Обнаружение импульсного сигнала с неизвестными временными параметрами при наличии мультипликативных и аддитивных искажений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Обнаружение импульсного сигнала с неизвестными временными параметрами при наличии мультипликативных и аддитивных искажений

Ключевые слова: случайный гауссовский импульс, квазиправдоподобный обнаружитель, вероятность непревышения порога, статистическое моделирование

Свидченко С.С. ,

Аспирант МТУСИ

Следуя [1-3], под случайным радиоимпульсом 5(1) будем понимать мультипликативную комбинацию вида

"1, Ы <1/2;

s(t)^(t)l ft-v > l(x) = |

ч то > I

где Хд - время прихода, тл _ длительность сигнала, а £,(1) - реализация стационарного центрированного гауссовского случайного процесса, обладающего спектральной плотностью (СП)

G(O>)= — 2

fl J 1 fi

Здесь Э - центральная частота, О — ширина полосы частот, a d - величина СП.

Полагаем, что случайный радиоимпульс (1) наблюдается на фоне гауссовского белого шума n(t) с односторонней СП Nq- В работах [1,2] на основе метода максимального правдоподобия исследована эффективность приема сигнала (1) при условии, что неизвестно его время прихода. Однако в ряде практических задач длительность радиоимпульса известна не точно. Ниже найдены асимптотические выражения для характеристик обнаружения сигнала (1) с неточно известной длительностью, а также приведены результаты статистического моделирования работы обнаружителя па ЭВМ.

В ряде приложений статистической радиофизики и радиотехники необходимо решать задачу обнаружения информационных сигналов в сложной помеховой обстановке. Рассмотрен практически важный случай обнаружения импульсных сигналов с неизвестным временем прихода при наличии мультипликативных и аддитивных гауссовских искажений. При этом в отличие от приводимых в литературе результатов длительность импульса полагалась известной неточно. На основе метода максимального правдоподобия предложен достаточно простой квазиоптимальный алгоритм обнаружения импульса. Рассмотрены возможности его аппаратурной реализации. С помощью обобщения метода локально-марковской аппроксимации на случай трапе-циидальной формы сигнальной функции решающей статистики найдены замкнутые аналитические выражения для вероятностей ошибок 1 -го рода (ложной тревоги) и 2-го рода (пропуска сигнала). Экспериментально проверка работоспособности синтезированного обнаружителя импульсного сигнала с неизвестным временем прихода и неточно известной длительностью и определение границ применимости найденных асимптотически точных формул для его характеристик были выполнены посредством статистического моделирования на ЭВМ. Как следует из полученных результатов, обнаружитель случайного импульса на фоне гауссовского шума является достаточно эффективным, а теоретические зависимости для вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала удовлетворительно аппроксимируют соответствующие экспериментальные данные уже при выходных отношениях сигнал/шум, больших 0Д..1. Отрицательная расстройка по длительности импульса приводит к более высоким значениям вероятности пропуска сигнала, чем аналогичная положительная расстройка. Кроме того, для каждого значения выходного отношения сигнал/шум существует оптимальная положительная расстройка по длительности (тем большая, чем меньше отношение сигнал/шум), при которой вероятность пропуска сигнала при фиксированном уровне ложной тревоги минимальна. Введение положительной расстройки по длительности полезного сигнала может повысить эффективность работы обнаружителя импульса, синтезированного по методу максимального правдоподобия, при воздействии мультипликативных и аддитивных помех.

