CC BY
31
Серия «Математика»
Том 2 (2009), №1, С. 283-294
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
УДК 519.583
Квазивыпуклое программирование
Р. Энхбат
Монгольский государственный университет
Аннотация. Эта статья посвящена проблемам максимизации и минимизации ква-зивыпуклой функции на произвольном множестве. В работе сформулированы условия глобальной оптимальности для этих задач и показано их применение.
Ключевые слова: невыпуклая оптимизация, глобальный поиск.
Рассмотрим две задачи максимизации и минимизации квазивыпуклой функции на произвольном множестве О С Кп:
Задачи (1.1) и (1.2) имеют важные применения в экономике и технологии. Квазивыпуклая функция как обобщение выпуклой функции часто фигурирует в экономической литературе. В работах [1, 4, 5, 6, 17, 20, 23, 25, 31] рассмотрены задачи оптимизации в микроэкономике. Выпуклость играет важную роль в экономической теории. Например, классическая теория предполагает вогнутой производственную функцию и функцию полезности. Функция спроса, полученная как решение задачи максимизации функции полезности на бюджетном ограничении, является также выпуклой функцией. В зависимости от экономических условий, рынков, а также предпочтений потребителей решается задача максимизации или минимизации квазивыпуклой функции.
Так называемая задача мультипликативного программирования [2, 8, 19] может быть сведена к задаче квазивогнутой минимизации[2, 8]:
1. Введение
f (x) —> max, x € D,
(1.1)
f (x)
min, x € D.
(1.2)
p
f (x) = П fi —* min, x € D,
(1.3)
i= 1
где fi : Rn * R выпуклые функции, i = 1, 2, ...,p (p > 2), D выпуклый компакт на Rn, и fi(x) > 0 для любых x € D и j = 1, 2, ...,p.
Задача D.C. программирования (разность двух выпуклых функции) [16]:
g(x) = gi(x) - g2(x) —* min (1.4)
subject to hi(x) < 0, i = 1, 2,..., m,
также формулируется как задача квазивыпуклой минимизации, где gi, g2 и hi (i = 1, 2,..., m) выпуклые функции на Rn.
В общем случае обе задачи (1.1) и (1.2) являются многоэкстремальными. Задача максимизации выпуклой функции или вогнутого программирования является частным случаем задачи (1.1) когда f - выпукла и D - многогранник. Для решения этой задачи существуют методы основанные на отсечениях и методе ветвей и границ [3, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 21, 22, 29, 30]. Условия глобальной оптимальности для вогнутого программирования получены впервые А.Стрекаловскими в 1987[27, 28]. Первая попытка построить численный алгоритм, основанный на этих условиях была предпринята в [7]. Другие условия глобальной оптимальности, использующие е-субдифференциалы, получены в [9]. С другой стороны, задача минимизации квазивыпуклой функции на выпуклом множестве рассматривалась Канторовичем [18]. Как известно, классические условия оптимальности и алгоритмы не всегда являются успешными для невыпуклой задачи оптимизации в смысле нахождения глобального решения. Даже не существуют универсальных методов и алгоритмов для решения задачи глобальной оптимизации. В связи с этим глобальная оптимизация требует другой теории и методов, основанных на условиях глобальной оптимальности. Существующие глобальные методы и алгоритмы разработаны для задач специальных видов. Целью этой работы является получение условия глобальной оптимальности для задач (1.1) и (1.2) и их применение.
2. КВАЗИВЫПУКЛАЯ МАКСИМИЗАЦИЯ 2.1. Свойства квлзивыпуклой Функции
Рассмотрим определение и известные свойства квазивыпуклой функции.
Определение 1. Функция f : Rn * R называется квазивыпуклой если неравенство
f (ax + (1 - a)y) < max{f (x), f (y)} выполняется для всех x,y € Rn and a € [0,1].
Очевидно, что любая выпуклая функция является квазивыпуклой, но обратное утверждение не всегда выполняется. Если / квазивыпуклая то — / называется квазивогнутой.
Лемма 1. Функция / : Кп ^ К квазивыпукла тогда и только тогда, когда множество
Ы/) = {ж € Кп | /(ж) < с} выпукло для всех с € К.
Доказательство. Необходимость. Пусть с € К есть произвольное число и ж, у € Ьс(/). Тогда по определению квазивыпуклой функции мы
имеем
/(аж + (1 — а)у) < тах{/(ж), /(у)} < с для всех а € [0,1], Отсюда заключаем, что Ьс(/) выпукло.
