Модели параметрических и непараметрических обнаружителей сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.322

МОДЕЛИ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ И НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОБНАРУЖИТЕЛЕЙ

СИГНАЛОВ

Н.М. Новикова, В.Г. Ляликова

В данной статье рассматривается математическое моделирование обнаружителей сигналов, использующих знаковый алгоритм, знаково-ранговый алгоритм, алгоритм Байеса и алгоритм максимального правдоподобия. Представлены результаты вычислительного эксперимента. Проведен сравнительный анализ качества обнаружения сигналов рассмотренными методами при наличии гауссовского шума и хаотической импульсной помехи

Ключевые слова: обнаружение сигналов, статистические алгоритмы, непараметрические алгоритмы,

моделирование, сравнительный анализ

Обнаружение сигналов в помехах является одним из важнейших вопросов в теории и технике информационных систем, систем связи и систем радиолокации. Общей особенностью сигналов и помех является то обстоятельство, что в реальных системах, в месте приёма они представляют собой случайные величины, а их изменение во времени - случайный процесс.

При проектировании систем связи, радиолокации и других часто приходится сталкиваться с ситуацией, когда характеристики сигналов заранее не известны или подвержены изменениям. В этих условиях классические алгоритмы, связанные с предположением о нормальности помехи, могут оказаться неэффективными. При отклонении закона распределения шума от нормального такие алгоритмы утрачивают свою оптимальность, а при изменении

параметра нормальной помехи, не

обеспечивают расчетные показатели.

Для современных радиотехнических систем различного назначения характерна работа в сложной помеховой обстановке, когда статистические характеристики сигналов и помех заранее неизвестны. В настоящее время широкое распространение получили

непараметрические статистические методы, применение которых не предполагает знания функционального вида распределений.

Обнаружитель называют непараметрическим, если при отсутствии сигнала (наличии только шума) распределение вероятностей его решающей статистики не зависит от

распределения шума [3]. Это значит, что такой обнаружитель обеспечивает постоянную

вероятность ложных тревог независимо от статистических характеристик шума. При

Новикова Нелля Михайловна - ВГУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 20-87-15 Ляликова Виктория Геннадиевна - ВГУ, аспирант, тел. (4732) 74-51-50, е-шаД vikalg@yandex.ru

современном развитии компьютерных технологий работу этих обнаружителей можно оценить, построив их имитационные модели и осуществив вычислительный эксперимент.

Целью работы является проведение сравнительного анализа характеристик непараметрических и параметрических статистических алгоритмов применительно к задаче обнаружения сигнала, наблюдаемого на фоне гауссовского шума и хаотической импульсной помехи.

Постановка задачи. Пусть в течение некоторого времени (0,Т) на вход системы поступает реализация случайного процесса х = Б + Е, (1), которая может быть либо шумом, либо суммой полезного сигнала и шума, где Е, - либо реализация аддитивной гауссовской помехи с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, либо смесь гауссовской помехи и импульсной помехи. Импульсные случайные процессы

представляют собой последовательность одиночных импульсов в общем случае разной формы, следующих друг за другом через некоторые промежутки времени.

-(^р)

£ = А ■ е 2 - квазидетерминированный

сигнал, где А-амплитуда сигнала, t0 - время

прихода сигнала - неизвестный параметр, распределенный по равномерному закону на интервале [0,Т], 1>текущий момент времени.

В связи с тем, что импульсные случайные процессы являются наиболее опасными в радиолокации, поэтому представляет интерес исследовать эффективность параметрических и непараметрических обнаружителей при гауссовком шуме и наличии такой помехи.

Рассмотрим работу обнаружителя, который проводит разделение входных данных на два класса. Любое решающее правило можно описать как некоторую критическую область в пространстве векторов входных сигналов. При попадании входного сигнала в

эту область принимается решение о наличии искомого объекта. В противном случае принимается решение об его отсутствии.

В случае, если мы располагаем определенными сведениями о зависимости событий от вызывающих их причин, мы можем использовать один из наиболее удобных способов, которым является метод проверки статистических гипотез. В этом методе исследуется физическое явление,

математическую модель которого представляет случайный процесс X ^) с не полностью известными характеристиками. Относительно неизвестных характеристик модели

выдвигаются взаимно несовместимые гипотезы

Ио,Иі,..Ит .

В случае обнаружения

детерминированного сигнала б(1;) в аддитивном шуме задача будет состоять в проверке гипотезы Н0 о том, что наблюдаемая в

некотором интервале [0..Т] реализация х(1;) является гауссовским шумом, против альтернативы Н1 , согласно которой эта реализация является смесью полезного сигнала и шума.