Пусть на вход приемного устройства в течение интервала времени [0,Т] поступает реализация x(t) = s(t) + n(t) или x(t) = n(t). По Определению |4] приемник максимального правдоподобия (ПМП) должен формировать логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОН) Цл, т) для всех возможных значений X е [л ], Л i ] - т е [Т|, Тт ] неизвестных параметров Xq и Ту ■ Будем считать, что

ц = т0С1/2л:» 1 • (3)

Тогда в соответствии с [1-3] логарифм ФОН имеет вид

L(X,t) = M(a,t)/N0 -(iQ/2n)(l + q), (4)

M(?l,T) = X+j2y2(t)dt' C5>

Х-т/2

где q = d/N0 , a y(t)= J^x(t')h(t - t')dt' - отклик фильтра с импульсной переходной функцией h(t) на реализацию наблюдаемых данных x(t). причем передаточная функция Н((й) этого фильтра удовлетворяет условию: |Н(А)]|2=1[(Э-Сй)/а] + 1р + ю)/П]. Как известно [1,51, ПМП принимает решение о наличии полезного сигнала па основе сравнения величины абсолютного (наибольшего) максимума логарифма ФОН (4) с порогом с, который выбирается в соответствии с заданным критерием оптимальности. Таким образом, при приеме случайного радиоимпульса с априори известной длительностью с порогом необходимо сравнивать

L = sup L(A.,t0)= sup М(А.,т0)- W

о, 1x1 >1/2;

(1)

Э»Г2.

(2)

Если длительность г() сигнала (1) извсстна неточно,

вместо (6) для сравнения с порогом можно использовать величину

L* = sup ЦлУ)= sup m(?l,t*) (7) ,Л2 ] Яе[Л] ,Л2]

где т — фиксированное ожидаемое (прогнозируемое) значение длительности тп из априорного интервала возможных значений [Т],Тт], причем в общем случае *

Т Ф

Найдем характеристики обнаружителя случайного радиоимпульса (1), работающего на основе (7), в качестве которых будем использовать вероятности ошибок 1-го рода (ложной тревоги) и 2-го рода (пропуска сигнала) [1,5]. Положим вначале, что полезный сигнал отсутствует. Тогда вероятность ложной тревоги а можно записать в виде

а = Р

sup м(^,т*)> с Ы.\|,Л2]

= 1-FN(c)-

(8)

где 1^(с)=Рм(хУ)<4

Для нахождения функции Р^ (с) обозначим / = X/Тц ~ безразмерный Параметр - и представим функционал М*(/)=М(Х,Т*) (5) в виде суммы сигнальной [4]и шумовой[4] функций:

М* (/)=$(/) + Ы(/) • (9)

Здесь 8(/)=/м*{/)\ - сигнальная, Щ=М*(1)-(мЩ

- шумовая функции, а усреднение выполняется по реализациям х(1) ■ С учетом (3) для сигнальной функции полу-

чаем

Ri(M2)='

гЛс)=Р

sup Af * (l) < е

1еГ

= Р

sup JV(l) < с -

1еГ

= Р

sup>1 , 1 „

1сг u+j

•ClM)

интервала [д |, Л т ] существенно превышает длительность т() полезного сигнала (1), т.е. выполняется условие

т - Л2 - Л[ »1 ■ (13)

Тогда, воспользовавшись в (12) асимптотической (при т с —> со) аппроксимацией функции

р(с) = Р 51ГОГ(/)<С , приведенной в [5|, находим

sup Г(/)<с ,/ег

m£N (с) exp-i - -— — ехр

(l + S\Jbr

О,

, с >SN + (7;V v'l + S ;

с < SN +<rH-J\ + S.

(14)

Согласно (14) для вероятности ложной тревоги а (8) получаем

.ш 2

а =

I Ш^м(с)

I - ехр-^ --— " ук ехр

(I + &уДп

>, c>SN + crN VTTS ;

I,

(10)

где 3 = (т* — Т() |/т() - относительная расстройка по длительности сигнала (1).

Корреляционная функция шумовой функции имеет вид

1 + 5-!/, + (П)

О, |/г/2|>! + 8.

7 7 7/

Здесь а^ — Аналогично [11 можно пока-

зать, что функционал Ы(/) (9) является асимптотически (при ц —» оо) гауссовским, 11оэтому при выполнении (3) вероятность (8) можно представить следующим

образом:

+ ом VI + 8 . (15)

Точность формул (14), (15) возрастает с увеличением С, П1 и р.

