CC BY
32
УДК 656.25
Р. В. РИБАЛКА (ДПТ)
УЗАГАЛЬНЕННЯ МЕТОДУ IДЕНТИФIКАЦIÏ Л1Н1ЙНИХ ДИНАМ1ЧНИХ СИСТЕМ ЗА ДОПОМОГОЮ СТУПЕНЕВОГО СИГНАЛУ
Пропонуеться модифiкацiя методу iдентифiкацiï лiнiйних систем за перехщною характеристикою, що розширюе область його застосування. Наведено результати дослщжень на прикладi лiнiйноï динамiчноï ста-цiонарноï дискретноï системи.
Предлагается модификация метода идентификации линейных систем по переходной характеристике, расширяющая область его использования. Приведены результаты исследований на примере линейной динамической стационарной дискретной системы.
The modification of method of linear systems' identification according to the transient characteristics extending the area of its use is offered. The research results for example of a linear dynamic stationary discrete system are presented.
Вступ
Першi реашзоваш в системах керування ме-тоди щентифшаци були основан на застосу-ванш сигналiв спещально'1" форми [1]. Принци-повим моментом задачi ощнювання параметрiв об'екта е необхщнють збудження об'екта [2]. Часто у випадках, коли це можливо, вигiдним е використовувати спецiальнi тестовi сигнали, що подаються на об'ект ззовш. Цi методи щен-тифкаци передбачають iдентифiкацiю поза процесом керування, звужуючи область застосування методiв щентифшаци за спецiальними сигналами за рахунок неможливост щентифь каци об'ек™, якi не можуть бути виведеш з експлуатаци. Додатковою проблемою е генера-цiя тестових сигналiв.
Метою роботи е розширення областi застосування методiв щентифшаци за спещаль-ними сигналами для лшшно'1' динамiчноi стаць онарно'1' дискретно'1' системи шляхом приведен-ня вхiдного сигналу, який недостатньо точно апроксимуе обраний спещальний сигнал, до виду обраного спещального сигналу. За основу взятий метод щентифшаци за перехщною характеристикою (ПХ), спещальний сигнал - сту-пенева дiя Хевiсайда за означенням.
Стислий огляд лггератури
Задача приведення форми сигналу до необ-хiдного (взiрцевого) виду була вiдома ранiше. Подiбна iдея у вужчому смислi зустрiчаеться в лiтературi як «вщбшюючий фшьтр» [3] i спект-ральна факторизащя [4]. Обидва методи обме-жуються видом сигналу, з яким застосовують-
ся - бшим шумом. У метод^ що пропонуеться в данiй робот^ це обмеження вiдсутне.
Поставлена задача сшвзвучна iз задачею, що виршуеться адаптивною фiльтрацiею [5]. Зi збшьшенням гнучкостi фiльтру вiдповiдно зро-стае i складнiсть його створення. На вiдмiну вiд цього, метод корекци спектрiв (МКС) е простим у реашзаци, його гнучкiсть обмежуеться математичним апаратом перетворень Фур'е.
Як альтернативне ршення можна навести еквалайзер. Його недолiками е суб'ективнiсть налаштувань, часто низька роздiльна здатнiсть.
Математичний апарат методу корекци спектрiв
Ядро математичного апарату МКС заснова-не на особливост змiни сигналу в лшшнш сис-темi. Вихiдний сигнал змшюеться точно за такою самою лшшною змiною, за якою був змь нений вхiдний сигнал [6]:
Рис. 1. Стввщношення мiж входом та виходом при лшшних змiнах вiдповiдних сигналiв
На рис. 1 введет наступш позначення: р ( t ) - iмпульсна характеристика (IX) лшшно'1"
системи, яка щентиф^еться; рлф (t) - IX не-
шд°мог° лiнiйного фiльтру; хориг. (t), jopHr. (t) -вхiдний та вихвдний opигiнальнi (незмшеш) сигнали вiдпoвiднo; x3Mia (t) , у3мШ. (t) - вхдний
та вихвдний змшеш сигнали вiдпoвiднo.
Якщо poзглядаються дискpетнi пpoцеси, не-перервну незалежну змшну t мoжна замiнити i ■ T , ü6o npocro iндексoм i, де i = 0,1,..., n -1.
Залежшсть мiж вхiдним, вихiдним сигналами та IX системи в частотшму npocTopi [7]:
F{у[n]} = ^MRM»]} , (!) налу ^,)
де F - oпеpатop пеpетвopення Фyp'e; x - Bxi-дний сигнал; y - вихiдний сигнал; p - IX системи (фiльтpy).
