Однопороговый последовательный алгоритм обнаружения прямоугольного радиоимпульса с неизвестными длительностью, амплитудой и начальной фазой Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.391

ОДНОПОРОГОВЫЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ АЛГОРИТМ ОБНАРУЖЕНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО РАДИОИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ДЛИТЕЛЬНОСТЬЮ, АМПЛИТУДОЙ И НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ

© 2017 Б.В. Матвеев, М.М. Шахморадиан, А.А. Макаров

Синтезирован однопороговый последовательный алгоритм обнаружения прямоугольного радиоимпульса с неизвестной длительностью, амплитудой и начальной фазой, наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума. В отличие от известных ранее оптимальных алгоритмов обнаружения он позволяет сократить время анализа наблюдаемых данных и вынести решение о наличии или отсутствии полезного сигнала без потерь в качестве обнаружения. По сравнению с классическим последовательным обнаружителем предложенный алгоритм обнаружения осуществляет сравнение решающей статистики, формируемой в реальном времени, с единственным порогом. Анализ наблюдаемой реализации прекращается либо в момент времени превышения порога, либо при достижении заранее заданного времени. В качестве решающей статистики используется логарифм функционала отношения правдоподобия. Найдены асимптотические выражения для характеристик эффективности функционирования однопорогового последовательного обнаружителя, точность которых возрастает с увеличением отношения сигнал/шум. Рассмотренный однопороговый последовательный алгоритм обнаружения является эвристическим, однако его вероятности ошибок обнаружения совпадают с соответствующими вероятностями ошибок максимально правдоподобного алгоритма. Показано, что при неизменных характеристиках эффективности обнаружения с помощью однопорогового последовательного обнаружителя удаётся получить выигрыш во времени принятия решения по сравнению с известными алгоритмами обнаружения

Ключевые слова: радиосигнал, параметрическая априорная неопределенность, метод максимального правдоподобия, последовательное обнаружение, время принятия решения, вероятность ложной тревоги, вероятность пропуска сигнала

Введение

Задача обнаружения сигнала с неизвестной длительностью на фоне гауссовского белого шума актуальна для практических приложений статистической теории связи, локации, навигации [1-5]. Максимально правдоподобный (МП) алгоритм обнаружения радиосигнала с произвольной формой огибающей,

наблюдаемого на фоне гауссовского белого шума исследован в работе [1]. Показано, что сигнал является разрывным по неизвестному параметру. Получена структурная схема обнаружителя, а также асимптотические выражения для вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала, точность которых возрастает с увеличением отношения сигнал/шум (ОСШ).

Однако применение МП обнаружителя [1] требует анализа наблюдаемой реализации на всём априорном интервале возможных значений длительности сигнала. В работах [2-5] показано, что сократить среднее время анализа позволяет применение однопороговых

последовательных (ОПП) алгоритмов обнаружения сигнала без потери качества обнаружения.

В данной работе предложен ОПП алгоритм обнаружения прямоугольного радиоимпульса с неизвестной длительностью при наличии аддитивных искажений типа гауссовского белого шума. Получены асимптотически точные характеристики эффективности его функционирования. Выполнено сравнение однопорогового последовательного алгоритма с ранее исследованным МП алгоритмом.

Рассмотрим задачу обнаружения радиоимпульса

( ч [яоС05(ю/ Фо), 0<t <То ,

0), Фо, То) = 1„ . „ . (1)

0 ,

t<0,t>т

0 :

наблюдаемого в течение интервала времени [б, Tm ] на фоне аддитивного гауссовского

белого шума n(t) с спектральной плотностью обозначено:

односторонней

N,

о.

В (1)

ао -

техн. наук, e-mail:

Матвеев Борис Васильевич - ВГТУ, канд. доцент, тел. 8-960-138-45-61,

matveevzavkaf@mail. ru

Шахморадиан Махди Мохммадджафар - НИУ «МЭИ»,

аспирант, тел. 8-968-095-01-46,

e-mail: mehdi_shahmoradian@yahoo.com

Макаров Александр Андреевич - НИУ «МЭИ», аспирант.

тел. 8-977-811-93-83, e-mail: o_v_ch@mail.ru

частота, ф0 длительность параметры a0.

амплитуда, ю - центральная - начальная фаза, т0 -сигнала. Полагаем, что Ф0, т0 априори неизвестны и принимают значения из априорных интервалов (-да, да), [о,2л], [ть Т2 ] соответственно.