Достаточность. Пусть Ьс(/) выпуклое множество для всех с € К. Для произвольных ж, у € Кп, определим с0 = тах{/(ж),/ (у)}. Тогда ж € £со(/) и у € £со(/). Следовательно, аж + (1 — ау) € £со(/), для всех а € [0,1]. □
Лемма 2. Пусть / : Кп ^ К дифференцируемая и квазивыпук-
лая функция. Тогда из неравенства /(ж) < /(у) для всех ж, у € Кп вытекает
(//(у),ж — у) < °
где (•, ■) обозначает скалярное произведение двух векторов.
Доказательство. Так как / квазивыпукло,мы имеем
/(аж + (1 — а)у) < тах{/(ж), /(у)} = /(у)
для всех а € [0,1] и ж,у € Кп таких что /(ж) < /(у). Разложим функцию /(ж) по формуле Тейлора в окрестности точки у :
о(а||ж — у|
f (y + a(x - y)) - f (y) = a (V(y),x - y) +
a
<0, a > 0.
Учитывая, что o(allx yID —* 0, мы получаем (f;(y),x — y) < 0. □
2.2. Условия глобальной максимизации
Рассмотрим задачу максимизации квазивыпуклой функции
f (x) —* max, x € D, (2.1)
где f : Rn * R дифференцируемая и квазивыпуклая функция и
D С Rn произвольное непустое множества Rn. Условие глобальной оптимальности для задачи формулируется следующим образом:
Теорема 1. Пусть г решение задачи (2.1), и
ад) = {у є | / (у) = с}.
Тогда
(/;(у), х — у) < 0 для всеху Є Е/(г)(/) и х Є В. (2.2)
Если дополнительно /;(у) = 0 для всех у Є Е/(г)(/), тогда условие (2.2) является достаточным для того, чтобы точка г Є В была решением задачи (2.1).
Доказательство. Необходимость. Предположим, что г является решением задачи (2.1) и у Є Едг)(/) и х Є В. Тогда очевидно /(х) < /(у). Применяя результат леммы 2, получаем (/;(у),х — у) < 0. Достаточность. Предположим противное. Пусть г не является решением задачи (2.1), то есть существует точка и Є В такая, что /(и) > /(г). В силу леммы 1, замкнутое множество Ь/(г)(/) = {х Є Л” | /(х) < /(г)} выпукло. Пусть у проекция точки и на Ь/(г)(/) такая, что
||у — и|| = тіп Нх — и||.
хеь/(г)(/)"
Ясно, что
||у — и|| > 0 (2.3)
так как и Є Ь/(^)(/). Более того, точка у может рассматриваться как решение следующей задачи выпуклого программирования:
д(х) = 2||х — и||2 —► тіп, х Є £/(*)(/).
Запишем условия оптимальности в точке у:
Ао > °, А > 0, Ао + А > 0 Ао д' (у) + А/'(у) = 0 (2.4)
А(/(у) — / (^)) = 0
Если А0 = 0, тогда из (2.4) вытекает, что А > 0, /(у) = /(г) и /'(у) = 0 которое противоречит условию теоремы. Если А = 0, мы имеем Ао > 0 и д'(у) = у — и = 0. Последнее тоже противоречит условию (2.3). Тогда не нарушая общности, мы можем положить А0 = 1 и А> 0 в (2.4).
у — и + А/'(у) = 0, А > 0, / (у) = / (г)-
Отсюда заключаем (/'(у), и — у) > 0, что противоречит (2.2) □
Замечание 1. Если /(ж) выпуклая, тогда условия глобальной оптимальности получены в [27] как:
Теорема 2. [27]. Пусть В произвольное множество и точка г € В удовлетворяет условию
—то < ш£ / < /(г) < +то
и (г)(/) = {ж € Кп | /(ж) < /(г)} С т^ош / компакт. Тогда г
является глобальным решением задачи (1.1) тогда и только тогда, когда
(с, ж — г) < 0 для всех ж € сШю Б и с € д/(г),
(■и, ж — г) < 1 для всех ж € сюШ Б и V € 5(/, г), (2.5)
где
mtdom f = {x € Rn | f (x) < +то},
Здесь conv D замкнутая выпуклая оболочка множества D.
Если f дифференцируемая, то нетрудно убедиться что условие (2.2) для задачи (2.1) эквивалентно условию (2.5).