Положим теперь, что случайный радиоимпульс (I) присутствует на входе обнаружителя. Тогда вероятность пропуска сигнала (1) определится как [1,5]

р=р|и1рМ*(/)<с|- <16>

Разобьем весь интервал возможных значений параметра /ф = Яо/т{) на две подобласти:

г8=[/0-1-б/2,/0+1 + 6/2]. Г„ = г\ГЙ (17) и при Ш »1 (13) аналогично [5] запишем (16) в виде

(18)

Зяесь Р5(г) = р)чирМ*(/)<4 и %(с)=р|кирМ*(/)<Д

\ Ц* ]

- функции распределения величин абсолютных максимумов функционала М ( /) на интервалах Г-ц и Г\ соответственно, Когда выполняется (13)

Р sup M*(/)<cUpJsupM*(/)<c

/еГк

1/ег

t<t)«n(t)

(12)

где Г=[Л!,Л2], Л|-2=Ли/т0, ^^^(с-^У^ТМ), а г{/) - стационарный центрированный гауссовский случайный процесс с корреляционной функцией Кг (/)= тах(0; 1 - / )■ Ограничимся важным с практической точки зрения случаем, когда величина априорного

(19)

и для функции Р\Дс) можно использовать аппроксимацию (14). Для определения вероятности ^(с) аналогично (9) представим функционал М*(/) в виде суммы сигнальной и шумовой функций. Сигнальная функция при выполнении (3) определится как

8(/) = АС(/ - /0,б) + > А = Чт0Еы, (20)

I + гшп(0,у), |х|<|у|/2;

С(х,у) = < I + у/2 - |х|, |у|/2 < |х| < 1 + у/2;

О, |х!>1+у/2;

а для корреляционной функции шумовой функции имеем

116

T-Comm, #8-2013

/г2(10,!|,]2}-шах{(>,т11{!0+1/2;1|+(1+ф;12+{!+^)/2]--та^о-УЗД -(1 + £?)/2;12 -(1+ф]|,

(21)

Из (20), (21) следует, что сигнальная функция £(/) имеет плоскую вершину протяженностью |5|. расположенную на интервале Г() = [/0 - |б|/2;/о +15[/2 ], а время корреляции шумовой функции Ы(/) не превосходит ве-

личины

Т| =1 + 5.

Z = '

Ы2(lo)) <*1[l + minio.5)] + g2n inax(0,5)

sup M (l)< с к? sup М (l)< с

]еГ, >Г„

= Р

sup г(1)< fs(c)

le[0,ms]

Cs(c)= {с - a[ 1 + min(0.5) ]- SN }/a, cr|(l + 5), 5 < 0;

a2 =

2 ^

sup /'(l)< и

JeM

cexp

.V 7

J®

» - ,v(l - p)

M^p)

\dx —CL ex

-

хф и '—

■Jl/r

(26)

2/r

exp

2-pj

(22)

В частности, сигнальная функция максимальна при / = следовательно, выходное отношение сигнал/шум

(ОСШ) [4] для принятого сигнала может быть представлено в виде:

(23)

причем г »1 при выполнении (3), q>0 и 5> — 1. Обозначим через

1Ц = щзирМ*(/) (24>

надежную оценку [3,41 параметра /„, найденную по методу максимального правдоподобия при неточно известной длительности сигнала (1), Согласно [3] при % ф и

'у

г" —> оо оценка / (24) принимает значения из интервала Го = [/0 — |8|/2,/о +|5|/2] с вероятностью, стремящейся к I. На этом интервате 3(/)=8(/0)=А[1+т!г(0,6)]+8]^ а шумовая функция 1М(/) является асимптотически (при (.1 —>оо) гауссовским стационарным центрированным случайным процессом с корреляционной функцией (Ы^)ы(/2)> = <т^[Я1(/1,/2)-1] + ст|, если 5>0 и

{N(/1 )1М(/2)} = а|К| (/1,12 3» если 5 < 0 * Поэтому при г" »1 и выполнении (3)