Отже ядpo пpoпoнoванoгo у po6ori метoдy, пoкликанoгo пoдoлати oбмеження щoдo спеща-льш! фopми тестoвoгo сигналу, пoлягаe у ^и-веденш спектpy pеальнoгo вхiднoгo сигналу дo спектpy oбpанoгo (взipцевoгo) сигналу, який вщговщае пoставленим вимoгам [1] дo тестoвo-гo сигналу кoнкpетнo oбpанoгo метoдy щенти-фшаци (за ПХ). 1накше кажучи, пoстаe задача у ствopеннi такoгo лiнiйнoгo фiльтpy рлф (t)
(pис. 1) для задашго кoнкpетнoгo сигналу xopиг (t), щoб на вихoдi цьoгo фiльтpy oтpимати
сигнал задаш! фopми x.^ (t). Дал^ згiднo pис. 1, кopистyючись пoпеpедньo ствopеним фiльтpoм рл ф. (t), знайти узмш. (t)
шляхoм пpoпyскання (t) чеpез рЛ1ф (t) .
Отpиманi змiненi таким чишм сигнали xзмiн (t) та yзмiн (t) викopистати в oбpанoмy метoдi ще-
нтифшаци системних хаpактеpистик (за ПХ).
Зпдш (1), пpoцедypy ствopення фiльтpy рлф (t) мoжна звести дo вiдшyкyвання йoгo
АЧХ та ФЧХ. Замшивши в (1) y на x „■ , x на
V ' s ЗMiH. '
xopиг , р на рлф та ввiвши деякi пoзначення
згiднo пoляpнol фopми пpедставлення томплек-сних чисел у пеpетвopеннi Фyp'e:
MagXзмш. [n] ■ exp(j ■ Argxзмн [n]) =
= MagXopиг. [n] ■ exp ( j ■ ArgXopnr. [n]) ■
■MagPn ^. [n] ■ exp( j ■ ArgP^. [n]) , (2)
де Mag та Arg - амплггудна та аpгyментна частини oпеpатopy F вщшвщш. Визначення магнiтyди Mag наведене в [6].
Пpoвiвши елементаpнi математичш пеpе-твopення:
M P [ ] MagXзмш. [n] (3)
Magpn^. [n]=——~—И; (3)
MagXopn,[n]
ArgPл.ф. [n] = ArgXзмiн. [n] - ArgXopHR [n]; (4)
MagPn^[n] та ArgPлф[n] - масиви АЧХ та
ФЧХ ствopюванoгo фiльтpy вiдпoвiднo.
З (3) випливае вимoга дo opигiнальнoгo сиг-röro спектp не пoвинен мiстити
нyльoвi елементи (MagXopиг [n] = 0).
Для oтpимання x^.^] та Узмш И TPеба пpoпyстити lx чеpез знайдений фiльтp, здшсни-вши фiльтpацiю в частотшму npoCTopi (1).
1м1тац1йна модель
Чеpез пpoстoтy у кopистyваннi, швидюсть oбpаxyнкiв, гнyчкiсть у налаштyваннi базoю пpoведення експеpиментiв була oбpана елект-poннo-oбчислювальна машина (ЕОМ). Об'ект вимipювання - цифpoвий фiльтp, ствopений за аналoгoвим пpoтoтипoм толивальш! ланки, пpедставлений piзницевим piвнянням:
У [nT ] = b0 x [nT] + b1 x [nT - T] + b2x [nT - 2T ]-
-a1 y [nT - T]-a2 y [nT - 2T], (5)
тефоденти:
b0 = Ü*L, b,= H^k., b2 = T ^
d 1 d
d
-8T12 + 2T2
-4T^T + 4Tj2 + T2
d
d
= 4Tj2 + 4Tj^T + T2
(6)
де n - цше числo; T - iнтеpвал дискpетизацil; T - пoстiйна часу; - кoефiцiент демпфуван-ня, абo паpаметp згасання (пpичoмy 0 < ^ < 1); s - деяка кoмплексна величина [9]; kx -цiент пiдсилення.
Виpаз (5) дoпoвнюеться нyльoвими шчат-кoвими yмoвами [8]:
y [-T ] = 0, y [-2T ] = 0.
(7)
Для системи, щo фiзичнo pеалiзyеться, вхщ-на дiя x[nT] = 0 ^и n < 0, тобто:
:[-T ] = 0, x [-2T ] = 0.
