Нижняя оценка сложности минимизации строго квазивыпуклой функции на целочисленной решетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 93-96

УДК 519.6

НИЖНЯЯ ОЦЕНКА СЛОЖНОСТИ МИНИМИЗАЦИИ СТРОГО КВАЗИВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИИ НА ЦЕЛОЧИСЛЕННОЙ РЕШЕТКЕ

© 2012 г. Н.Ю. Золотых, А.Ю. Чирков

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

zolotykh@vmk.unn.ru, chirkov@vmk.unn.ru

Поступила в редакцию 10.09.2012

Рассматривается задача минимизации строго квазивыпуклой функции, определенной на множестве {х е Z : max |х,| < г}. Предполагается, что функция задана оракулом, позволяющим по любым двум точкам хиуиз области определения определить, выполнено или нет неравенство/(х) < f(y). Доказано, что при таких ограничениях любой алгоритм минимизации требует (в худшем случае) не менее 3d-1log2(2r - 1) обращений к оракулу.

Ключевые слова: квазивыпуклая функция, сложность, целочисленная решетка, нижние оценки.

1. Минимизация квазивыпуклой функции

Пусть Р С Rd и Р — выпуклое множество. Функция /: I’ —» R называется квазивыпуклой, если для любых х,у е Р и любого а е R, такого, что 0 < а < 1, справедливо

Дох + (1 - сс)>0 < max {/(х), /О)}. Хорошо известно (см., например, [1]), что f — квазивыпуклая тогда и только тогда, когда для любого a g R множество {х: /(х) < а} выпукло. Выпуклая функция является квазивыпуклой. Обратное в общем случае не верно.

Функция /: I’ —» R называется строго квази-выпуклой, если для любых х,у е I) и любого а е g R, такого, что 0 < а < 1, справедливо

/(ах + (1 - а)>0 < max {/(х), f (у)}.

Из определения непосредственно вытекает следующее свойство строго квазивыпуклых функций.

Утверждение 1 (см., например, [1]). Пусть f — строго квазивыпуклая функция и Xj, x2, ..., xn, y,zeP, причем/(хг) <f(y) (/' = 1, 2, ..., n) иz e g у + cone {y - Xj, ..., у - x„j. Тогда/00 >f(y).

Пусть F — некоторый класс функций, ото-

бражающих Р в R. Обозначим М=.

Предположим, что с каждой функцией / g Т связан оракул, позволяющий по заданной паре точек ХЛ’ G М определить, выполнено или нет неравенство fix) < /(у). Рассмотрим задачу минимизации функции f на множестве M, т.е. задачу нахождения ее точки минимума arg miii>r.\ /(х) с помощью обращений к оракулу

функции f Если точек минимума несколько, то под решением задачи будем понимать любую из них. Предполагается, что относительно функции f известно лишь то, что она принадлежит классу F, мы не можем вычислять ее значений в точках и т. д.

Далее предполагается, что Р ограничено и, следовательно, множество М = PnZ конечно.

Эффективных алгоритмов минимизации квазивыпуклой функции на множестве M не существует [2]. Действительно, рассмотрим функцию fy, равную 0 в точке у g Ми 1 во всех остальных точках области P. Функция fy квазивыпуклая. Обращение к оракулу функции fy в любых двух точках, отличных от у, не дает никакой информации о точке минимума. Таким образом, для решения задачи минимизации функции fy в худшем случае требуется не менее |M| обращений к оракулу.

В [2] предлагаются эффективные алгоритмы минимизации строго квазивыпуклой функции при d = 2.

Далее в работе рассматриваются только строго квазивыпуклые функции.

2. Разрешающее множество

Пусть / Р —» R — строго квазивыпуклая

функция. Множество Г с М называется разрешающим для функции/ если для любой другой строго квазивыпуклой функции g: Р —> R из условий/(х) = g(x) для всех X G Т следует arg min fix) = arg min g(x).

Заметим, что если T — разрешающее для f, то

arg minxeT f (x) = arg minxeM f (x). Таким образом, разрешающее множество является «доказательством» того факта, что arg minxeT f(x) является точкой минимума arg minxeM f (x), поэтому любой алгоритм минимизации строго квази-выпуклой функции строит некоторое разрешающее множество этой функции.

В [2] охарактеризованы разрешающие множества строго квазивыпуклых функций для d = = 2 , в частности, доказано, что для любой строго квазивыпуклой функций при d = 2 существует разрешающее множество из 9 точек.

Из утверждения 1 получаем

Утверждение 2. Пусть f - строго квази-выпуклая функция и T с M. Если для любой точки z e M найдутся точки x1, x2, ..., xn, y e T, такие, что f(xi) < f(y) (i = 1, 2, ..., n) и z e y + + cone {y - x1, ..., y - xn}, то T - разрешающее множество.