&(с )=Р

Если

б >-1/2, (27)

т.е. время корреляции г,,. (22) шумовой функции N(7)

превосходит ширину |§| плоской вершины сигнальной

функции 5(/). в (25) величина тд < I ■ Будем считать, что

условие (27) выполняется. Тогда, воспользовавшись (26), находим асимптотическую аппроксимацию функции (25):

(28)

точность которой возрастает с увеличением р и т.. Подставляя (14). (28) в (18), для вероятности пропуска сигнала (3 при 6^0 окончательно получаем

(29)

(25)

_Г|5|/(1 + 8), б<0;

Используя [6], можно найти вероятность непревышения порога и реализацией процесса г(/) на интервале длительностью р < 1:

если с>8м +амл/Т+б. и Р~0, если с<5м + Точность этой формулы возрастает с увеличением с, т, р, г. Отметим, что при 8 = 0 (когда длительность случайного импульса априори известна) для вероятности [1 пропуска сигнала (1) вместо (29) следует использовать аппроксимацию, приведенную в [1,2]. Действительно, в этом случае плоская вершина сигнальной функции 5(/)

(20) решающей статистики М (/) вырождается в точку, и замена интервала возможных значений П, надежной оценки / (24) параметра па интервал Г0, выполненная в (25), не является корректной даже при сколь угодно больших ОСШ,

С целью установления эффективности предложенного обнаружителя случайного радиоимпульса {!) с неизвестным временем прихода и неточно известкой длительностью и установления траниц применимости найденных асимптотически точных формул (15), (24) для его характеристик было выполнено статистическое моделирование алгоритма (7) на ЭВМ, Для сокращения затрат машинного времени использовалось представление отклика у (У)

узко полос но го фильтра с импульсной переходной функцией ¡1(1) (5) через его низкочастотные квадратуры. С учетом условия узкополосности (2) это позволило формировать решающую статистику М*{/) в виде суммы двух независимых случайных процессов

м*(/)=сМ/)+ь2(/)].

/+(1+5)/2 Ь|(/)= I У12(Т>1Т /-М)/2

]х;(?)Ь0(Т-?)с1?>

i = 1,2,

xl(t)=£t(T)l(t-/0)+ñ¡(T).

Здесь С — несущественная постоянная, Т = (/т0 - нормированное время, пДТ) —статистически независимые центрированные гауссовские случайные процессы со СП О0(оо)=ч1(ш/й) и Оп (©) = 1 соответственно, а

спектр Н(¡{и) функции Ьф(Т) удовлетворяет условию:

|Н0(со)2 — [(со/О}- В процессе моделирования с шагом Д1 — 0,05/р формировались отсчеты случайных процессов у| (Г), а затем для всех / е [д |, Л ч ] с шагом Д/ = 0,01

- отсчеты случайного процесса М (/)- При этом ередне-квздратическая погрешность ступенчатой аппроксимации непрерывных реализаций М*(/) на основе сформированных дискретных отсчетов не превышала 10 %. Па основе сравнения наибольшего отсчета М*(/) с порогом с выносилось решение о наличии или отсутствии случайного радиоимпульса (1) в обрабатываемой реализации и но совокупности проведенных испытаний определялись экспери-ментать ные значения вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала.

Некоторые результаты статистического моделирования представлены на рис. 1-4, где показаны также соответствующие теоретические зависимости. Каждое экспериментальное значение получено в результате обработки

не менее 104 реашзаций М*(/) при т = 20, Д|=0-Л2 = т > /о = (Л, + Л2 )/2 ■

1 -"ф 1 1 « 1 с а » ► ] 1 1 о ■

<> 2 л 1 * 1 ■ 1 ч Ь : 1 1 * »

] 0 ! 1 1 1 1 1 1 ( •

о 0,5 1 1,5 с

Рис. I, Теоретические и экспериментальные зависимости вероятности ложной тревоги от величины порога

