CC BY
32
УДК 656.25
Р. В. РИБАЛКА, В. I. ГАВРИЛЮК, I. О. РОМАНЦЕВ (Д11Т)
УЗАГАЛЬНЕННЯ МЕТОДУ 1ДЕНТИФ1КАЦП Л1Н1ЙНИХ ДИНАМ1ЧНИХ СИСТЕМ ЗА ДОПОМОГОЮ 1МПУЛЬСНОГО СИГНАЛУ
Пропонуеться модифiкацiя методу вдентифшацп лшшних систем за iмпульсною характеристикою, що розширюе область його застосування. Наведено результата дослщжень на прикладi лшшно! динамiчно!' ста-цюнарно! дискретно! системи.
Предлагается модификация метода идентификации линейных систем по импульсной характеристике расширяющая область его использования. Приведены результаты исследований на примере линейной динамической стационарной дискретной системы.
The modification of identification method for linear systems by pulse response that extends its use area is offered. The research results on example of a linear dynamic stationary discrete system are presented.
Вступ
Добре вiдомi методи щентифшаци, яю осно-ваш на застосуванш сигналiв спещально! фор-ми [1]. Часто у випадках, коли це можливо, до-цшьним е використання спецiальних тестових сигналiв, що подаються на об'ект ззовш [2]. Цi методи передбачають щентифшащю поза про-цесом керування, звужуючи область застосу-вання методiв щентифшацп за спецiальними сигналами за рахунок неможливосп щентиф> кацп об'ектiв, як не можуть бути вимкненi з експлуатаци. Додатковою проблемою е генера-цiя тестових сигналiв [2].
Метою роботи е розширення обласп застосування методiв щентифшаци за спещальними сигналами для лшшно! динамiчно! стащонарно! дискретно! системи шляхом приведення вхщ-ного сигналу, який недостатньо точно апрок-симуе обраний спецiальний сигнал, до виду об-раного спещального сигналу. За основу взятий метод щентифшацп за iмпульсною характеристикою (IX), спецiальний сигнал - дельта-функцiя Дiрака за означенням.
Застосування методу корекцн спектрiв до алгоритму щентифжацп за iмпульсною характеристикою
Математичний апарат методу корекци спек-трiв (МКС) наданий у [3]. Об'ектом вимiрю-вання е цифровий фшьтр, створений за анало-говим прототипом коливально! ланки з параметрами, вказаними в [3]. За чисельну оцшку похибки прийняте середньоквадратичне вщхи-лення (див. [3]).
Дискретний аналог ступенево! дi! [4]:
\[nT ] =
1, при n > 0; 0, при n < 0,
(1)
де n - цше число; T - iнтервал дискретизаци.
Дискретним аналогом дельта-функцi!' е оди-нична iмпульсна решiтчаста функцiя [4]:
5[nT ] =
1, при n = 0; 0, при n Ф 0.
(2)
Домовимося, що тд термiном «ПХ, отрима-на прямим методом (ПМ)» будемо розум^и вихiдний сигнал, при вхiднiй дп виду (1) (за означенням). IX, отримана ПМ - за означенням, вихщний сигнал, при вхщнш дп виду (2). Амп-лiтудно-частотна (АЧХ) та фазочастотна (ФЧХ) характеристики, отримаш ПМ, - це вирази (3) та (4), вщповщно, яю отримаш з (5) [5]. Характеристики, отримаш ПМ, вважатимемо еталон-ними.
A (ш) = \W (/ш)|; ф(ш) = arg (W (/ш)); W(/ш) = F{p(t)}; p (t ) = F-1 {W (ш)},
(3)
(4)
(5)
де W(/ш^) - частотно передатна функщя;
/ = V-I - уявна одиниця; ш = 2nf - циклiчна
частота; F-1 - оператор зворотного перетво-рення Фур'е; p(t) - IX системи.
Пщ термшом «IX, отримана за псевдопря-мим методом (ППМ)» розумiтимемо вихiдний
© Рибалка Р. В., Гаврилюк В. I., Романцев I. О., 2009
сигнал, при будь-якш вхщнш дп, не обов'язково виду (2). Вщповщно при вхщнш ди виду (2) результати ППМ та ПМ е тотожно рiв-ними. Пiд «ПХ, отриманою за ППМ» розум^и-мемо характеристику, знайдену за IX, отриманою ППМ, згщно виразу
Н^) = \ р{{)сИ, (6)
замшивши неперервну операщю штегрування И дискретним аналогом [4].
