Сильно дискретно-выпуклая функция Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИЛЬНО ДИСКРЕТНО-ВЫПУКЛАЯ ФУНКЦИЯ Садыгов М.А.1, Садыгов И.М.2

1Садыгов Мисраддин Аллахверди оглы - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра оптимизации, механико-математический факультет, Бакинский государственный университет; 2Садыгов Илгар Мисраддин оглы - научный сотрудник, отдел методологических и эконометрических проблем государственного регулирования экономики, Институт экономики НАН Азербайджана, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в работе получены критерии дискретно-выпуклости и сильно дискретно-выпуклости функций. Рассматриваются также минимизации дискретных функций.

Ключевые слова: сильно дискретно-выпуклое множество, сильно дискретная функция, субдифференциал.

УДК 519.854

1. Дискретно-выпуклая функция

В работе [1] введены дискретно выпуклое множество, сильно дискретно-выпуклая функция, субдифференциал для дискретных функций и изучен ряд их свойств. В данной работе получены критерии дискретно выпуклости и сильно дискретно выпуклости функций. Рассматриваются также минимизации дискретных функций. Работа является продолжением работы [1].

Через Z обозначим множество целых чисел. Положим Zn = Z х • • • х Z.

Если С ^ Кп (строго, сильно) выпуклое множество, то множество С П Zn назовем дискретно (строго, сильно) выпуклой.

По лемме 3 [1] множество В дискретно-выпукло в Zn, тогда и только тогда, к к к когда х е В при а; > 0, = 1, х1з"-.,хк е В, х; е Zn, к е N.

1=1 1=1 1=1

Множество В назовем ^выпуклым множеством в Zn, если ах + (1 - а)у е В при а е [0,1], х, у е В, ах + (1 - а)у е Zn.

Отметим, что множество {(-1;0), (—2;0),(0;3)} ^выпуклое множество, но не является дискретно-выпуклым множеством в Z .

Множество СО В П Zn называется дискретной выпуклой оболочкой дискретного множества В и обозначается через ёсоВ. Из определения 1 [1] дискретного множества следует, что ёсо В дискретно-выпуклое множество.

Пусть С ^ Яп . Пересечение всех выпуклых конусов (аффинных множеств) из Яп, содержащих С, называется его конической (аффинной) оболочкой и обозначается через СОП С (а£Г С) (2, с. 59).

Множество СОП В П Zn называется дискретной конической оболочкой дискретного множества В и обозначается через ^оп В. Если В = ^оп В , то множество В назовем дискретным конусом. Отметим, что если К ^ Кп выпуклый конус, то К П Zn является дискретным конусом.

Точка x еБ дискретного множества B называется крайней точкой, если не существует точек x17x2 еБ для которых x внутренняя точка отрезка [x13x2], т.е. x не является точкой множества [x, x2 ] \ {x, x2} = {z = a^ + (1 - a)x2: a е (0,1)}. Множество крайних для Б точек обозначим ext Б. Если Б дискретно-ограниченное множество, то из замечания леммы 1.4.1 (3, с. 32) следует, что соБ = co(ext Б) . По теореме 1.4.1 ([3],с.31) имеем, что ext Б = ext (со Б).

Пусть Б1,Б2 С Zn дискретные множества. Если существует вектор с е Rn,

с ^ 0, такой, что (c,b^ < (c,b) при b е Б, b2 е Б, то множества Б и Б называются отделимыми.

Если Б, Б С Zn дискретные множества и со Б П со Б = 0, то по теореме

2.5 ([4],c.37) множества Б и Б отделимы.

Для краткости формулировок дискретно-выпуклые функции рассматриваются ниже как сильно дискретно-выпуклые с константой р = 0 .

Пусть Б С Zn дискретно-выпуклое множество, f : Б ^ R дискретная

k k k функция. Если f(Sax) < 2af(x)

i=1

k

k

xi -Saixi

2

k

при a > o, s a = i, i=1

х1;---,хк е В, Е а X е В, к е К, то функцию Г :В ^ К назовем сильно

1=1 1 1

к к

дискретно-выпуклой с константой 0. Если Г( Еа; X) < Еа; Г(х) при

1=1 1=1

к к а> 0, Еа = 1, X,-,хк е В, где X ^ X при 1 ^ j, ЕаX е В, к е К,то 1=1 j 1=1

функцию Г : В ^ К назовем строго дискретно выпуклой.

