Квазиправдоподобная оценка временного и энергетических параметров широкополосного случайного импульса на фоне белой и коррелированной помех Текст научной статьи по специальности «Физика»

-►

Радиотехника, антенны, СВЧ устройства

УДК 621.391

О.В. Чернояров

КВАЗИПРАВДОПОДОБНАЯ ОЦЕНКА ВРЕМЕННОГО

И ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ШИРОКОПОЛОСНОГО СЛУЧАЙНОГО ИМПУЛЬСА НА ФОНЕ БЕЛОЙ И КОРРЕЛИРОВАННОЙ ПОМЕХ

В ряде практических приложений локации и связи необходимо измерять временные и энергетические параметры случайных импульсных сигналов, наблюдаемых на фоне помех. Следуя [1—3], случайный импульсный сигнал запишем в виде

*0 J

.. Г1, я <1/2;

(1)

w 1 0, Ьс >1/2, ( )

где - время прихода, т0 - длительность импульса, Щ) - реализация стационарного гауссовского случайного процесса с математическим ожиданием (МО) a0 и спектральной плотностью (СП).

Здесь Q0 - ширина полосы частот, а D0 - дисперсия процесса £(t).

Флуктуации процесса ^(t) будем считать "быстрыми", так что выполняется условие

ц = T0Q0/4n >> 1. (2)

Положим, что импульсный сигнал (1) помимо собственных шумов радиоэлектронной системы, аппроксимируемых гауссовским белым шумом n(t) с односторонней СП N0, искажается аддитивной внешней помехой v(t). В результате наблюдению доступна смесь

x(t) = s(t) + n(t) + v(t), t e [0,T]. (3)

В качестве модели внешней помехи выберем стационарный центрированный гауссовский случайный процесс, обладающий СП

G» = (Y0/2)/(ffl/Qi),

где 01 > О 0 - ширина полосы частот; у0 - величина СП (интенсивность) процесса v(t). Примерами таких помех могут служить непреднамеренная (взаимная) помеха, прошедшая через входной фильтр (преселектор) приёмного устройства [4] или преднамеренная заградительная шумовая помеха [5, 6].

В работе [3] исследованы оценки времени прихода, математического ожидания (МО) и дисперсии сигнала (1) при условии, что остальные параметры импульса априори известны. Однако достаточно часто длительность импульса может быть известна неточно, так что приёмное устройство изначально настраивается на некоторое ожидаемое (прогнозируемое) значение длительности т*, в общем случае не равное т0. Кроме того, используемые при синтезе алгоритма оценивания значения интенсивностей N и у* действующих помех также могут отличаться от своих истинных величин N0 и у Ниже найдены характеристики оценок временного и энергетических параметров сигнала (1) при расстройке по длительности и СП помехи и белого шума, а также приведены результаты теоретического и экспериментального (методом статистического моделирования на ЭВМ) исследования работоспособности предложенного измерителя.

При выполнении (2) логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) ¿(А, т, а, В, N у) для гипотезы х(р) = s(t) + п(р) + у(1) против альтернативы х(^) = n(t) как функцию текущих значений А, т, а, В, N у неизвестных параметров А т0, а0, В0, N0, у0 можно представить следующим образом [3]:

L{K,l,a,D,N,y)=

dl^jl,т) | 7h | 2а^М (N + y\N + y+d) N{N + у) N + y+d

ün

N + y+d 4к

xln

N

N

Здесь d = 4n D/Q0, Km = Q/Q0 ,

X+x/2

I,M = I JoW^.

X-t/2

Л.+Т/2

L2(X,t)= f *(f)A,

X-kl

T

¿3 = J yftOdt,

(4)

а У,- (i)= Л x(t') Л; (i -1') dt', i = 0,1 - отклик фильтра с передаточной функцией Н.(ю), удовлетворяющей условию |Н.(ю)|2 = /(ю/Q.), на реализацию наблюдаемых данных x(t) (3).

