CC BY
7
УДК 51-74:66.01 DOI: 10.20998/2411-0558.2018.24.12
А. О. БОБУХ, канд. техн. наук, доц., НТУ "ХП1",
О. М. ДЗЕВОЧКО, канд. техн. наук, доц., НТУ "ХП1", А. М. ПЕРЕВЕРЗеВА, асп., НТУ "ХП1"
АНАЛ1З МЕТОД1В ПАРАМЕТРИЧНО1 1ДЕНТИФ1КАЩ1
ТЕХНОЛОГ1Й
Виконаний аналiз MeroAiB параметрично!' вдентифшацп технологiй може бути використаний для отримання !х адекватного математичного опису i3 перioдичним коригуванням алгoритмiв за ввдомими вхвдними i вихвдними параметрами в умовах перешкод та ефективного управлшня технoлoгiями. Одними i3 найкращих е знакoвi алгоритми, на роботу яких практично не впливають перешкоди на вхoдi технологш. 1л.: 1. Бiблioгр.: 10 назв.
Ключовi слова: параметрична iдентифiкацiя; технолопя; коригування; алгоритм; перешкода; ефективне управлшня; знакoвi алгоритми.
Постановка проблеми. При дослщженш рiзних технoлoгiй зустрiчаються задач! обробки експериментальних даних з метою вилучення з них залежностей, що описують р1зш процеси i явища. Ц залежнoстi представляються у вигляд1 математичних моделей, як не потребують ф1зично! реалiзацii, а зводяться до чисто математично! задачi пошуку екстремуму функцюнала заданого виду. Тобто, проблема математичного опису технологш зводиться до проблеми отримання шформацп про стан технологш, оцшювання !х параметрiв i характеристик, iнакше цю проблему називають iдентифiкацiею технoлoгiй. Методи розробки математичних моделей (щентифшацп) розбиваються на три групи:
1) Методи регресiйнoгo аналiзу: найменших квадратiв; множинно! регресп; видшення трендiв; кoреляцiйнoгo аналiзу.
2) Методи структурно! щентифшаци: уах регресiй; покроково! регресп; Ефрiмсoна; групового врахування аргумешив; частних кoреляцiй; множинно! кореляцп.
3) Методи параметрично! щентифшацп: рекурентний найменших квадра^в; стохастично! апроксимацп; Робшсоно-Монро; Качмажа; Нагумо-Ноди.
Можливють використання кожного методу щентифшацп залежить вщ технолопчно! готовносп технoлoгiй до застосування цих метoдiв для пiдвищення технiкo-екoнoмiчних пoказникiв. Пщ технoлoгiчнoю готовшстю технoлoгiй розум^ть насичення його технолопчним обладнанням, для якого за допомогою сучасних приладiв контролю
© А.О. Бобух, О.М. Дзевочко, А.М. Переверзева, 2018
параметрiв та мiкропроцесорних контролерiв можна отримати всю необхщну iнформацiю для виршення, в першу чергу, завдань управлшня i пошуку оптимальних режимiв, яю вiдповiдають заданим критерiям управлiння. Для виршення таких завдань потрiбнi величезш капiтальнi вкладення, а також наявшсть хоча б попереднiх технiчних ршень з щентифшацп технологiй. При цьому необхщно провести статистичний аналiз основних збурень i параметрiв дослщжуванох технологи, щоб вiднести 1'х до конкретного класу випадкових процесiв.
Все це обумовлюе необхiднiсть перюдичнох корекцп параметрiв отримано'1' математично'1' моделi.
Анал1з лггератури. Рiшення задач щентифшацп на основi методу найменших квадратiв (МНК) дозволяе отримати значення параметрiв, використовуваних в якост початкових при роботi алгоршмв щентифшацп [1 - 8]. Це дозволяе найбшьш повному використанню шформацп про технологiю, iстотно полiпшити яюсть шформацп, а, отже, i управлшня, забезпечуючи оперативнiсть змiни керуючих впливiв [9, 10].
