CC BY
36
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 23, № 124
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-824-837 УДК 519.6
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПОЧТИ ВЫПУКЛЫХ ФУНКЦИЙ И МНОЖЕСТВ
^ P.A. Хачатрян
Ереванский государственный университет 0025, Армения, г. Ереван, ул. Алека Манукяна, 1 Ei-mail: khachatryan.raiik@gmail.com
Аннотация. Установлена взаимносвязь условий почти выпуклости и проксимальной гладкости (называемой также нижним С2 свойством) функций. Для компактных множеств доказано, что условия почти выпуклости и проксимальной гладкости эквивалентны. Построены конусы касательных направлений в смысле Булигана для множеств, которые задаются почти выпуклыми функциями.
Ключевые слова: многозначное отображение; почти выпуклое множество; звездное множество; проксимально гладкое множество; нижнее С2 свойство; касательный конус
1. Почти выпуклость и проксимальная гладкость множеств
Пусть М — подмножество конечномерного евклидова пространства Rn. В дальнейшем, через intM, М, дМ будем обозначать соответственно внутренность, замыкание и границу множества М < Rn. Через }х, у\ будем обозначать скалярное произведение элементов хну пространства Rn, через Вг(х) — замкнутый шар с центром в х радиуса г.
Положим
М°}х / М \\Хх + (1 А)у/М, 9у / М, 0А / [0,1](.
Подмножество М° < М называется ядром звездности множества М. Если М° {, то множество М называется звездным. Звездное множество М называется звездным телом, если int М° ¥= {.
Положим
d(x7 М) = inf х у , у м
7ГМ(х) = }у / М\\ X у =d(x,M)(.
B.B. Остапенко в работе [1] ввел понятие 0-выпуклых множеств.
Определение 1- [1] Множество М называется почти выпуклым с константой б1 С 0, если для любых таких А*, г / I {I — конечное множество индексов), что Хг / М, А,; С О, ПI I ^г = 1) выполняется включение:
I I А(Жг / М + в тах х. хл 2В1(0).
^ ч I
г I
Из этого определения непосредственно следует, что если множество М почти выпукло с константой 9, то почти выпуклым с той же константой будет и замыкание М множества М.
Отметим, что понятие почти выпуклости служит обобщением понятия выпуклости.
Определение 2. [2] Множество М < Яп называется проксимально гладким с константой г > 0, если функция расстояния ¿(х. М) непрерывно дифференцируема на множестве
ЩМ, г) = }х / Яп || 0 < ¿{х, М) < г(.
Определение 3. [3] Будем говорить, что множество М удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости с константой г, если из того, что и / 11{М1г) и х / лм (и), следует равенство
т
(I X --(и ж), МГ = г.
и X
Свойством почти выпуклых множеств посвящены многочисленные исследования (см., например, работы [3, 4], монографии [5,6]). М.В. Балашов и Г.Е. Иванов доказали (см. [3, теорема 2.4]), что если М < Яп — замкнутое множество, то опорное условие слабой выпуклости с константой г эквивалентно условию проксимальной гладкости с той же константой. В.В. Остапенко в [1, теорема 2] показал, что если множество М < Л" компактно, то опорное условие слабой выпуклости эквивалентно условию почти выпуклости с точностью до константы. В этой же работе в теореме 3 доказано, что если М < К" замкнутое почти выпуклое множество с костантой то на множестве М + еВ1(0), £ > 1/(160), отображение 7Гм однозначно. Позже Ф. Кларком, Р. Стерном и П. Воленским (см. [8, теорема 4.11]) доказано, что если множество М замкнуто, то условие проксимальной гладкости с константой Я эквивалентно тому, что оператор 7Гм однозначно на множестве и(М,г).
Таким образом, учитывая вышеуказанные соображения, окончательно мы можем сформулировать следующий результат.
Теорема 1. Пусть М компактное подмножество. Тогда следующие усло-
вия эквивалентны с точности до константы.
1. М проксимально гладко;
2. М почти выпукло;
3. М удовлетворяет опорному условию слабой выпуклости.
2. Непрерывные и липшицевые свойства почти выпуклых функций
Определение 4. [7] Пусть множество М < Rn выпуклое. Функция f(x) называется слабо почти выпуклой на М с константой если для любых векторов Xi / М и чисел Aj С 0, f~) i 1 Aj = 1, где I — конечное множество индексов, выполняется неравенство
/ I J AjxJ > I J \if(xi) + в max xt Xj 2.
i,3 I
г I г I
Легко заметить, что если / почти выпукла, то ее падграфик epi(f) С }(а,х) / Rn+l || а с fix), х / М{ является почти выпуклым множеством.
