ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 2 (2023). С. 85-100.

УДК 517.938

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ТОЧЕК РАВНОВЕСИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

М.Г. ЮМАГУЛОВ, C.B. АКМАНОВА

Аннотация. Основное внимание в работе уделяется обсуждению вопросов о достаточных признаках устойчивости по Ляпунову точек равновесия нелинейных гибридных (непрерывно-дискретных) систем, т.е. систем, процессы в которых имеют несколько уровней разнородного описания, а состояния содержат как непрерывные, так и дискретные компоненты. Хорошо известно, что переключениями неустойчивых режимов непрерывной динамической системы можно добиться их устойчивости и, наоборот, даже когда все режимы непрерывной системы устойчивы, при их переключении у системы могут возникать неустойчивые режимы. Поэтому важными представляются исследования, позволяющие провести детальный анализ вопросов устойчивости при переходе от непрерывной к гибридной системе.

В настоящей статье предлагаются новые признаки устойчивости по Ляпунову стационарных режимов нелинейных гибридных систем с постоянным шагом h > 0 дискретизации. Эти признаки основаны на методах исследования устойчивости по первому приближению и формулах теории возмущений, позволяющих провести анализ устойчивости точек равновесия и циклов динамических систем, зависящих от малого параметра. Предлагаемые подходы основаны на переходе от исходной гибридной системы к равносильной (в естественном смысле) динамической системе с дискретным временем. Обсуждается взаимосвязь между динамическими характеристиками гибридной и дискретной систем. При изучении основной задачи об устойчивости по Ляпунову точки равновесия гибридной системы рассматриваются две постановки: устойчивость при малых h > 0 и устойчивость при произвольных фиксированных h = ho > 0. Кроме этого, обсуждаются некоторые вопросы о сценариях бифуркационного поведения гибридной системы при потере устойчивости точки равновесия. Приводится пример, иллюстрирующий эффективность полученных результатов в задаче исследования устойчивости точек равновесия гибридных систем.

Ключевые слова: непрерывно-дискретная система, гибридная система, точка равновесия, периодические решения, устойчивость, бифуркации.

Mathematics Subject Classification: 37N35, 34D20, 34С23.

1. Введение и постановка задачи

Многие теоретические и практические проблемы приводят к необходимости изучения гибридных (непрерывно-дискретных) систем, т.е. систем, процессы в которых имеют несколько уровней разнородного описания, а состояния содержат как непрерывные, так и дискретные компоненты. Системы этого вида широко встречаются в прикладных проблемах управления механическими и технологическими процессами, трафиком в компьютерных сетях и во многих других областях (см., например, [1] [5]),

M.G. Yumagulov, S.V. Akmanova, On the stability of equilibrium points of nonlinear

continuous-discrete dynamical systems.

© Юмагулов M.Г., Akmahoba C.B. 2023.

Поступила 5 сентября 2022 г.

Одной из основных задач, приводящих к гибридным системам, является задача о стабилизации основных режимов системы. Существует большой класс систем, которые не могут быть стабилизированы только непрерывным законом управления с обратной связью по состоянию и, с другой стороны, могут быть стабилизированы соответствующими переключениями в определенные моменты времени. Другими словами, переключениями неустойчивых режимов можно добиться их устойчивости и, наоборот, даже когда все режимы непрерывной системы устойчивы, при их переключении у системы могут возникать неустойчивые режимы [6] [8]. Этим объясняется все возрастающий за последние годы интерес специалистов разного профиля к исследованию вопросов устойчивости гибридных систем (см., например, [9] [16]). Отметим, что большая часть работ направлена на развитие метода функций Ляпунова и соответствующих приложений в задаче анализа устойчивости линейных и нелинейных гибридных систем (детальный обзор работ по этой тематике приведен в [5]),

В настоящей статье предлагаются новые признаки устойчивости по Ляпунову стационарных режимов нелинейных гибридных систем. Эти признаки основаны на методах исследования устойчивости по первому приближению и полученных в [17] формулах теории возмущений, позволяющих провести анализ устойчивости точек равновесия и циклов динамических систем, зависящих от малого параметра. Полученные в настоящей работе результаты являются существенным развитием результатов авторов, анонсированных

в [18]/

Рассматривается нелинейная гибридная система, описываемая (см., например, [19]) уравнениями:

' х'(г) = f (х(г),у(гк)), гк ^ к гк+ъ _ у^к+г) = д(х(1к+г),у(гк)), к = 0,1, 2,

где х € Яп, у € Кт — векторы, характеризующие поведение соответственно непрерывной и дискретной частей гибридной системы; моменты времени Ьк задают на К равномерную сетку с шагом к > 0:

!

(1.1)

0 = Ь0 <Ьг = Ь0 + к <Ь2 = Ь + к < ... < Ьк+1 = Ьк + к < ..

(1.2)

функции / (х,у) и д(х,у) в системе (1.1) являются непрерывно дифференцируемыми и порождают операторы / : Яп х Кт ^ Яп, д : Яп х Кт ^ Кт.

Функционирование системы (1.1) осуществляется по стандартной схеме:

1) задаются начальные условия и0 = (х0,у0);

2) по решению х = ^0(Ь) задачи Коши х' = f (х,у0), х(Ь0) хх = ¥о(Ь) и ух = д(хг,уо);

3) по решению х = задачи Коши х' = f (х,уг), х(^) Х2 = и У2 = д(Х2,У\);

Хо, находятся векторы хг, находятся векторы

и т.д.