Если В дискретное множество в Zn и Г: В ^ К, то положим

к к к (СОПУГ)^) = тДЕа^^):а >0, Еа = 1, X =Еа^, X еВ, 1 = 1,...,к, кеК}

1=1 1=1 1=1

при X е со В, где можно считать, что к < п +1.

Пусть В с Zn дискретно-выпуклое множество. Если Г дискретно-выпуклая функция на В, то из леммы 4 [1] имеем, что Г^) = (сопуГ)^) при X е В . Если Г дискретно-выпуклая функция на В , то легко проверяется {X е В: Г(X) < Я} дискретно выпуклое множество.

Пусть В с Zn ^выпуклое множество, Г : В ^ К дискретная функция. Если

+ (1 -а)у) <а Г (X) + (1 -а)Г(у) -ра(1 -а)^ - У|2 при ае[0,1], X, у еВ, аx + (1 -а)у еВ, то функцию Г : В ^ К назовем сильно ^выпуклой с константой р > 0.

Если Г : Кп ^ К+оэ = К и {+(} положительно однородная выпуклая, т.е. сублинейная функция, то функцию Г : Zn ^ К назовем дискретно сублинейной функцией. Легко проверяется, если М с Кп замкнутое выпуклое множество, то Г(X) = Би^р, ^ является дискретной сублинейной функцией в Zn .

реМ

Если В с Zn дискретно-выпуклое множество, £, : В ^ К и Г : В ^ К Дискретно-выпуклые функции и Г(х) = £,(х) — Г(х) при х е В, то функцию Г : В ^ К назовем дискретно квазивыпуклой функцией в В .

Лемма 1. Если В с Zn дискретно-выпуклое множество, то Г сильно дискретно-выпуклая функция на В с постоянной 0 > 0 тогда и только тогда когда функция

Б(х) = Г(х) — 0|х|| дискретно-выпуклая функция на В.

Доказательство. Необходимость. Так как функция Г сильно дискретно выпуклая функция на В с постоянной 0 , то

к к к Г(Еа1х1) < £аДх) — 0£а1 1=1 1=1 1=1

х — 2а1х1 1=1

(1)

к к при а > 0, £а; = 1, х, •", хк е В, £а;х е В, к е N . Легко проверяется, что 1=1 1=1

к

£ ах

к II ||2 к

= £а1 х^ — £а1

х — £а1х1 1=1

(2)

кк при а; > 0, £а; = 1, хх, • -, хк е В, £а1х1 е В, к е N . 1=1 1=1

Умножив равенство (2) на 0 и почленно вычитая получившееся равенство из (1) имеем

к к БСЕах) < ¿а^х^

(3)

1=1 к

при а> 0, ¿а = 1, х,...,хк е В, ¿ах е В, к е N , т.е. б(х) дискретно-1=1 1=1

выпуклая функция на В.

Достаточность. Пусть Б(х) дискретно-выпуклая функция на В, т.е. выполняется неравенство (3). Умножив равенство (2) на 0 и сложив с неравенством (3) имеем (1), т.е. Г : В ^ К сильно дискретно-выпуклая функция на В с константой 0 > 0 . Лемма доказана.

Так как а х — а х—а2 х2||2+а2| |х2 — а х —а2 х||2 = (аа2 +а2а12)||х1—х||2 =аа| |х—х2||2 при х, х2 е В, а > 0, а2 > 0, а + а = 1 и х = ах + ах е В, то из (1) имеем

+ах) <аГ(х) + а/(х2) — ца^Цх — х||2при х1,х2 еВ, а1 >0, а2 >0, а1 +а2 = 1 и ах + ах е В. Тогда из леммы 1 следует, что если В с Zn ^выпуклое множество, то функция Г сильно ^выпуклая функция на В с постоянной 0 > 0 тогда и только тогда когда функция Б(х) = Г(х) — 0х|| ^выпуклая функция на В.

2. Критерии сильно дискретно выпуклости функций

Если В с Zn дискретное множество, Г:В ^ К и х = (х,...,хп), х = (х,...,х; Х,х ± 1,х;+1,...,хп) е В при 1 = 1,2,.,п, то положим АГ (х) = Г(х,..., х1—1, х1 +1, х+1,хп ) — Г (х), АГ (х) = Г (х,х1—1, х — 1, х1+1,хп ) — Г (х),

2

к

2

2

к

Д+Г (X) = (?),..., ДТ ЮХ Д? (X) = (Д? (X),..., ДТ (X)). Лемма 2. Если с Z дискретно-выпуклый отрезок, т.е. дискретно-

выпуклое множество, +1] ^ К сильно дискретно-выпуклая функция с

константой р> 0, то Д+Г^) <Д+Г(у) - 2р(у - X) при x,y е[x0,xk], у > X.

