Обнаружение случайного радиоимпульса с неизвестными временными параметрами на фоне помех Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

3. Цикин И.А. Оптимальная обработка сигналов в радиотехнических системах: Учеб. пособие. Л.: ЛПИ. 1986. 77 с.

4. Теория обнаружения сигналов / Акимов П.С., Бакут П.А., Богданович В.А. и др.; Под ред. Г1.А. Бакута. М.: Радио и связь, 1984. 440 с.

5. Сидоров Ю.Е. Статистический синтез автоматизированных решающих систем при априорной неопределенности. М.: Воен. изд-во. 1993. 231 с.

6. Леман Э. Проверка статистических гипотез. М.: Наука. 1979. 408 с.

7. Ермаков С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. 472 с.

8. Быков В.В. Цифровое моделирование в статистической радиотехнике. М.: Сов. радио, 1971. 328 с.

9. Прокофьев В.Н. Обнаружение квазигармонического сигнала с неизвестной частотой в шуме неизвестной мощности и формы спектра // Известия вузов СССР. Радиоэлектроника. 1978. Т. 21, № 7. С. 108-111.

УДК 62 1.391.8

О.В. Чернояров, А.В. Сальникова

ОБНАРУЖЕНИЕ СЛУЧАЙНОГО РАДИОИМПУЛЬСА С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ФОНЕ ПОМЕХ

Следуя [1—3], под случайным радиоимпульсом .?(/) будем понимать мультипликативную комбинацию вида

(1-1. } , ч ¡1 Ы < 1/2;

^ То У [0, |дс| >1/2,

где а0 — время прихода; т0 — длительность сигнала; ¿(0 — реализация стационарного центрированного гауссовского случайного процесса, обладающего спектральной плотностью (СП)

(а-ю] + / Га + ш]

1 о J 1 « J

Здесь 9 — центральная частота, Q — ширина полосы частот, d — величина СП.

Полагаем, что случайный радиоимпульс (1) наблюдается на фоне гауссовского белого шума n(t) с односторонней СП /V0. В работах [I, 2] на основе метода максимального правдоподобия исследована эффективность приема сигнала (1) при условии. что неизвестно его время прихода. Однако в ряде практических задач длительность радиоимпульса известна неточно. Ниже найдены асимптотические выражения для характеристик обнаружения сигнала (1) с неточно известной длительнос-

тью, а также приведены результаты статистического моделирования работы обнаружителя на ЭВМ.

Пусть на вход приемного устройства в течение интервала времени [0, Т] поступает реализация x(f) = s(t) + n(t) или х(0 = п(/). По определению [4] приемник максимального правдоподобия (ПМП) должен формировать логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) /.(Я., т) для всех возможных значений А. е [Л,, Л2|, те [Т,, Т2] неизвестных параметров и т0. Будем считать, что

ц = тоП/2я»1. (3)

Тогда в соответствии с [1—3] логарифм ФОП имеет вид

L(\, т) = М(К т)/N0 - (тП/2л)( I + q)\ (4)

А+т/2

М{Кх)= J y2(t)dt, (5)

А-т/2

где q = d/N0, y(l)= £°x(t')h(t-t')dt' - отклик фильтра с импульсной переходной функцией h(t) на реатизацию наблюдаемых данных х(/), причем передаточная функция //(со) этого фильтра удовлетворяет условию: |//(м)|2 = /[(9 - ш)/П] + /](Э + ю)/П]. Как

известно [1, 5], ПМП принимает решение о наличии полезного сигнала на основе сравнения величины абсолютного (наибольшего) максимума логарифма ФОП (4) с порогом с, который выбирается в соответствии с заданным критерием оптимальности. Таким образом, при приеме случайного радиоимпульса с априори известной длительностью с порогом необходимо сравнивать

L= sup ¿(А.,т0)= sup ;U(A.,t0). (6)

Мл„л,] Мл,.л2]

Если длительность т0 сигнала (1) известна неточно, вместо (6) для сравнения с порогом можно использовать величину

L'= sup ¿(я.т*)= sup (7)

>4\„Л,] Хб[л,.лг]

где т* — фиксированное ожидаемое (прогнозируемое) значение длительности т„ из априорного интервала возможных значений [7"(, Г21, причем в обшем случае т* * т0.

Найдем характеристики обнаружителя случайного радиоимпульса (1), работающего на основе (7), в качестве которых будем использовать вероятности ошибок 1-го рода (ложной тревоги) и 2-го рода (пропуска сигнала) [I, 5]. Положим вначале, что полезный сигнал отсутствует. Тогда вероятность ложной тревоги а можно записать в виде

а = Р

sup

Хб[Л|.Л;

А/(а,Т")

> с

= 1-Fv(c), (8)

где = Р\ЩХ, т*) < с], X е [Л„ Л2].