(8)
a1 =
, a2 =
Вираз (5) дае можливють розрахувати значения вихщного сигналу у [пТ] при вщомих
зиачеииях вхщного сигналу х[пТ].
Задля отримання однозначно визначених системних характеристик задамо числов1 зна-чення зпдно (6): к1 = 1; Т1 = 1/(2п) ; = 0.4. Та-кож задамо згщно (5): Т = 1/16 = 0.0625; N = 1024 - кшьюсть вщлшв, якш дор1внюють кшьюсть елеменпв масиву вхщного х [пТ ] та вихщного у [пТ ] сигналу. За чисельну оцшку похибки приймемо вираз:
в =
N-1
К [[ ]-b [[ ])
N
(9)
1[nT ] = -
при n > 0; при n < 0;
(10)
де п - цше число; Т - штервал дискретизацii.
Дискретним аналогом дельта-функцп е оди-нична iмпульсна решiтчаста фуикцiя [9]:
8[nT ] =
1, при n = 0; 0, при n Ф 0.
(11)
A(a) = \W(ja)|; ф(а) = arg(W( ja)) ;
(12) (13)
W( ja) = F{p(t)}; p (t ) = F-1 {W ,
де W(ja) - частотно передатна функцiя;
j = V-I - уявна одиниця; a = 2nf - циклiчна
частота; F^1 - оператор зворотного перетво-рення Фур'е; p(t) - IX системи.
Щц термшом «ПХ, отримана за псевдопря-мим методом (ППМ)» розумiтимемо вихiцний сигнал, отриманий з (5) за будь-яко! вхщно! ди, не обов'язково виду (10). Вщповщно, за вхщно! ди виду (10) результати ППМ та ПМ е тотожно рiвними. Пщ «IX, отримана за ППМ» розум> тимемо характеристику, знайдену за ПХ, отри-маною ППМ, згiцно виразу
де N - кшьюсть точок; а та Ь - масиви, що порiвнюються.
При iитерпретацii зиачеиь, обчислених за (9), слiд пам'ятати, що величина оцшки зале-жить вщ масштабу представлеиих даиих.
Застосування методу корекци спектр1в до алгоритму щентифжаци за перехщною характеристикою
Дискретиий аналог ступеневоi дii [9]:
Р(t) = dh(t) ,
(15)
замiиивши иеперервиу операцiю диференщю-ваиня и дискретиим аналогом [9]. В (15) к (^) -ПХ.
АЧХ та ФЧХ, отримаш ППМ, обраховують-ся за дискретними аналогами виразiв (14), (12) та (13) для 1Х ППМ.
Зведемо в таблицю оцшку (9) для характеристик, отриманих за ППМ та ПМ за однаково-го вхщного сигналу виду (10):
Таблиця 1 Похибка щентифшаци р1зними методами
Домовимося, що тд термiном «ПХ, отримана прямим методом (ПМ)» будемо розум^и вихщний сигнал, отриманий з (5) при вхщнш дii виду (10) (за означениям). 1Х, отримана ПМ, - за означениям, вихщний сигнал, отриманий з (5) при вхщнш ди виду (11). Амплгтудо-частотна (АЧХ) та фазочастотна (ФЧХ) характеристики, отримаш ПМ - це вирази (12) та (13) вщповщно, як отримаш з (14) [8]. Характеристики, отримаш ПМ, вважатимемо еталон-ними.
Системна ППМ-ПМ
характеристика
IX 3.68E-17
ПХ 0
АЧХ 8.32E-16
ФЧХ 1.04E-11
В табл. 1 значения 0 для ПХ очевидне (див. вище за текстом). Ненульовi значения оцшки
(9) в шших характеристиках виявляють помил-ки, яю з'являються при обчисленш за допомо-гою ЕОМ. Данi табл. 1 приймемо за зразков^ за найвищу точшсть iдентифiкацii системних характеристик за ППМ.
Застосуемо МКС до даного ППМ щентиф> кацп за ПХ. Вхщним сигналом е сигнал виду
(10). Взiрцевим сигналом встановимо сигнал виду (10). Не очшуеться змш у вхiдному та ви-хiдному сигналах i вщповщно у системних характеристиках.
1=0
Використаемо для виршення дано! задачi програмний продукт, ядро якого вiдображае вирази (3), (4). При вщшукувант АЧХ фшьтру видаеться повiдомлення про присуттсть ну-льових елементiв у амплггудному спектрi вхщ-ного сигналу.