Обозначим [Лр Л2] - априорный интервал возможных значений неизвестного параметра A0. Тогда оценки A, aq и D0 времени прихода A0, МО a0 и дисперсии D0 случайного импульса (1) с неточно известной длительностью при наличии белой и коррелированной помех с неточно известными интенсивностями определятся как

Xq = arg sup т* , a?, Dq, N*, у ) = arg sup Lq (A,), (5)

^[Л^Лг]

Xe[A!,A2]

&q = arg sup L(Xq д'*, a, Dq, N*, y') = L2 (A,,, T* )/x\

Dq = dsgswpL{kq,x\aq,D,N* ,y)=

DäO

(6)

Здесь

"WÑ+K)'

-In

ÁEn+K)

(7)

-1

а Е*ы = */4п, Е* = П0у*/4п - ожидаемые (прогнозируемые) средние мощности белого шума и(?) и внешней помехи v(t) в полосе частот анализируемого процесса ф).

Оценки (5), (6) назовем квазиправдоподобными оценками (КПО). Действительно, при т = т0, N = N у* = у0 КПО (5), (6) переходят в соответ-

ствующие оценки максимального правдоподобия (ОМП) [3].

Рассмотрим характеристики оценок A, aq и

D . С этой целью, вводя безразмерный параметр

q ❖

l = A/t0, представим функционалы L2(A,t ) (4) в виде суммы сигнальных и шумовых функций [7]:

т*) = S(l)=i = 1,2 (8)

Здесь S.(l) = ^L .(a, т*)} - сигнальная, N.(l) = L .(a, т*) -- (l.(A, т*)} - шумовая функции, а усреднение выполняется по реализациям x(t) (3) при фиксированных значениях всех неизвестных параметров. С учётом (2) для сигнальных функций находим:

Здесь q = Е /Е№ qo = п2 = 2a02/EN, l0 = Vv

S1(Z) = x0£w{(l+ívXl+8t)+(Í0+42/2)c(/-í0,8t)}t

(9)

отно-

En = Q N о/4п, E = ПоУ„/4п, 5x = (т* - ^Д,-сительная расстройка по длительности полезного сигнала (1),

С(х,у) =

1 + min(0, у), |*|<Н/2; 1 + у/2 — |jt| , |у|/2<|*|<1 + у/2; 0, |х| >1 + у/2.

Корреляционные функции шумовых функций имеют вид

(Nl(l1)N1{l2)} = (TlEl/^){{í + qjR1(l1J2) + + к (2 + 2?v + <7о) + Л2 (1 + <7v + <7о)] R2 (!М)},

(10)

(N2(h)N2{l2)) = (t20En/2ií){ (1 + qv)R1{l1,l2) +

где

R Ah) = -

"l + ST-|Z1-Z2|, |/i-/2|<l + 6T;

0,

+ (1 + 8T)/2;Z2 + (1 + 8T)/2]- max[/0 -1/2;^ -- (1 + 5T)/2;/2 - (1 + ST)/2]} .

Введем в рассмотрение величину

г = Ц-1/2, (11)

которая при выполнении (2) является малым параметром. Тогда, учитывая (8)-(10), функционал (7) можно представить в виде:

^(/) = |1(1 + 5,){5г1(0-1 + еЛГ1(0-

- (/)+еЛТ1(/)-(?2 (0+еМ2 (1)/^ ] }.(12) Здесь нормированные функции

ш=

5,(0

т0(1 + 5т)Х(1 + ^Х1 + 5 ,)'

5,)'

N,(1)411

Т0^(1 + 9уХ1 + 8£Х1 + 8т)'

2ц

(13)

2Ч/ т0(1 + 6Т(1+^XI + )'

а 5Е = (К + Е - Ем - + Е) - относительная

расстройка по средней мощности (интенсивности) суммарной помехи п(^ + .

Предположим, что величины д^ д0 и п конечны, так что дисперсии нормированных шумовых функций -^1(/) и Л^(/) ограничены при любых ц. Кроме того, нормированные сигнальные функции 5 1(/) и 5 2(/) не обращаются в нуль при 1 е Г, Г = [Л ,Л ], Л = Л12/т0. С учётом (2) разложим (12) в ряд Маклорена по г и ограничимся первым членом разложения, зависящим от реализации наблюдаемых данных х(() (3). В результате при г ^ 0 имеем

где

5гД/) = 51(/)-1-1П[51(0-522(/)]

(14)

(15)

нормированная сигнальная;

- нормированная шумовая функции.