АЧХ та ФЧХ, отримаш ППМ, обраховують-ся за дискретними аналогами виразiв (5), (3) та (4) для IX ППМ.
Застосуемо МКС до даного ППМ щентиф> кацп за IX. Вхщним сигналом е сигнал виду (2). Взiрцевим сигналом встановимо сигнал виду (2). Не очшуеться змш у вхщному та вихiдному сигналах i вщповщно у системних характеристиках.
Використаемо для виршення дано! задачi програмний продукт, ядро якого вiдображае алгоритм, наведений у [3].
Зведемо в таблицю оцшку похибки для характеристик, отриманих за ППМ та ПМ при однаковому вхщному сигналi виду (2) залежно вiд застосування МКС.
Таблиця 1
Похибка щемтифшаци р1змими методами
Системна характеристика ППМ (без МКС)-ПМ ППМ (з МКС)-ПМ
IX 0 1,25E-16
ПХ 2,08E-16 4,78E-15
АЧХ 0 3,48E-15
ФЧХ 0 1,47E-11
В табл. 1 значення 0 для IX в колонц «ППМ (без МКС)-ПМ» очевидне (див. вище за текстом). Ненульове значення оцшки похибки в ПХ виявляе помилку, яка з' являеться при обчис-ленш за допомогою ЕОМ. В колонщ «ППМ (з МКС)-ПМ» з'являються ненульовi значення помилки, якi викривають помилку округлення (в основному через алгоритм дискретного пере-творення Фур'е) при обчисленш за допомогою ЕОМ. Данi табл. 1 можна прийняти за зразков^ за найвищу точнiсть щентифшацп системних характеристик за ППМ.
Для демонстраци ефекту застосування МКС додамо до вхщного сигналу адитивну перешкоду, що пiдкоряеться нормальному закону роз-подiлу випадкових величин. Задамо параметри нормального закону розподшу: математичне
сподiвання 0, середньоквадратичне вщхилен-ня 1. В якосп датчика випадкових чисел з нор-мальним законом розподшу використаемо пакет stats субпакет random програми Maple [6] (використовуеться той самий зразок перешко-ди, що й у [3]).
За допомогою МКС скорегуемо вхщний та вихщний сигнали з адитивною перешкодою. Взiрцевим сигналом для шуканого фшьтру обе-ремо вхiдний сигнал до пщмшування шуму, тобто сигнал виду (2). Очшуетъся, що вихiдний зашумлений сигнал набере форми вихiдного сигналу без шуму, як вщгук на вхщну iмпульс-ну дiю без шуму, тобто, отримаемо IX за ПМ. Застосовуючи програмний продукт, ядро якого вщображае алгоритм, наведений у [3], отриму-емо вхщш та вихщш сигнали:
Рис. 1. Вхвдш сигнали на штервал1 0...5 с:
1 - без перешкоди без корекци; 2 - з перешкодою без корекци; 3 - з перешкодою з корекщею
Рис. 2. Вихщш сигнали на штервал1 0...5 с:
1 - без перешкоди без корекци; 2 - з перешкодою без корекци; 3 - з перешкодою з корекщею
Як видно з рис. 1, вхщний зашумлений сигнал (крива 2) шсля корекци (крива 3) дшсно прийняв форму до зашумлення (крива 1). Знач-ного покращення зазнала форма вихщного сигналу (крива 3 на рис. 2), отримана шсля застосування МКС до криво! 2 на рис. 2, порiвняно до вихщного сигналу (крива 1 рис. 2) як реакщя на криву 1 рис. 1.
Наведемо системш характеристики, отримаш за допомогою спещально розроблено! програми (рис. 3 - 5).
Вщповщш iмпульснi характеристики ств-падають з рис. 2.