В загальному виглядi задачу параметрично'1 щентифшацп технологи можна описати рiвнянням [1 - 8]
Уп = ^пХп +еп , (1)
де уп - вихщний (керований) параметр; хп = (х1п,х2п,...,хНп- вектор
вхiдних (керуючих) параметрiв; Ип ={и1п,И2п,...,Ьш- розшукуваш значення вектору параметрiв технологи; еп - перешкоди на виходi; Т -символ транспонування; п = 1, 2, ..., п - дискретний час.
Задача параметрично'1 щентифшаци полягае у визначеннi невiдомого вектора параметрiв кп за результатами вимiрювань вхiдних хп i вихiдних уп параметрiв i зводиться, в загальному випадку, до мiнiмiзацii деякого наперед обраного функщоналу якостi.
Вiдомо багато методiв вирiшення цього завдання в умовах нормального функщонування технологи. Найбшьший iнтерес представляють методи, заснованi на використанш рекурентних алгоритмiв. Слiд зазначити, що бiльшiсть алгоритмiв пов'язано з рекурентною формою МНК [3].
Мета статт1 - виконати аналiз методiв параметрично! щентифшаци для отримання адекватного математичного опису технологш iз перюдичним коригування алгоритмiв за вiдомими вхщними i вихiдними параметрами технологiй та ефективного управлшня ними.
Матер1али та результати анал1зу. Практична реалiзацiя рекурентних алгорш^в супроводжусться досить великим обсягом обчислень, викликаних необхщшстю використання великого обсягу шформацп. 1нший рiзновид алгоритмiв, що використовують не всю попередню iнформацiю, а лише частину ii, дозволяе обiйти цi труднощь До таких алгоритмiв в першу чергу вщносяться алгоритми, заснованi на щеях стохастичною апроксимацп [2] у виглядi
кп = кп_х + Г„ (y„ _ kT_1Xn) хп, (2)
де при вщповщному виборi матрицi коефiцiентiв Гп буде забезпечуватися збiжнiсть послiдовностi {kn} - векторiв значень ощнок параметров модел технологи на (п - 1)-му та n-му кроках, за правилом (2) до h, а yn та хп дивись (1).
Найчастiше ця матриця обираеться у виглядi Гп = уп1, де I -одинична матриця, уп - скалярний коефiцiент. Збiжнiсть процедури (2) з ймовiрнiстю одиниця та в середньоквадратичному доводиться при досить широких припущеннях щодо коефiцiентiв уп, вимагаеться тiльки збiжнiсть i розбiжнiсть вiдповiдних рядiв, члени яких залежать вiд у п,
¥ ¥ тобто Хуп = ¥ , Ху2 < ¥ , lim уп = 0 .
п=1 п=1 п®¥
Слщ зазначити, що вибiр gn ютотно впливае на властивостi алгоритму (2), оскшьки спроможнiсть процедури i швидкють ii збiжностi визначаються цим единим вшьним параметром. При практичнiй реалiзацii iтерацiйних алгоритмiв щентифшацл найважливiшим показником 1х працездатностi е швидкiсть збiжностi, що впливае на тривалiсть процесу щентифшацп.
Таким чином, параметр gn повинен вибиратися iз умов найбшьш швидко1 збiжностi алгоритму.
Швидкiсть збiжностi ( Qn) алгоритму характеризуеться величиною
Qn HI0п-1Г 41©п||2, (3)
де 0п = kn - h ^зниця мiж значенням оцiнюючого i розшукуваного
II ||2 N 2
векторiв), ||0 п|| = Х©гп .
г=1
Для збiжностi алгоритму необхiдно виконання нерiвностi
йп > 0. (4)
У загальному випадку через випадковють величин, що входять в алгоритми (корисних сигналiв i перешкод, а часто i И), якiсть оцiнки швидкостi збiжностi процедур доцiльно характеризувати величиною
& = М {||0 п_1Г -||0 п|Г }, (5)
де М - символ математичного очiкування.
Будемо користуватися критерieм (5) при дослщженш роботи алгоритмiв в умовах перешкод, тобто в тих випадках, коли властивосп алгоритмв будуть в значнш мiрi залежати вiд статистичних властивостей перешкод. У разi вiдсутностi перешкод властивосп алгоритму легше дослiджувати за допомогою (5).
