) — af (а) — (Ь — а)f (Ь) — /(а). (8)

Ja 1п Ь — 1п а

Доказательство. В интеграле /аЬ f (ж)^ж сделаем замену переменной, полагая ж = аЛЬ1-Л, Л € [0; 1]. Будем иметь

/Ь р0 л I) р1 Л

f (ж)^ж = Ь 1п Ь у ^аЛЬ1-Л) (Ь) ¿Л = Ь 1п а У ^аЛЬ1-Л) (Ь) ¿Л.

Последний интеграл оценим сверху, используя условие ОА-выпуклости f (ж) на промежутке I и метод вычисления интеграла Римана по частям:

Ь 1п - У0 ^аЛЬ1-Л) (а) ¿Л < Ь 1п - У0 (Лf (а) + (1 — Л)f (Ь)) (¿Л =

= Ьf (Ь) — af (а) — (Ь — а) М—!.

1п Ь — 1п а

Нужное показано.

Замечание 4.1. Если в условиях свойства 10° функция f (ж) — ОА-вогнутая, то для нее будет выполняться неравенство

(ж)¿ж > Ьf (Ь) — af (а) — (Ь — а)f (Ь) — /(а), (9)

/а 1п Ь — 1п а

отличающееся от (8) знаком неравенства.

Замечание 4.2. В оценках (8)-(9) знаки неравенств будут строгими, если соответственно функция f (ж) будет строго СА-выпуклой или строго СА-вогнутой.

Замечание 4.3. Очевидно, неравенство (8) можно переписать в виде

1 Гь f (*к* < V (Ь) - ^ (а) f (Ь) - f (а)

Ь — а . 1а Ь — а 1п Ь — 1п а

Последнее неравенство характеризует оценку сверху среднего значения СА-выпуклой функции на отрезке [а; Ь].

Использованная при доказательстве свойства 100 замена переменной позволяет обосновать и следующие свойства.

110. Если f (ж) — СА-выпуклая на промежутке I С (0; функция, интегрируемая по Риману на всяком отрезке этого промежутка, то для любого отрезка [а; Ь] из I

1 ?'(ж) ^ < /(а> + /(Ь). (10)

1п Ь — 1п а У а ж 2

Если в приведенных условиях f (ж) — строго СА-выпуклая функция, то в оценке (10) знак неравенства будет строгим.

120. Если f и д — неотрицательные СА-выпуклые на промежутке 1 С (0; функции, интегрируемые по Риману на всяком отрезке этого промежутка, то для любого отрезка [а; Ь] из I

1 [Ь f (ж)д(ж) ^ < f (а)д(а) + f (Ь)д(Ь) + f (Ь)д(а) + f (а)д(Ь)

1п Ь — 1п а ,/а ж 3 6

Как следствие данного свойства, получаем следующее свойство. 130. В условиях свойства 110 справедлива оценка

1 [' f'(ж)х < f2(а) + f (а)f (Ь) + f2(Ь)

1п Ь — 1п а а ж 3

Свойства, аналогичные свойствам 110 —130, мы предлагаем читателю сформулировать в отношении СА-вогнутых функций.

5. Неравенство Иенсена и его аналог

В данном разделе мы рассмотрим еще два важных свойства GA-выпуклых (вогнутых) функций — выполнение для таких функций неравенства Иенсена и его аналога. Упоминаемые свойства сформулируем в виде теорем.

Теорема 5.1. Пусть f — GA-выпуклая в строгом или нестрогом смысле на промежутке l С (0; функция; ах,... , ап — произвольные числа из l; Ak £ (0; 1), k = 1,... , n, Ai + ... + An =1. Тогда справедливо неравенство

f К1 ■ ... ■ аПп) < Aif (ах) + ... + Anf (а„), (11)

в котором равенство достигается только в двух случаях: 1) f — логарифмическая функция вида c + 7 ln x, где c и 7 — вещественные константы; 2) ах = ... = а„.

Доказательство. Обоснование выполнения неравенства (11) проведем методом математической индукции.

Установим сначала базу индукции. Покажем, что при n = 2 справедливо неравенство

f (а^1 ■ а^2) < Aif (ах) + A2f (а2),ах,а2 £ l; (12)

Ai, А2 £ (0; 1), Ai + A2 = 1.

Но справедливость (12) следует из определений GA-выпуклой и строго GA-выпуклой функции.

Выясним условия достижения равенства в (12). Если функция f будет логарифмической функцией вида c + 7 ln x, то в (12) знак неравенства будет заменяться знаком равенства (см. соответствующий пример GA-выпуклой функции в разделе 1). Если же f не является логарифмической функцией, то из геометрической трактовки GA-выпуклости функции следует, что в (12) знак равенства будет достигаться только при ах = а2.