З табл. 2 видно, що при застосуванш МКС до щентифшацп за IX при зашумленому вхщ-ному сигналi вщбулося значне покращення якосп щентифшаци, оцшюваного за середньо-квадратичним вiдхиленням [3]: IX в 343,5 разу;
ПХ в 3168,7 разу; АЧХ в 432,7 разу; ФЧХ в 1,05 разу. Найменшого покращення якосп щентиф> кацiï зазнала ФЧХ через неврахування в чисе-льнiй оцiнцi похибки особливостей представ-лення графiка ФЧХ [7].
Рис. 3. ПХ на штерват 0...5 с: 1 - без перешкоди без корекцiï (ПМ); 2 - з перешкодою без корекци (ППМ); 3 - з перешкодою з корекщею (ППМ)
Рис. 4. АЧХ на iнтервалi 0.4 Гц:
1 - без перешкоди без корекци (ПМ); 2 - з перешкодою без корекци (ППМ); 3 - з перешкодою з корекщею (ППМ)
Рис. 5. ФЧХ на штервал1 0.4 Гц:
1 - без перешкоди без корекци (ПМ); 2 - з перешкодою без корекци (ППМ); 3 - з перешкодою з корекщею (ППМ)
Таблиця 2
Похибка вдентифшаци р1зними методами в зале-жносл в1д застосування корекщУ
Системна характеристика ППМ (без МКС)-ПМ ППМ (з МКС)-ПМ
1Х 0,4809 0,0014
ПХ 23,7654 0,0075
АЧХ 15,0131 0,0347
ФЧХ 2,8418 2,7143
З проведеного моделювання видно, що при застосуванш МКС до методу щентифшаци за 1Х вщсутнш недолш, притаманний застосуван-ню МКС до методу щентифшацп за ПХ, пов'язаний з особливютю представлення вхщ-ного тестового сигналу виду ступенево! ди у дискретному перетворенш Фур'е, описаний
у [3].
Висновки
Застосування МКС до методу щентифшацп за 1Х дозволило розширити область застосування методу щентифшаци за 1Х на вхiднi сиг-нали, форма яких недостатньо точно апрокси-муе форму iмпульсного сигналу на входь Як i в [3], вводиться обмеження на вiдсутнiсть нульо-вих компонент у амплiтудному спектрi вхщ-ного сигналу. Через застосування шакшого тестового сигналу, нiж в методi iдентифiкацiï за ПХ, вщсутня помилка iдентифiкацiï, вказана в [3].
Як правило, робочий вхвдний сигнал е дете-рмiнованим i займае вузьку смугу частот. Для виконання вимоги МКС пропонуеться тд час вимiрювання додати до робочого вхщного сигналу перешкоду, спектр я^' не мiстить нульо-вих компонент на необхщному дiапазонi частот. Перешкода може бути малоï енерги для того, щоб не пошкодити iдентифiковану систему та не ввести ïï в область нелшшносп. Це розширюе область застосування методу щен-тифiкацiï за 1Х i на об'екти, яю не можуть бути вимкнеш з експлуатацiï.
Б1БЛ1ОГРАФ1ЧНИЙ СПИСОК
1. Гроп, Д. Методы идентификации систем [Текст] / Д. Гроп. -М.: Мир, 1979. - 302 с.
2. Эйкхофф, П. Основы идентификации систем управления. Оценивание параметров и состояния [Текст] / П. Эйкхофф. - М.: Мир, 1975. - 680 с.
3. Рибалка, Р. В. Узагальнення методу щентифжа-ци лшшних динам1чних систем за допомогою ступеневого сигналу [Текст] // В1сник Дшпро-петр. нац. ун-ту зал1зн. трансп. 1м. акад. В. Лаза-ряна. - 2009. - Вип. 26. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2009. - С. 154-159.
4. Бесекерский, В. А. Теория систем автоматического регулирования [Текст] / В. А. Бесекерский, Е. П. Попов. - 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1975. -768 с.
5. Попов, Е. П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления [Текст] : учеб. пособие для втузов / Е. П. Попов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 304 с.
6. Дьяконов, В. Maple 7: учебный курс [Текст] / В. Дьяконов. - СПб.: Питер, 2002. - 672 с.
7. Smith, S. W. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing [Electron. resource] / Steven W. Smith - Режим доступу: http://www. dspguide.com
Надшшла до редколегп 02.09.2009. Прийнята до друку 15.09.2009.