Постае питання, як це можливо, якщо вираз для спектру неперервного сигналу ступенево! ди не мiстить нульових елементiв в амплiтуднiй частинi [7]:
= ¿(-) = л5(-)--!-, (16)
де 5 - дельта-функщя Дiрака.
Вiдповiдь у тому, що для знаходження вира-зу (16) застосовувалося неперервне перетво-рення Фур'е, i сигнал простягався вiд додатно! до вщ'емно! нескiнченностi, а в ЕОМ юнуе сигнал скшчено! тривалосп виду ((10) при п = 0,1,..., N -1). Вщповщно для знаходження його спектру застосовувалося дискретне пере-творення Фур'е (ДПФ). ДПФ сприймае сигнал тривалiстю N елеменпв, як перiодичний, з пе-рiодом N. Тобто, насправдi ДПФ сприймало вираз (10) з п = 0,1,.,N -1 як:
ориг.
[n] = I-
(17)
без шуму, як вщгук на вхiдну ступеневу дiю без шуму, тобто, отримаемо ПХ за ПМ. Застосову-ючи програмний продукт, ядро якого вщобра-жае вирази (3), (4), отримуемо вхщш та вихщш сигнали:
Рис. 2. Вх1дш сигнали на штерват 30...35 с:
1 - без перешкоди без корекци; 2 - з перешкодою без корекци; 3 - з перешкодою з корекщею
Вираз (17) е постшним у чаш сигналом. Ио-го неперервний аналог (при A = 1):
*ориг. (t) = A. (18)
Перетворення Фур'е (18) [7]:
F Криг.^ )} = S (ш) = 2п45(е>). (19)
В магттуднш частинi (19) мютяться нульовi елементи. Отже використовувати МКС до вхщ-ного сигналу виду (10) не можна.
Змютимо початок ступенево! ди на 512 еле-ментiв в додатному напрямку осi абсцис. Дода-мо до видного сигналу адитивну перешкоду, що шдкоряетъся нормальному закону розподiлу випадкових величин. Задамо параметри нормального закону розподшу: математичне спод> вання 0, середньоквадратичне вiдхилення 1. В якост датчика випадкових чисел з нормальним законом розподiлу використаемо пакет stats субпакет random програми Maple [10].
За допомогою МКС скорегуемо вхщний та вихщний сигнали з адитивною перешкодою. Взiрцевим сигналом для шуканого фшьтру (рис. 1) оберемо вхщний сигнал до шдмшу-вання шуму. Очiкуеться, що вихiдний зашум-лений сигнал набере форми вихщного сигналу
Рис. 3. Вихвдш сигнали на штерват 30...35 с:
1 - без перешкоди без корекци; 2 - з перешкодою без корекци; 3 - з перешкодою з корекщею
Як видно з рис. 2, вхщний зашумлений сигнал (крива 2) тсля корекци (крива 3) дшсно прийняв форму до зашумлення (крива 1). Знач-ного покращення зазнала форма вихщного сигналу (крива 3 на рис. 3), отримана тсля засто-сування МКС до криво! 2 на рис. 3, у порiвнян-ш з вихщним сигналом (крива 1 рис. 3) як реа-кщя на криву 1 рис. 2. Причому, додатково внеслися змши через представлення сигналу у математичному апарат ДПФ (на рис. 3 не видно, через недостатньо широке часове вшно).
Як видно з рис. 3, крива 3 неточно сшвпадае з еталоном - кривою 1. Проаналiзувавши амп-лггудний спектр вхiдного та вихiдного сигналiв пiсля корекцi! (кривi 3 на рис. 2 та 3), знаходи-мо в них нульовi елементи. Амплггудний спектр вхiдного незашумленого сигналу (крива 1 на рис. 2) за умови його юнування вщ додатно! до вщ'емно! несюнченносп не мiстить нульових елеменпв (див. (16) та зважаючи на те, що при зсувi сигналу змшюеться лише його фазовий спектр, але не амплiтудний [11]). Дискретна математична модель створена з умови, що при t < 0 вхщний сигнал тотожно дорiвнюе 0. В ампттудному спектрi цього вихщного сигналу (крива 1 на рис. 3) немае нульових елеме-нпв.