Сделаем индукционное предположение: пусть неравенство (11) выполняется при n = k, k > 2, то есть справедливо соотношение

f (а^1 ■ ... ■ а**) < Aif (ах) + ... + Afc f (а*), (13)

а, £ l,i = 1,..., k; A, £ (0; 1),i = 1,..., k, Ai + ... + Ak = 1,

при этом равенство в (13) будет достигаться лишь в двух случаях: 1) если f — логарифмическая функция вида c + 7 ln x; 2) если ах = ... = ак.

Реализуем индукционный переход: покажем, что в имеющихся условиях будет выполняться неравенство

/ (V1 ■ ... ■ ■ а^1) < Лх/(ах) + ... + А*/(ак) + Ак+х/(а^+х), (14)

а, е м = 1,... ,к + 1; А, е (0; 1),г = 1,... ,к + 1, Ах + ... + Ак+х = 1,

в котором равенство может достигаться только тогда, когда / будет логарифмической функцией или когда ах = ... = а^+х. Оценим левую часть (14) следующим образом:

/(ах1 ■ ... ■ ■ а^1) =/(^ ■ ... ■ а^-1 ■ ^а?^а^^+Хк+1^ <

< Ах/(ах) + ... + А*_1 /(а*_х) + (А* + Ак+х)/ ^к+Лк+1 ахкк+Т| <

< Ах/(ах) + ... + Ак_х/(ак_0 + (А* + Ак+х) (т—^-/(а*) +

\ Ак + Ак+х

+ л Ак+х— /(ак+х) ) = Ах/(ах) + ... + Ак_х/(ак_х) + Ак/(ак) + Ак+/(ак+х). Ак + Ак+х

В приведенных соотношениях первое из неравенств записывается на основании индукционного предположения, а второе — на основании базы индукции. Данные неравенства будут переходить в равенства, только

если / будет логарифмической функцией или если ах = ... = ак_х =

Лк+1

Лк+Лк+1 Лк+Лк+1

= ак = ак+х и ак = ак+х, то есть если ах = ... = ак_х = ак =

= ак+х. Неравенство (11) полностью обосновано, теорема 5.1 доказана.

Замечание 5.1. Ясно, что если в условиях теоремы 5.1 / является ОА-вогнутой в строгом или нестрогом смысле на промежутке I функцией, то неравенство (11) перейдет в неравенство

/ К1 ■ ... ■ аПп) > Ах/(ах) + ... + А/(а„). (15)

Условия достижения равенства в (15) будут теми же, что и для неравенства (11).

Неравенства (11) и (15) условимся называть неравенствами Иенсе-на для ОА-выпуклой и ОА-вогнутой в строгом или нестрогом смысле функции соответственно.

А

к

В качестве иллюстрации применения неравенства Иенсена для ОА-выпуклой функции приведем простое доказательство обобщенного (весового) неравенства Коши

ьп

аП" < Ахах + ... + Апйп (16)

для положительных чисел а1,..., ап и набора положительных весов

Аъ • • • ) Ап (А1 + ... + Ап = 1)-

С этой целью применим неравенство (11) к ОА-выпуклой функции f (х) = х,х > 0. Мы сразу получаем обсуждаемое неравенство. Очевидно, равенство в нем может достигаться только при условии

а1 = ... = ап.

Отметим, что среди всех известных нам доказательств неравенства (16) приведенное — самое короткое, оно занимает минимум места.

Перейдем к рассмотрению неравенства для ОА-выпуклой строго или нет функции, схожего по записи с неравенством (11). Упоминаемое неравенство мы условимся называть его аналогом. Справедлива следующая теорема.

Теорема 5.2. Пусть f — ОА-выпуклая в строгом или нестрогом смысле на промежутке I С (0; функция; [а; Ь] — произвольный

отрезок, принадлежащий /; х1,...,хп — произвольный кортеж чисел из этого отрезка; Ах,... , Ап (Ах + ... + Ап = 1) — произвольный набор положительных весов. В данных условиях справедливо неравенство

4Тг^) < f(а) + f(Ь) - £ Акf(хк), (17)

в котором равенство достигается тогда и только тогда, когда или f — логарифмическая функция вида с + 71п х, где с и 7 — вещественные константы, или все числа х1,... , хп совпадают либо с а, либо с Ь.

Доказательство данной теоремы проведем по схеме обоснования аналога неравенства Иенсена для выпуклых в обычном смысле функций (см., напр., [4, с. 375]), но сначала установим следующую вспомогательную лемму.