Таким образом, решением и(Ь) = (х(Ь),у(1)) гибридной системы (1.1), стартующим из точки и0 = (х0,у0), является функция

и(1) = (х(1),у(1))

(Vо(t),Уо), (^l(t),Уl),

((р2, у2),

и ^ г <1г, 12 ^ гз,

(1.3)

Первая компонента х(Ь) решения и(Ь) = (х(Ь), у(I)) является непрерывной при всех Ь ^ 0, непрерывно дифференцируемой на каждом интервале tj < Ь < но не обязательно дифференцируемой в моменты переключений Ь = tj. Что касается второй компоненты,

т.е. функции у(Ь), то она является кусочно-постоянной, меняя свои значения в моменты I = ^

Предполагается, что система (1.1) имеет нулевую точку равновесия х = 0 у = 0, т.е.

f (0, 0) = 0, д(0, 0) = 0. (1.4)

Основной задачей в настоящей статье является изучение вопроса о достаточных условиях устойчивости по Ляпунову точки равновесия х = 0 у = 0 системы (1.1). Обсуждается также вопрос о бифуркациях в системе (1.1) при потере устойчивости точки равновесия х = 0 у = 0.

Понятие устойчивости точек равновесия системы (1.1) рассматривается в классическом смысле. А именно, точку равновесия х = 0 у = 0 гибридной системы (1.1) будем называть устойчивой по Ляпунову, если для любого е > 0 существует такое 8 > 0 что при ||и0|| < 8 решение и(Ь) = (х(Ь), у(Ь)) системы (1.1), стартующее из точки и0 = (х0,у0), удовлетворяет неравенству ||и(£)|| < £ при всех £ ^ 0. Точку равновесия х = 0 у = 0 системы (1.1) будем называть асимптотически устойчивой, если она устойчива по Ляпунову и при этом существует такое > 0 что при ||и0|| < решение и(Ь) = (х(1),у(Ь)) системы (1.1), стартующее из точки и0 = (х0, у0), удовлетворяет соотношению ||и(£)|| ^ 0 при £ ^ то. Наконец, точку равновесия х = 0 у = 0 системы (1.1) будем называть неустойчивой, если она не является устойчивой по Ляпунову. Здесь и ниже через || • || обозначаются евклидовы нормы векторов в пространствах Ям.

2. Переход от гибридной к дискретной системе

Основные построения настоящей работы базируются на переходе от гибридной системы (1.1) к вспомогательной дискретной системе. Конструирование этой дискретной системы и изучение ее свойств представляет самостоятельный интерес. В этом пункте приведем основные положения указанного перехода.

2.1. Оператор сдвига и дискретная система. Обозначим через и (К) оператор сдвига (см., например, [20]) по траекториям системы х' = f (х,у) за время от £ = 0 до £ = К Оператор и (К) переводит вектор (х0,у0) € Яп х Кт в вектор х\ = х(К) € Яп] здесь х(Ь) -решение задачи Коши х' = /(х,у0), ж(0) = х0. Таким образом, и(К)(х0,у0) = Х\.

Рассмотрим дискретную систему

(

Хк+1 = и (Ь)(хк ,ук),

Ук+1 = д(и (К)(хк ,Ук ),Ук), к = 0,1, 2,...

в которой хь € Яп, у к € Ят.

Дискретная система (2.1) равносильна исходной гибридной системе (1.1) в следующем смысле. Система (2.1) фиксирует значения решений гибридной системы (1.1) в моменты времени £ = 0 £ = К ^ = 2К и т.д. Другими словами, по построению верна

Лемма 2.1. Каждое решение (1.3) гибридной системы, (1.1) порождает решение

(х0,У0), (Х1,У1), (Х2,У2), ..., (хк ,Ук), ..., (2.2)

дискретной системы (2.1), в котором, х0 = ^0(0), х1 = ^1(К), х2 = ^2(2К), .... При этом, других решений дискретная система (2.1) не имеет.

Конечно, при переходе к дискретной системе (2.1) теряется информация о поведении решений гибридной системы (1.1) в промежутках 0 < Ь < К, К < Ь < 2Ки т.д., однако большинство важных вопросов, касающихся качественных характеристик точек равновесия или циклов исходной гибридной системы (1.1), можно анализировать.

Укажем взаимосвязь точек равновесия и периодических решений систем (1.1) и (2.1).

Теорема 2.1. Каждая точка равновесия (х*,у*) системы, (1-1) является, и точкой равновесия, системы, (2.1). Каждой точке равновесия, (х*,у*) системы (2.1) соответствует к-периодическое решение (ф0({), у*) системы (1.1) та,к, что <£0(0) = р0(к) = х*. При этом, характер устойчивости указанных решений систем, (1.1) и (2.1) одинаков.

Доказательство этой теоремы и других основных утверждений статьи вынесено в п, 7,

Отметим, что указанная в теореме 2,1 периодическая функция х = является непрерывно дифференцируемой при всех ¿. Отметим также, что если первое уравнение системы (1,1) является скалярным, то функция х = <р0(1) является постоянной. Другими словами, верна

Лемма 2.2. Пусть п = 1. Тогда каждая точка равновесия, (х*,у*) системы (2.1) является и точкой равновесия, системы (1.1) и наоборот.

Вопрос о взаимосвязи циклов систем (1.1) и (2,1) освещает следующее утверждение.

Лемма 2.3. Каждое дк-периодическое решение (х(Ь),у(1)) системы, (1.1) образует д-цикл

Каждому д-циклу (2.3) системы, (2.1) соответствует дк-периодическое решение (х(£),у(£)) системы (1.1) так, что выполняются, равенства, (2-4).

2.2. Преобразование дискретной системы. Переход к дискретной системе (2,1) будет более эффективным, если указать формулы, позволяющие конструктивно строить оператор сдвига и (к).

С этой целью отметим, что в силу равенств (1.4) функции $ (х,у) и д(х,у) предетавимы в виде

f (х,у) = Агх + ВгУ + а(х,у), д(х,у) = А2Х + В2У + Ь(х,у), (х € Нп,у € Кт), (2.5)

где Аг = ¡'х(0,0^ Вг = ¡'у(0,0^ А2 = д'х(0,0^ В2 = д' (0,0^, а гладкие нелинейноети а(х,у) и Ь(х,у) удовлетворяют соотношениям

а(х,у) = о(||ж|| + \\у\\), Ъ(х,у) = о(||ж|| + ||у||) при ||ж|| + ||у|| ^ 0.