Определение 5. [7] Пусть множество М < Rn выпуклое. Функция f(x) называется сильно почти выпуклой на М с константой сели для любых векторов Xi / М и чисел Aj, г / I, P|i j A* = 1, существует вектор у / М такой, что
У 1 I AjXj >#max xt xj 2, f(y) > I I Aif{xi).
i.j I
ii i I
В [7, лемма 1] показано, что если функция / сильно выпукла и липшицева, то она слабо выпукла.
Предложение 1. Пусть f — сильно почти выпуклая функция с константой в. Тогда множество М = }х / Rn || f(x) > 0{ почти выпукло с той же константой.
Доказательство. Пусть х{ / М, Aj С 0. р] . j Aj = 1. Тогда существует вектор у / Rn такой, что
т > и мы > о.
i I
Это означает, что у / М и, поэтому
4J AjXj, А/) > в max xi х3 2,
г I hj 1
то есть множество М почти выпукло с константой в.
Теорема 2. Пусть f слабо почти выпукла и х^ / intdoin(f). Тогда существует окрестность U точки такая, что функция / удовлетворяет условию Гельдера с константой и)2/3 на этой окрестности, то есть существует постоянная С > 0 такая, что
11ГЫ /Ы||>С X! Хй", 03* ,X2/U.
Доказательство. Сначала предположим, что = 0 и покажем непрерывность функции / в этой точке. Определим множество
P = }x/Rn || r>Xi>r,i = l,2,...,n(, г > 0.
Покажем, что на множестве Р функция / ограничена. Пусть х / Р. Тогда этот вектор можно представить как выпуклую комбинацию вершин гиперкуба Р, то есть х = Q Ajх1, Aj С 0, Р| ™ j Aj = 1, где хг, г = 1,2,... т — вершины гиперкуба Р. По определению почти выпуклой функции имеем
m m
/(*)>IJ Ajf(xi) + 9 max xt Xj 2>M Aj max f(xl) + в max Xi Xj 2>a-\-A9r2n,
ij [1 :?7i] i [i™] i,j [l:m]
где а = max,; [1:m] f(x'). Отсюда следует, что функция / ограничена сверху на гиперкубе Р.
Произвольному £ / (0,1) поставим в соответствие окрестность нуля вида UE = е2Р. Для любой точки х / UE, учитывая условие /(0) = 0, получим
f(x) = + (1 е/(1 £)f(0)+og О? >
> efj Аввпг2 = £ а + 4впг2 [;
0 -'<°> =')if; + TTi I[Eä +
Отсюда
0 > /(ж) + га + 4(1 + £)2е6пг2. Таким образом доказано, что
||/(х) О + 4(1+£)2710Г2[.
Следовательно, функция / непрерывна в точке х^ = 0. Рассмотрим общий случай. Определим функцию
<p(x)QHx± + x) f(xl).
Очевидно, что ^(0) = 0. Покажем, что функция (р почти выпукла. Действительно, имеем
<Р U АА [ = / U XiXi + хI [ /И = / U XiXi + g W [ /И =
г I г I г I г I
= f U + f(j+) > U + /И+
i I г I
Cxi + (xj + х^) f2 = I I Äfipixi) + #max x3) f2.
{ { Y, lJ'{ {
+0 max
ij i
Таким образом, функция tp почти выпукла и у(О) = 0. Поэтому она непрерывна в нуле, что означает непрерывность функции / в точке х^.
Так как функция / непрерывна в точке х^, то существует окрестность U = х^ + 28В\(0) ( 0 < 5 < 1) этой точки и число ß такие, что ||f (х) || > ß, 0х / U. Для разных хьх2 из множества х^ + ¿ß^O) положим х^ = х2 + [8 / а){х2 х^, где а = х2 Xi " ( v > 1), и заметим, что х3 / U. Имеет место соотношение
8 а
х2 = —н--
о + а а + о поэтому из почти выпуклости / получаем
/Ы > + -Ь/Ы + ö) 1 + Х2 X! 2.
о + а а + о / а
Тогда
Дх2) f(Xl) > + + Х2 X! 2 >
Яти / а
Р + + Х2 Ха 2 =
о /а
= X! XJ^ + ^X, X! 2
Вследствие неравенства и < 2/3 выражение в скобках ограничено некоторым числом С > 0.