Замечание 2. Условие (2.5)дополнено следующей теоремой.
Теорема 3. [10]. Предположим, что f выпукла и D - выпукло и замкнуто. Пусть точка z € D удовлетворяет условию —то < inff <
f(z). Тогда z является глобальным решением задачи (1.1) тогда и только тогда, когда
df (x) С N(x|D) выполняется для всех x € D и x € Ef(z)(f),
где N(x|D) нормальный конус к множеству D в точке x :
N(x|D) = {c € Rn | (c, y — x) < 0, y € D}.
Замечание 3. Если D выпукло, тогда, полагая y = z, мы из (2.2) получаем хорошо известные условия локальной оптимальности [24] :
(f'(z),x — z) < 0, Vx € D.
Замечание 4. Для того чтобы утверждать, что точка z1 в D не является решением задачи, достаточно найти пару x, y € Rn такую, что
(f/(y),x — y) > ° f(y) = f(A x € D.
S(f, z) = jv € Rn
3y € Rn : y = z, y € Ef(г)(Д 3a > 0 : av € df (y), (v, y — z) = 1.
df (z) = {c € Rn | f (x) — f (z) > (c, x — z), x € Rn},
Пример 1.
/у>2 _|_ /у>2
f (x) = xi + x2 ,
xi + x2 — 1
D = {x € R2 | 0.6 < x1 < 7; 0.6 < x2 < 2}.
Мы легко вычисляем градиент функции:
, I x2 + 2x1x2 — 2x1 — x2 x2 + 2x1x2 — 2x2 — xi\ x у (x1 + x2 — 1)2 , (x1 + x2 — 1)2 )'
Очевидно, что точка xo = (0.6, 0.6) € D есть локальное решение. Рассмотрим точки и = (5, 2) € D и y = (3, 3), удовлетворяющие условию f(у) = f(xo) = 3.6. Тогда имеем (f;(y),u — y) = Щ > 0. Отсюда заключаем, что точка xo не является глобальным решением. На самом деле, глобальное решение есть точка x* = (7, 0.6).
Пример 2. Рассмотрим задачу D.C программирования
g(x) = g1(x) — g2(x) —► max
где x удовлетворяет условию hi(x) < 0, i = 1, 2,..., m,
где g1,g2 и hi, i = 1, 2,...,m выпуклые дифференцируемые функции в Rn. Эту задачу нетрудно свести к следующей задаче квазивыпуклой максимизации:
—g(x) = g2(x) — g1(x) —► min hj(x) < 0, i = 1, 2,..., m,
Тогда условия глобальной оптимальности записываются как
g1(x) — xn+1 —> max g2(x) < xn+1, hi(x) < 0, i = 1, 2,..., m,
где (x,xn+1) € Rn x R. Используя (2.2), мы получаем E (xi — yi) + yn+1 — xn+1 < 0
<
i=1 g1(y) — yn+1 = g1(z) g2(x) < xn+1 hi(x) < 0, i = 1,2,..., m.
Пример 3. Рассмотрим задачу дробного программирования
f (x) = f1(x) —> max, x € D,
' f2(x) ’ ’
где f1 выпуклая дифференцируемая, и f2 вогнутая дифференцируемая функции на Rn.
f1(x) > 0, f2(x) > 0 для всех x € D С B.
Используя лемму 1, легко можно показать что f (x) квазивыпуклая
функция. Следовательно, условие глобальной оптимальности (2.2)
можно записать в следующей форме:
g (f2<y>— f1(y>) f—? s 0' vy€ Ef «(f >-Vx € D
3. КВАЗИВЫПУКЛАЯ МИНИМИЗАЦИЯ
3.1. Условия глобальной минимизации
Рассмотрим задачу минимизации квазивыпуклой функции:
f (x) —> min, x € D, (3.1)
где f : Rn ^ R непрерывная дифференцируемая квазивыпуклая функция и D С Rn произвольное непустое множество. Условия глобальной оптимальности для задачи (3.1) даются следующей теоремой.
Теорема 4. Если z является решением задачи (3.1). То
(f'(x),x — y) > 0 для всех y € Ef(z)(f) и x € D, (3.2)
где Ec(f) = {y € Rn | f (y) = c}. Если, дополнительно
lim f(x) = +то и f'(x + af'(x)) = 0 (3.3)
для всех x € D и a > 0, тогда условие (3.2) является достаточным.