(2.6)

Матрицы Аг, Вг, А2, В2 порождают линейные операторы

Аг : Пп ^ Пп, Вг : Кт ^ Пп, А2 : Кп ^ Пт, В2 : Кт ^ Кт. Имеет место следующая

Лемма 2.4. Пусть Аг = 0. Тогда оператор сдвига, и (к) представим в виде и(к)(хо,уо) = еА1кхо + А-1(еМ!1 - I)ВгУо + е(хо,Уо; к),

(2.7)

(2.8)

о

здесь х = х(Ь, х0,у0) — решение задачи, Коши

х' = Агх + Вгу0 + а(х,у0), ж(0) = х0.

(2.9)

ь

Из этой леммы следует, что дискретная система (2,1) представима в виде

хк+1 = еА1Нхк + А-[1(еЛ1Н - I)В1Ук + е(хк,ук; К), Ук+1 = А2еА1Нхк + ^А-1^1 Ь - I)В1 + В2)Ук + с(хк, Ук; К);

здесь нелинейность с(хк,ук; К) определяется равенством

с(хк,ук; К) = А2е(хк,Ук; К) + Ь(и(К)(хк,Ук),Ук). Систему (2,10) представим в более компактном виде

ик+1 = А(К)ик + £ (ик, К), к = 0,1, 2,...,

в котором

£(хк ,ук; К)

(2.10)

(2.11)

ик

Хк Ук

С Ы,К) =

с(хк,ук; К)

а А(К) — это квадратная (порядка п + т) матрица

А(К)

А-1 (еА1Ь - I)В1

А2еА1Ь А2А-1(еЛ1к - I)В1 + В2 Лемма 2.5. Функция ^(и, К) удовлетворяет соотношению:

£(и,К) = о(ЦиЦ) при ||и|| ^ 0.

3. Устойчивость нулевой точки равновесия системы (1.1)

(2.12)

(2.13)

Вернемся к основной задаче — изучению вопроса об условиях устойчивости по Ляпунову нулевой точки равновесия х = 0 у = 0 гибридной системы (1.1). Ниже для краткости формулировок используются следующие обозначения:

• А < 0 ^ все собственные значения квадратной матрицы А имеют отрицательные действительные части;

• |А| < 1 ^ все собственные значения А квадратной матрицы А удовлетворяют неравенству |А| < 1.

Аналогичный смысл будут иметь и обозначения: А ^ 0 и |А| ^ 1.

3.1. Устойчивость при фиксированном К > 0. Обсудим сначала вопрос об устойчивости точки равновесия х = 0 у = 0 гибридной системы (1.1) при фиксированном К = К0 > 0.

Сначала отметим следующее утверждение (в нем А^ В1; А2, В2 — матрицы из равенств (2.5)), анонсированное в [18].

Теорема 3.1. Пусть А1 < 0 и |В2| < 1. Тогда для, К = К0 > 0 найдется 5 = $(К0) > 0 такое, что если, ||А2|| < 5 и Ц^Ц < 8, то точка равновесия, х = 0 у = 0 гибридной К = К0

Другими словами, если А1 < 0 и |52| < 1, то точка равновесия х = 0 у = 0 гибридной системы (1.1) будет асимптотически устойчивой, лишь бы соответственно малы были величины ||А2|| и НB11|.

Отметим, что теорема 3.1 констатирует следующий простой факт. При А2 = 0 и В1 = 0 соответствующая (1.1) линеаризованная (в окрестности точки равновесия х = 0 у = 0) система распадается на два несвязанных между собой линейных уравнения:

х'(г) = А1х(г)

(3.1)

и

у(гк+1) = В2У(1к), к = 0,1, 2,

(3.2)

Условия Аг < 0 и |52| < 1 означают, что каждое из этих линейных уравнений является асимптотически устойчивым. Поэтому естественно ожидать, что нулевое решение системы (1,1) при данном к = к0 > 0 будет асимптотически устойчивым, если величины норм ||А2|| и Н^Ц достаточно малы.

Приведем теперь другое условие устойчивости точки равновесия х = 0 У = 0 системы (1,1), также анонсированное в [18].

Теорема 3.2. Пусть матрица Аг обратима, т.е.

Аг = 0. (3.3)

Пусть при к = к0 > 0 матрица (2.12) удовлетворяет условию 1А(к0)1 < 1. Тогда, точка равновесия, х = 0 У = 0 гибридной системы (1.1) при к = к0 асимптотически устойчива. Если хотя бы одно собственное значение матрицы А(к0) по модулю больше 1, то точка равновесия, х = 0 У = 0 системы (1.1) при к = к0 является, неустойчивой.

Ниже условие (3.3) будем считать выполненным.

С практической точки зрения важным является следующий вопрос. Пусть матрица Аг имеет хотя бы одно собственное значение с положительной вещественной частью; тогда линейная система (3.1) неустойчива. Возможно ли при данном к = к0 > 0 выбрать матрицы А2, Вгъ В2 таким образом, чтобы матрица (2.12) удовлетворяла условию 1А(к0)1 < 1? Ответ положительный: это иллюстрируют соответствующие формулы в п. 4.

к>0

х = 0 У = 0 гибридной системы (1.1) является устойчивой по Ляпунову (асимптотически, устойчивой, неустойчивой) при малых к > 0, если существует к0 > 0 такое, что при каждом к € (0, к0) точка равновесия х = 0, у = 0 системы (1.1) является устойчивой по Ляпунову (асимптотически устойчивой, неустойчивой).

С целью обсуждения вопроса об устойчивости точки равновесия х = 0 и у = 0 системы к>0

I 0

и

Л = А(0)

К = А' (0)

А2 В2

Аг Вг А2А1 А2Вг

(3.4)

(3.5)

к=0

Очевидна

Лемма 3.1. Матрица А0 имеет собственное значение А0 = 1, кратность которого не меньше п. Это собственное значение будет полупростым кратности п, если матрица В2 не имеет собственного значения 1. Остальные собственные значения матрицы А0 совпадают с собственными, значениями матрицы В2.