Сформулируем задачу обнаружения импульса (1) в терминах теории проверки

статистических гипотез, а именно: подлежит проверке простая гипотеза H0 : x(t) = n(t), состоящая в том, что полезный сигнал отсутствует в наблюдаемой реализации x(t) против сложной альтернативы H : x(t) = s(t, a0, ф0, x0 ) + n(t ), согласно которой полезный сигнал присутствует в наблюдаемой реализации x(t ). Предположим также, что интервал наблюдения [0, Tm ] удовлетворяет условию 0 <Т1<Т2< T,, так что импульс (1) полностью находится в этом интервале. По наблюдаемой реализации x(t) необходимо вынести решение в пользу одной из гипотез.

Синтез алгоритма обнаружения

Для синтеза алгоритма обнаружения воспользуемся методом МП [6-8], согласно которому решение о наличии или отсутствии полезного сигнала выносится на основе сравнения с порогом абсолютного (наибольшего) максимума логарифма функционала отношения правдоподобия (ФОП). Если величины —0, ф0, х0 неизвестны, то имеет место априорная параметрическая неопределённость относительно амплитуды, начальной фазы и длительности полезного сигнала [1]. В этом случае логарифм ФОП зависит от трёх переменных [6-8] и может быть записан в виде

2 Т 2 L(a, ф, т) = —— J x(t ) cos (rat -ф) dt - . (2)

0 0 0

Здесь отброшены интегралы от функций, осциллирующих с удвоенной частотой [6,8], т.е. полагается, что Т » 2л/ю .

Величину максимума функционала (2) Lm = sup L(a, ф, х) можно найти с помощью

—,ф,Т

последовательной максимизации логарифма ФОП сначала по амплитуде и начальной фазе, затем по длительности. Тогда имеем

Lm = SUP L(x) ,

где

L(x) = sup L(a, ф, х) = N0 [X2(х) + Y12(х) ^2х , (3)

ХХННсо:Ь<*. (4)

Приёмное устройство формирует функционал (3) для всех возможных значений длительности из априорного интервала [т1; Т2 ] и

находит величину его наибольшего максимума. В результате сравнения величины максимума с порогом к выносится решение в пользу одной из гипотез [6 - 8]. Значение порога к определяется выбранным критерием оптимальности.

В тех случаях, когда требуется уменьшить время анализа, целесообразно использовать ОПП алгоритм [2 - 5], где формирование решающей статистики ¿(т) (3) начинается в нулевой момент времени, а ее анализ - в момент времени t = Т1. Процедура анализа прекращается либо в момент t = т' < Т2 первого превышения ею порога к, либо в момент

времени t = Т2, если момент первого превышения порога выходит за пределы априорного интервала длительности, т.е. т' > Т2. Очевидно, что при этом среднее время анализа всегда меньше или равно Т2 и может быть уменьшено с помощью выбора порога. Если реализация ¿(т) пересекает порог к в момент времени т'е[Ть Т2 ], то выносится решение о наличии сигнала (1) в наблюдаемой реализации. В противном случае принимается решение об отсутствии сигнала. Тогда время анализа решающей статистики Та представляет собой случайную величину вида

Гг, т'<Т, т' , Т < т' < Т ,

T =

a

Т

х'>Т

±2 , ^ ^ Т2 • На рис. 1 показана структурная схема ОПП алгоритма обнаружения, где введены обозначения: И - интегратор от нуля до текущего момента времени I, ГЛИН -генератор линейно изменяющегося

напряжения, РУ - решающее устройство, осуществляющее сравнение выходного сигнала интегратора с порогом к и выносящее решение о наличии или отсутствии сигнала.

Рис. 1. Структурная схема однопорогового последовательного обнаружителя радиоимпульса с неизвестными амплитудой, начальной фазой и длительностью

X

Характеристики обнаружения

ОПП алгоритм может обеспечить сокращение среднего времени принятия решения по сравнению с МП алгоритмом. Поэтому одной из важных характеристик эффективности функционирования ОПП обнаружителя является среднее время анализа (принятия решения) [2-5]. Обозначим: Т. -

время принятия решения при условии справедливости гипотезы Н ■, ^ - время

первого достижения порога к реализацией случайного процесса Ь. (т) = ),

¥} (И, Т) = < Т), j = 0,1 (5)

- функция распределения времени tj .