Доказательство. Необходимость. Пусть z решение задачи (3.1). Возьмём x € D и y € Ef (z)(f). Тогда мы имеем 0 > f (z) — f (x) = f (y) — f (x). В силу леммы 2, получаем (f'(x),x — y) > 0.
Достаточность. Предположим противное. Пусть точка z не является решением задачи (3.1). Тогда существует точка u € D такая, что f (и) > f (z). Построим луч уа для a > 0 как
Уа = и + af '(и).
Покажем, что /(уа) > /(и) для всех а. По формуле Тейлора мы имеем
/ (и + а//(и)) - / (и) = а ^|//(и) у2 +
для всех а > 0, Нш =0. Отсюда существует а0 > 0, такое
что /(уа) — /(и) > 0 выполнены для всех а € (0, а0). Так как /'(и) = 0, /'(и + а0/'(и)) =0 в силу леммы 2, мы имеем
(/'(и + а0//(и)),/'(и)) > 0.
Заметим, что для всех 7 > 1, а также /(и + 7а0/'(и)) > /(и + а0/'(и)) выполняется. В противном случае, мы имеем /(и + 7а0//(и)) < /(и + а0/'(и)), следовательно, по лемме 2, (/'(и + а0/'(и)), а0(7 — 1)/'(и)) < 0, или 7 < 1, что противоречит 7 > 1. Более того, можно показать, что функция /(и + 7а0/'(и)) является возрастающей относительно аргумента 7 > 0. Действительно, если /(и + 7'а0/'(и)) < /(и + 7а0/'(и)) выполняется для 7' > 7, тогда а0(7' — 7)(/'(и + 7а0/'(и)),/'(и)) < 0, которое противоречит условию 7' > 7. Следовательно, /(уа) > /(и) выполняется для всех а > 0.
Очевидно, что функция ^ ^ Л, определенная как
^(а) = / (Уа)
непрерывна на [0, то). В силу условия (3.3), Нш ^>(а) = +то., Следовательно, существует а такое, что ^>(а) > /(г). Используя непрерывность функции ^>(а) и неравенства ^>(а) > /(г) > /(и), заключаем, что существует <5 такое, что
/ (У + а/'(и)) = / (г) которое означает уа € Е(г)(/). С другой стороны, мы имеем /'(и) = 1(у« — и). Таким образом получаем
(/'(и),и — Уа) = 1 (у« — и, и — у«) = —1 ||уЙ — у|2 < 0,
а а
что противоречит (3.2). Отсюда следует, что г есть глобальное решение (3.1). □
Замечание 5. Если Б выпукло, условия глобальной оптимальности впервые сформулированы Л.В. Канторовичем в следующем утверждении.
Теорема 5. [18]. Точка г € Б есть решение задачи (1.2) тогда и только тогда, когда существует с € такой, что
(с, х) < (с, г) для всех х € Б,
(с, х) > (с, г) для всех х € такой что /(х) < /(г).
Замечание 6. Для того, чтобы утверждать, что г Є О не является решением задачи (3.1), достаточно найти пару и, у Є Лп такую, что (/'(и), и — у) < 0, / (у) = / (г) и и Є О.
Пример 4. Рассмотрим задачу:
/ (ж) = + ж^ —► шіп,
где
О = {ж Є Л2 : 5ж^ + 2ж2 + 3жі < 16, ж1 + ж2 > 5}.
Классическое условие оптимальности дают три стационарные точки г0 = (1,4), г1 = (0, 5) и г2 = (-2,1). Чтобы проверить точку г0 на глобальную оптимальность, рассмотрим точки и = (-1, 4) Є О и у = (0, л/17) удовлетворяющие /(у) = /(г0) = 17. Вычисляя (/'(и), и — у) мы имеем (/'(и), и — у) = 2(16 — 4\/Ї7) < 0. Следовательно, г0 не является глобальным решением. Нетрудно убедиться, что г2 есть глобальное решение с /(г2) = 5.
Пример 5. Рассмотрим задачу Б.С. программирования (1.4). Пусть $1 и $2 выпуклые функции. Тогда эта задача легко сводится к задаче минимизации выпуклой функции на невыпуклом множестве и условия оптимальности будут:
Е (ж* — у*) + уп+і — жп+і > 0
г=1 г
$1(у) — уп+1 = $1(г)
$2 (ж) > жп+1
(ж) < 0, і = 1,2,..., т.