Для нахождения функции /^с) обозначим / = — безразмерный параметр — и представим функционал М*(1) = М(к, т*) (5) в виде суммы сигнальной и шумовой функций [4|:

М*(1) = £(/) + N(1). (9)

Здесь £(/) = <Л/*(/)> — сигнальная, N(1) = = М*{!) — {М*(1)) — шумовая функции, а усреднение выполняется по реализациям х(1). С учетом (3) для сигнальной функции получаем

£(/) = £„= т0£Л1 +5), (10)

где б = (т* — т0)/т0 — относительная расстройка по длительности сигнала (1).

Корреляционная функция шумовой функции имеет вид

Л, (/,./,)=•

1 + б-|/,-/2|. |/, - < I + 6; 0. |/,-/2|>1+б.

(11)

Здесь crv = Аналогично [ I] мож-

но показать, что функционал N(1) (9) является асимптотически (при ц оо) гауссовс-ким. Поэтому при выполнении (3) вероятность Fw(c) (8) можно представить следующим образом:

FAc)=P

sup А/ (l)<c

1еГ

= Р

= Р

sup yv(l)< с -

. 1еГ

sup Л

кГ U+S

(12)

где Г = [Л|,Л2], Л, 2 = А, 2/т0, Сл(с) =

= (с -)/сту+ б); г{1) — стационарный центрированный гауссовский случайный процесс с корреляционной функцией Кг(1) — тах(0; I — |/|). Ограничимся важным с практической точки зрения случаем, когда величина априорного интервала [Л,, Л2] существенно превышает длительность т0 полезного сигнала (1), т. е. выполняется условие

/и = Л2 - Л, » 1. (13)

Тогда, воспользовавшись в (12) асимптотической (при т -> оо, с оо) аппрокси-

мацией функции F(c)=P веденной в [5], находим

sup/(l)<c

. 1еГ

, при-

F\(c) =

J mCs (с)

1 (l +д]>/2п

0.

сШ

с > SN +avV 1 + 5 ; с < SN +ctvVT+6 .

(14)

Согласно (14) для вероятности ложной тревоги а (8) получаем

а =

. J <v(c)

1-ехр^---гт=ехР

1

;2v(c)

с >SV +ovVI +6 ;

(15)

с < 5Л- +аУл/1 +5 .

Точность формул (14). (15) возрастает с увеличением с, т, р.

Положим теперь, что случайный радиоимпульс (1) присутствует на входе обнаружителя. Тогда вероятность пропуска сигнала (I) определится как [1, 5|

Р = />|5ирМ*(1)<с|. (16)

Разобьем весь интервал возможных значений параметра /0 = Л-о/т,, на две подобласти:

Г* = [/0 - 1 - 5/2, /0 + I + 6/2],

Г„=Г/Г«> (17)

и при т » I (13) аналогично [5] запишем (16) в виде

Р * Г^Г^с), (18)

Здесь /^.(с)= -Р^ир Л/*(0<с| и /\(с) =

= /4 вир А/ (|)<с[ — функции распределе-

ния величин абсолютных максимумов функционала М*(1) на интервалах Г5и Гдг соответственно. Когда выполняется (13)

/Чьир М'(|) < с 1«

1бГ%

/4supM'(l)<c

|>г

(19)

ной и шумовой функций. Сигнальная функция при выполнении (3) определится как

5(0 = АС(/ - /0, 5) + = дг0Е„, (20)

С(х,у) =

1 + niin(0,>'), Н<Н/2; 1+v/2-|.v|. | vj/2 < |.v| <\+ у/2;

0. Ы >\+у/2;

а для корреляционной функции шумовой функции имеем

(Ml1)Ml2)) = cy2A//?1(l1,l2)+(a|-a2jÄ2(l0,l1,l2),

и для функции /-"дДс) можно использовать аппроксимацию (14). Для определения вероятности /5(с) аналогично (9) представим функционал М*(Г) в виде суммы с и гнал ь-

(21)

Я,(/0, /„ /2) - max{0; min[/0 + 1/2; /, + + (1 + 8)/2; /2 + (I + 5)/2] - maxi/,, - 1/2: /, -(1 +8)/2; /2-(1 +5)/2]}.