(16)

Введём в рассмотрение отношение сигнал/ шум (ОСШ) для принятого сигнала. С этой целью заметим, что сигнальная функция (15) монотонно возрастает с ростом функции С(1 -¡0,5т) и имеет плоскую вершину протяженностью | 5т|, расположенную на интервале Г0 = [/0 - |5т|/2;/0 + |5т|/2]. В частности, максимальна при I = 10. Тогда согласно [7] выходное ОСШ г2 определится как

1 + 8,

- +

2д0+Т\2

— 1п

где

2(1 + ^Х1 + 5£)[1 + тах(0,5т)] 1 , 2д0 + Г|2 тах(0,8Т) (1 + 8Т)

(17)

1 + 8я 2(1 + ^)(1 + 8я)[1 + тах(0,8т)]

о; = [ (ч0 - (1 + «V ))2 + л:2(1 + «V + Чо) ]/ /(1 + ^)2(1 + 8£)2(1 + 8т),

если 5 < 0, и

т '

2=(1 + ?у+?о)(1 + ?у+?0+Л2)+81(1 + ?у)2

а+^+а^+о2

(1 + ?у)(1 + 6Е)(1 + 81){2(1 + 6,)[(1 + 9г)(1 + 8,)+во]+л28,}

(1 + 8т)2[(1 + 9У +?О)2 + 8,(1 + 9у)2]+Л28т[1 + ?у +8,(1 + 9у +?0)]

+ 4

{2(1 + 81)[(1 + ^)(1 + 8,)+9о]+Т128,}2

если 5т > 0. Из (17) следует, что при д0 > 0, > 0, 5т > -1, 5Е > - 1 и ц ^ да ОСШ г2 ^ да при любых конечных значениях п.

В процессе анализа измерителя (5), (6) все возможные оценки времени прихода целесообразно разбить на два класса: надёжные и аномальные [7]. Нормированная оценка ^ = А?/т0 является надёжной, если она находится в пределах интервала Гх = [/0 - 1 - 5т/2; 10 + 1 + 5т/2], где сигнальная функция (15) зависит от истинного значения оцениваемого параметра ¡0. Если же оценка находится вне интервала Г5, то есть ¡^ е ГN = Г\Г5, то оценка и соответствующая ошибка оценивания называются аномальными [7].

При да надёжная оценка ¡ч (5) принимает значения из интервала Г0=[¡0 - 15т|/2 - 5; ¡0+15т|/2+5], где 5 << 1, с вероятностью 1. Поэтому, когда

г >> 1, для расчёта характеристик надёжной оценки ¡q достаточно исследовать поведение функционала (14) на интервале [¡0 - |5т|/2; ¡0 + |5т|/2] и в малых окрестностях точек ¡0 ± |5 |/2. Обозначим Д = шах{||5|/2 - ^ - ¡0||, ||5|/2 - ¡2 - ¡0||, ^ - ¡2} Тогда при Д ^ 0 для (15), (16) справедливы асимптотические разложения:

2<у„+п2

-In

1 +

S (1) = -

2(l + 9vXl + max(0,5r))

2д0+Ц2 _r¿

2(1 + 9, )(l + max(0,5j) 2(l + qv\1 + max(0,8, ))2 + Asmin(0,|6x|/2-|i-/0|)+o(A),

(18)

(лгД)ЛГ?(/2)) = a2 + A's min( 0,8, - I, -10\- \l2 -10 )--of lt-l2 -o2[min(0;5j + + max(0;/1 -l0 -8T/2;i2-l0 -8T/2)--min^ -10 + 8t/2;Z2 -10 + 5T/2) ] + o(A), где AS - несущественная постоянная,

A = 2gp +Л2(2 + 2^ +g0)+6£(l + gv)(n2-2g0)

s 2(l + 9v)(l + ?v+?0)(l + 5£Xl + §J '

c2 _ k - S£ (1 + qv )f + rf (l + qv Xl + bE f 1 (l + 9v+9o)2(l + 5£)2(l + 8t)2 '

2 _ q0{2 + 2qv + q0) + l\2(l +qv +qa)

2" (1 + Ív)2(1 + 8£)2(1 + 8J2

(l + ív+9o)2(l + 8T)2 __2g0(2 + 2qv+q0)

(1 + Ív)(1 + 9v+^0)(1 + 5eX1 + St)2 '

если 5 < 0, и

_ 2q0+T\¿

s 2(1 + ?v)(1 + 5£)(1 + St)