Так как в полученных соотношениях и х2 можно поменять местами, то заключаем, что функция / гельдерева в окрестности точки хк
Изучим теперь липшицево свойство почти выпуклых функций. Ниже будет доказано, что почти выпуклые функции липшицевы, если их иадграфики являются звездными множествами.
Пусть а : Rn Е 2Rm — многозначное отображение. Обозначим
graph(a)}(x,y) / ||»/а(х)(.
Определим отображение а0, графиком которого является множество (graph(a))°.
Предложение 2. Пусть а: Rn Е 2Rm многозначное отображение со звездным и замкнутым графиком их о / int denn (а0). Тогда существует число 7 > 0 такое, что
d(y,a(x)) > ^ 1{У)) 1+ У Уо I 0х/37(хо), Фу / 1т(а). 7
Доказательство. Пусть хо / int dum (а0), уо / а°(хо). Тогда из [8, предложение 3.3.8] следует, что
хо / int (а0) 1(К В\_(уо)), где Kdom(a°)
Значит, существует такое 7 > 0, что 527(ж0) < (а0) 1 (К(Уо))- Пусть у / 1т{а)
их/ Ву(х0). Если у / а(х), то с1(у,а(х)) = 0. Если у / а(ж), то для любого
£ > 0 существует такое г / а 1(у), что х г > с1(х,а + Так как Ву(х) < (а0) ЦК^Ш), то
х
X
Положим
-7/(а0) 1 К \ ЗДоЯ (1)
А = Х
х z + 7
Ясно, что А / (0,1). Включение (1) можно записать следующим образом:
(1 Х)(х z) /А(а0) 1 К[ Вг(уо)[ Ах. (2)
Поскольку z / а 1 (у) и график отображения а 1 является звездным множеством, то из (2) следует, что существует у\ / К ^Б1(у0), такое, что
х / А (a0) V) + (1 \у) < а \ХУ1 + (1 А)у).
Следовательно, ухХуг + (1 А)у / а(х). Кроме того, так как у\ / Bi(y0)1 то
Ух у = X yi у > А( ух уо + уо у ) > А(1 + у у0 ).
Далее,
д х z > d(x7a 1(у)) + £ 7 + х z ~ 7
Таким образом, для всех х / B-f(x0) выполнено
d(y,a(x))> -—- 1 + у Уо [.
Переходя к пределу при £ Е 0, получим
d(y,a(x))>d(X'a 1(У)) 1 + У Уо [, х /В7(х0).
Следствие 1. Пусть /: R" (ЕЙ - непрерывная функция, надграфиком которой является звездное множество. Пусть а — многозначное отображение, графиком которого является надграфик функции /, то есть
graph(a) = epi(f) С }(«,х) / iT+1 || о С f(x){.
Тогда функция f локально липшицева на int dom (a°).
Доказательство. Применим предыдущее утверждение к отображению F, которое является обратным к отображению а(х) = f(x) + R+. Выберем xq / dom(F°). В силу непрерывности f(x) в ж о существует число 71 > 7 такое, что \[f(x) f(xo) || > 71
для всех х / В10(х0). Пусть xi.x2 / В-ю(хо) и f(xi) > /U'2). Применим предложение 2, которое утверждает, что если ,ть х2 / В-ю (х0) и f(x2) / domFто
ЩХ1) /(X2)||=/(xi) /Ы= inf |(\ /{x2)||=d{F
A F_1(aci)
Имея в виду этот результат и учитывая, что слабо почти выпуклая функция непрерывна в любой точке х / intdorn(f) (она гельдерева в окрестности этой точки, см. теорему 2), мы можем сформулировать следующий результат.
Теорема 3. Пусть f(x) — почти выпуклая функция, надграфиком которой является звездное множество. Далее, пусть fi < intdom(a°) — компактное подмножество. Тогда функция f липшицева на £1.
3. Нижнее С2 свойство слабо почти выпуклых функций
Имеет место следующий результат [2, теорема 5.1 и теорема 5.2].
Предложение 3. Пусть функция f(x) липшицева на открытом выпуклом и ограниченном подмножестве Р < Rn. Тогда следующие условия эквивалентны.