Из (20), (21) следует, что сигнальная функция S(l) имеет плоскую вершину протяженностью |8|, расположенную на интервале Гп з [/0 — |8|/2; /„ + |5|/2;], а время корреляции шумовой функции N(1) не превосходит величины

хк=\ + 5. (22)

В частности, сигнальная функция максимальна при / = /0, следовательно, выходное отношение сигнал/шум (ОСШ) [4] для принятого сигнала может быть представлено в виде

,2 Ии-а.уГ

("20о)}

Л2[\ + min(O.ö)]2 ~ а2 [l + min(0.5)] + crv max(0.5) • (23)

причем г >> 1 при выполнении (3). q > 0 и 8 > — 1. Обозначим через

\q = argsup Л/'(|)

(24)

1еГч

надежную оценку [3, 4] параметра /0, найденную по методу максимального правдоподобия при неточно известной длительности сигнала (I). Согласно [3| при т* ф т0 иг->» оценка /(/ (24) принимает значения из интервала Г0 = [/0 — |8|/2, /0 + |8|/2] с веро-

ятностью, стремящейся к I. На этом интервале S(f) = S{IQ) = А[ 1 + min(0, 5)] + Sv, а шумовая функция N(t) — асимптотически (при ц —»=») гауссовский стационарный центрированный случайный процесс с корреляционной функцией (jV(1, )jV(12 )) = crv[/?,(l,,12)-1] + öj, если

5 > 0 и (MI.MU^ö^.OpU), если 8 < 0. Поэтому при г2 >> I и выполнении (3)

Fs(c)=P

sup М (l)

< с

te г,

= р

sup Л/*(1)< с

1еГ„

sup r(l)< (с)

te[0.mv]

(25)

^с) = {с-А[\ + min(0, 5)] -, Í а;(1 + 5), 8<0;

[ CJ +a:v8, 8>0;

т с = •

|8|/(1 + 8), 8 < 0; а;8/(а2 +a2vб), 8>0.

Используя [6], можно найти вероятность непревышения порога и реализацией процесса г(1) на интервале длительностью

р< 1:

sup r(l)< и

кф.р]

л/2я

ч

}ф

»--v(l-p) л/р(2-р)

ехр

dx-

р и

Jlñ

ехр

( 2 \ и

ф(ирП

(26)

Vp(2-P)

ехр

■> \

2-р

Если

5 > —1/2,

(27)

т. е. время корреляции хк. (22) шумовой функции N(1) превосходит ширину |5| плоской вершины сигнальной функции 5(Л, в (25) величина т5 < 1. Будем считать, что усло-

вие (27) выполняется. Тогда, воспользовавшись (26), находим асимптотическую аппроксимацию функции (25):

Ш = ms],

(28)

точность которой возрастает с увеличением ц и I- Подставляя (14), (28) в (18), для вероятности пропуска сигнала Р при 6*0 окончательно получаем

ß = %[U4ms]x

хехр<-

(1 + 8}>/2я

ехр

(29)

если с>5v+avVT+8, и р = 0, если с < 5V + av V1 + 8. Точность этой формулы возрастает с увеличением с, т, р, z• Отметим, что при 6 = 0 (когда длительность случайного импульса априори известна) для вероятности в пропуска сигнала (1) вместо (29) следует использовать аппроксимацию, приведенную в [I, 2]. Действительно, в этом случае плоская вершина сигнальной функции S(f) (20) решающей статистики М*(Г) вырождается в точку, и замена интервала возможных значений Г5 надежной оценки lq (24) параметра /0 на интервал Г0, выполненная в (25), не является корректной даже при сколь угодно больших ОСШ.

С целью установления эффективности предложенного обнаружителя случайного радиоимпульса (I) с неизвестным временем прихода и неточно известной длительностью и установления границ применимости найденных асимптотически точных формул (15), (29) для его характеристик было выполнено статистическое моделирование алгоритма (7) на ЭВМ. Для сокращения затрат машинного времени использовалось представление отклика y(t) узкополосного фильтра с импульсной переходной функцией /;(/) (5) через его низкочастотные квадратуры. С учетом условия узкополосности (2) это позволило формировать решающую статистику М*(Г) в виде суммы двух независимых случайных процессов:

Л/*(/) = С[£,(/) + ¿,(/)|.

l+(l+ô)/2

¿,0)= J #(^,¡=1,2,

l-(l-d)/2

-СО

x,(7)=i(7)l(7-\0)+n,(7).

Здесь С — несущественная постоянная, Г = //т0 — нормированное время, и

п\7) — статистически независимые центрированные гауссовские случайные процессы со СП (70(со) = i//(co/Q) G„(со) = 1 и соответственно, а спектр Я0(со) функции Л0(/ ) удовлетворяет условию |//0(со)|2= /(«/Q). В процессе моделирования с шагом А/ = 0,05/р формировались отсчеты случайных процессов (?), а затем для всех /е[Л|.Л2] с шагом А/ =0,01 — отсчеты случайного процесса М*(1). При этом среднеквадратическая погрешность ступенчатой аппроксимации непрерывных реализаций Л/* (Л на основе сформированных дискретных отсчетов не превышала 10 %. На основе сравнения наибольшего отсчета М*(/) с порогом с выносилось решение о наличии или отсутствии случайного радиоимпульса (I) в обрабатываемой реализации и по совокупности проведенных испытаний определялись экспериментальные значения вероятностей ложной тревоги и пропуска сигнала.