В частности, если |52| < 1, то матрица А0 и соответствующая ей транспонированная матрица А* имеют полупростое собственное значение Л0 = 1 кратности п.

Следующее утверждение дает необходимое условие устойчивости нулевого решения ги-

к>0

к > 0

Тогда |В2| ^ 1.

Отметим, что условие |52| ^ 1 является необходимым и для устойчивости линейной дискретной системы (3.2). Отметим также, что условие Аг ^ 0, которое является необходимым для устойчивости линейной непрерывной системы (3.1), не является необходимым

к>0

Далее будем считать, что |52| < 1. Так как матрица А0 имеет полупростое собственное значение А0 = 1 кратности п, то существует линейно независимая система из собственных векторов е^ А0е^ = е^ г = 1, п. Транспонированная матрица А0 также имеет полупростое собственное значение 1 кратности п, которому отвечают собственные векторы е*:

е*, г = 1,п. Векторы вг и е* можно выбрать из соотношений

^^^)

л0 ег

(ег,е*)

Определим матрицу

1,

0 при г = ], (г =1,п,] = 1,п).

(3.6)

В

(А'е1,е1) (А'е2,е1) ••• (А!еп,е\) (А'е1,е2) (А'е2,е2) ••• (А'еп,е*2)

(А'е1,е*п) (А'е2,е*п) ••• (А'еп,е*п)

(3.7)

Теорема 3.4. Пусть |В21 < 1 и И < 0. Тогда нулевое решение гибридной системы,

К>0

4. Устойчивость нулевой точки равновесия системы (1.1)

для случая п = т =1

Рассмотрим важный частный случай системы (1.1), когда п = т = 1. В этом случае равенства (2.5) и (2.6) принимают вид:

/(х,у) = а1 х + Ъ1у + а(х,у), д(х,у) = а2х + Ь2у + Ъ(х,у), (х Е Я1, у Е Я1), (4.1)

где числа а2, Ь2 определяются равенствами: а1 = ¡'х(0, 0) Ь1 = /'' (0, 0) а2 = д'х(0, 0),

Ь2 = д'у(0, 0), а нелинейности а(х,у) и Ь(х,у) удовлетворяют соотношениям

а(х,у) = о(|ж| + |y|), Ь(х,у) = о(|ж| + |у|) при |ж| + |у| ^

Соответственно, система (1.1) принимает вид:

х'(Ь) = а1х(г) + ) + а(х(г),у(гк)), гк ^ К Ьк+1, у( tk+l) = а,2х(г к+1) + Ь2у (4) + ь(х(г к+1), у(ь к)).

Приведем сначала аналог теоремы 3.2.

Теорема 4.1. Пусть а1 = 0. Пусть при К = К0 > 0 выполнены неравенства

{

(4.2)

(4.3)

|Ь2еа1к0 | < 1,

а2Ь

(еа1к0 - 1) + Ь2 + е

а1

.аФо

< Ь2 еа1Ьо + 1.

(4.4)

Тогда, нулевое решение гибридной системы, (4-3) при К = К0 асимптотически устойчиво. Если хотя бы одно из неравенств (4-4) выполнено в противоположную сторону, то

К = К0

Несложный анализ неравенств (4.4) дает положительный ответ на сформулированный выше вопрос: если а1 > 0, то возможно ли при данном К = К0 > 0 выбрать числа а2, Ь1 2

Приведем теперь аналог теоремы 3.4. Положим

7 = а,1(1 - 62) + ^Ь1.

(4.5)

| 2| < 1 < 0 > 0

К>0

Из этого утверждения следует ряд важных следствий.

1. Если а^ < 0 и | Ь21 < 1, а величина 1а2Ь11 достаточно мала, то нулевое решение гибрид-

К>0

2, В то же время, условия аг < 0 и |Ь2| < 1 (т.е. когда линейные сиетемы х' = агх и Ук+г = Ъ2ук устойчивы) не гарантируют устойчивость нулевого решения гибридной

к>0

3. И напротив, если аг > 0 (т.е. когда линейная система х' = агх неустойчива), то тем не менее нулевое решение гибридной системы (4.3) может оказаться устойчивым при

к>0

Аналогичные следствия имеют место для системы (1.1) и в общей постановке.

5. Бифуркации точек равновесия

к

к

системы может изменять характер устойчивости, что приводит к различным сценариям бифуркаций. В соответствии с теоремой 3.2 характер устойчивости этого решения может измениться при переходе к через значение к0 такое, что матрица (2.12) удовлетворяет условию 1А(к0)1 = 1.

Следуя классической теории бифуркаций (см., например, [21]) значение к = к0 будем называть точкой бифуркации системы (1.1), если матрица А(к0) имеет хотя бы одно собственное значение такое, что |^0| = 1-

Представляет интерес вопрос о том, какие возможны сценарии бифуркаций в окрест-

к

бифуркации к0. Обсудим вопрос об этих сценариях в случаях, когда матрица А(к0) имеет простое собственное значение 1 или -1.

Обозначим через е и д собственные векторы матрицы А0 = А(к0) и сопряженной матрицы АО = А*(к0), соответствующие простому собственному значению 1 (собственному значению -1).

Теорема 5.1. Пусть матрица А0 = А(к0) имеет простое собственное значение 1 (простое собственное значение -1), а остальные ее собственные значения имеют модуль, меньше единицы. Пусть (А (к0)е,д) = 0; здесь N (к) — матрица производных элементов матрицы А(к). Тогда при переходе па,рам,етра, к через к0 качественная перестройка поведения системы (1.1) в окрестности, точки равновесия, х = 0, у = 0 состоит в возникновении, у нее ненулевых периодических решений: существуют кк ^ к0 такие, что си,стем,а, (1.1) при к = кк имеет ненулевое кк-периодическое (2кк-периодическое) решение (хк(Ь),Ук) так, что (хк(Ъ),Ук) ^ (0, 0) щи к ^ го.