Доказательство. Ясно, что = {x0,x1,...,xk} и пусть

1 1

^ Xl+1, Xl+2 е [X0, Xk] . Так как X1+1 =~ X +~ X1+2 , то имеем

Г(Xl+1) = Г(1 Xl + 1Х+2) < 1 Г ^ + 1 ?+2) - 1 р^+2 - Xl)2 .

Отсюда следует, что 2Г(x1+1) < Г+ Г(x1+2) -1 р^+2 - x1)2. Поэтому

1

Г(xl+l) -Г< Г(xl+2) -Г(xl+l) - - р(Х+2 - xl) ,т.е. Д?(X!) < Д? ^ -2р.

Тогда имеем, что Д? (X) < Д? (X +1) - 2р < — < ДТ (у) - 2р(у - X). Лемма доказана.

Следствие 1. Если X] с Z дискретно-выпуклый отрезок, Г : ^ +1] ^ К сильно дискретно-выпуклая функция с константой р > 0, то

(Д+Г(у)- Д+Г^))(у-X) > 2р(у-X)2 при X,у е ^0^].

Доказательство. Пусть у > X. Из леммы 2 имеем, что (А?(у)-А?^)) >2р(у-X) при x,y Поэтому (ДТ(у)-Д+f(x))(y-X)>2р(у-X)2

при x,y у > X. Отсюда следует, что (Д+ад) -Д+f(y))(x - у) > 2р(у - X)2

при x,y е [x0,xk]. Следствие доказано.

Теорема 1. Если ^ ] с Z дискретно-выпуклый отрезок, Г : ^ +1] ^ К сильно дискретно-выпуклая функция с константой р > 0, то

Г(у) - Г(x) > Д+Г(x)(У - x) + Р(у - x)(У - x -1) при х у е [xo, xk].

Доказательство. Пусть у > X . Ясно, что

Г(у) - Г(X) = Д+Г(у -1) + Д+Г(у - 2) + Д+Г(у - 3) + — + Д+Г(X +1) + Д+Г(X).

Из леммы 2 следует, что Д+Г(X) + 2р(у -1 - X) < Д+Г(у -1),

Д+ОД + 2р(у -2-X) < Д+Г(у -2), ..., Д+ВД + 2р<Д+f(x +1). Поэтому

Г (у) - Г (X) > Д? (X) + 2р(у -1 - X) + Д? (X) + 2р(у - 2 - X) + Д? (X) +

+ 2р(у - 3 - X) + — + Д? (X) + 2р + Д? (X) = Д+f(x)(y - X) + р(у - x)(y - X -1). Пусть у < X . Ясно, что

Г (у) - ОД = ?) - Г (у)) = -?(у +1) - Г (у) + Г (у + 2) - Ду +1) + — + ^-1) - ^ - 2) +

+ Г(X) - Г(X -1)) = -(Д?(у) + Д?(у +1) + Д?(у + 2) + — + Д?(X - 2) + Д?(X -1)). Из леммы 2 следует, что Д+Г(у) <Д+f(x) - 2р(x - у) при x,y X > у.

Тогда A+f (x) + 2ц(у - x) > A+f (y), A+f (x) + 2ц(у +1 - x) > A+f (y +1),...,

A+f (x) - 2|i>A+f(x -1). Поэтому

f (y) - f (x) > -(A+f (x) + 2ц(у - x) + A+f (x) + 2ц(у +1 - x) + A+f (x) +

+ 2ц(у + 2 - x) + - + A+f (x) - 2ц) = A+f (x)(y - x) + ц(у - x)(y - x -1). Теорема доказана.

Теорема 2. Если [x0,xk] ^ Z дискретно-выпуклый отрезок, f : [x0, xk +1] ^ R дискретная функция, ц > 0 и

f (y) - f (x) > A+f(x)(y - x) + ц(у - x)(y - x -1) при x,y e[xo,xk], то

m m m ~

f(Za1x1) < Sa1f(x1)-^^(x, -x) i=1 1=1 1=1

m m

при x^-xm e^xj, a1 >0, Ea1 = 1 и x^a^ e^xj.