Некоторые результаты статистического моделирования представлены на рис. 1—4, где показаны также соответствующие теоретические зависимости. Каждое экспериментальное значение получено в результате обработки не менее 10"' реализаций М*(1)

при m = 20. А, =0, Л, = пи 1() = (л, + А->)/2.

На рис. I сплошными линиями изображены теоретические зависимости вероятности ложной тревоги от величины порога: а = а(с), где c=c/t0£v — нормированный порог, рассчитанные по формуле (15) при Ô = —0,25, штриховыми — 8 = 0,25. Кривые / соответствуют р = 100,

2 — р = 200. Экспериментальные значения вероятности ложной тревоги нанесены на рис. 1 квадратиками для р = 100, 8 = 0,25, крестиками для р = 100, 8 = —0,25, кружочками для р = 200, 8 = 0,25. ромбиками для р = 200, 8 = —0,25. На рис. 2 и 3 для 8 = 0,25 и 8 = —0,25 приведены теоретические зависимости вероятности пропуска сигнала от величины параметра д: Р = Р(</), рассчитанные по формуле (29) при р = 50 (кривые /), 100 (кривые 2), 200 (кривые 3). Экспериментальные значения на рис. 2, 3 обозначены для р = 50, 100 и 200 квадратиками, крестиками и ромбиками соответственно. Наконец, на рис. 4 для р = 200 изображены теоретические (сплошные линии 1—3) и экспериментальные (квадратики, крестики, ромбики) зависимости вероятности пропуска сигнала от величины расстройки: р = Р(8) (29). Кривые / (квадратики) построены при с/ = 0,3, 2 (крестики) — при ^ = 0,5, 3 (ромбики) — при <? = 0,7. Величину порога с при расчете вероятности р выбирали в соответствии с заданным уровнем вероятности ложной тревоги а = 0.01 по формуле (15).

Из рис. 1—4 и проведенного анализа следует, что теоретические зависимости для вероятностей а (15) и р (29) удовлетворительно аппроксимируют экспериментальные данные уже при р> 50, ц > 0,1, 8 > —0.4, что соответствует значениям ОСШ I > 0,5... 1. При этом отрицательная расстройка по длительности случайного радиоимпульса (I) приводит к более высоким значениям вероятности пропуска сигнала, чем аналогичная положительная расстройка. Кроме того, для каждого р и ц (каждого ОСШ) существует такая величина 8 > 0 (тем большая, чем меньше р и д), при которой вероятность пропуска сигнала при фиксированном уровне ложной тревоги минимальна. Таким образом, введение положительной расстройки по длительности полезного сигнала может повысить эффективность работы обнаружителя случайного радиоимпульса (1), синтезированного по методу максимального правдоподобия.

Рис. 1. Теоретические и экспериментальные зависимости вероятности ложной тревоги от величины порога

Рис. 2. Теоретические и экспериментальные зависимости вероятности пропуска сигнала от величины параметра q при положительной расстройке по длительности

/ *\ \

2 /\

3 '

\

\ [

ОД 0,2 0,3 0,5 0,7 д

Рис. 3. Теоретические и экспериментальные зависимости вероятности пропуска сигнала от величины параметра д при отрицательной расстройке по длительности

Рис. 4. Теоретические и экспериментальные зависимости вероятности пропуска сигнала от величины расстройки по длительности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

I Трифонов А.П., Нечаев Е.П., Парфенов В.И.

Обнаружение стохастических сигналов с неизвестными параметрами. Воронеж: ВГУ, 1991. 246 с.

2. Трифонов А.П., Захаров A.B. Прием сигнала с неизвестной временной задержкой при наличии модулирующей помехи // Изв. вузов. Сер. Радиоэлектроника. 1986. Т. 29. № 4. С. 36-41.

3. Трифонов А.П., Захаров A.B., Чернояров О.В.

Пороговые характеристики квазиправдоподобной оценки времени прихода случайного ра-

диоимпульса // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1998. Т. 41, № 10. С. 18-28.

4. Куликов Е.И., Трифонов А.П. Опенка параметров сигналов на фоне помех. М.: Сов. радио. 1978. 296 с.

5. Трифонов А.П. Обнаружение сигналов с неизвестными параметрами // Теория обнаружения сигналов. М.: Радио и связь, 1984. С. 12-89.

6. Жиглявский A.A., Красковский А.Е. Обнаружение разладки случайных процессов в задачах радиотехники. JL: ЛГУ. 1988. 224 с.