Розглянемо найбiльш простий в обчислювальному вiдношеннi
алгоритм Роббшса-Монро [1, 7], що визначаеться з (5) замшою матрицi
у
Гп на —, де у0 - константа. Визначимо для цього алгоритму величину п
йп, що характеризуе спадання помилки визначення розшукуваних
коефщешив на кожному крощ ^ерацшного процесу щентифшацп. Для цього вщшмемо з обох частин (2) И, отримаемо
0п =0п-1 ~ (0П-1 Х„)*п . (6)
п
Зведемо (6) в квадрат
||0 п Г =||0 - 2* (0^1 Х,, )2 + 4 к-1 Хп )1| Хп| Г,
п 4 п
звiдки визначимо
2 Хп
п
0>п = ^ к-1 Хп )2
п
1з (7) видно, що для виконання умови (4) необхщно, щоб
0 <go ' (8)
II xn II
тобто для алгоритму Роббшса-Монро Qn залежить вiд величини вхщного параметру, параметру g0 та може мати pi3Hi знаки при довшьному
наперед обраному g0. Таким чином, залежнiсть Qn вiд || xn ||2 та g0 може
призводити до порушення умов збiжностi алгоритму при малих п та до появи великих коливань на початку процесу щентифшацп.
Визначимо для цього алгоритму оптимальне значення g0рр, що забезпечуе максимальне спадання помилки щентифшацп на кожному кроцi ^ерацшного процесу налаштування коефiцieнтiв. Для цього виконаемо диференцiювання (7) за g0 i прирiвняeмо отриманий вираз нулю
Q -2 fc. Xn f - 2 % (с, Xn )2|| Xnir = 0, (9)
- \ n 1 n, 2 V n-l nj n
5g 0 n n
Звiдки
g 0pt -
n
II2 '
(10)
Дшсно, отримане значення g 0pt максимiзуе Qn оскiльки
5 2Qn 5g 00
2
n
(eTn-1 xn) ||xn||" < 0. Постановка (10) в алгоритм (2)
призводить до наступно! процедури
k - k + v п
n n-1
(Уп - knT-1 Xn )x
(11)
x
n
2
x
n
вщомо! як алгоритм Качмажа [4, 9], найбшьш швидкодiючий серед простих в обчислювальному вiдношеннi алгорш^в (позначення дивись формули (1) та (2)). Виконаемо дослщження наступно! модифшацп цього алгоритму
kn - kn_J + pn
\yr,
' kn_1 xn )xn
2
(12)
де 0 < рп < 2. Геометрична шюстращя роботи модифiкованого алгоритму
(12) приведена на рис. 1, де показаний процес переходу значень коефщенпв iз точки кп-1 в точку кп. Залежно вiд вибору рп цi значення потрапляють: 1) в точку к"п, якщо рп < 1; 2) в точку к'п, якщо рп = 1; 3) в
точку кп , якщо рп > 1. При цьому:
х
n
I II? II II? II II?
|e nil <11 en II <||0n_J, 0 <p n < 1,
en II2 < IIen II2 < IIen_i ||2, 1 <Pn<2.
Розглянуп вище алгоритми iдентифiкацii були отримаш з умови мiнiмуму квадратичного критерш iдентифiкацii. Однак, як вщомо, застосування такого критерiю призводить до отримання алгорштв, властивостi яких значною мiрою залежать вiд статичних характеристик
ж цьому випадку необхщно
kT х
n_1 n
м1н1м1зац1я якого
корисних сигнал1в та перешкод. П: скористатися модульним критер1ем yn
призводить до алгоритм1в щентифшаци, що мютить нелшшне перетворення вхщно!' величини sign xn. Широко вщомим алгоритмом цього класу е алгоритм Нагумо-Ноди [1 - 4]
T
k - k +n yn ~kn-1xn Kn - Kn-\+ Pn
xTnsignxn
signxn
(13)
де signxn -
- 1, xn < 0,
0, xn - 0, 0 <nn < 2,
1, xn > 0.