1=1 1=1

m

Доказательство. Пусть x,-,xm e[x0,xk], a¡ > 0, Ea¡ = 1 и

1=1

m

Sa1x1 = x G [x0,xk]. Тогда по условию имеем, что 1=1

f (x) - f (x) > A+f (x)(x1 - x) + ц^ - x)2 - - x) при 1 = 1,2,..., m. Умножая эти соотношения на a{ и складывая их, получим

m m m ~ m

Е a1 (f (x1) - f (x)) > E a1A+f (x)(x1 - x) + цS a1 (x1 - x)2 - ц E a1 (x1 - x). i =1 i i i =1 i i i =1 i i i =1 i i

Отсюда следует, что

m m m - m

Е a1 (f (x1) - f (x)) > A+f (x)( E a1 x1 - x) + ц Е a1 (x1 - x)2 - ц( Е a1 x1 - x), 1=1 1=1 1=1 1=1

m m ,

т.е. Saf(x) -f(x) »цЕ^(x -x) . Поэтому 1=1 1=1

m m m

f(Ea1x) < Sa1 f(x)-цЕ^(x -x) =1 =1 =1

m

при x1,—,xm G[x0,xkL x1,— ,xm G[x0,xkL a1> 0, E a1 = 1 и

1=1

m

x = E ax g [x0, xk ]. Теорема доказана. =1 0 k

n

Следствие 2. Пусть D = П [a¡, b¡ ] ^ Z дискретно-выпуклое множество,

1=1

n

f : П[а,Ь +1] ^ R сильно дискретно-выпуклая функция с константой ц > 0 и =1

n

f(z) = Ef(z), то

Г(у) - Г(X) > (ДТ(X), у - X) + р||у - XI2 - р .:Ё(у1 - Xl)

при x,у еО, где x = (xl,...,xn), у = (У1,.,Уп) и г = (>1,...,гп).

п

Отметим, что в следствии 2 условие: Г : П[а,Ъ +1] ^ К сильно дискретно-

1=1

выпуклая функция с константой р> 0 эквивалентно условиям: ?:[а;,Ъ; +1] ^ К, 1 = 1,..., п, сильно дискретно-выпуклые функции с константой р > 0.

2 2

Следствие 3. Пусть О = П[а;,Ъ;] с Z дискретно-выпуклое множество,

Т: П [а, Ъ +1] ^ К сильно дискретно-выпуклая функция с константой р > 0, то

1=1 1 1

Г (у 1, у2) - Г (Xl, X2) ^Д+^Х^Ху - X) + р|| у - XI2 - р! (у, - X;) +

+ (Д?(у1, X2 ) - Д?(X!, X2))(y2 - X,) при x, у е D, где x = (xl, x2), у = (у^ у2).

Доказательство. Из теоремы 1 имеем, что

Г(у1,у2) - f(xl,x2) = Г(у1,у2) - f(Уl,X2) + f(Уl,X2) - f(xl,x2) > > - ^ + Р(У2 - X2)(У2 - X - 1) + А1f(xl,X2)(Уl - X ) +

+ р(У1 - Xl)(У1 - Xl -1) = (д+ f(Xl,X2),y - X) + р||у - XI2 - р!(У1 - Xl) +

+ (ДГ(У1, X2) - Д?(^, X, ))(у2 - X,) при X, у е О. Следствие доказано.

Отметим, что если выполняется условие следствия 3 и X ^Д2f(X,^) дискретно-выпуклая функция, то

Г(У1, У2) - ?(X, X2) > (Д+ Г(Xl, X2), у - ^ + р||у - XI2 -р 22 (У1 - X,) +

+ (Д?(У1, X2) - Д?(Xl, X2))(У2 - X2) > (Д?(Xl, X2), У - ^ + р||У - X]2 -

2

-р2(у, -xl) + ^^Д^х^Ку -xl)(y2 -x2) + р(У1 -xl)(y2 -X2)(Уl -xl -1)

1=1

при X, у е О, у2 > х.