Пример 6. Рассмотрим задачу дробного программирования
/(ж) = /1(ж) —► шіп, ж Є О, (3.4)
/2(ж)
где /1 выпуклая дифференцируемая, и /2 вогнутая дифференцируемая функции на Лп. Предположим, что
/1 (ж) > 0, /2(ж) > 0 для всех ж Є О.
Как известно, /(ж) квазивыпуклая функция. Тогда условия глобальной оптимальности записываются в виде :
(ж* — уг)
/2(ж) ^/1(*0 > 0- уу Є Е,И(/). V* Є О.
Рассмотрим специальный случай задачи (3.1):
/(ж) —► шіп, ж Є О, (3.5)
где / : Кп ^ К непрерывна дифференцируемая и выпуклая функция, и Б произвольный компакт на Кп. В этом случае, условие (3.3) теоремы 4 можно ослабить с помощью следующего утверждения.
Теорема 6. Предположим, что г есть глобальное решение задачи (3.5). Тогда
(/'(ж), х — у) > 0 выполняется для всех у € Е^-(г)(/) и х € Б. (3.6) Если, дополнительно
шЬ Н/^Н > 0 (3.7)
выполняется, тогда условие (3.6) является достаточным.
Доказательство. Необходимость. Предположим, что г есть решение задачи (3.5). Рассмотрим точки х € Б и у € Е^-(г)(/). Тогда в силу выпуклости /, мы имеем
0 > /(г) — /(х) = /(у) — /(х) > у — х)-
Достаточность. Предположим противное. Пусть условие (3.6) выполняется и существует точка и € Б такая, что
/(и) < /(г)-
Ясно, /'(и) = 0 в силу (3.11). Для а > 0 определим иа как:
иа = и + а/'(и).
Так как / выпукла, то мы имеем
/(иа) — /(и) > (/'(и),иа — и) = а||/'(и)||2,
что влечёт
/(иа) > /(и) + аН/'(и)Н2 > /(и).
Находим а = а такое, что
/ (и) + а|/'(и)|2 = / (г)
Следовательно,
а = /(г) — /(и) > 0 Н/'(и)Н2 •
Таким образом мы получаем
/(иа) > /(и) + аН/'(и)Н2 = /(г) > /(и)-Определим функцию Л, : К+ ^ К как Л,(а) = / (и + а/'(и)) — / (г),
где R+ = {а € R | а > 0}. Очевидно, что h непрерывна на [0, +то). Заметим, что h(a) > 0 и h(0) < 0. Рассмотрим два случая относительно значения h(a).
Случай a: h(a) = 0 (или f (u + af'(u)) = f (z)), тогда
<f'(u),u - ua) = -(f/(u),af'(u)) = -ay/'(u)||2 < 0, которая противоречит (3.10).
Случай b: h(a) > 0 и h(0) < 0. Поскольку h непрерывна, то существует ao € (0,(5) такое, что h(ao) = 0 (or f(u + aof'(u)) = f(z)). Тогда мы имеем
<f'(u),u - uao) = -a0||f'(u)||2 < 0,
и мы снова приходим к противоречию с (3.6).
Таким образом теорема доказана. □
Список литературы
1. Takayama A. Mathematical Economics / A. Takayama. — Cambridge University Press, 1985.
2. Jaumard B. Generalized Convex Multiplicative Programming via Quasiconcave Minimization / B. Jaumard, C. Meyer, H. Tuy // Journal of Global Optimization. — 1997. — № 10. — P. 229-256.
3. Bulatov V. P. The Embedding Methods in Extremum Problems / V. P. Bulatov. — Novosibirsk: Nauka, 1977.
4. Dixit A. K. Optimization in Economic Theory / A. K. Dixit. — Oxford University Press, 1976.
5. Katzner D. W. Static Demand Theory / D. W. Katzner. — Macmillian, London, 1970.
6. Katzner D. W. Walrasian Microeconomics / D. W. Katzner. — Addison-Wesley, New-York, 1988.
7. Enkhbat R. An Algorithm for Maximizing a Convex Function over a Simple Set / R. Enkhbat // Journal of Global Optimization. — 1996. № 8. — P. 379-391.
8. Harold P. B. An Outcome Space Branch and Bound-Outer Approximation Algorithm for Convex Multiplicative Programming / P. B. Harold // Journal of Global Optimization. — 1999. — № 15. — P. 315-342.