1 —^ 2 — 3 —* V \ V

\ \ \ с

0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 с[

Рис. 2. Теоретические и экспериментальные зависимости вероятности пропуска сигнала от величины параметра с/ при положительной расстройке по длительности

^ч IV-. и.- ^е—

1 —^

2 —§ \ \

3 —' \ \

\ \

0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 ц

Рис. 3. Теоретические и экспериментальные зависимости вероятности пропуска сигнала от величины параметра д при отрицательной расстройке по длительности

Рис. 4. Теоретические и экспериментальные зависимости вероятности пропуска сигнала от величины расстройки по длительности

На рис. I сплошными линиями изображены теоретические зависимости вероятности ложной тревоги а = а(?), где с = с/х^Е^ - нормированный порог,

рассчитанные по формуле (15) при 8 = -0,25, штриховыми - 0,25- Кривые I соответствуют р —100, 2 - 200. Экспериментальные значения вероятности ложной тревоги нанесены на рис. I квадратиками для р = Ю0. б = 0,25. крестиками - р = 100, 5 = -0,25, кружочками - ¡л = 200, 5 = 0,25, ромбиками - р = 200, б = -0,25-На рис. 2 и 3 для 5 — 0,25 и 5 - —0,25 приведены теоретические зависимости вероятности пропуска сигнала Р = Р(с]), рассчитанные по формуле (29) при р = 50 (кривые 1), 100 (кривые 2), 200 (кривые 3). Экспериментальные значения на рис. 2, 3 обозначены для р = 50* 100 и 200 квадратиками крестиками и ромбиками соответственно. Наконец, на рис. 4 для р = 200 изображены теоретические (сплошные линии 1-3) и экспериментальные (квадратики, крестики, ромбики) зависимости вероятности пропуска сигнала р — р(б) (29). Кривые I (квадратики) построены при q —0,3, 2 (крестики) - 0,5, 3 (ромбики) - 0,7. Величину порога с при расчет е вероят-

118

T-Comm, #8-2013

ности р выбирали в соответствии с заданным уровнем вероятности ложной тревоги а = 0,01 по формуле (15).

Из рис. 1-4 и проведенного анализа следует, что теоретические зависимости для вероятностей а (15) и [3 (29) удовлетворительно аппроксимируют экспериментальные данные уже при |л>50. ц>0,1, 5>-0,4, что соответствует значениям ОСШ 2>0,5,.,1- При этом отрицательная расстройка по длительности случайного радиоимпульса (1) приводит к более высоким значениям вероятности пропуска сигнала, чем аналогичная положительная расстройка. Кроме того, для каждого р и q (каждого ОСШ) существует такая величина 6 > 0 (тем большая, чем меньше р и ф, при которой вероятность пропуска сигнала при фиксированном уровне ложной тревоги минимальна. Таким образом, введение положительной расстройки по длительности полезного сигнала может повысить эффективность работы обнаружителя случайного радиоимпульса (3), синтезированного по методу максимального правдоподобия.

Литература

1. Трифонов А.П., Нечаев Е.П.. Парфенов В.И. Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами. - Воронеж: ВГУ, 1991. - 246 с.

2. Трифонов А.П.. Захаров А.В Прием сигнала с неизвестной временной задержкой при наличии модулирующей помехи // Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника, 1986. - Т.29. - №4. -С. 36-41.'

3. Трифонов А.П.. Захаров А.В.. Чернояров О.В. Пороговые характеристики квазиправдоподобной оценки времени прихода случайного радиоимпульса II Изв. вузов. Радиоэлектроника, 1998.-T.4I.-№10.- С. 18-28.

4. Ку ликов Е.И.. Трифонов АЛ. Оценка параметров сигналов на фоне помех. — М,: Сов. радио, 1978. - 296 с.

5. Трифонов А.П. Обнаружение сингалов с неизвестными параметрами II Теория обнаружения сигналов. - М.: Радио и связь, 1984.-С. 12-89.

6. Жигпявский А.А., Краскоеский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. - Л.; ЛГУ, 1988.-224 с.

Т-Сотт, #8-2013

119