Лемма 3. Пусть В с Zn дискретно-выпуклое множество, О с В дискретно открыто выпуклое подмножество множества В (см. [1]) и дискретная функция Г : В ^ К удовлетворяет условию

Г (у) - Г (X) > (Д+ Г (X), у - X) + р|| у - XI2 - р|:(У - ^ ) (4) при x,y е О, где р > 0, X = (X1,. , у = (у1,...,уп), то

(Д+ ОД -Д+ Г (у), X - У > 2р|| у - XI2

при X, у е О.

Доказательство. Из (4) следует, что

f (y) - f (x) > (Д+f (x), y - x) + Hly - XI2 - ^|(yJ - xj),

f (x) - f (y) >(д+ад, x - y)+4 y - xi2 - h £(* - y)

при x, y e D. Складывая эти неравенства имеем ^Д+f (x) - Д+f (y), x - y^ > 2ц||y - x||2 при x, y e D. Лемма доказана.

Теорема 3. Если B с Zn дискретно-выпуклое множество, IntB ^ 0 (см. [1]), g : СО B ^ R сильно выпуклая функция с константой 4 > 0 и дифференцируема в int co B, f : B ^ R дискретная функция и f (x) = g(x) при x e B, D с B дискретно открытое выпуклое подмножество множества B , то

n iÄf(x)(y. - x ):x- > y-, ,, ll2

f(y)-f(x)>s] ^ i +Hy-x2

i=*■ [- Д-if (x)(yi - xi) : xi < yi

при x, y e D.

Доказательство. Так как g : СО B ^ R сильно выпуклая функция с константой 4 > 0, то

g(ay + (1 - a)x) < а g(y) + (1 - а) g(x) - ца(1 - a)||x - yf при а e [0,1], x, y e СО B. Поэтому

/ч /ч л ч|| |p^g(x + a(y - x)) - g(x)

g(y) - g(x) -4(1 -a)x - y >-=

а

(g'(x), a(y - x)) +o(a) / v ч \ o(a)

= ----= (g (x),y - x) +-

aa при a e (0,1], x, y e int СО B. Отсюда следует, что

g(y) - g(x) - Hlx - yf > (g'(x), y - x) (5)

при x, y e int co B.

Пусть x e D. По формуле приращения Лагранжа существуют точки +1] и "nefx; -1, xj такие, что

g(X1,.,XI-1,XI + 1,XI+1,.,Xn) - g(x) = gx.

g(x^ XI-1,XI - 1, XI +1, —, Xn) - g(x) = -gx, (X1, —, XI-1, Л, XI +1, Xn).

Так как g : co B ^ R сильно выпуклая функция с константой 4 > 0, то ^^ gxi(x1,...,Xi_1,£,Xi+1,...,Xn) неубывающая функция в [х^х^]. Поэтому

g(xp . ., XI-P XI + XI+l, — , xn) - g(x) > gx, (X1, . . ^ Х-^ XI, XI+l, —, xn),

g(xl, —, XI-1, XI - 1, XI +1, —, Xn ) - g(x) > -gx_ . • ^ XI-1, XI, XI+1, —, Xn )

при x e D, т.е.

Д+f« = f(X1,—,Xi-1,Xi + 1,Xi+1,—,xn) - f(x) > gx (X1,—,Xi-1,Xi,Xi+1,—,xn),

Ä_f (x) = f (x1; ..., Xi_!, x -1, xi+1,..., xn ) - f (x) > -gx (x1; ..., x1_1, , x1+1,..., xn )

при x G D . Тогда имеем

, , \ n n I Ä+ f(x)(y. _x) : x >y-,

g'(x),y _ x =Sgxi(x)(Yi _ xi) >S\ '_ ^ 1

1=! 1 i=1l_Äif(x)(yi _ xi):xi < yi

при x, y G D . Поэтому из (5) имеем, что

n I Ä+ f(x)(y _x):x > y, ,, ll2

f(y)_f(x)>sI '(/(у1 ^ 1 ;i, +Hy_x2

1=4_Äif(x)(yi _ xi):xi < yi при x, y G D. Теорема доказана.

Пусть B с Zn дискретное множество, f:B ^ R и x G B. Вектор a G Rn называется субградиентом дискретной функции f (x) в x, если

f(x)_f(x) >(a,x_x) при всех x G B . Множество всех субградиентов f в x обозначим через df(x). Если df(x) = {p}, т.е. субградиент f в x единствен, то f называется дифференцируемой в точке x, а вектор p обозначается через f '(x) . Из леммы 8 [1] следует следующее следствие.