При конечном значении энергии сигнала и наличии случайного шума принятие решения о наличии или отсутствии сигнала всегда сопровождается двумя ошибками [4]. Ошибка первого рода (ложное обнаружение) будет возникать в случае принятия решения о том, что есть сигнал при верной нулевой гипотезе Н0, предполагающей, что сигнала нет (шум превосходит порог и принимается неправильное решение). Ошибке второго рода (пропуск сигнала) соответствует случай принятия решения об отсутствии сигнала, в то время как сигнал есть, но не обнаруживается в помехах (сигнал присутствует, но не превышает заданный порог). Здесь ошибка возникает вследствие того, что признается правильной нулевая гипотеза Н0 .

Ошибки при обнаружении сигнала представляют собой случайные события, которые можно характеризовать их вероятностью. Вероятность ошибки 1-го рода а, а 2-го рода в [1]. Вероятность пропуска сигнала в непосредственно связана с вероятностью правильного обнаружения Б:

Б = 1 -в.

Для вероятности ложного обнаружения

получаем а =

^оп (и")йи,

где (оп (и)-плотность вероятности

напряжения шумов.

Для вероятности пропуска сигнала можно написать

ад

в =1 - {о (и¥и.

Вероятность правильного обнаружения

ад

° = 1 -в=\0ш (и¥и , где 0п (и) -

плотность вероятности смеси сигнала и помехи.

Отсюда следует, что необходимо найти такой алгоритма обработки принятого сигнала, который бы минимизировал ошибку ложного обнаружения и максимизировал вероятность правильного обнаружения.

Байесовский алгоритм. При наличии полной априорной информации о сигнале и шуме, используют критерий среднего риска (байесовский критерий). Оптимальное байесовское правило обнаружения

основывается на минимизации среднего риска [2]:

1 1 -

К = ££ П]1р] (х\Н} )йх , (1)

1=0 1=0 Хх

Х1 - область принятия решения.

Здесь ЦпЦ ()Д =0,1) - матрица потерь; р1 = 1 - р0 - априорная вероятность наличия сигнала; Wn (х \ Н}-) - условная плотность

вероятности (функция правдоподобия)

наблюдаемой выборки в предположении, что верна гипотеза Н 1 .

Байесовский алгоритм обнаружения сводится к сравнению с порогом отношения правдоподобия

гп (х\Нг)

1( х) =

(2)

К(х|Ио)

Значение порога определяется формулой

С = П оі П оо

Ро

П10 П11 р1

(3)

Принимается решение у1 (отклоняется

гипотеза Н0, т е. сигнал присутствует), если 1(х) > С, и принимается решение у0 (принимается гипотеза Н0, т.е. наблюдается

только шум), если 1(х)<С.

Алгоритм максимального правдоподобия.

Если неизвестна и матрица потерь П^, и

и

Н

о

и

априорные вероятности гипотезы альтернативы И1, то применяется критерий

максимального правдоподобия, согласно

которому при наблюдении выборки х = (х1з.., хп) принимается та из гипотез,

которой соответствует большее значение функции правдоподобия выборки.

Принимается гипотеза

Но

если

Ж(х | Ио) > Ж(х | И1) (решениеуо) и

отвергается эта гипотеза, если Ж(х | И1) > Ж(х | Ио) (решение у1).

Оптимальный алгоритм максимального правдоподобия предписывает вычисление отношения правдоподобия (2) и сравнение его с единицей [2].

Знаковый алгоритм. Согласно знаковому алгоритму альтернатива И1 о наличии положительного сигнала признается верной, если для независимой выборки х = (х1;х2..,хп) :

(4)

С - выбранный порог, определяемый заданным значением вероятности а , а знаковая функция определяется так

х /1, х > 01

sgn х1 = г^ = |0 0^

|^| |0,х < °

При неравенстве, обратном (4),

альтернатива Н1 отвергается и принимается

гипотеза Н0 об отсутствии сигнала [1].

При заданной величине а порог С определяется следующим образом С = (хал/п + п)/2 (5)

где ха - процентная точка нормального

распределения, соответствующая вероятности ложных тревог [2].

Знаково-ранговый алгоритм. В знаковоранговых обнаружителях используется информация не только о знаках элементов выборки, но и о рангах абсолютных величин этих наблюдений. Учет знаков позволяет улучшить характеристики обнаружения без нарушения непараметрических свойств обнаружителя [1]. Пусть х = (хь..., хп) -

наблюдаемая независимая выборка и К+ -ранг элемента |х11. Один из возможных

знаково-ранговых алгоритмов обнаружения положительного сигнала на фоне помех состоит в сравнении с порогом суммы тех компонент вектора положительных рангов, которые соответствуют положительным

выборочным значениям х1 > 0 . Таким образом, выносится решение о наличии сигнала, если

!к+> с .