2go(l + 5T)-ii2(l-ST) 2(l + 8T)[(l + ívXl + 8T) + 9o] + ri28T'

—2 _ 1 1_(l + 8E)2(l + 8T)2 4(1 + gv jig, (i + 8X)+(1 + gv Xl - 8£ Xl + ST )2 - Л2 (1 + S£ - 8T)]

(1 + 8e)[2(1+8tX(1 + 9vXl+8t)+9o)+TI28t]2

. <Zo

(2 + 2qv+q0)+42(l + qv+q0)

2 (1 + 9у)2(1 + 8£)2(1 + 8т)2 да (2 + 2д, + <?„ XI + 8Т )2 - л12 [1 + дч - (1 + дч + <?„)] [2(1 + 5тХ(1 + 9уХ1 + 5т)+9о)+Т128т]2 4 (2 + + <?0 )(1 + 8 +Т125, (1 + ^ + д0)

(1 + 9Л1 + 6£Х1 + 8т)[2(1 + 5тХ(1 + 9Л1+5т)+9о)+лЧ] ' если 5 > 0.

т

Выберем значение 5 настолько малым, что при Д < 5 выражения (18) можно аппроксимировать главными членами асимптотических разложений с требуемой точностью. Тогда на основе результатов работ [8,9] можно получить приближенные выражения для условных (при фиксированном ¡0) смещения и рассеяния У0Ш=(('? -/о)2) надёжной оценки ¡ (5):

йьШ-о.

(19)

V0(l,|l0)=^ + exp

|5,

|5,| ( ЗВ,

,2 „2

13В,

4к

В

зв.

2 J

S, Д1

2я

В2 13В2

3--

зв,

22ВЛ 13В2

2к

Здесь

к =

AÍVM-

Vof+oi

2, 8<0, 'Bl=|2CTl2/(af+o2),8>0, *2 =

а Ф(х) = £^ехр(- г2/2)<й/л/2л - интеграл вероятности.

Формулы (19) получены в предположении, что время корреляции |5т| шумовой функции -^(¡) превосходит ширину плоской вершины сигнальной функции 5 ^¡) (15), то есть

|5| > -1/2, (20)

и их точность возрастает с увеличением ц (2) и 2 (17). Полагая в (19) 5т = 0, получаем рассеяние нормированной надёжной КПО времени прихода сигнала (1) с априори известной длительностью. Если же, кроме того, 5Е = 0, то рассеяние (19) переходит в рассеяние нормированной надёжной ОМП [3].

Согласно (19) предельное (при г ^ да) значение рассеяния ^(^¡о) надёжной оценки ¡^ равно 5т2/8. Следовательно, рассеяние КПО (5) даже при

очень малых случайных искажениях импульса (1) ограничено снизу постоянной величиной (т* - т0)/8, и при 5т ф 0 оценка (5) не является состоятельной.

Рассмотрим теперь пороговые (т. е. с учётом аномальных ошибок) характеристики оценки (5). Аномальные ошибки возможны, если приведённая длина [7] т = А2—А1 априорного интервала возможных значений времени прихода 10 значительно больше протяжённости интервала Г5 надёжной оценки, то есть

т >> 1.

(21)

Так как надёжные и аномальные решения об оценке являются несовместными событиями, то условные смещение ь(!?|10) и рассеяние ^(1^) оценки Iс учётом аномальных ошибок можно представить в виде [7]:

РЛШ+ (!-Ро)КШ= (1 - РоМФ .

(22)

где Р0 =р[|/, йВД и ^Ю - со-

ответственно вероятность и условные смещение и рассеяние (19) надёжной оценки, а Ьа(1?|10) и ^(^Ю - условные смещение и рассеяние аномальной оценки. Согласно [7] при выполнении (21)

+ Л^/2 -= = (л22 + А,А2 + А] )/3 - (л2 + А, )/0 + II,

а для вероятности Р0 можно записать

(23)

Здесь Рц{и) = Р[Н3 <и] и ^дг{и) = Р[Нм<и] -функции распределения величин абсолютных максимумов и Ид функционала Ь (I)

Ч

(7) на интервалах надёжной Г5 и аномальной Гд оценок. Будем считать, что ОСШ (17) достаточно велико, поэтому для расчёта вероятности (23) достаточно найти аппроксимации подынтегральных функций ¥д (и) и ^ (и), асимптотически точные при и ^ да [7].