Следствие 4. Если B дискретно-выпуклое множество, то дискретно-выпуклая функция f : B ^ R дифференцируема в точке x G Int B в том и только в том случае, когда функция convf : СО B ^ R дифференцируема в точке x.

Теорема 4. Если B с Zn дискретно-выпуклое множество, f : Zn ^ R+00 и df (x) ^ 0 при x G B, то f дискретно-выпуклая функция на B. Если D дискретно-открытое подмножество в B, f : B ^ R дискретно-выпуклая функция и B ограниченное множество, то df(x) непустое замкнутое выпуклое ограниченное

подмножество X* при x G D.

Доказательство. Докажем первую часть леммы. Пусть df (x) ^ 0 при x G B.

Покажем, что f дискретно-выпуклая функция на B. Возьмем произвольные

k k x1,x2,.,xk G B и a; > 0, Sa = 1 , где k G N . Пусть xa = Sax G B .

i=1 i=1

Тогда по условию df(xa) ^ 0. Если p Gdf (xa), то

f(x)_f(xa) > (P,x _xa) при i = 1,2,...,k . Умножив эти неравенства на a и, сложив, имеем

Saif(xi) _ f(xa ) >(P, xa x J = 0 i=1

k k

при всех x!,x2,...,xk g B, ai > 0, Sai = 1 и xa = Saixi gB, где k g N .

i=1 i=1

Отсюда имеем, что f дискретно-выпуклая функция на B.

Докажем вторую часть леммы. Так как f дискретно-выпуклая функция на B, то

из леммы 4 [1] имеем, что f(x) = (convf)(x) при x G B . Так как B ограниченное

множество, то из определения (convf)(x) следует, что (convf)(x) ограниченная

выпуклая функция на coB. Тогда из следствия 1.2.3 (5, с. 22) имеем, что

17

СОПуГ : СОВ ^ К непрерывная функция. Поэтому по лемме 8[1] из теоремы 4.2 (4, с. 67) следует, что сГ(х) непустое ограниченное подмножество X* при х е О. Из определения сГ(х) следует, что С(х) замкнутое выпуклое подмножество X*

при х е О. Теорема доказана.

Из леммы 1 и теоремы 4 следует следующее следствие.

Следствие 5. Если В с Zn дискретно-выпуклое множество, Г : Zn ^ К+оэ и С;(х) ^ 0 при х е В, где ;(х) = Г(х) — 0||х|| , то Г сильно дискретно-выпуклая функция с постоянной 0 на В. Если О дискретно-открытое подмножество в В, Г: В ^ К сильно дискретно-выпуклая функция с постоянной 0 на В и В ограниченное множество, то С;(х) непустое замкнутое выпуклое ограниченное

подмножество X* при х е О.

Если В с Zn дискретное множество, Г:В ^Я дискретная функция, (X,—,х;_1,х; + 2,х1+1,—,хп), (х,—,х;_!,х +1,х;+1,—,хп) е В при 1 < 1 < п, то положим Д {(х) = {(х, — ■, х-!, X + 2, х+1— 2Г (х,—, Х-1, X +1, х+1, —, X) + Г (х) при 1 < 1 < п .

Теорема 5. Если В с Zn дискретно-выпуклое множество, Г : В ^ Я сильно дискретно-выпуклая функция с константой р > 0, О с В дискретно-выпуклое подмножество множества В и из (хх,.. .,х;_1,х,х; 1,.. .,х ) е О следует, что (X1, —, х—^ Х1 + 2, X1+1, —, Хп ), (х^ —, х1—1, X + 1, X1+1, —, Хп ) е В при 1 < 1 < п , то ДГ(х) > 2р при х = (х,—,х;_!,Х,х;+1,— ,Х) е О. Доказательство. Если (х^—,Х;_1,Х,Х;+1,—,хп) е О, то

1(х1, — ,х—1,х1 + 2,xi+l, —,хп) + 1(x1, —,х1—l,xi,xi+l, —,хп) = (х^ —,х1—1,х, + и^ — ,хп).

Так как Г : В ^ К сильно дискретная выпуклая функция, то

1г(х1,— ,х1—1,х1 + 2,х1+1,—,ХП) + 1г(х) — Р> Г(х1,— ,х1—1,х1 + 1,Х1+1, —,ХП) . Поэтому

ДГ (х) = Г (х, —, X—1, Х1 + 2, х+1, —, Хп) — Г (Х1, —, X—1, X +1, х+1, —, Хп) + Г (х) > 2р при х е О. Теорема доказана.