Отметим, что участвующая в этой теореме (для случая собственного значения 1) кй-периодическая функция хк (Ь) является непрерывно дифференцируемой при всех ¿. Следовательно, при п = 1 указанная функция является константой. Другими словами, в указанном случае в системе (1.1) имеет место бифуркация кратного равновесия: при переходе параметра к через к0 в окрестности нулевой точки равповесия х = 0, у = 0 возникают ненулевые точки равновесия.

Обсуждение некоторых направлений развития результатов теоремы 5.1 приводится ниже при ее доказательстве.

6. Примеры

6.1. Задача о стабилизации неустойчивого равновесия динамической системы.

В качестве первой иллюстрации полученных результатов рассмотрим задачу об устойчивости нулевой точки равновесия (р = 0 У = 0 гибридной системы, описываемой уравнениями

р"(г) = 8т+ у(гк), гк ^г<гк+г, ^^

У^к+г) = ар(гк+г)+ ^к+г), к = 0,1, 2,...,

где а и — вещественные параметры, а моменты времени Ьк задают на К равномерную сетку (1.2) с шагом к > 0. Ограничимся обсуждением вопроса об устойчивости точки равновесия р = 0 у = 0 при малых к > 0.

Указанный вопрос может интерпретироваться как вопрос о стабилизации нулевого решения р = 0 непрерывной динамической системы р'' = втр путем соответствующих быстрых переключений в моменты времени £ = Ьк (к = 1, 2, 3,...). Вопросы такого типа возникают, например, в задаче о стабилизации верхнего неустойчивого положения маятника, исследованию которой посвящена обширная литература (см., например, [22]).

Полагая х1 = р, х2 = р', перейдем от (6.1) к системе

х\ = х2,

х'2 = вш х\ + у (г к), 4 ^ г < гк+1, у( tк+l) = ах^ к+1) + 5х2( tк+l), к

(6.2)

Эта система является системой вида (1.1) при п = 2, т

0,1, 2, 1

Л

0 1

Вл

0 1

А

2=

[а 5 ] , В

2=

Матрицы (3.4) и (3.5) здесь имеют, соответственно, вид:

Ап

Участвующие в формулах (3.6) векторы можно выбрать так:

1 0 0 0 1 0

0 1 0 , А = 1 0 1

а 5 0 а 5 _

1 0 1 0

е1 = 0 , е 2 = 1 , е * = 0 е * = , е 2 = 1

а .5. 0 0

Тогда матрица (3.7) имеет вид: И

, Эта матрица удовлетворяет условию

01

1 + а 5 И < 0, если а < — 1 и 5 < 0.

Отсюда и из теоремы 3.4 следует, что нулевое решение гибридной системы (6.1) асимптотически устойчиво при всех малых к > 0, если а < — 1 и 5 < 0. Если же хотя бы одно из этих неравенств выполнено в противоположную сторону, то указанное решение является

к>0

6.2. Бифуркация удвоения периода. В качестве второй иллюстрации рассмотрим задачу о бифуркациях в гибридных системах при изменении характера устойчивости точки равновесия. А именно, рассмотрим гибридную систему (4.3) вида

\х' (г) = —х(г) + у(г к) + а(х(г), у(г к)), 4 ^ ь < г к+1, к+1) = 2х(г к+1) — 2у(Ьк) + Ь(х(г к+1), у( Ьк)),

(6.3)

в которой моменты переключения Ьк задают па К равномерную сетку (1.2) с шагом к > 0. Матрица (2.12) для системы (6.3) имеет вид

А(к)

е ~н 2 е ~н

1 — е ~н —2е ~н

1

При к = к0 = 1п 3 эта матрица равна А0 = А (ко) = -

3

12 22

0

Матрица А0 имеет собственные значения Лг = — 1 и \2 = 2/3. В качестве собственных векторов е и $ матриц А0 и А*.; соответствующих собственному значению Лг = —1, можно

1 , Тогда имеем (А'(к0)е,д) = 3 = 0.

взять векторы е = д

2

Таким образом, все условия теоремы 5,1 для системы (6,3) выполнены и, следовательно, при переходе параметра к через значение к0 = 1п3 в окрестности точки равновесия х = 0, у = 0 этой системы возникают ненулевые периодические решения с периодом Т так, что Т ~ 21п3, Направленность бифуркации, т.е. при как их значениях к (меньших к0

сти периодических решений зависят от свойств нелинейноетей а(х,у) и Ь(х,у), входящих в правые части системы (6,3), Соответствующее исследование может быть проведено на основе работ [23] и [24],

7. Доказательства основных утверждений

7.1. Доказательство теоремы 2.1. Для доказательства теоремы 2,1 понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Рассмотрим зависящую от параметра у € Кт автономную систему

г!т

- = /(х,у), х € пп, (7.1)

в которой $ (х, у) — гладкая то совокупности переменных функция такая, что f (0, 0) = 0, т.е. система (7,1) при у = 0 имеет нулевую точку равновесня х = 0, Предполагается, что при любых х0 ъ у0 решение х = х(Ь) задачи Коши х' = /(х,у0), ж(0) = х0.; определено при всех £ ^ 0,

Лемма 7.1. Для любых р > 0 и к > 0 найдется г, 0 < г < р, такое, что если ||и0|| < г (здесь и0 = (х0,у0)), то решение х(£) задачи, Коши

х1 = / (x,yо), ^

ж(0) = х0,

при всех Ь € [0, к] удовлетворяет неравенству ||ж(£)|| ^ р.

Докажем эту лемму. Предположим противное, т.е. пусть найдутся числа р0 > 0 и к0 > 0, а также последовательность векторов ип = (хп,уп) ^ (0,0) такие, что решение хп(Ь) задачи Коши

= / (x,Уn),

{

ж(0) = хп, ^ ^

при некотором Ь = € [0,к0] удовлетворяет неравенству ||жга(£га)|| > р0. Так как (%п,Уп) ^ (0, 0), то по теореме о непрерывной зависимости решения задачи Коши от параметров и начальных данных решение хп({) задачи Коши (7.3) равномерно по Ь € [0, к0] стремится к решению задачи Коши х' = /(х, 0) ж(0) = 0, т.е. к функции х(Ь) = 0, Другими словами, тах 11^^| ^ 0 при п ^ го Это противоречит неравенству Цхп(^п)|| > р0 > 0.