9. Hiriart-Urruty J. B. From Convex Optimization to Nonconvex Optimization / J. B. Hiriart-Urruty // Nonsmooth Optimization and Related Topics, Plenum. — 1989. — P. 219-239.
10. Hiriart-Urruty J. B. A Note on the Characterization of the Global Maxima of a (tangentially) Convex Function over a Convex Set / J. B. Hiriart-Urruty, J. S. Ledyaev // Journal of Convex Analysis. — 1996. — Vol. 3, № 1. — P. 55-61.
11. Horst R. On the Global Minimization of a Concave Function: Introduction and Servey / R. Horst // Operations Research Spectrum. — 1984. № 6. — P. 195-200.
12. Horst R. A General Class of Branch and Bound Methods in Global Optimization with some New Approaches for Concave Minimization / R. Horst // Journal of Optimization Theory and Applications. — 1986. — № 51. P. 271-291.
13. Horst R. Outer Cut Methods in Global Optimization / R. Horst // Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, 1987. — Vol. 304. — P. 28-40.
14. Horst R. Outer Approximation by Polyhedral Convex Sets / R. Horst, N. V. Thoai, H. Tuy // Operations Research Spectrum. — 1987. — Vol. 9., № 3. — P. 153-159.
15. Horst R. A New Branch and Bound Approach for Concave Minimization Problems / R. Horst // Lecture Notes in Computer Science. — 1987. — Vol. 41. — P. 330-337.
16. Horst R. Global Optimization(Deterministic Approaches) / R. Horst, H. Tuy. — Springer, Berlin, 1990.
17. James M. H. Microeconomic theory: A Mathematical Approach / M. H. James, E. Q. Richard. — McGraw-Hill, 1971.
18. Kantorovich L. V. On an Effective Method for Solving some Classes of Extremum probelms / L. V. Kantorovich // Soviet Math. Doklady. — 1940. — Vol. 28, № 3. — P. 212-215.
19. Konno H. Multiplicative Programming Problems / H. Konno, T. Kuno // Handbook of Global Optimization. — Kluwer Dordrecht. — 1995. — P. 369-405.
20. Michael D. I. Mathematical Optimization and Economic Theory / D. I. Michael. — Prentice-Hall, 1971.
21. Pardalos P. M. Constrained Global Optimization: Algorithms and Applications / P. M. Pardalos, J. B. Rosen //Lecture Notes in Computer Science. — 1987.
22. Pardalos P. M. Methods for Global Concave Minimization: A Bibliographic Survey / P. M. Pardalos, J. B. Rosen // SIAM Review. — 1986. — № 28. — P. 367-379.
23. Madden P., Concavity and Optimization in Microeconomics / P. Madden. — Oxford University Press, 1986.
24. Rockafellar R. T. Convex Analysis / R. T. Rockafellar. — Princeton University Press, Princeton, 1970.
25. Weintraub R. E. Mathematics for Economists / R. E. Weintraub. — Cambridge University Press, 1982.
26. Schaible S. Invited Review: Fractional programming / S. Schaible, T. Ibaraki // European J. of Operational Research. — 1983. — № 12. — P. 325-338.
27. Strekalovsky A. S. On the Global Extremum Problem / A. S. Strekalovsky // Soviet Math.Doklady. — Vol. 292, № 5. — P. 1062-1066.
28. Strekalovsky A. S. Global Optimality Conditions for Nonconvex Optimization / A. S. Strekalovsky // Journal of Global Optimization. — 1998. — № 12. — P. 415-434.
29. Tuy H. Concave Programming under Linear Constraints / H. Tuy // Soviet Math.Doklady. — 1964. — Vol. 159, № 1. — P. 32-35.
30. Tuy H. Normal Conical Algorithm for Concave Minimization over Polytopes / H. Tuy // Mathematical Programming. — 1991. — № 51. — P. 229-245.
31. Varian H. R. Microeconomic Analysis / H. R. Varian. — Norton, New-York, 1984.
32. Vasiliev O. V. Optimization Methods / O. V. Vasiliev. — World Federation Publishers, Atlanta, 1996.
R. Enkhbat
Qausi-convex programming
Abstract. This paper considers problems of maximization and mininization of quasi-convex function at arbitrary set. Global optimality conditions are formulated. Keywords: non-convex optimization, global searching.
Rentsen Enkhbat, Sc.D, Professor, National University of Mongolia, Head of Applied Mathematics Division of the Institute of Mathematics, Phone.: 976-11-99278403, (renkhbat46@yahoo.com)