Следствие 6. Если В с Z дискретно-выпуклый отрезок, Г : В ^ К сильно дискретно-выпуклая функция с константой р > 0, О с В дискретно-выпуклое подмножество множества В и из х е О следует, что х + 2, х + 1е В , то Д+ Г(х) > 2р при х е О. Обратно, если Д+ Г(х) > 2р при х е О, то

Г(х +1) < 1Г(х + 2) + -^(х) — р при х е О.

Доказательство. Справедивость первой части следствия 6 следует из теоремы 5. Докажем вторую часть следствия 6. Так как Д+Г(х) > 2р при х е О, то

f (x + 2) - 2f(x + 1) + f(x) > 2ц при x e D. Отсюда имеем, что

f(x + 1) < 1f(x+2) + 1f(x)-ц пРи x e D . Следствие доказано. 2 2

3. О минимизации дискретных липшицевых функций

Пусть B ^ Zn ограниченное дискретное множество, т.е. существует число r > 0 такое, что ||x|| = <Jx2 + ... x2 < r при x e B . Если f : B ^ R дискретная функция, то |f (y) - f (x)| < max|f (u) - f (u)| < max|f (u) - f (u)|||y - x|| при x, y e B.

Отсюда следует, что в ограниченном дискретном множестве B дискретная функция f: B ^ R удовлетворяет условию Липшица. Поэтому дискретная функция

f : Zn ^ R удовлетворяет локальному условию Липшица.

Пусть B ^ Zn дискретное множество и дискретная функция f : B ^ R удовлетворяет условию Липшица с постоянной L. Тогда по лемме Макшейна (5, с. 297) функцию f :B ^ R можно продолжить до L - липшицева отображения

g из Rn в R и g(x) = sup {f (y) - L|x - y||: y e B}. Поэтому для изучения

свойства липшицевых дискретных функций f : B ^ R можно применить теорию липшицевых функций.

Если функция f удовлетворяет условию Липшица в окрестности точки x , то положим (6, с. 32)

f0(x;y) = Ц f(Z + ty) - f(z) , 5cf(x) = {p e Rn:f0(x;y) >(p,x) при

z^x, tФ0 t

x e Rn}.

Пусть C ^ Rn множество. Обозначим dc (x) = inf{||x - y11: y e C} при x e Rn. Функция dc(x) удовлетворяет условию Липшица с постоянной 1 в Rn ([6], с.54). Если x e C, то положим (6, с. 54)

d°(x;y) = to, dc(z + ty) -dc(z)

z^x

t^ö t

при y e Rn; Tc(x) = {y e Rn:dC(x;y) = 0}, Nc(x) = {p e Rn :(p,y) < 0 приy e Tc(x)}.

Ясно, что Tc(x) = {y e Zn:d°(x;y) = 0} = {y e Zn : y e Tc(x)} дискретно

выпуклый конус. Конус Tc(x) назовем дискретно касательным конусом к C в точке x .

Из предложения 2.4.3 (6, с. 55) следует следующее следствие. Следствие 7. Если C ^ Zn непустое дискретное множество, S ^ Rn, С ^ S, f : S ^ R удовлетворяет условию Липшица с постоянной L0 на множестве S, функция f достигает минимума на дискретном множестве C в точке x e C и x e intS, то 0 eö(f(-) + L^(-))(x) cSf(x) + Lo^c(x) при L > L0.

Следствие 8. Если C ^ Zn непустое дискретное множество, f: C ^ R удовлетворяет условию Липшица с постоянной L0 на множестве C, функция f

достигает минимума на дискретном множестве C в точке x £ C, то 0 e 3c(g(0 + Ldc(-))(x) при L > L0, где g(x) = sup{f (y) - L||x - y||}

yeC

Отметим, что если B ограниченное дискретно-выпуклое множество, f :B ^ R дискретно-выпуклая функция, то множество решений x e B задачи f (x) = inf{f (x): x e B} дискретно-выпуклое множество.

Список литературы

1. Садыгов И.М. Дискретно-выпуклая функция и ее приложение //Austria Science, 2018. № 17. С. 3-8.

2. Сухарев А.Г., Тимохов А.Ф., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986. 326 с.

3. Лехтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985. 335 с.

4. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.:Мир, 1988. 264 с.

5. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

6. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. 280 с.