Вероятность надёжной оценки при т* = т0 найдена в [3]. Поэтому ограничимся рассмотрением

случая т* ф т0 (5т ф 0). Определим вначале вероятность (и). Учитывая (9)—(11), перепишем функционал Ь (!) (7) при I € Гд в виде:

(1+8£)7ГТ8;

ю

-1п

1+

л/1 + 8

10

ч1 + 8тУ

(24)

2(1+ 8Х)

N.

20

1 + 8

т У

Здесь функции

М10{1/(\ + 8х))=^(/)(1 + 8йУ1 + 5т,

^2ОО/(1 + 8т))-^2Щ1 + 8£Х1 + 8т),

причём согласно (10), (13)

(ЛГ10(/)) = <ЛГ2О(0> = 0, (мЩ = (мЩ = 1,

(^10(/1)ЛГ10(/2)) = (ЛГ20(/1)ЛГ20(;2)) = тах(0;1-|/1 -12\).

С учётом (2) разложим (24) в ряд Маклорена по малому параметру е (11) и ограничимся двумя первыми членами разложения, зависящими от реализации наблюдаемых данных (3). В результате при е ^ 0 имеем

А, (гМЕ+|л% (/) -ЛЕ V + §т ))2+< (/)] Д+о(е), (25)

где Sд = -ц (1 + 5х)[Де(1 + Ад/2) + 1п(1 - Ад)],

Ад = 8д/(1 + 8д). Опустим здесь члены разложения порядка е и меньше. Учтём, что функционал И20 (!) гауссовский, а И10 (!) асимптотически (при выполнении (2)) гауссовский [1], причём

(^10(^1)^20(^2))я 0. Тогда, при ц >> 1 функционал (25) можно аппроксимировать выражением

ь(1)=БЕ +Х\

/ I л 1 + 8т

+х;

1 + 8т

(26)

Здесь X! (I), Х2 (!) - реализации независимых стационарных гауссовских случайных процессов

с МО (^1(0) = -ДЯЛ/ц(1 + 5х)/2, (Х2(1)) = 0 и

одинаковыми корреляционными функциями (Х1(11)Х1(12)) = (Х2{11)Х2(12)) = = шах(0;1-|/1 -12\ )/2.

Используя (26), вероятность FN (u) можно представить следующим образом:

Fn(«)=P

sup Lg(l)<u

шг„

= р

sup ф)<т]и-БЕ

где £(/) = (I) + Х\ (0 - стационарный обобщенный релеевский случайный процесс [10], коэффициент корреляции R(Д) квадратур X1 (¡), X2 (¡),которого при Д ^ 0 допускает представление R(Д) = 1 - |Д|.

Когда выполняется (21)

Fn(и) = Р\ sup ОД < >-5я \.

(27)

Воспользовавшись в (27) асимптотической (при да ^ да, м ^ да) аппроксимацией функции

распределения f(u) = Лsup£(/)<и\, найденной в [10], имеем: ^г -1

ехр 0,

--^ф(Л/2(И-5£),|Д£|Л/ц(1 + 8,)) 1 + от

,и>Н,

(28) и<Н,

где Я = 5£ +(|Ле|>(1 + 8х) + 7з)2/2,

Ф(И, г) = {И[И - г11(гИ)/10(гИ)] ехр[-(И2 + 72)/2]/0(гИ),

а 10 (), I () - модифицированные функции Бесселя нулевого и первого порядков.

Перейдем теперь к определению вероятности

Fs (м) (23). При т* ф х0 и zo

функционал L (l)

0 2 А -' ' 2 V

допускает представление (14), а надёжная КПО ¡^ принимает значения из интервала Г0 с вероятностью, стремящейся к 1. На этом интервале согласно (18) сигнальная функция 5?(/) постоянна, а шумовая функция N(1) является асимптотически гауссовским стационарным центрированным случайным процессом с корреляционной функцией )ЛГ,(/2)) = (о2 + а^яАЛг) при 5 < 0 и

(Ь)ЛГ,{12)> = (/1,/2) + ст! при 5 > 0. Поэтому при г >> 1 и выполнении (2):

Fy(u) = supL (l)<u

Р< sup L (l)<u [• =

ter„

= P

sup r(l)<h(u)

fe[0,m,]

Здесь тБ — |5т|/(1 + 8Х), если 5 < 0,

и т5 =о5181./[о|г(1 + 8т) + 02], если 5 > 0,

/г(М)=[М-ц(1 + 8,)5<г(^0)]/аД1 + 8т)^, о,, определяется из (17), а г(/) - стационарный центрированный гауссовский случайный процесс с корреляционной функцией

(г(к М'г)) ~ тах( 0; 1 - - /21).