1. Функция f обладает нижним а С2 свойством [2}, то есть
f(x) = sup} а х 2 + )6(s),i| +c(s)<, 0ж / P.
s S
где a — некоторое положительное число, S — компакт, b(s),c(s) — непрерывные функции, определенные на S.
2. Для х / Р, х^ / dcf(x) имеет место неравенство
/(у) С а у х2 + )х\у х\ +/(х), 0у / Р,
здесь dcf(x) - субдифференциал функции f в точке х в смысле Кларка (см. [7]).
3. Множество epi(f) проксимально гладко с константой а.
Теорема 4. Пусть f — слабо почти выпуклая функция, надграфиком которой является звездное множество и Р — открытое выпуклое ограниченное подмножество такое, что Р —>int, dom(a°). Тогда
1. Функция f обладает нижним
С2 свойством на г :
2. Функция f регулярна, то есть существует производная по направлениям и имеет место равенство
f%x,h) = \imf{X + ah) f{x) = max x / P, h / Rn.
x ' шо a x* dcf{x)
Более того, если f локально липшицева на открытом выпуклом подмножестве Р и множество epi(f) проксимально гладко, то f слабо почти выпукла на Р.
Доказательство. Так как / почти выпуклая функция, то epi(f) = а) || а С f(x), х / Р{ — почти выпуклое множество. Почти выпуклым также будет замыкание этого множества epi(/) = }(а,ж) || а С /(ж), х / Р{. Следовательно, согласно вышссказаному существует некоторая окрестность этого множества такая, что любая точка из этой окрестности имеет единственную проекцию на epi(/). Значит, множество epi(f) проксимально гладко. Так как имеет место очевидное равенство d(х, М) = d(x. Л-/), то проксимально гладким будет и множество epi(/). Теперь первое и второе утверждение теоремы непосредственно следует из предложения 2.
Докажем вторую часть теоремы. Согласно предложению 3 функция / имеет следующее представление:
f(x) = sup } а х 2 + + ф)1 , 0х /Р.
s S
Покажем, что она почти выпукла. Сначала покажем, что для каждого s / S почти выпуклым будет следующая функция:
tps{x) = а х 2 +)i»(s),x| +c(s).
Пусть xl / P, Aj С 0, ~x = P| i j AjX!, r = maxjj j хг xJ , По формуле Тейлора
<р.(х*) = <ps(x) + )ip%x),xl х\ + х),х1 х\.
Отсюда, так как
IHJ х,х{ ж|||><тг2,
i i z
U Кфз(х*) = ¥*(*) + >¥>f^),|J А^ х\ +U лф^ж)^ х),х1 х\ с ip„(x) вг2.
г I г I г I
Значит,
sup^(x) > I J Aj sup ips(.т!) + вг2,
s S ,T s S
г I
то есть
m >U
i I
4. Касательный конус для множества М = }х / Rn | д(х) = 0{, где д — слабо почти выпуклая функция, и некоторые экстремальные свойства
Предложение 4. Пусть д(х) - липшицева и слабо почти выпуклая функция на Rn и М Q }х / Р" || д(х) = 0(. Предположим также, что ж о / М и 0 / дсд{хо). Для каждого х^ / ддс{х0) положим
Км(х0,х±) С }х / Р" || д%х0,х) > 0, }х\х\ с 0(.
Тогда существует непрерывное отображение г(х) = о(Д), определенное в окрестности нуля, такое, что жо + х + r(x) / М для достаточно малых х / А д/(а'о, аг*-).
Доказательство. Согласно второму утверждению теоремы 4 липшицсва функция / имеет обычную производную по направлениям. Нетрудно заметить, что для некоторой функции г (ж) = о(х) выполнено
д{хо + ж) > д(ха) + х) + г(х).
Положим р(Х) С эир}г(ж) : х > А{. Ясно, что функция р(А) монотонно не убывает, р(А) = о(А) и г(х) > р( х ). Так как по предположению 0 / дсд(х0), существует вектор ги такой, что д\хо, ад) < 0. Поэтому, для ж / Км{х7 > 0, получаем
д(хо + х + 7 х уз) > д(хо) + д%х0,х + 7 ж ш)+
р( х +7 х IV ) > д%хо, ж)+7 ж
р(х( 1+7 » ))= * + +
Выберем число > 0 достаточно малым для того, чтобы при ж > <5+ выделенное в квадратных скобках выражение было меньше, чем 1/2'уд\х0,ш). Тогда
д(х0 + ж+ 7жги)>1 /2^д%х0, ии) ж <0.