При застосуваннi ж МКС використовуеться ДПФ, яке представляе конечний сигнал як пе-
рюдичний. Тому замшть сигналу (10), зсуиуто-го по часу, отримуемо перюдичну послщов-шсть однополюсних 1мпульс1в (рис. 4, де N -юльюсть точок). Амплпудиий спектр дано! по-сл1довиост1 одиополюсних 1мпульс1в [7]:
Ат
Тр
8Ш (пыт/ 2)
пыт/ 2
(20)
де т - тривалшть 1мпульсу; Тр - перюд; п -
номер гармошки; А - амплпуда 1мпульс1в; ы -кругова частота.
щоб зменшити юльюсть иул1в у иьому. З (20) видио, що иа кшьюсть иул1в впливае тривалшть одного 1мпульсу, т (рис. 5 та 6). Таким чииом, з1 змеишеииям тривалост прямокутиого 1мпу-льсу (змщенн його в додатиому иапряму ос1 абсцис) точшсть щеитифшацп ПХ буде збшь-шуватися, одиаче час, протягом якого можиа спостер1гати ПХ, буде зменшуватися. Постае задача оптимального вибору стввщношення якост 1деитиф1кацп ПХ та штервалу часу, иа якому щеитифшуеться ПХ.
Видалимо з масиву зсуиутих вхщних та ви-х1диих сигиал1в перш1 512 елемеит1в та иаведе-мо системш характеристики, отримаи1 за допо-могою спец1альио розроблеио1 програми:
Рис. 4. Вхщний скорегований сигнал у представлены його ДПФ
Рис. 5. Амплггудний спектр послiдовностi прямокутних 1мпульс1в при Тр = 2, т = 0.5 , А = 1
Рис. 7. ПХ на iнтервалi 0...5 с: 1 - без перешкоди без корекци (вщгук матмодел1 коливальио1 ланки); 2 - з перешкодою без корекци (ППМ); 3 - з перешкодою з корекщею (ППМ)
Рис. 6. Амплпудний спектр послщовноста прямокутних 1мпульЫв при Тр = 2, т = 1, А = 1
З (20) видио, що ампл1тудиий спектр рис. 4 мштить иульов1 елемеити. Пропустивши змь щеиий сигнал (10) через (5), бачимо, що в спек-тр1 вих1диого сигналу иемае 0 елеменив.
Маемо ситуацгю, коли з вх1диого зашумле-иого сигналу, шляхом пропускания через лшш-иий корегуючий ф1льтр (рис. 1), видаляеться iиформацiя иа тих частотах, иа яких у вз1рце-вому сигнат (10) (який за сум1сиицтвом е вхщ-иим скореговаиим сигналом) мютяться иульов1 елемеити. В1дпов1дио, за МКС при корегуванш вих1диого сигналу з його амплпудного спектру також видаляеться шформащя иа тих самих частотах. Саме тому серед шшого вииикае по-милка 1деитиф1кац1х в1д застосування МКС до методу 1деитиф1кац1х за ПХ. Постае иев1дпов1д-и1сть м1ж представлениям сигиал1в (5) та ДПФ, яке використовуеться в МКС.
Для подолання вказано1 вище проблеми можна запропоиувати зм1иити форму ампл1ту-диого спектру сигналу (рис. 4) таким чииом,
Рис. 8. 1Х на штерваш 0...5 с: 1 - без перешкоди без корекци (ПМ); 2 -з перешкодою без корекци (ППМ); 3 -з перешкодою з корекщею (ППМ)
Рис. 9. АЧХ на штерваш 0...4 Гц: 1 - без перешкоди без корекци (ПМ); 2 - з перешкодою без корекци (ППМ); 3 - з перешкодою з корекщею (ППМ)
Рис. 10. ФЧХ на штерваш 0...4 Гц: 1 - без перешкоди без корекци (ПМ); 2 - з перешкодою без корекци (ППМ); 3 - з перешкодою з корекщею (ППМ)
Таблиця 2
Похибка щемтифшаци р1змими методами в залежмост в1д застосування корекщУ
Системна характеристика ППМ (без кор.)-ПМ ППМ (з кор.)-ПМ
IX 0.1581485431 0.003857025159
ПХ 0.4659866727 0.01323991152
АЧХ 3.127940917 0.05829202267
ФЧХ 3.104456434 2.293961837
З табл. 2 видно, при застосуванш МКС до iдентифiкацi! за ПХ при зашумленому вхщному сигнат вiдбулося значне покращення якостi щентифкаци, оцiнюваного за (9): IX в 41 раз; ПХ в 35.2 разу; АЧХ в 53.7 разу; ФЧХ в 1.4 разу. Найменшого покращення якост щентифша-ци зазнала ФЧХ, через неврахування в (9) осо-бливостей представлення графша ФЧХ [6].