Используя [11], можно найти вероятность непревышения порога и реализацией процесса г(¡) на интервале длительностью р < 1:

= f*

sup r(l)<u >[0,р] .

и - x(l - р) л/р(2-р).

= *о(и.р) =

ехр

( ^ v

dx л/2л

(30)

р и

л/2л

ехр

ч 2

Ф

1 V2-P

vp(2"p), Г и2

271

ехр

2-Р,

При выполнении (20) в (29) величина т5 < 1. Воспользовавшись (30), находим асимптотическую аппроксимацию функции (29)

(31)

точность которой возрастает с увеличением ц и z . Подставляя (28), (31) в (23), при 5 ф 0 оконча-

тельно получаем P°%,(l + 8x)V274i]eXP

1 + от

Х][2 + тЛл2(И)-1)]ехр[-^|ф

h(u).

s(2-ms)

2л

h(u)exp

h2{u)

2 — гпг

2-ms

du.

(32)

Точность формулы (32) возрастает с увеличением m, ц (2) и z„ (17).

Полагая в (32) 5В = 0, получаем выражение для вероятности надёжной оценки времени прихода случайного импульса (1) при априори известных СП помехи и белого шума.

Найдём теперь характеристики оценок aq и D (б).Ограничимсяусловиемвысокойапостериорной точности, когда z >> 1, и вероятностью аномальной ошибки Pa = P[lq е rs] = 1 - Po при оценивании времени прихода можно пренебречь. В этом случае КПО lq принимает значения из интервала Г0 с вероятностью, стремящейся к 1, так что погрешности измерения параметра lo не превосходят

величины |5т|/2. Тогда для условных смещений

^tó b0(Dq\D0) и рассеяний V0(aq\ao\ V0(Dq\D0)

оценок a , D (6) путём непосредственного усред-

qq

нения по реализациям x(t) (3) функционалов (4) находим:

К [aq |«о) = «о max(0; ST )/(l + 5Т),

V0{aq\a0) = bo{aq\a0)+ + EN[l + qv+q0/(l + тах(0,8Т)) ]/2ц(1 + 8 J,

(33)

b0(Dí|D0)=-[^/(l + 5T)][(90-r12/2(l + 8T))max(0;5T)--S£(l + ív)+(l + ?v + V(l + max(0;5j)Mi ].

V0{Dq\D0)=bl{Dq\Da)+ + к/ц(1 + 5T)]{(1 + qv+ q0f/(l + max(0;5T))+ + [max(0;6j/(l + 6T)][(l + 9v)2 + + Tl2(l + ?v+Í08,/(l + 8T))/(l + 6j]}.

При 5т = 0 приходим в (33) к выражениям для характеристик КПО энергетических параметров ao и Do случайного импульса (1) с априори известной длительностью. Если же, кроме того, выполняется условие 5В = 0, то формулы (33) описывают смещения и рассеяния ОМП МО и дисперсии импульсного сигнала на фоне белой и коррелированной помех [3].

С целью проверки работоспособности предложенного измерителя временного и энергетических параметров случайного импульса и установления границ применимости асимптотически точных формул для его характеристик было выполнено статистическое моделирование алгоритма совместного оценивания (5), (6) на ЭВМ. В процессе моделирования, следуя методике, изложенной в [9], на интервале [Л!,Л2] с шагом

А! = 0,01 формировались отсчёты функционалов

Ц1) = ф,т)/10М0, £,(/) = х)/^^ (4) и согласно (5), (6) определялись оценки !, а , D .

Ч Ч Ч

При этом относительная среднеквадратическая погрешность ступенчатых аппроксимаций непрерывных реализаций процессов Ц{1), на основе сформированных дискретных отсчётов не превышала 10 %. Посредством усреднения по всем обработанным реализациям находились условные смещения и рассеяния оценок.