Лемма. Если функция f ОА-выпукла на отрезке [а; Ь], [а; Ь] С С (0;+то), в строгом или нестрогом смысле, то для любого х, принадлежащего этому отрезку, будет выполняться неравенство

/ аЬ

Л - ) < f (а) + f (Ь) - f (х), (18)

в котором равенство достигается только тогда, когда или функция f — логарифмическая функция вида c + 7 ln x (c и 7 — вещественные константы), или x £ {a, b}.

Доказательство. Отметим, во-первых, что точка ах принадлежит отрезку [a; b]. Это следует из цепочки неравенств:

111 , ab

a < x < b ^ - > - > - ^ b > — > a. a x b x

Значит, значение f (a¡b) в левой части неравенства (18) существует, а само это неравенство по записи корректно.

Из включения x £ [a; b] следует, что существует Л £ [0; 1], такое, что будет иметь место представление x = a *b1-*. Выразим через Л значение ab:

x

^ = a!-* b*.

x

Тогда в силу GA-выпуклости функции f будем иметь:

f (С = f (a1-Ab*) < (1 - W(a) + Лf (b) = (19)

= f (a) + f (b) - Лf (a) - (1 - ^f (b) < f (a) + f (b) - f (a * + b1-*) =

= f (a) + f (b) - f (x). (20)

Неравенство (18) доказано.

Выясним условия достижения равенства в нем. Для этого следует осмыслить условия достижения равенства в (19) и (20).

Если f — логарифмическая функция, то легко видеть, что равенство достигается и в оценке (19), и в оценке (20). Если же f не является логарифмической функцией, то в каждой из данных оценок равенство возможно лишь при Л = 0 или Л = 1, то есть при совпадении x с b или a. Соотношение (18) полностью обосновано, лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы 5.2. Установим сначала само неравенство (17), а затем осмыслим условия достижения в нем равенства.

Прежде всего, отметим, что значение f I n аЪ Afe ) существует, по-

\Ш=1 xfc )

Пп * k

k=1 xkk чисел x1,..., xn есть

точка из отрезка [a; b]. Оценим значение f I n аЪ Лк I сверху, используя

\ПП=1 xfc )

неравенство Иенсена (11) для СА-выпуклых функций. Будем иметь:

" гет =/ Й(Э! <£О (21)

Но в силу леммы

/(£) < /(а) + /(6) - /(х*),к = 1,...,п, (22)

< £ А* (/(а) + /(6) - /(хк)) = /(а) + /(6) - £ А*/(х*),

то есть само соотношение (17) установлено.

Ясно, что равенство в нем будет достигаться только тогда, когда оно будет иметь место и в неравенстве (21), и в неравенствах (22).

В случае, когда функция / является логарифмической, отмеченное условие, легко проверить, выполняется. Если же / не является таковой, то в (21) равенство может достигаться только при условии

а±Х =... = а±Х, (23)

а в неравенствах (22) — при условии € {а, 6}, к = 1,... , п. Но из (23) следует, что х1 = ... = хга, значит, в рассматриваемой ситуации должно быть или х1 = ... = хга = а, или х1 = ... = хга = 6. Неравенство (17) полностью обосновано, теорема 5.2 доказана.

Замечание 5.2. Если в условиях теоремы 5.2 / является СА-вогнутой в строгом или нестрогом смысле на промежутке I функцией, то неравенство (17) перейдет в неравенство

/ ( ^Ч) ^ / (а) + / (6) - Е Ак / (Хк). (24)

,ПГ=1

к=1 / к=1

Условия достижения равенства в (24) будут теми же, что и для неравенства (17).

Неравенства (17) и (24) назовем аналогами неравенства Иенсена для СА-выпуклой и СА-вогнутой в строгом или нестрогом смысле функции соответственно.

Приведем одно следствие теоремы 5.2.

Следствие. Пусть f — СА-выпуклая в строгом или нестрогом смысле на промежутке I С (0, функция; х^ ... ,хп — произвольный набор чисел из этого промежутка, перенумерованных в порядке неубывания; Аь ... , Ап (Ах +... + Ап = 1) — произвольный набор положительных весов. Тогда справедливо неравенство

М < f (XI) + f Ы — £ Акf (Хк), (25)

\Ш=1хк /

в котором равенство достигается только в случаях: 1) f — логарифмическая функция вида с + 71п х; 2) х1 = ... = Хп.

Доказательство этого утверждения, легко видеть, следует из теоремы 5.2, если в ней положить а = хх, Ь = хп.

Замечание 5.3. Требование монотонности последовательности х1,...,хп в условиях следствия, очевидно, можно заменить таким: в данной последовательности х1 = ш1п1<к<га(хк}, хп = шах1<к<п(хк}.