Найдём функции распределения (5). С этой целью исследуем решающую статистику (3). Подставив выражения (4) в формулу (3) и пренебрегая интегралами от функций, осциллирующих с удвоенной частотой,

(т)

перепишем функционал L ■ (т) в виде

[ zli min(l, т/т0) cos ф0 + Nc (т) 1 2

Lj (т)=-

2z0 Т/Т0

[ zlj min(i Ут0 ) sin фо + Ns (т) 1 2

(6)

2z0 т/т0

^ i»(' & >*•

Здесь обозначено:

|Nc (т)]= 2a^r , 4lcos| К (t)J N0 1 [sin ,

z2 = а2т0 /n0 - ОСШ на выходе приёмника МП для принятого сигнала [8]. Шумовые составляющие Nc (т), Ns (т), как интегралы от произведения белого шума и

детерминированной функции, являются гауссовскими случайными процессами с нулевыми математическими ожиданиями и корреляционными функциями вида N(ti)NC (т2)) = N (tiN (т2) = Z02 min(Ti, т2Ут0 , (Nc (ti)Ns (T2 )) = 0 .

Перейдём в выражении (6) к переменной X = Z^t/Tq , Л!<^<Л2, zOT/TQ ,

Л2 = z^/т0 . Тогда функционал (6) как функция переменной X может быть представлен выражением

L (X) = [j min2 (X0, X) + 2 j min(X0, X)N (X)]/2X +

+ [n2 (X)+N (X)]/2X , Ni(x) = Nc (X)cos Ф0 + N (X)sin Ф0,

где X0 = z02, а Nc (X) и Ns (X) - гауссовские статистически независимые случайные процессы. Нетрудно показать, что

N (X)) = ( Nc (x)> = < Ns (X)) = 0 ,

(Ni(Xi )Ni(X 2 )) = ( Nc (Xi )Nc (X 2 )) = = ( Ns (Xi )Ns (X 2 )) = min(Xi, X2) , т.е. процессы Ni(X), Nc(X), Ns(X) являются стандартными винеровскими случайными процессами.

Функции распределения (5) времени первого достижения порога случайным процессом (6) можно выразить через вероятность

Gj (h,T) = P[Lj (t)< h], j = 0,i (8)

T1<T<T

недостижения процессом L- (т) границы h к

моменту времени T:

Fj (h,T) = i - Gj (h,T).

Найдём сначала вероятность (8) при отсутствии сигнала в принятой реализации (j = 0). Она представляет собой вероятность недостижения границы h случайным процессом L0 (X) = N2 (X) + N2 (X)]/ 2X.

Асимптотическое выражение для искомой вероятности получено в работе [1]:

P[ l (X) < h] >i/Л)hexp(-h) ' h *i ' Xe0\.b Л] [0 , h < i .

Отсюда находим приближённое выражение для функции распределения (5) при j = 0:

(h, T).ii-(TiT)h exp(-h) , h *i , (9)

[i , h < i .

Погрешность формулы (9) уменьшается с увеличением порога h и отношения T/T.

Найдём теперь вероятность (8), а также функцию распределения времени первого достижения границы (5) при наличии сигнала в принятой реализации. При j = i решающая статистика (7) принимает вид

L (X) = min2 (X0, X)/2X + min(X0, X)N (X)/X +

+ [n2 (X) + N2 (X)]/2X .

Перейдём в последнем выражении к новой переменной l = X/X0 , Т/т0 < l < T2/t0 . Тогда имеем

L (l) = zl min2 (i, l )/2l + z0 min(i, l )N (X)/ l +

+ Nc (l) + N2(l)^2l . (10)

В условиях достаточно больших ОСШ последним слагаемым в (10) можно пренебречь. Следовательно, возвращаясь к

F

+

переменной X, при z0 >> 1 получаем приближенное равенство

Z1(x)« min2 (X0, X)/2X + min(X0, X)N (X)/X. (11) Функция распределения момента первого достижения границы случайным процессом (11) найдена в [5]

" fe-h + Л./2)2'

^T )=1 "тзУexp

Ф

>-Ai

x Ф

>-Ai

>-Ai

F

(h, T ) = 1 -J exp

2A1 - exP(|)x

d| , A < X0 2 , ,„2

(12)

(|+X0/2)2 + h2 - hX

2Xn

f uz \

exp

h|

VX о J

( ut\

Ф

Xo -Ai

+ 1.