Перейдем теперь к доказательству теоремы 2.1. Первое утверждение этой теоремы следует из леммы 2.1. Покажем справедливость второго утверждения. Пусть система (2.1) имеет точку равновесия (х*,у*), т.е.

х* = и (к)(х*,у*),

у* = д(и(к)(х*,у*),у*). [ " ]

Первое из этих равенств означает, что решение х = р0(1) задачи Коши х' = /(х,у*), ж(0) = х* обладает свойством: <^0(0) = <р0(к) = х*, т.е. оно является к-периодичееким.

* = ( х*, *) ( х*, *)

постоянным решением второго уравнения в исходной гибридной системе (1.1). В совокупности получаем, что гибридная система (1.1) имеет к-периодическое решение ( р0(£),у*). Остается установить справедливость третьего утверждения леммы. Ограничимся дока-

( х* , * )

(1.1) и (2.1) и при этом она устойчива по Ляпунову для одной из этих систем, то она будет

( х* , * )

нулевой, т.е. х* = 0, у* = 0. Положим и = (х, у) ж и* = (х*, у*) = (0, 0). Через ||и|| будем

обозначать норму вектора и.

и*

и пусть она устойчива по Ляпунову для гибридной системы (1.1). Покажем, что тогда она

также устойчива по Ляпунову и для дискретной системы (2.1).

и*

то для любого е > 0 существует 8 > 0 так, что если ||и0|| < 8, то решение и(£) = (х(£), у(Ь)) гибридной системы (1.1) (см. формулу (1.3)), стартующее из точки и0 = (х0,у0), удовлетворяет неравенству ||и(£)|| < £ при всех £ ^ 0. Тогда в силу леммы 2.1 указанное свойство

и* и*

(2.1), т.е. оно является также устойчивым.

и*

и*

дискретной системы (2.1) является устойчивой по Ляпунову. Покажем, что тогда точка и*

Предположим противное, т.е. существуют число £0 > 0 и последовательность ип ^ 0 такие, что решение ип(£) гибридной системы (1.1), стартующее из точки ип, удовлетворяет неравенству ||ип(тп)|| ^ £0 при некотором £ = тп > 0, Положим р0 = £0/2. В силу леммы 7.1 для заданных р0 > 0 и к > 0 найдется г, 0 < г < р0, такое, что если ||и0|| < г (здесь и0 = (х0, у0)), то решение х(Ь) задачи Коши х' = /(х, у0), х(0) = х0, при всех Ь € [0, к] удовлетворяет неравенству ||х(£)|| ^ р0.

В силу леммы 2.1 каждое решение ип(£) гибридной системы (1.1) порождает соответствующее решение ик,п = (хк,п, ук,п) дискретной системы (2.1) так, что в моменты времени = 0 = к = 2к п тором интервале Ьк(п) < Ь < Ьк(п)+1 (см. сетку (1.2)). В силу этого первая компонента хп(¿) решения ип(£) = (хп(£), уп(¿)) гибридной системы (1.1) при 1к(п) ^ Ь < 1к(п)+1 будет решением задачи Коши

и*

любого £ > 0 существует 8 > 0 так, что если ||и0|| < 8, то решение ик = (хк, ук) гибридной системы (2.1), стартующее из точки и0 = (х0, у0), удовлетворяет неравенству ||ик|| < £ при = 0, 1, 2, . . . . > 0 = Так как ип ^ 0 т0 можно считать, что ||ип|| < 8 для всех п. Тогда решение

ик, п = ( хк, п, к, п) | ик, п| <

всех к = 0,1, 2,... и всех п. Отсюда и из леммы 7.1 следует, что решение хп(£) задачи Коши (7.5) при всех Ь € к(п), Ьк(п)+-\\ удовлетворяет неравенству ||хп(£)|| ^ р0. Это противоречит указанному выше неравенству ||ип(тп)|| ^ £0.; так как из него следует неравенство ||хп(тп)|| > Р0- Это завершает доказательство теоремы 2.1

7.2. Доказательство леммы 2.4. В силу первого из равенств (2.5) оператор и (к)

( х0, 0) х1 = х(к) х( )

(7.5)

(что то же самое) — решение интегрального уравнения

= ^ *0 + е«1/ е-- № * + «М^*,

0

Так как Аг = 0, то существует А-г. Поэтому / 1 ¿в = А-г(1 — е~А1*). Отсюда

и следует равенство (2,7),

0

7.3. Доказательство леммы 2.5. Для простоты изложения ограничимся рассмотрением случая п = т = 1. При этом ограничимся доказательством соотношения (2,13) только для первой компоненты вектора £ (и, к), т.е. покажем, что

е(х,у; к) = о(|М|), И^ 0; (7.6)

здесь и = (х,у) и ||и|| = |ж| + |у|, Для второй компоненты вектора £(и,к) доказательство аналогично.

Таким образом, будем рассматривать систему (4,3), Для нее функция (2,8) имеет вид

н

£(Х0,У0; к) = ена1 У е-5"1 а(х(з),Уо) йз ; (7.7)

0

здесь х = х(Ь) — решение задачи Коши

х' = а\Х + Ъ\у0 + а(х,у0), х(0) = х0. (7.8)

Соотношение (7.6) будет доказано, если показать, что для любого 6 > 0 существует г > 0 такое, что если |ж0| + |у0| < г, то

1е(х0,у0; к)1 <6 • (|ж01 + Ы). (7.9)

Зададимся произвольным 6 > 0 и по нему определим другое число исходя из двух условий: первым является неравенство 0 < ^ < 5, а второе укажем немного позже.