Некоторые результаты статистического моделирования представлены на рис. 1-6, где показаны также соответствующие теоретические зависимости. Каждое экспериментальное значение получено в результате обработки не менее 104 реализаций x(t) (3) при = 0, А2=т, ¿о -(^1 +Л2)/2, ду = 0,5, = 2а2т0/#0 = 10 и 8д=-0,25 (рис.1, а - 6, а) или 8д = 0,25 (рис. 1, б - 6, б). На рис. 1, 2 сплошными линиями нанесены зависимости нормированного условного рассеяния У(д0) = 12 V} |!0)/т2 (22) КПО ! ^ с учётом аномальных ошибок при т = 20 и 8т = -0,1 (рис. 1), либо 8т = 0,1 (рис. 2). Штриховыми линиями на рис. 1, 2 показаны аналогичные зависимости нормированного условного рассеяния 1~(д0) = 12 |!0)/т2 (19) надёжной КПО Кривые 1 здесь рассчитаны для ц = 50; 2 - 100; 3 - 200. Экспериментальные значения нормированных условных рассеяний V V надёжной оценки ! и оценки ! с учётом аномальных ошибок для ц = 50, 100 и 200 обозначены на рис. 1, 2 плюсиками, кружочками, треугольниками и квадратиками, крестиками, ромбиками соответственно.

На рис. 3, 5 (для 8т = 0,1) и 4, 6 (для 8т = -0,1) изображены теоретические зависимости нормированных условных рассеяний V (д0) = 2 V0(a |а0)/Дд, V Мо) = (33) КПОЛ и~0 . Эксперимен-

тальные значения рассеяний Vп, V при т = 2 + 8т (когда оценка времени прихода является надёжной), показаны плюсиками, кружочками, треугольниками, а при т = 20 (когда при оценивании времени прихода возможны аномальные ошибки) -квадратиками, крестиками и ромбиками. Остальные обозначения такие же, как на рис. 1, 2.

На основании полученных результатов можно сделать такие выводы. Как следует из рис. 1, 2, теоретические зависимости (19) для условного рассеяния надёжной оценки ! удовлетворитель-

Ч

но аппроксимируют экспериментальные данные

Рис. 1 (а, б). Нормированное рассеяние оценки времени прихода при отрицательной расстройке по длительности импульса

а) б)

а)

'Т1

0,2

ОД

0,05

0,03 0,02

0,01 0,005

] с ] [ ] □ □ г г- 1

/ < + У +- 4 □, у

)

г ! Г с > 0 X "Л Ж !

V У < >__ J и

_____ 1 1 О ^ д \ 2

^ 3

а)

'л

0,2

ОД

0,05

0,03 0,02

0,01

0,005

б)

%

0,2 ОД

0,05

0,03 0,02

0,01

0,005

] [ : [ ] □ - + +- + □ Г +. ]ип -г1 [ V

! ) о < У о о Xх ъ/

/ \ >■ Ь А л, Д д< ^о)

> Го

* < > о • А А^* \ 2

ОД 0,2 0,3 0,5 0,7 1

2 3 д0

ОД 0,2 0,3 0,5 0,7 1

2 3 д0

Рис. 3 (а, б). Нормированное рассеяние оценки математического ожидания при отрицательной расстройке по длительности импульса

б)

] [ ] с 3 □ 1 д

< : 7 < + □ с f + \

) У ^

> < р -< 5 о > X Э 0

1 1 о ь д 2

3

0,005

ОД 0,2 0,3 0,5 0,7 1 2 3 д0

ОД 0,2 0,3 0,5 0,7 1 2 3 д0

а)

б)

/

и

!Л ;

2Л \ / /

Зл Д\ У /

3__Е Э-£ >—< к* -8Г8

> < г <

0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 1

3

Уд

0,8 0,7 0,6 0,5

0,4

0,3

0,2

ОД

□ 2

□ п г

□ п у У

к □ V /

[\ у л

_3з у г

* \ 1 1 >

ОД 0,2 0,3 0,5 0,7 1

Рис. 5 (а, б). Нормированное рассеяние оценки дисперсии при отрицательной расстройке по длительности импульса