Знаковий алгоритм, що володie найбшьшою швидкiстю збiжностi (3) серед знакових алгоритмiв, мае вигляд
К - kn-1 + nn yn - kn-isignxn signxn, (14)
signxn
\signxn f Щ
де yn - h signxn ; signxn - (signxn) signxn
1стотною перевагою даного алгоритму е ще й те, що на його роботу практично не впливають перешкоди на входi технологи хп, якщо вони тiльки не перевершують за величиною корисний сигнал. В шших же алгоритмах перешкоди, що накладаються на хп, призводять до змщення одержуваних оцiнок.
Висновок. Виконаний аналiз методiв параметрично! щентифшацл технологiй може бути використаний для отримання !х адекватного математичного опису Í3 перiодичним коригування алгоритмiв за вщомими вхiдними i вихiдними параметрами в умовах перешкод та ефективного управлшня технологиями. Приведений аналiз модифшованого алгоритму з геометричною iлюстрацiею роботи при переходi з точки kn-1 в точку kn. Розглянутий знаковий алгоритм, що володiе найбiльшою швидюстю збiжностi серед знакових алгоритмiв. 1стотною перевагою цього алгоритму е ще й те, що на його роботу практично не впливають перешкоди на входi технологш.
Список лггератури:
1. Советов Б.Я. Математическое моделирование / Б.Я. Советов, С.А. Яковлев. - М.: Высшая школа, 2001. - 343 с.
2 Kushner H.J. Stochastic Approximation and Recursive Algorithms and Applications. / H.J. Kushner, G.G. Yin. - New-York: Springer-Verlag-New-York-Inc., 2003. - 498 р. 3. Isermann R. Identification of Dynamic Systems / R. Isermann, M.: - Münchhof: Springer, 2011. - 454 р.
4. Жиров М.В. Идентификация и адаптивное управление технологическими процессами с нестационарными параметрами / М.В. Жиров, В.В. Макаров, В.В. Солдатов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. - 203 с.
5. Переверзева А.М. Розробка математично! модел статики технологи насичення очищеного розсолу газами виробництва соди / А.М. Переверзева, А.О. Бобух // Вюник НТУ "ХП1". _ Сер1я: Нов1 ршення в сучасних технолопях. - Х.: НТУ "ХП1". - 2017. -№ 42 (1214). - С. 68-73.
6. Елисеева И.И. Статистика / И.И. Елисеева. - М.: ТК Велби, 2005. - 448 с.
7. Кобзарь А.И. Прикладная математическая статистика / А.И. Кобзарь. - М.: Физматлит, 2006. - 816 с.
8. Kandethody M. Ramachandran Mathematical Statistics with Applications / M. Ramachandran Kandethody, P. Tsokos Chris. - Elsevier, 2014. - 848 c.
9. Richard C. Dorf. Modern control systems / C. Dorf Richard, H. Bishop Robert. - Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 2001. - 831 p.
10. Тюкин И.Ю. Адаптация в нелинейных динамических системах: монография / И.Ю. Тюкин, И.Ю. Терехов. - СПб. : ЛКИ, 2008. - 384 с.
References:
1. Sovetov, B.Ya., and Yakovlev, S.A. (2001), Mathematical modeling. High School, Moscow, 2001, 343 p.
2. Kushner, H.J., and Yin, G.G. (2003), Stochastic Approximation and recursive Algorithms and Applications. Springer-Verlag-New-York-Inc., New-York, 498 р.
3. Isermann, R., and. Munchhof, M. (2011), Identification of Dynamic Systems. Springer, 454 р.
4. Zhirov, M.V., and Makarov, V.V. (2011), Identification and adaptive control of technological processes with non-stationary parameters., MGTU N.E. Bauman, Moscow, 203 p.
5. Pereverzieva, A.M., Bobuh, A.O. (2017), "Development of a mathematical model of static technologies purified brine saturation gas production of sod" // Herald of NTU "KhPI". Series: New solutions in modern technologies, Kharkov, No. 32 (1254), pp. 68-73.