Ясно, что если в условиях следствия функция f будет СА-вогнутой (строго или нет) на промежутке /, то для нее справедливо неравенство

^ f(х1) + f(хп) — ЕАкf(хк). (26) \Ш=1хк / к=1

Условия достижения равенства в (26) те же, что и для неравенства (25).

Рассмотрим одно применение сформулированного выше следствия. Пусть для промежутка I числовой прямой выполняется включение I С (0;и 0 / /. Положим = х1 + хп — Сга = , где = А1х1 + ... + Апхп, Сга = х х 1 ■ ... ■ хПп — весовые средние арифметическое и геометрическое чисел х1,..., хп из I с весами А1,..., Ап (А1 + ... + Ап = 1). Мы считаем, что рассматриваемые числа перенумерованы в порядке неубывания. Хорошо известно, что для величин Сга справедливо неравенство Коши Сга < в котором равенство возможно, только если х1 = ... = хп. Покажем, что имеет место аналог данного неравенства для величин , Сга — неравенство

< (27)

в котором равенство (как и в неравенстве Коши) достигается тогда и только тогда, когда х1 = ... = хп.

Для доказательства (27) применим неравенство (25) к GA-выпуклой функции f (x) = x, x > 0:

а это есть неравенство (27). Равенство в нем будет достигаться только при условии xi = ... = xn, ибо функция f (x) = x не является логарифмической.

Замечание 5.4. Предложенное обоснование неравенства (27) предлагаем читателю сравнить с его доказательством в [5, с. 2].

Список литературы

1. Guan Kaizhong GA-convexity and its applications // Anal. Math. 2013. 39. № 3. Pp. 189-208.

2. Xiao-Ming Zhang, Yu-Ming Chu, and Xiao-Hui Zhang. The

Hermite-Hadamard type inequality of GA-convex functions and its application // J. of Inequal. and Applies., Vol. 2010. Article ID 507560, 11 pages, doi:10.1155/2010/507560.

3. Калинин C. И. (а, в)-выпуклые функции, их свойства и некоторые применения // Уфимская международная математическая конференция. Сборник тезисов / отв. ред. Р. Н. Гарифуллин. Уфа: РИЦ БашГУ, 2016. С. 75-76.

4. Abramovich S., Klaricic Bakula M., Matic M. and Pecaric J.

A variant of Jensen-Steffensen's inequality and quasi-arithmetic means // J. Math. Anal. Applies. 307. 2005. Pp. 370-385.

5. Mercer A. McD. A variant of Jensen's inequality // J. Inequal. In Pure and Appl. Math. Vol. 4. Issue 4. Article 73. 2003. Pp. 1-2.

Summary

Kalinin S. I. GA-convex functions

The paper is devoted to the class of socalled GA-convex functions on the interval. A geometric characterization of such functions is given, their properties are studied, in particular, the Jensen inequality and its analogue are established. Sufficient conditions for the GA-convexity and

n

GA-concavity of a function in terms of derivatives are formulated. Keywords: GA-eonvex function, GA-eoneave function, Jensen's inequality, analogue of Jensen's inequality.

References

1. Guan Kaizhong. GA-convexity and its applications, Anal. Math. 2013, 39, № 3, pp. 189-208.

2. Xiao-Ming Zhang, Yu-Ming Chu, and Xiao-Hui Zhang. The

Hermite-Hadamard type inequality of GA-convex functions and its application, J. of Inequal. and Applies., Vol. 2010, Article ID 507560, 11 pages, doi:10.1155/2010/507560.

3. Kalinin S. I. (a, e)-vypuklye funkcii, ix svojstva i nekotorye prime-neniya ((а,в)-convex functions, their properties and some applications), Ufa international mathematical conference. Abstracts / Executive editor R. N. Garifullin. Ufa: RITS Bashgu, 2016, pp. 75-76.

4. Abramovich S., Klaricic Bakula M., Matic M. and Pecaric

J. A variant of Jensen-Steffensen's inequality and quasi-arithmetic means, J. Math. Anal. Applies., 307 (2005), pp. 370-385.

5. Mercer A. McD. A variant of Jensen's inequality, J. Inequal. In Pure and Appl. Math., Vol. 4, Issue 4, Article 73, 2003, pp. 1-2.

Для цитирования: Калинин С. И. GA-выпуклые функции // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2017. Вып. 3 (24). C. 25-42.

For citation: Kalinin S. I. GA-convex functions, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2017, №3 (24), pp. 25-42.

ВятГУ

Поступила 25.09.2017