Так как функция д почти выпукла и липшицева, то согласно второму утверждению предложения 1 имеем
д{ж0 + х 7 ж ги) д(х0) С ж 7 ж ги| а ^ж 7 ж ш =
= ж| + 7 ж т\ сг( х 2 2)х,7 ж ги| + ^ х т 2) =
= х ]7)2^, сг( х 2}ж,7г1;| 7 ж ги 2){.
Так как и)\ > 0, то выберем 81 > 0 настолько малым, что если ж > 8,
то выражение в квадратных скобках больше, чем положительное число 1 /27) ги |. Положим ¿7 = штШ, 8 { и при фиксированном ж, ж >5 рассмотрим функцию
С д(хо + ж + и х т).
Имеем 9(7) < 0, д( 7) > 0. Так как функция д непрерывна, то д тоже является непрерывной функцией. Поскольку функция q на отрезке [ 7,7] меняет знак, то в некоторой точке ш(ж) / [ 7,7] она обращается в нуль. Итак, для некоторого 7 > 0 существует > 0 такое, что
д{ж0 + хш(х)ю) = 0, |р(ж)|| >7, х >5~.
Заметим также, что
^ д(ш + Д) у ] д(хо + ж + (ш + Д) ж ю) д(ж0 + ж + ш х и>)
А/ 0 Д Д/0.
д
= Ж (Джо + ж + и X II], ш).
Поэтому в силу полнепрерывности сверху функции д%х, ш) по х в точке х0 и согласно условию д%х0, т) < О при малых х имеем
Цш„(„ + Д) ,и д/о Д
Отсюда следует, что функция монотонно убывает и, следовательно, она имеет на отрезке единственный корень. Поэтому функция для достаточно малых ~х
определяется однозначно. Из | > 7 и х > 57 следует, что и;(ж) ¡Е 0 при х Е 0.
Покажем, что функция непрерывна. Допустим противное. Пусть существуют две
последовательности }ш{ 1 такие, что хЕ жо, у1 Е хо, но
Е ш, ^(ш) С ш, и.
Из этих соотношений и из непрерывности функции / следует, что
д(х0 + го) = 0, д(х0 + + ш Щ ю) = 0, |р||>7, |И1>7-
Однако, ш = и в силу однозначности функции ш(ж).
Таким образом, показано, что в малой окрестности нуля и при ж / Км(хо, ж^) функция и>{х) непрерывна, ш(ж) € 0,
д(хо + х + ш(х) х и>) = 0.
Так как конус замкнут и 0 / имеем тгкм(ю^*) 0*0 ^ х - Положим
ф(х) = х + х т. Очевидно, что функция ф непрерывна в некоторой
окрестности II нуля и такова, что
д(хо + Ф(ж)) = 0, ф(х) х = о(ж), 0ж / Км(х0,х1)
и.
С помощью предложения 4 можно описывать конус Булигаиа для множеств вида М = }х / В.п ||д(х) = 0(, где д — липшицева и почти выпуклая функция. Напомним, что касательный конус Булигана для множества М в точке х / М обозначается Тм(х) и определяется следующим образом: х / Тм(х) в том и только в том случае, если существует последовательности строго положительных чисел А^ е 0 и элементов зЦ Е х, таких, что х + А^ / М.
1'1меет место следующий результат.
Теорема 5. Пусть д(х) липшицева и слабо почти выпуклая функция на Яп и М С }х / Кп || р(ж) = 0{. Предположим также, что х0 / М и 0 / дсд(х0). Тогда
Тм(х0) = }х/ Нп ||<фо,ж)=0{.
Доказательство. Пусть жо / Тм(хо). Это означает, что существует последовательности строго положительных чисел А^ Е 0 и элементов Щ Е Жо, таких, что д(х0 + /\jXjj = 0. Следовательно,
0 = д(хо + \i~Xi) д(х0) = д(х0 + А^-Ь ж^)) д{х0) =
= д(х0 + AjXo) д(х0) + д(х0 + A¿x0 + Хг(х{ ж0)) д(х0 + A¿x0) =
= К] 9%хо, х) + + )аН-, Щ x¿\ {, Л
где х1 / dcg(Qt í / [ж0,а-0 + Отсюда получаем Тм(х0) < }х/д\х0,х) = 0{.
Покажем обратное включение. Очевидно, выполнено равенство
= 0{ = f] Км(х0,х^).