3. Нижние оценки сложности минимизации

Обозначим SQC(d,r) множество всех строго квазивыпуклых функций, заданных на множестве M(d,r) = P(d,r)n Z , где P(d,r) = {x = (x1, x2, ..., xd) e Rd: max |x;| < R}.

Пусть A - алгоритм, на вход которого подаются натуральные числа d и r и оракул некоторой строго квазивыпуклой функции f e e SQC(d,r). На выходе алгоритма - точка минимума функции f Обозначим t(A, f) - число обращений к оракулу, совершаемых алгоритмом A при минимизации функции f Далее рассматриваются только такие алгоритмы. Обозначим

т( A, d, r) = max т( A, f),

f eSQC(d, r )

x(d, r) = min t( A, d, f),

A

где минимум в последнем случае берется по всем алгоритмам минимизации.

Каждому алгоритму A минимизации строго квазивыпуклой функции при заданных d и r поставим в соответствие бинарное дерево решений T. Каждой неконцевой вершине дерева T приписана пара точек x, y из M(d, r), а каждой концевой вершине (листу) - некоторая точка x из M(d, r). Каждой неконцевой вершине дерева T соответствует обращение к оракулу с вопросом «f(x) < f(y)?», а листьям - точка минимума функции f, возвращаемая алгоритмом. Ребрам приписаны метки 1 и 0 в зависимости от того, выполнено или нет неравенство f(x) < f(y). Каждый простой путь из корня в лист соответствует

работе алгоритма при некоторой функции /. Справедливы следующие утверждения.

Утверждение 3. Т(й, г) > log2 I, где I - количество листьев дерева решений, построенного по алгоритму А при заданных й и г.

Доказательство. Очевидно, что высота дерева Т равна т(й, г). С другой стороны, высота любого бинарного дерева не превосходит ^2 I.

Утверждение 4. т(й, г) > й ^2 (2г + 1).

Доказательство. Для любой точки х из М(й, г) найдется строго квазивыпуклая функция, минимум которой достигается в точке х, поэтому I > |Х(й, г)| = (2г + 1) . Требуемое неравенство следует теперь из утверждения 3.

Мы устанавливаем более сильное неравенство, чем неравенство из утверждения 4. А именно, справедлива

Теорема.

x(d, r) >

3d - і 2

log2 (2r - і) > 3d і log2 (2r - і).

Доказательству теоремы предпошлем ряд вспомогательных утверждений.

Пусть Тс М(й, г). Будем говорить, что функция g: Т —— ]& определяет строго квазивыпук-лую функцию на множестве Р(й, г), если существует функция / е SQC(d, г), такая, что для любых х, у е Т неравенство /(х) < /(у) выполнено тогда и только тогда, когда g (х) < g (у).

Обозначим Та = {х е Т: g(х) < а}. Под сопу X понимаем выпуклую оболочку точек из множества X с ]^й.

Лемма 1. Пусть Т с М(й, г) и для любого а выполнено

М(й, г) п сопу Та = Та, тогда функция g: Т — ]& определяет на Р(й, г) строго квазивыпуклую функцию.

Доказательство. Пусть |Т | = д. Упорядочим

Т’ (1) (2) (д) ^ ^ ^

точки из 1: х , х , ..., х™' так, что а1 < а2 < ... <

< ад, где а* = g(х(/)) (/' = 1, 2, ..., д - 1). В конец

(1) (2) (д) /

списка х , х , ..., х припишем (в произвольном порядке) вершины множества Р(й, г). В ре-

(1) (2) 5

зультате получим список х , х , ... , х .

Индукцией по 5 покажем, как построить строго квазивыпуклую функцию

/: сопу {х(1), х(2), ..., х(5)} — ]&,

такую, что для любых х, у е Т неравенство /(х) < /(у) выполнено тогда и только тогда, когда g(х) < g(у). Процедура основана на алгоритме [3] построения правильной триангуляции 5 = {^1, S2, ..., Sp} точечной конфигурации х(1), х(2), ..., х(5), т. е.

сопу {х(1), х(2),..., х( 5)} = иР_, S/,

причем S/ п Sj есть общая грань симплексов S/ и Sj при любых / и у. Функция / - непрерывная

кусочно-линейная, однозначно определяемая по

(1) (2) (5)

значениям в точках х , х , ... , х , а именно:

f (x) = X ak f (x (гk )), x = X C

✓*(ik )

k=і

k=і

Sak=і, ak > °

(і)

k=і

где х є 5, 5 є 5 и х(гі),х(г2),...,х(г"-1 - вершинні симплекса 5.