6. Eliseeva, I.I (2005), Statistics. TK Velby, Moscow, 448 p.
7. Kobzar A.I. (2006), Applied mathematical statistics. Physical and mathematical literature, Moscow, 816 p.
8. Kandethody M., Ramachandran, and Chris P. Tsokos (2014), Mathematical Statistics with Applications. Elsevier, 848 p.
9. Richard C. Dorf, and Robert H. Bishop (2001), Modern control systems. Prentice-Hall, Upper Saddle River, NJ, 831 p.
10. Tjukin I.Ju., Terehov, V.A. (2008), Adaptation in the nonlinear dynamic systems: monograph, LKI, SPb, 384 p.
Статтю представив д-р техн. наук, проф. НТУ "ХШ" зав. каф. А ТС та ЕМ Подустов М. О.
Поступила (received) 07.05.2018 Повторно 20.05.2018
Bobukh Anatoly, PhD Tech.,
National Technical University "Kharkov Polytechnic Institute", Str. Kirpicheva, 2, Kharkov, Ukraine, 61002 Tel. +38-096-233-47-96, e-mail:[email protected] ORCID ID 0000-0002-3405-386Х
Pereverzieva Alevtyna, postgraduate,
National Technical University "Kharkov Polytechnic Institute", Str. Kirpicheva, 2, Kharkov, Ukraine, 61002 Tel. +38-095-253-12-63 e-mail: [email protected] ORCID ID 0000-0003-2072-2521
Dzevochko Alexander, PhD Tech.,
National Technical University "Kharkov Polytechnic Institute", Str. Kirpicheva, 2, Kharkov, Ukraine, 61002 Tel. +38-096-937-46-68. e-mail: [email protected] ORCID ID 0000-0002-1297-1045
УДК 517.1:004.942
Аналiз методiв параметричноТ щентифжацп технологш / Бобух А.О., Дзевочко О.М., Переверзева А.М. // Вюник НТУ "ХШ". CepiH: 1нформатика та моделювання. - Харюв: НТУ "ХШ". - 2018. - № 24 (1300). - С . 139 - 148.
Виконаний аналiз методiв параметрично! щентифшаци технологiй може бути використаний для отримання !х адекватного математичного опису i3 перiодичним коригуванням алгоритмiв за вiдомими вхiдними i вихiдними параметрами в умовах перешкод та ефективного управлшня технологiями. Одними i3 найкращих е знаковi алгоритми на роботу, яких практично не впливають перешкоди на входi технологш. 1л.: 1. Бiблiогр.: 10 назв.
Ключовi слова: параметрична iдентифiкацiя; технолопя; коригування; алгоритм; перешкода; ефективне управлшня; знаковi алгоритми.
УДК 517.1:004.942
Анализ методов параметрической идентификации технологий / Бобух А. А., Дзевочко А.М., Переверзева А.Н. // Вестник НТУ "ХПИ". Серия: Информатика и моделирование. - Харьков: НТУ "ХПИ". - 2018. - № 24 (1300). - С. 139 - 148.
Выполненный анализ методов параметрической идентификации технологий может быть использован для получения их адекватного математического описания с периодической корректировкой алгоритмов с известными входными и выходными параметрами в условиях помех и эффективного управления технологиями. Одними из лучших являются знаковые алгоритмы на работу, которых практически не влияют помехи на входе технологий. Ил.: 1. Библиогр.: 10 назв.
Ключевые слова: параметрическая идентификация; технология; корректирование; алгоритм; помеха; эффективное управление; знаковые алгоритмы.
UDC517.1:004.942
Analysis of the methods of parametric identification of technologies / Bobukh A.A. Dzevochko A.M., Pereverzieva A.N. // Herald of NTU "KhPI". Series: Informatics and modeling. - Kharkov: NTU "KhPI". - 2018. - № 24 (1300). -P. 139 - 148.
An analysis of the methods of parametric identification of technologies can be used to obtain an adequate mathematical description with periodic correction of algorithms with known input and output parameters under interference conditions and efficient technology control. One of the best are sign algorithms for work, which are practically not affected by input impediments. Figs.: 1. Refs.: 10 titles.
Keywords: parametric identification; technology; correction; algorithm; efficient technology control; sign algorithms.