х* всд{хо)
Следовательно, если дЧ.Хо, х) = 0. то для некоторого / дсд(х0) имеет место включение х / Km{x0¡x^). Поэтому согласно предложению 4 существует функция <f(\) = о (Л) такая, что х0 + Аж + А) / М при малых А > 0, то есть х / Tm(xq). Имеет место следующий очевидный факт.
Предложение 5. Пусть f — липшицева и слабо почти выпуклая функция и 0 / dcf(xо). Тогда существует число в С 0 такое, что xq — точка минимума функции f(y) + в у х0 2 на Rn.
Доказательство. Действительно, по предложению 2 существует число в С 0 такое, что для любого х^ / дс}(хо) имеет место неравенство
f{y) С 9 у х0 2 + }xl,y х0\ +f(x0).
Из условия 0 / dcf(x0) следует f(y) +в у х0 2 С f(x0), тоесть х0 —точка минимума f(y) + 9 у х0 2 на Rn.
Предложение 6. Пусть f — липшицева и слабо почти выпуклая функция на ñ™, М0 Q }х / Rn || f(x) = 0(. Пусть х0 / Ма — точка минимума дифференцируемой и слабо выпуклой функции g на М. Если dim con дс f (х0) С 2, то существует число д С 0 такое, что х0 — точка минимулш функции g(x) + d х х0 2 на множестве М С }f(x) / Rn || f{x) > 0{.
Доказательство. По предположению 4 для каждого х^ / dcf(x0) выпуклый конус
К(х0,з*) = }х / R" \\f%xo,x)>0, )х\х\ с0{
является конусом касательных направлений для М в точке х0. Поэтому согласно необходимому условию экстремума имеем
g%xQ) / Kl(x0,xl) = (condef(x0) conxl), / dcf(x0). Согласно [10, теорема 4]
g%xo) / (condcf(x0) conx4) = condcf(x0),
x* 9¿f(xo)
то есть 0 / д%хо) + condcf(xo). Отсюда, существует число А С 0 такое, что 0 / g%xQ) + Xdcf(x0).
Поскольку / — регулярная функция, a g непрерывно дифференцируема, имеем
0 / дс(д + А/) (ж0). Поэтому согласно предположению 4 существуют числа , в2 С О такие, что х0 — точка минимума функции
д{х) + Af{x) + 01А х хо 2 + в2 х хо 2 = д(х) + Af(x) + ê х хо 2
на Rn\ где $ = ÖjA + 02, то есть
д(х0) + Af(x0) + ж0 2 > д(х) + Af(x) + ê х х0 2.
Теперь если f(x) > 0, то > д{х) + d х 2, то есть ж0 — точка минимума
функции д(х) + it X х0 2 на множестве M .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Остапенко В. В. Об одном условии почти выпуклости // Украинский математический журнал. 1983. Т. 35. № 2. С. 169-172.
2. Clarke F.H., Stern R.J., Wolenski P.R. Proximal Smoothness and the Lower — C2 Property // Journal of Convex Analysis. 1995. Vol. 2. № 1/2. P. 117-144.
3. Балашов M.В., Иванов Г.Е. Слабо выпуклые и проксимально гладкие множества в банаховых пространствах // Известия РАН. Серия математическая. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 23-66.
4. Амиргалиева С.Н. Условие телесности — обобщенные свойства выпуклых множеств // Вестник Казахского национального технического университета им. К.И. Сатпаева. 2006. № 2. С 108-115.
5. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985.
6. Иванов Г.Е. Слабо выпуклые множества и их свойства // Математические заметки. 2006. Т. 79. Вып. 1. С. 60-86.
7. Остапенко В.В., Остапенко Е.В., Амиргалиева С.Н. Приближенные методы решения дифференциальных игр со случайной помехой // Методы оптимизацп. оптимально управлшня
1 теорш irop. 2005. № 4. С. 65-74.
8. Обен Ж.П., Экланд И. Прикладной нелинейный анализ. М.: Мир, 1988.
9. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988.
10. Пшеничный Б.Н., Хачатрян P.A. О необходимых условиях экстремума для негладких функций // Известия Академии наук Армянской ССР. Серия: Математика. 1983. Т. 18. № 4. С. 318-325.
Поступила в редакцию 19 апреля 2018 г. Прошла рецензирование 22 мая 2018 г. Принята в печать 26 июня 2018 г.