Ai

XoAi VXo (xо -Ai)

exp

h|

V X 0 J

Ф

X0 -Ai

-I.

Ai

XoAi VX0 (xo -Ai)

Ф

л/Ä-X

o +- 1

x Ф

2 л/A^X VA-Xo |

- exP(-|)x

VA-Xo

d|

-v/2^Xo

A > X

o

где Л = z02 Tjx0 , ф(х)= Г exp(-12/l)dt/-

J—ад

интеграл вероятности.

Функции (9), (12) позволяют найти вероятности ошибок обнаружения -вероятность ложной тревоги

а(й,Т2) = P(to <Т2)= Fq(Й,Т2) (13)

и вероятность пропуска сигнала

р(й, Т2) = > Т2) = 1 -^(й, Т2). (14) Подставляя функции распределения (9) и (12) в формулы (13) и (14) соответственно, находим искомые вероятность ложной тревоги

а(й, Т)*!1 -(Т1/Т2 )Й еХР(-Й) ' й *1 ' (15) [1 , й < 1

и вероятность пропуска сигнала

ß(h, Т2 ) = J exp

exp

Л.>Л ( Ф

(| + Zo2/2)2+ h2 - hzo2

2z 2

h|

exp

Ф

Vzo J f 1Л (

h|U

zo

h To-T, | Ti

T,

zo V To Ti

h К -Ti 1 i Ti

zo

T

zo V To Ti

x (16)

) VT2 /To - i

+

I

Л

WT2/To - i

x Ф

T2 /To 1 2

I

WVTo - i

- exP(-|)x

V ' d| .

Полученные выражения вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала для ОПП алгоритма как частный случай совпадают с аналогичными вероятностями для МП алгоритма обнаружения, рассмотренного в [1], а вероятность пропуска сигнала асимптотически совпадает также с вероятностью пропуска при использовании МП алгоритма обнаружения сигнала без высокочастотного заполнения с неизвестной амплитудой [5].

Используя выражения (9), (12), находим аналогично [5] среднее время принятия решения ОПП алгоритмом

Т) = Т1Р(г, <Т1 )+(+ Т2>Т2) =

= Ti + J[ i - Fj (h, T) ]

T) IdT .

Если известны априорные вероятности р0 и рг отсутствия и наличия сигнала соответственно, а также априорная плотность вероятности w(x) неизвестной длительности,

можно ввести безусловное среднее время принятия решения

Tau = P0Ta0 + P1Tau1 , (17)

где Tau1 = Г 2 Ta1(x) w(x) dx - безусловное среднее ■'Т1

время принятия решения при наличии сигнала.

Нетрудно видеть, что для МП алгоритма обнаружения [1] время анализа соответствует максимально возможной длительности полезного сигнала Т2. Поэтому выигрыш во

времени анализа ОПП алгоритма по сравнению с МП алгоритмом можно характеризовать величинами относительного времени принятия решения

Xj = Taj/Т2 , X = TajТ2 , (18)

x

x

z

o

o

z

I

x

2

x

z

2

I

z

2

o

x

o

h

x

h

x

o

2

T

i

которые показывают, насколько сокращается время принятия решения ОПП обнаружителем по сравнению с временем T2, требуемым для принятия решения МП обнаружителем. Если величина х < i (18), то ОПП алгоритм обнаружения, обеспечивая выигрыш в величине среднего времени анализа, обладает такой же асимптотической эффективностью обнаружения, как и МП алгоритм. Если заданы априорные вероятности p и p отсутствия и наличия сигнала, а также априорное распределение неизвестной длительности, то для характеристики качества обнаружения можно использовать среднюю (полную) вероятность ошибки [6]

Pe = WX + piß , (19)

где а определяется из

(15), а ß = 1 2 ß(z)w(t)dz -

Jii

безусловная вероятность пропуска сигнала.