При заданной величине а определяется следующим образом

порог С

п п(

С = 2( а

!п+-) (6). 3 2

где ха - процентная точка нормального

распределения соответствующая вероятности ложных тревог [2].

Моделирование сигнала и шума. Нормальный гауссовский процесс

моделировался методом скользящего суммирования. Для того чтобы получить данный процесс, сначала моделировалась стационарная случайная последовательность у(п) независимых нормальных случайных чисел с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Далее с помощью линейного преобразования:

N

№[ п ] = Е СкУ[ п - к ]

к=1

получалась последовательность №[п],

_Т2_

коррелированная по закону К(т) = е 2 ,

где Ск - весовые коэффициенты, которые для данной корреляционной функции рассчитывались следующим образом.

Ск = ^2^)2/п е~К^> .

Импульсный случайный процесс можно описать следующим образом [9]:

ад

№) =Е А1/1 (t - t,),

I=-ад

/1,1: < 1 < 1: +Т: где ^(1 -1:) = | , где

[0, при _ других _ 1

т1 - длительность импульса.

Для моделирования хаотической импульсной помехи сначала формировалась последовательность с равномерным

распределением с параметрами [-1,1]. Далее преобразуем эту последовательность в у(1) таким образом, чтобы обеспечить постоянство значений на протяжении всей длительности импульса т . На основе у(1) по следующему условию:

/1, у^) > 0,

|0,у(0 < 0

I =1

г=1

формировалась импульсная

последовательность со случайным

генерированием единичных и нулевых

посылок. Затем, применяя амплитудную

модуляцию, получаем амплитудно-

манипулированную хаотическую импульсную помеху.

Сигнал моделировался как случайная величина с равномерным распределением времени появления и квазидерминированной амплитудой для 100 предъявлений. Процесс (1) получался аддитивным сложением реализации сигнала б(1) и реализации шума №) .

Рассмотрим выбор параметров

моделирования. Процесс х(1) с непрерывным временем при моделировании заменялся процессом х(кД1;) с дискретным временем: 1=кД1;, где Д1> шаг дискретизации процесса. Для моделирования процесса был выбран шаг дискретизации Д1 = 1/10 при пятипроцентной точности воспроизведения случайного процесса х(1)

Моделирование параметрических

обнаружителей. Оптимальный обнаружитель формирует функционал отношения

правдоподобия Ь и принимает решение о наличии сигнала путем сравнения Ь с некоторым порогом, определяемым критерием оптимальности.

Моделирование байесовского обнаружителя проводилось при равных априорных вероятностях наличия и отсутствия сигнала, а платы за принятые решения имели следующие значения: П00=0.4 П01=1.8, П10=3, П11=1.

Формировались функции:

Ь3 (V) = s(t) + №,($) - при наличии сигнала

Ь (V) = £,($) - при отсутствии сигнала.

Реализации Ь3 (V) и Ь^ (V) сравнивались с порогом (3). Подсчитывались вероятности ложной тревоги а = Р[Ь^ (V) > С ] и пропуска

сигнала в = Р[Ьх (V) < С ], а также вероятности правильного обнаружения Ро6н = Р[Ь!1 (V) > С]

при различных отношениях сигнал/шум.

Моделирование обнаружителя

максимального правдоподобия проводилось аналогичным образом при тех же условиях. Реализации Ь3 (V) и Ь^) сравнивались с

порогом С=1.

Моделирование непараметрических

обнаружителей. Знаковый обнаружитель подсчитывает следующую статистику:

£ = У И(хг), И(хг) =

і=1

/1, х > 0;

[0, х. < 0 ’ где п-объем выборки, х(1)=б(1)+ ) - при наличии сигнала

х(1;)=№^) - при отсутствии сигнала. Далее накопленная статистика

сравнивалась с порогом (5) при уровне а = Ю — . Подсчитывались вероятности пропуска сигнала в = Р[£ < С ] и вероятности правильного обнаружения Робн = Р[£ > С] при

различных отношениях сигнал/шум.

Моделирование знаково-рангового

обнаружителя проводилось аналогичным образом. Подсчитывалась статистика:

£ = 1<=1ЛЛ х,),

і=1 і=1

где - ранг положительного элемента

в вариационном ряду, составленном из значений х1з х2 ,..хп. Далее внивалась с порогом (6) при уровне а = Ю-8 . Подсчитывались

вероятности пропуска сигнала в и вероятности правильного обнаружения Робн.