Висновки
Ядро МКС, покликаного подолати обме-ження щодо спещально! форми тестового сигналу, полягае у приведенш спектру реального вхщного сигналу до спектру обраного (взiрце-вого) сигналу, який вщповщае вимогам, поста-вленим до тестового сигналу конкретно обра-ного методу щентифшацп (за ПХ) [1]. Це роз-ширюе область застосування методу щентиф> кацi! за ПХ на вхщш сигнали, форма яких недостатньо точно апроксимуе форму ступенево! ди на входi, вводячи обмеження на вщсут-нiсть нульових компонентiв в амплггудному спектрi вхiдного сигналу. Для виршення поставлено! задачi в МКС використовуеться ДПФ, вщповщно до сигналiв висуваються вс вимоги ДПФ. Точшсть наближення оригшаль-ного сигналу до взiрцевого також обмежуеться
ДПФ.
Зазвичай робочий вхщний сигнал е детерм> нованим i займае вузьку смугу частот. Для ви-конання вимоги МКС пропонуеться пiд час ви-мiрювання додати до робочого вхщного сигналу перешкоду, спектр яко! не мiстить нульових компонент на необхщному дiапазонi частот. Перешкода може бути мало! енерги для того, щоб не пошкодити щентифшовану систему та не ввести !! в область нелiнiйностi, якщо за умовою задачi потрiбне лiнiйне представлення об'екта. Це розширюе область застосування методу щентифшаци за ПХ i на об'екти, якi не можуть бути виведенi з експлуатацi!.
Вищенаведеш висновки стосувалися дискретно! системи iз застосуванням ДПФ. Але при виршенш поставлено! задачi стосовно не-перервно! системи з використанням непере-
рвного перетворення Фур'е очiкуеться значно кращий результат вимiряних системних характеристик, внаслщок вiдсутностi ефектiв, влас-тивих ДПФ.
Недолiки МКС: не дае вщповщь у виглядi деяко! структури системи, а знаходить лише графши системних характеристик, хоча задача параметрично! iдентифiкацi! при заданiй струк-турi може бути вирiшена графiчною щентиф> кацiею. Кiлькiсть степенiв свободи обмежуеть-ся перетвореннями Фур'е. Також МКС не вра-ховуе шум, що може виникати в об'екп.
На думку автора, запропонований у данш робот МКС заслуговуе на увагу та подальше дослщження в наступних напрямках: застосування до методiв iдентифiкацi! за допомогою шших спецiальних сигналiв; вирiшення задачi щентифшаци, застосовуючи фiльтр методу корекци спектрiв у якостi адаптивного фшьтру; застосування шших адаптивних фiльтрiв; вико-ристання матапарату вейвлет-перетворення; виршення задачi в часовому простора
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИИ СПИСОК
1. Гроп, Д. Методы идентификации систем [Текст] / Д. Гроп. - М.: Мир, 1979. - 302 с.
2. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния [Текст] / П. Эйкхофф. - М.: Мир, 1975. -680 с.
3. Теория передачи сигналов [Текст] / А. Г. Зюко и др. - М.: Радио и связь, 1986. - 304 с.
4. Солонина, А. И. Основы цифровой обработки сигналов [Текст] / А. И. Солонина, Д. А. Улахо-вич, С. М. Арбузов, Е. Б. Соловьева. - СПб.: БВХ-Петербург, 2005. - 768 с.
5. Уидроу, Б. Адаптивная обработка сигналов : пер. с англ. [Текст] / Б. Уидроу, С. Стирнз. - М.: Радио и связь, 1989. - 440 с.
6. Smith, S. W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing [Електрон. ресурс] / Steven W. Smith - Режим доступу: http:// www.dspguide.com
7. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов [Текст] /А. Б. Сергиенко. - СПб.: Питер, 2003. - 604 с.
8. Попов, Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления [Текст] : учеб. пособие для втузов / Е. П. Попов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 304 с.
9. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического регулирования [Текст] . - 3-е изд., испр. / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. - М.: Наука, 1975. - 768 с.
10. Дьяконов, В. Maple 7: учебный курс [Текст] / В. Дьяконов. - СПб.: Питер, 2002. - 672 с.
11. Сато, Ю. Обработка сигналов. Первое знакомство [Текст] / Ю. Сато. - М.: Додэка XXI, 2002. -176 с.
Надшшла до редколегп 03.03.2009.