Таким образом, эффективность обнаружения ОПП алгоритмом определяется значениями среднего времени принятия решения (17), вероятности ложной тревоги (15), условной вероятности пропуска сигнала (16) и средней безусловной вероятности ошибки (19). Поскольку все перечисленные характеристики являются функциями порога к, то величину порога можно выбирать на основе требуемых показателей качества обнаружения, например, одним из следующих способов: величина порога Иа находится из решения уравнения а(Иа, Т2) = е по заранее заданной вероятности ложной тревоги е (критерий Неймана-Пирсона) [6-8]; величина порога Иp находится из

решения уравнения Pe (Ир ) = Р по заранее

заданной средней безусловной вероятности ошибки Р; величина порога И% находится по

заранее заданной величине выигрыша X в среднем времени принятия решения, то есть из решения уравнения х(Их) = Х; величина порога

И находится из условия минимума средней безусловной вероятности ошибки [6 - 8]:

Итт = а^М- ре (и) .

В качестве примера на рис. 2, 3 изображены зависимости величин %0 и ул (18) соответственно, характеризующих выигрыши ОПП алгоритма обнаружения во времени принятия решения, от параметра к = Т2/Т, определяющего динамический диапазон возможных значений длительности. При

построении кривых порог выбирался по критерию Неймана-Пирсона как решение уравнения а(И, Т2 ) = е, где е - заданная величина, а г0 = 5. Сплошные кривые соответствуют е = 10-1, штриховые - е = 10-2, штрих-пунктирные - е = 10-3. Как видно из рис. 2, с ростом динамического диапазона возможных значений длительности

относительное среднее время принятия решения при отсутствии сигнала снижается, а при наличии сигнала - увеличивается. Средний выигрыш во времени принятия решения однопороговым последовательным алгоритмом зависит от априорных вероятностей наличия и отсутствия сигнала в принятой реализации.

Хл

0.98

0.96

0.94

0.92 0.9

2

10

20

30

40

к

Рис. 2. Выигрыш во времени принятия решения последовательным алгоритмом обнаружения по сравнению с максимально правдоподобным при отсутствии полезного сигнала

Xi

0.8

0.6

0.4

» *

г / /

2 10 20 30 40 к

Рис. 3. Выигрыш во времени принятия решения последовательным алгоритмом обнаружения по сравнению с максимально правдоподобным при наличии полезного сигнала

Заключение

Применение однопорогового

последовательного алгоритма обнаружения сигнала с неизвестными длительностью, амплитудой и начальной фазой позволяет сократить среднее время принятия решения по сравнению со временем анализа на основе метода максимального правдоподобия. При этом однопороговый последовательный и максимально правдоподобный алгоритмы обеспечивают одинаковую эффективность обнаружения сигнала с неизвестной длительностью: обладают одинаковыми вероятностями ложной тревоги и пропуска сигнала. При наличии сигнала выигрыш во времени принятия решения может доходить до 50 процентов. Если известны априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала в принятой реализации, а также априорная плотность вероятности неизвестной

длительности, можно осуществить выбор порога по критерию минимума средней вероятности ошибки. В этом случае характеристики однопорогового

последовательного обнаружителя

асимптотически (с ростом отношения сигнал/шум) совпадают с характеристиками байесовского обнаружителя.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 14-49-00079).

Литература

1. Трифонов А.П. Обнаружение радиосигнала с неизвестными длительностью, амплитудой и начальной фазой / А.П. Трифонов, Ю.Э. Корчагин, М.В. Трифонов // Известия ВУЗов. Радиофизика. - 2015. - Т. 58. - № 5. - С. 401-414.

2. Галун С.А. Обнаружение и оценка момента изменения интенсивности пуассоновского потока / С.А. Галун, А.П. Трифонов // Автоматика и телемеханика. -1982. - № 6. - С. 95-105.

3. Корчагин Ю.Э. Пороговый последовательный алгоритм обнаружения сигнала с неизвестной длительностью / Ю.Э. Корчагин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2003. - Т. 6. - № 2.- С. 51-57.

4. Трифонов А.П. Однопороговый последовательный алгоритм приема сигнала с неизвестной длительностью / А.П. Трифонов, М.Б. Беспалова, Ю.Э. Корчагин // Известия ВУЗов. Радиофизика. - 2006. - Т. 49. - № 6. - С. 525-536.

5. Корчагин Ю.Э. Однопороговый последовательный алгоритм обнаружения сигнала с неизвестными амплитудой и длительностью / Ю.Э. Корчагин // Известия ВУЗов. Радиофизика. - 2012. - Т. 55. - № 12. - С. 800-808.

6. Теория обнаружения сигналов / П.С. Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович и др.; под ред. П.А. Бакута. - М.: Радио и связь, 1984. - 440 с.

7. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и радионавигации / Ю.Г. Сосулин. - М.: Радио и связь, 1992. - 304 с.

8. Трифонов А.П. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех / А.П. Трифонов, Ю.С. Шинаков. - М.: Радио и связь, 1986. - 264 с.

Воронежский государственный технический университет

Национальный исследовательский университет «Московский энергетический институт»

THE SINGLE-THRESHOLD SEQUENTIAL ALGORITHM FOR DETECTION OF THE RECTANGULAR RADIO PULSE WITH UNKNOWN DURATION, AMPLITUDE

AND INITIAL PHASE

B.V. Matveev1, M.M. Shahmoradian2, A.A. Makarov3

'PhD, Associate Professor, Voronezh State Technical University, Voronezh, Russian Federation

e-mail: matveevzavkaf@mail.ru 2Graduate student, National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Moscow, Russian Federation

e-mail: mehdi_shahmoradian@yahoo.com 3Graduate student, National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Moscow, Russian Federation

e-mail: o_v_ch@mail.ru

We synthesize the single-threshold sequential algorithm for the detection of the rectangular radio pulse with unknown duration, amplitude and initial phase observed against Gaussian white noise. Unlike common optimal detection algorithms, it allows us to reduce the time needed for taking decision on presence or absence of the useful signal in the observable realization without decrease in detection quality. Unlike the classical sequential detector, the introduced detection algorithm carries out the comparison of the decision statistics formed in real time with a single threshold. The analysis of the observable realization stops either at the time of the threshold crossing, or when the predetermined time comes. As the decision statistics we use the

logarithm of the functional of the likelihood ratio. We find the asymptotic expressions for the characteristics of the efficiency of the single-threshold sequential detector whose accuracy increases with the signal-to-noise ratio. The considered single-threshold sequential detection algorithm is the heuristic one, but, however, its detection errors probabilities coincide with the corresponding probabilities of errors allowed by the maximum likelihood algorithm. We also show that, under invariable characteristics of detection efficiency, we can get a gain in the decision time, if we apply the single-threshold sequential detector instead of the common detection algorithms

Key words: radio signal, parametric prior uncertainty, maximum likelihood method, sequential detection, decision time, false alarm probability, missing probability

References

1. Trifonov A.P., Korchagin, Y.E., Trifonov M.V. "Detection of Radio Signals with Unknown Duration, Amplitude, and Initial Phase", Radiophysics and Quantum Electronics, 2015, vol. 58, no. 5, pp. 361-372.

2. Galun S.A., Trifonov A.P. "Detection and Estimation of the Time when the Poisson Flow Intensity Changes", Automation and Remote Control, 1982, vol. 43, no. 6, pp. 782-790.

3. Korchagin Yu.E. "Threshold Serial Algorithm for Detecting of Signal with Unknown Duration", Wave Process Physics and Radio Engineering Systems (Fizika Volnovykh Protsessov i Radiotekhnicheskie Sistemy), 2003, vol. 6, no. 2, pp. 51-57.

4. Trifonov A.P., Bespalova M.B., Korchagin Yu.E. "Single-Threshold Sequential Algorithm for Receiving a Signal with Unknown Duration", Radiophysics and Quantum Electronics, 2006, vol. 49, no. 6, pp. 474-484.

5. Korchagin Yu.E. "Single-Threshold Serial Algorithm for Detecting Signals with Unknown Amplitudes and Durations", Radiophysics and Quantum Electronics, 2013, vol. 55, no. 12, pp. 719-727.

6. Akimov P.S., Bakut P.A., Bogdanovich V.A., et al. "Signal Detection Theory" ("Teoriya obnaruzheniya signalov"), Ed. by P.A. Bakut, Moscow, Radio i Svyaz', 1984, 440 p.

7. Sosulin Yu.G. "Theoretical Principles of Radar and Radio Navigation" ("Teoreticheskiye osnovy radiolokatsii i radionavigatsii"), Moscow, Radio i Svyaz', 1992, 304 p.

8. Trifonov A.P., Shinakov Yu.S. "Joint Discrimination of Signals and Estimation of Their Parameters Against the Background of Interferences" ("Sovmestnoye razlicheniye signalov i otsenka ikh parametrov na fone pomekh"), Moscow, Radio i Svyaz', 1986, 264 p.