В результате проведения вычислительного эксперимента получены вероятности

правильного обнаружения, которые

представлены на рисунке при смеси гауссовского шума и импульсной помехи, а также вероятности ложных тревог и вероятности пропуска сигнала. Эти вероятности рассчитывались как частота события по 1ооо реализациям. Основные результаты эксперимента представлены в таблицах 1-2.

х

абсолютных

статистика

-Байес -ш- м»;с. правдоподобия ■Знаковый -ж-Знаков о-рангоЕ;ый

Зависимость вероятности правильного обнаружения от отношения сигнал/шум при наличии смеси гауссовского шума и импульсной помехи.

Таблица 1 Средние значения вероятности правильного обнаружения от отношения ______________сигнал/шум.___________________

Aлгoритм Гауссов ский шум Смесь гауссовского шума и импульсной помехи

Параметрические алгоритмы

Макс .Правдоподоби я 0.796 0.787

Байеса 0.846 0.842

Непараметрические алгоритмы

Знаковый 0.749 0.560

Знаково-ранговый 0.778 0.664

Таблица 2

Средние значения вероятности пропуска сигнала от отношения сигнал/шум._________

Aлгoритм Гауссов ский шум Смесь гауссовского шума и импульсной помехи

Параметрические алгоритмы

Макс.Правдоподобия 0.204 0.213

Байеса 0.154 0.158

Непараметрические алгоритмы

Знаковый 0.251 0.440

Знаково-ранговый 0.222 0.336

Можно заметить, что при наличии в гауссовском шуме импульсной помехи у всех обнаружителей уменьшились характеристики обнаружения. У алгоритма максимального правдоподобия вероятность правильного обнаружения упала на о,9%, а у алгоритма Байеса на о,4%. У знакового алгоритма вероятность правильного обнаружения упала достаточно сильно на 18,9%, а у знаковорангового на 11,4%. Вероятность ложных тревог для параметрических и

непараметрических алгоритмов

устанавливалась на уровне 1о 8.

Проведенный анализ показывает, что знаково-ранговый алгоритм оказывается эффективнее знакового в среднем на 6,65%. Алгоритм Байеса эффективнее алгоритма максимального правдоподобия в среднем на 5,25%, знаково-рангового алгоритма в среднем на 12,3%, а знакового в среднем на 18,9%. При этом можно заметить, что самым устойчивым алгоритмом к виду шума оказался алгоритм Байеса, потом алгоритм максимального правдоподобия, знаково-ранговый, а на последнем месте знаковый алгоритм. Применение статистического критерия Вилкоксона подтверждает значимость различий между алгоритмом Байеса и знаковым, знаковоранговым при уровне значимости 0,05.

В данной статье представлены результаты математического моделирования знакового, знаково-рангового алгоритма, алгоритмов Байеса и максимального правдоподобия. Проведен сравнительный анализ работы этих обнаружителей при гауссовском шуме и смеси гауссовского шума и импульсной помехи. Анализ показал, что алгоритм Байеса работает оптимально как при наличии гауссовкского шума, так и смеси гауссовского шума и импульсной помехи. Непараметрические алгоритмы оказываются менее эффективными по сравнению с параметрическими. При работе знакового и знаково-ранговых обнаружителей в смеси гауссовского шума и импульсных помех сильно падает (в среднем на 15%) вероятность правильного обнаружения, а соответственно увеличивается вероятность пропуска сигнала.

Литература

1. Обнаружение радиосигналов/ П.С.Акимов, Ф.Ф. Евстратов, С.И.Захаров и др.; Под ред. А.А. Колосова -М.: Радио и связь, 1989.-288с.

2. Левин Б.Р. Теоретические основы

статистической радиотехники/Б.Р. Левин- М.: Радио и связь,1989.-656 с.

3. Теория обнаружения сигналов/ П.С.Акимов, П.А. Бакут, В.А. Богданович и др.; Под ред. П.А. Бакута - М.: Радио и связь, 1984.-440с.

4. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника/В.И. Тихонов, - М.: Советское радио, 1966.-680с.

Воронежский государственный университет

SIGNALS DETECTION WITH PARAMETRIC AND NON-PARAMETRIC METHOD

N.M. Novikova, V.G. Lyalikova

The computer simulation of signals detectors have been considered in this paper. Bayesian method, maximum-likelihood method, sign method and sign-rank method have been considered. The algorithms present detectors have been examined. The computing experiment results have been produced. The comparative analysis of consideration methods work with gaussian noise and chaotic pulse noise has been realized

Keywords: signals detection, statistical algorithms, non-parametric algorithms, simulation, comparative analysis