Если 5 = і, то положим /(х(1)) = а1. Пусть 5 = = {5}, где 5 = {х(1)}.

Если 5 > 1, то предположим, что уже построена строго квазивыпуклая функция

/: сопу {х(1), х(2), ..., х(5-1)} ^ ]& и имеется триангуляция 5 точечной конфигура-

(1) (2) (5-1) Т/Т

ции х , х , ..., х . Из условия леммы следует, что х(5) й сопу {х(1), х(2), ..., х(5-1)}. Для каждой видимой из х(5) фасеты (грани максимальной размерности) О триангуляции 5 построим новый симплекс сопу (х(1) и О) (определение видимой фасеты см. в [3]). Все построенные симплексы добавим в список 5. В качестве /(х(5)) выберем достаточно большое значение так, чтобы функция f, определяемая (1), была выпуклой. Лемма 1 доказана.

Построим семейство Т(С, г) множеств Т с с М(С, г) и семейство С(С, г) функций/Т: Т ^ ]&, такое, что С(С, г) = {/Т: Т ^ R: Т є Т(С, г)}, с помощью следующей рекурсивной процедуры.

Семейство Т(1, г) содержит все 2г - 1 множеств вида Т = {/' - 1, і, і + 1}, где |і1 < г. Положим gт(i) = 0, gт(i - 1) = 1, gт(i) = 2.

При С > 2 семейство Т(С, г) получается из Т(С - 1, г) следующим образом. Для каждого целого і, удовлетворяющего неравенству |і | < г, рассмотрим произвольную неупорядоченную тройку Ть Т2, Тз, где Та є Т(С - 1, г) (ц = 1, 2, 3). Множество ТЦ получается из Тц приписыванием к каждому вектору из ТЦ новой компоненты, равной і + ц - 2. Положим Т = 71' и Т[и ТЗ. В семейство Т(С, г) войдут все множества Т, которые можно построить таким способом. Формально:

г-1

Р (С, г) = У {Р = Р' и Р и РЗ: РЦ = {(х, і + ц- 2):

і=—г+1

хе Рц},Рц= ^(й-1,г), ц = 1,2,3}.

Лемма 2. |Т(й, г)| = (2г - 1)(3" - 1)/2. Доказательство. По построению Т(й, г) имеем

Т (1, г) = 2г -1,

| Т(й, г)| = 21 Т(й, г)|3 = (2г -1) I Т(й -1, г)|3.

/=-г+1

Теперь требуемое равенство легко доказывается индукцией по й.

Пусть на Тц задана функция gт)^ (^ = 1,2,3).

Определим функцию gт: Т — ]& следующим образом:

gт(У) = <

d-і

+ g^( x), У =(x, і - і),

gт2 (x),

У = (x, i),

2 • 3d 1 + gT3( x), y = (x, i +1).

Лемма 3. Для любого множества T e T(d, r) найдется функция f e SQC(d, r), такая, что для любого ее разрешающего множества T' справедливо T' с T.

Доказательство. Из леммы 1 следует, что для любого T e T(d, r) функция gT определяет на P(d, r) строго квазивыпуклую функцию. Переопределив значение gT только в одной (любой) точке из T, положив его равным -1, снова получим функцию, определяющую строго квазивыпуклую функцию. Таким образом, найдется функция f e SQC(d, r), такая, что для любого ее разрешающего множества T' справедливо T' с T. Лемма доказана.

Из леммы 3 следует, что количество листьев в дереве решений, построенном при заданных d и r по произвольному алгоритму минимизации квазивыпуклой функции, содержит не менее |T(d, r)| листьев. Доказываемая теорема следует теперь из утверждения 3 и леммы 2.

Список литературы

1. Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.

2. Чирков А.Ю. Минимизация квазивыпуклой функции на двумерной целочисленной решетке // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Математическое моделирование и оптимальное управление. 2003. № 1. C. 227-238.

3. Шевченко В.Н., Груздев Д.В. Модификация алгоритма Фурье - Моцкина для построения триангуляции // Дискретный анализ и исследование операций. Серия 2. 2003. Т. 10, № 1. С. 53-64.

A LOWER BOUND FOR THE COMPLEXITY OF MINIMIZATION OF A STRONG QUASICONVEX FUNCTION ON THE INTEGER LATTICE

N.Yu. Zolotykh, A.Yu. Chirkov

A minimization problem of a strong quasi-convex function defined on the domain {x e Zd: max |xj < r} is considered. It is assumed that the function is defined by an oracle which allows determining by any two points x and y in the domain iff (x) < f (y) holds or not. We prove that under these conditions any minimization algorithm requires (in the worst case) at least 3d-1log2(2r - 1) calls to the oracle.

Keywords: quasiconvex function, complexity, integer lattice, lower bounds.