В силу первого из соотношений (2.6) для ^ найдется г\ > 0 такое, что еели |ж0| + |у0| < Г\,

то

|a(xо,yо)| < б1 • (|Ж0| + Ы). (7.10)

Далее, в силу теоремы о непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных данных и параметров существует р\ > 0 такое, что если

Ы + Ы <Ръ (7.11)

то решение х = х(Ь) задачи Коши (7,8) удовлетворяет неравенетву |x(t)| < — при всех

£ € [0, к]. Можно считать, что р1 < —, Тогда если выполнено неравенство (7,11), то |x(t)| + | < п и, следовательно, в силу (7,10) получим

|a(x(t),yо)| <6г • (|^)| + Ы) (7.12)

при всех £ € [0, к].

Решение х = х(Ь) задачи Коши (7.8) удовлетворяет интегральному уравнению х(г) = еЫ1 х0 + еЫ1 е~за1 [^у0 + а(х(в),у0)] ¿8.

Положим Мл

тах е

0<4<Ь

Тогда

1х(1)1 ^Мг

Ы + \biVolh + |а(х(в), уо)1с1в

При выполнении неравенства (7,11) и, следовательно, неравенства (7,12) получим

Ш1 ^Мг

|хо| + \Ь\yo\h + 51| уо|к + ¿1 / |х( 5

Отсюда и из неравенства Гронуэлла (см., например, [25, гл. 3, стр. 41]) получим

1х(г)1 ^ к ехр^ 1Мг6^ ^ кеМ1б1Н,

где к = М [|х0| + \Ь 1у0\к + у01к], Положим М0 = тах{М\, МхК^Ь^ + Тогда

к ^ М0(|х0| + |у0\). Поэтому при выполнении неравенства (7,11) получим

1х(г)1 ^М0вМ1&1Н (Ы + | У0\)

(7.13)

при всех Ь € [0, к].

Вернемся к функции (7.7). При выполнении неравенства (7.11) в силу (7.12) и (7.13) получим

н

1е(х0, У0; к)| [ 1а(х(з), У0)№ ^ М^^еМ1&1к + 1)(Ы + |^¿ь

венство 0 < < 5). Этим вторым условием потребуем выполнение неравенства

8Мк(М0еМ1ё1Н + 1) <8.

Тогда при выполнении неравенства (7.11) получим требуемую оценку (7.9). Лемма 2.5 доказана.

Перейдем теперь к доказательствам теорем 3.1-4.2. В силу теоремы 2.1 эти теоремы для гибридных систем (1.1) и (4.3) будут доказаны, если доказать их аналоги для соответствующей дискретной системы (2.11).

7.4. Доказательство теоремы 3.1. Пусть А < 0 и |В2| < 1 и пусть к > 0 — фиксировано. Достаточно показать, что если величины ||А2|| и ЦВ1|| малы, то нулевая точка равновесия системы (2.11) будет асимптотически устойчивой. Для этого, в свою очередь, в силу леммы 2.5 достаточно показать, что если ||А2|| и ЦВх || малы, то матрица (2.12) будет удовлетворять условию | А(к) | < 1.

При малых ||А2|| и ЦВх || матрицу А(к) можно рассматривать как возмущение матрицы

А0(к) =

„АлЬ

0

0 В2

Так как А < 0, |В2| < 1 и к > 0, то |А0(к)| < 1. Отсюда и из теории возмущений линейных операторов (см., например, [26]) следует, что при достаточно малых ||А2|| и ЦВх|| получим |А(к)1 < 1, что и требовалось доказать.

0

7.5. Доказательство теоремы 3.2. Достаточно заметить, что в силу леммы 2.5 справедлив аналог теоремы 3.2 для нулевой точки равновесия системы (2.11).

7.6. Доказательство теоремы 3.3. Достаточно показать, что если нулевое решение системы (2,11) устойчиво при малых к > 0, то |В2| ^ 1,

к>0

но матрица В2 имеет хотя бы одно собственное значение такое, что |^0| > 1, Тогда и матрица (3,4) имеет собственное значение При к = 0 матрица (2,12) совпадает с матрицей (3,4), Поэтому при малых к > 0 матрица (3.4) имеет собственное значение ^(к) такое, что |^(к)| > 1. Тогда нулевое решение системы (2,11) неустойчиво при малых к > 0, Получили противоречие,

7.7. Доказательство теоремы 3.4. Достаточно показать, что нулевое решение систе-

к>0

Так как |В2| < 1, то в силу леммы 3,1 матрица (3,4) имеет полупростое собственное значение А0 = 1 кратноети п. Поэтому характер устойчивости нулевого решения диекрет-

к>0

А0 = 1

В соответствии с теорией возмущений линейных операторов (см., например, [26, глава II, §5, теорема 5,4]), при малых |к| матрица (2,12) имеет п собственных значений А(^(к) = 1, 2,..., п) так, что функции (к) являются дифференцируемым и в точке к = 0, причем (0) = 1, Указанные функции предетавимы в виде А(\к) = 1 + кА[Л +о(к), в котором коэффициенты А^ являются собственными значениями матрицы И (см, [17, теорема 3,5]),

Тогда при И < 0 получим, что ¡А^ (к)| < 1 при всех малых к > 0, Следовательно, при малых к > 0 матрица {2.12) удовлетворяет условию |А(к)| < 1, т.е. пулевое решение

к>0

7.8. Доказательство теоремы 4.1. Достаточно доказать утверждение теоремы 4.1 для нулевой точки равновесия дискретной системы (2.11) при п = т =1.