3 Чо

при ОСШ > 2,5...3, а теоретические зависимости (22) для рассеяния оценки Iс учётом аномальных ошибок - при ц > 50, ц0 > 0,1, что соответствует значениям 2 > 1...1,5. При 2 < 2,5 и дЕ < 0 тео-

(19)

отклоняют-

ретические зависимости . 0Г г0,

ся от экспериментальных значений, поскольку формула (19) для рассеяния надёжной оценки времени прихода не учитывает ограниченную протяженность априорного интервала [л1,А2] возможных значений параметра 10. Вследствие этого, когда рассеяние ^(1^) становится соизмеримым или большим величины (Л2 — Л^)2/12, точность формулы (19) существенно ухудшается. При 2^ < 3 и 5В > 0 экспериментальные значения рассеяния надежной оценки Iсущественно отличаются в большую сторону от соответствующих теоретических значений. Кроме того, при фиксированных параметрах ц, д0, ц п, 5х в случае положительных расстроек 5Е по средней мощности суммарной помехи обеспечивается заметно меньшее выходное ОСШ (17), чем при соответствующих отрицательных расстройках, причём

это различие возрастает с увеличением ц, д0, п и уменьшением ц. Таким образом, при практической реализации измерителя (5), (6) переоценка мощностей действующих помех менее желательна, чем эквивалентная недооценка. Отклонение теоретических зависимостей ^(1^) (19), Р(1?|10) (22) от экспериментальных значений может наблюдаться также и при больших ОСШ, когда ц0 > 2...3. Это связано с тем, что формула (19) для рассеяния надёжной КПО времени прихода получена в пренебрежении ошибками оценивания порядка времени корреляции случайного процесса Следовательно, когда рассеяние оценки ¡^ убывает до величины порядка ц-2 , погрешность формул (19), (22) становится значительной.

Согласно рис. 3-6, формулы (33) для рассеяний КПО и Dг (6) удовлетворительно аппроксимируют соответствующие экспериментальные данные при 2 > 2 для 5В < 0 и при 2 > 3 для

-»—ж- ^ ^

5В > 0. При 2 > 3...4, когда вероятность аномаль-

Ч

ных ошибок при оценивании параметра Х0 достаточно мала, рассеяния оценок МО и дисперсии, полученные при т < 1 (порядка единицы или менее) и т >> 1, практически совпадают.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трифонов А.П., Нечаев Е.П., Парфенов В.И.

Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами. Воронеж: ВГУ. 1991. 246 с.

2. Трифонов А.П., Захаров А.В., Парфенов В.И. Эффективность приёма случайного импульсного сигнала с неизвестными параметрами // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36. № 7. С. 1300-1308.

3. Чернояров О.В., Сидорова Н.А. Оценка временного и энергетических параметров широкополосного случайного импульсного сигнала при наличии помехи с неизвестной интенсивностью // Вестник Московского энергетического института. 2009 № 2. С. 124-138.

4. Трифонов А.П., Алексеенко С.П. Квазиправдоподобная оценка дисперсии стационарного гауссовско-го случайного процесса. // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1994. Т. 37. № 11. С. 10-18.

5. Вакин С.А., Шустов Л.Н. Основы радиопротиводействия и радиотехнической разведки. М.: Сов. радио. 1968. 443 с.

6. Палий А.И. Радиоэлектронная борьба. М.: Воен-издат. 1981. 320 с.

7. Трифонов А.П., Шинаков Ю.С. Совместное различение сигналов и оценка их параметров на фоне помех. М.: Радио и связь. 1986. 264 с.

8. Трифонов А.П., Захаров А.В., Чернояров О.В.

Пороговые характеристики квазиправдоподобной оценки времени прихода случайного радиоимпульса // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1998. Т. 41. № 10. С. 18-28.

9. Чернояров О.В. Статистический анализ случайных импульсных сигналов на фоне белой и коррелированной помех в условиях параметрической априорной неопределенности // Моделирование развития информационно-телекоммуникационных систем. СПб.: Изд-во "Синтез Бук". 2009. С. 79-145.

10. Трифонов А.П., Чернояров О.В. Вероятностные характеристики абсолютного максимума обобщенного рэлеевского случайного процесса // Изв. вузов. Радиофизика. 1999. Т. 42. № 12. С. 1213-1222.

11. Жиглявский А.А., Красковский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. Л.: ЛГУ 1988. 224 с.