Хачатрян Рафик Агасиевич, Ереванский государственный университет, г. Ереван, Армения. доктор физико-математических наук, доцент кафедры численного анализа и математического моделирования, e-mail: khachatryan.rafik@gmail.com
Для цитирования: Хачатрян P.A. О некоторых свойствах почти выпуклых функций и множеств // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 824-837. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-824-837
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-824-837
ON SOME PROPERTIES OF QUASI CONVEX FUNCTIONS AND SETS
R. A. Khachatryan
Yerevan State University 1 Alec Manukyan St., Yerevan 0025, Armenia E-mail: khachatryan.rafik@gmail.com
Abstract. The connection between quasi convexity and proximal smoothness (also known as low C2 property) of functions is verified. For compact sets, it is proved that the properties of quasi convexity and proximal smoothness are equivalent. The Bouligand cones of tangent directions for the sets that are defined by convex functions are constructed.
Keywords: multi-valued map; quasi convex set; star set; proximal smooth set; low C2 property; tangent cone
REFERENCES
1. Ostapenko V.V. Ob odnom uslovii pochti vypuklosti [About one condition of almost convexity]. Ukrainskiy matematicheskiy zhurnal - Ukrainian Mathematical Journal, 1983, vol. 35, no. 2, pp. 169-172. (In Russian).
2. Clarke F.H., Stern R.J., Wolenski P.R. Proximal Smoothness and the Lower - C2 Property. Journal of Convex Analysis, 1995, vol. 2, no. 1/2, pp. 117-144.
3. Balashov M.V., Ivanov G.E. Slabo vypuklyye i proksimal'no gladkiye mnozhestva v bana-khovykh prostranstvakh [Weakly convex and proximally smooth sets in Banach spaces]. Izvestiya Rossiyskoy akademii nauk. Seriya matematicheskaya - Izvestiya: Mathematics, 2009, vol. 73, no. 3, pp. 23-66. (In Russian).
4. Amirgaliyeva S.N. Usloviye telesnosti - obobshchennyye svoystva vypuklykh mnozhestv [The condition of corporeality - generic properties of convex sets]. Vestnik Kazakhskogo natsional'nogo tekhnicheskogo universiteta im. K.I. Satpayeva [Bulletin of Kazakh National Technical University named after K.I. Satpayev], 2006, no. 2, pp. 108-115. (In Russian).
5. Leykhtveys K. Vypuklyye mnozhestva [Convex Set]. Moscow, Nauka Publ., 1985. (In Russian).
6. Ivanov G.E. Slabo vypuklyye mnozhestva i ikh svoystva [Weakly convex sets and their properties]. Matematicheskie zametki - Mathematical Notes, 2006, vol. 79, no. 1, pp. 60-86. (In Russian).
7. Ostapenko V.V., Ostapenko E.V., Amirgaliyeva S.N. Priblizhennyye metody resheniya dif-ferentsial'nykh igr so sluchaynoy pomekhoy [Approximate methods for solving differential games with random interference]. Metody optimizatsii, optimal'ne upravlinnya i teoriya igor [Optimization Methods, Optimal Control and Game Theory], 2005, no. 4, pp. 65-74. (In Russian).
8. Aubin J.-P., Ekeland I. Prikladnoy nelineynyy analiz [Applied Nonlinear Analysis]. Moscow, Mir Publ., 1988. (In Russian).
9. Klark F. Optimizatsiya i negladkiy analiz [Optimization and Nonsmooth Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1988. (In Russian).
10. Pshenichnyy B.N., Khachatryan R.A. O neobkhodimykh usloviyakh ekstremuma dlya ne-gladkikh funktsiy [On necessary conditions of extremum for nonsmooth functions]. Izvestiya Akade-mii nauk Armyanskoy SSR. Seriya: Matematika [Bulletin of Armenian SSR Academy of Sciences. Series: Mathematics], 1983, vol. 18, no. 4, pp. 318-325. (In Russian).
Received 19 April 2018 Reviewed 22 May 2018 Accepted for press 26 June 2018
Khachatryan Rafik Agasievich, Yerevan State University, Yerevan, the Armenia, Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor of Numerical Analysis and Mathematical Modeling Department, e-mail: khachatryan.rafik@gmail.com
For citation: Khachatryan R.A. O nekotoryh svoystvah pochti vypuklyh funktsiy i mnozhestv [On some properties of quasi convex functions and sets]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 124, pp. 824-837. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124824-837 (In Russian, Abstr. in Engl.).