Матрица (2.12) здесь имеет вид:

(7.14)

Этой матрице соответствует характеристическое уравнение

А2 + аА + 6 = 0, (7.15)

где

а = (1 - еа1к) - Ь2 - еа1Н, Ь = Ь2еа1Н. а1

А1 А2

(7.15) удовлетворяют неравенствам |А1| < 1 и |А2| < 1 тогда и только тогда, когда |6| < 1 | а| < + 1

7.9. Доказательство теоремы 4.2. В условиях этой теоремы матрица (3.7) является числом А1 = (А (0)е, д) здееь А(0) — производная определенной равенством (7.14) матрицы А(к) при к = 0 е,9 ~ ненулевые векторы такие, что выполнены равенства: А(0)е = е, (А(0))*д = д, (е, д) = 1. Несложные вычисления показывают, что имеет место равенство

А1 = —Отсюда и из теоремы 3.4 получим справедливость теоремы 4.2. 1 - 2

А(к)

эа1П

«ц. (еа1П - 1)

2

а1к

а1

^Ь! (еаФ - 1) + Ь2

7.10. Доказательство теоремы 5.1. В силу теоремы 2,1 и лемм 2,2 и 2,3 достаточно доказать аналоги утверждений теоремы 5,1 для дискретной системы (2,11), В свою очередь, справедливость этих аналогов следует из полученных в [23, п, 2,2] и [24, пп, 3,2 и 3,3] достаточных признаков бифуркации кратного равновесия (случай собственного значения 1) и бифуркации удвоения периода (случай собственного значения -1) для дискретных систем вида (2,11),

Отметим в этой связи, что результаты работ [23], [24] могут быть также использованы для детального исследования основных сценариев бифуркаций гибридной системы (1.1), включая проведение анализа устойчивости возникающих решений, определения формы бифуркаций (мягкая или жесткая), вычисления ляпуновеких величин и др.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. В.П. Максимов. Непрерывно-дискретные динамические модели // Уфимск. матем. журн. 13:3, 97-106 (2021).

2. В.П. Максимов, А.Л. Чадов. Гибридные модели в задачах экономической динамики // Вести. Пермского унив-та. 2:9, 13-23 (2011).

3. К.Ю. Котов, О.Я. Шпилевая. Переключаемые системы: устойчивость и проектирование (обзор) ¡I Автометрия. 44:5, 71-87 (2008).

4. О.С. Логунова, Е.Б. Агапитов, И.И. Баранкова, С.М. Андреев, Г.Н. Чусавитина. Математические модели для исследования теплового состояния тел и управления тепловыми процессам,и 11 Электротехнические системы и комплексы. 2:43, 25-34 (2019).

5. С.Н. Васильев, А.И. Маликов. О некоторых результатах по устойчивости переключаемых и гибридных систем, // Сборник статей «Актуальные проблемы механики сплошной среды. К 20-летию ИММ КазНЦ РАН». Казань: Фолиант. 1, 23-81 (2011).

6. M.S. Branickv. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems // IEEE Trans. Automat. Contr. 43:4, 475-482 (1998).

7. R.A. Decarlo, M.S. Branickv, S. Pettersson, B. Lennartson. Perspectives and results on the stability and Stabilizeability of hybrid systems // Proceedings of the IEEE: Special issue on hybrid systems. 88, 1069-1082 (2000).

8. D. Liberzon. Switching in system,s and control. Boston: Birkhauser. 2003.

9. П.А. Лакрисенко. Об устойчивости положений равновесия нелинейных гибридных механических систем // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 10. Прикл. матем. Информ. Проц. упр. 3, 116-125 (2015).

10. А.В. Платонов. Анализ устойчивости нестационарных систем с переключениями // Изв. вузов. Матем. 2, 63-73 (2020).

11. А.Ю. Александров, А.В. Платонов. Об асимптотической устойчивости решений гибридны, х многосвязных систем // Автомат, и телемех. 5, 18-30 (2014).

12. R. Shorten, F. Wirth, О. Mason, К. Wulff, С. King. Stability Criteria for Switched and Hybrid Systems. SIAM Review // SIAM. 49:4, 545-592 (2007).

13. L. Hou, A. Michel. Unifying theory for stability of continuous, discontinuous, and discrete-time dynamical systems // Nonlinear Analysis: Hybrid Systems. 1:2, 154-172 (2007).

14. I.L.D. Santos, G.N. Silva. Some Results in Stability Analysis of Hybrid Dynamical Systems // Tend. Mat. Apl. Comput. 8:3, 453-462 (2007).

15. B.M. Марченко, Ж.Ж. Луазо. Об устойчивости гибридных дифференциально-разностных систем // Дифференц. уравн. 45:5, 728-740 (2009).

16. П.М. Симонов. Устойчивость и асимптотически периодические решения гибридных систем с последействием // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. 168, 91-98 (2019).

17. М.Г. Юмагулов, Л.С. Ибрагимова, А.С. Белова. Методы исследования, устойчивости линейных периодических систем, зависящих от, м,алого параметра // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. 163, 113-126 (2019).

18. М.Г. Юмагулов, С.В. Акманова. Уст,ойчивост,ь и бифуркации непрерывно-дискретных динамических систем с постоянным шагом дискретизации // Вестник БашГУ. 26:4, 862-865 (2021).

19. A.C. Бортаковский. Достаточные условия оптимальности управления переключаемыми системам,и // Известия РАН. Теория и системы управления. 4, 86-103 (2017).

20. М.А. Красносельский. Оператор сдвига, по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1966.

21. Л.П. Шильников, А.Л. Шильников, Д.В. Тураев, Л. Чуа. Мет,оды, качественной теории в нелинейной динамике. Часть 2. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2009.

22. B.C. Бардин, А.П. Маркеев. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // Прикладная математика и механика. 59:6, 922-929 (1995).

23. A.A. Вышинский, Л.С. Ибрагимова, С.А. Муртазина, М.Г. Юмагулов. Операторный метод приближенного исследования, правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах // Уфимск. матем. журн. 2:4, 3-26 (2010).

24. Н.И. Гусарова, С.А. Муртазина, М.Ф. Фазлытдинов, М.Г. Юмагулов. Операторные методы вычисления, ляпуновских величин в задачах о локальных бифуркациях динамических систем // Уфимск. матем. журн. 10:1, 25-49 (2018).

25. М. Розо. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука. 1971.

26. Т. Като. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир. 1975.

Марат Гаязович Юмагулов, Башкирский государственный университет, ул. З.Валиди, 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: yum_mg@mail. ru

Светлана Владимировна Акманова,

Магнитогорский государственный технический университет им. Г. 11. Носова пр. Ленина, 38,

450000,Челябинская область, г. Магнитогорск, Россия E-mail: svet. akm_74@mail. ru