УСТОЙЧИВОСТЬ И БИФУРКАЦИИ НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМ ШАГОМ ДИСКРЕТИЗАЦИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1998-4812

862

раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

УДК 517.938

DOI: 10.33184/bulletin-b su-2021.4.1

УСТОЙЧИВОСТЬ и бифуркации непрерывно-дискретных ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОСТОЯННЫМ ШАГОМ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

© М. Г. Юмагулов1, С. В. Акманова2*

1Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

2Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова Россия, Челябинская область, 455000 г. Магнитогорск, пр. Ленина, 38.

Тел. +7 (3519) 29 85 62.

*Етай: [email protected]

В статье представлено исследование устойчивости точки равновесия нелинейной непрерывно-дискретной системы с постоянным шагом дискретизации. Изложены условия асимптотической устойчивости точки равновесия этой системы с учетом постоянного шага ее последующей дискретизации. Для частного случая такой системы описаны условия ее асимптотической устойчивости и особенности бифуркационного поведения, связанные с выявлением точек бифуркации и соответствующих им сценариев бифуркаций.

Ключевые слова: динамические системы, бифуркации, точка равновесия, асимптотическая устойчивость, точка бифуркации, собственные значения матрицы.

1. Введение и постановка задачи

Непрерывно-дискретные системы возникают при моделировании широкого класса эволюционных процессов в биологии, экологии, экономике, технике и других областях. Такие системы содержат как уравнения динамики с непрерывным временем, так и уравнения с дискретным временем. Изучению непрерывно-дискретных систем посвящена обширная литература (см., например, [1-5]).

Центральное место в задаче построения непрерывно-дискретной системы занимает тот факт, что на оси времени t задаются узловые точки

. (1)

Будем считать, что сетка (1) является равномерной, т.е. шаг И = Ьк+х — Ьк > 0 является постоянным, независящим от к. Динамика непрерывно -дискретной системы естественно зависит от значения И. В частности, зависят от И и качественные ее свойства: устойчивость, гиперболичность, бифуркации и т.п. Поэтому важным представляется изучение зависимости качественных свойств непрерывно-дискретной системы от .

В настоящей работе изучается непрерывно-дискретная система, отвечающая уравнениям Г х'(0 = А1Х(1) + В1У(1к),

1у0/с-и) = а'ОО/с+О.у^/с))-здесь - квадратная

матрица порядка Ы, В± - прямоугольная матрица порядка , функция пред-

полагается гладкой и удовлетворяющей условию

(3)

Систему (2) можно записать в виде Гх'(0 = Агх{1) + В1Ук, 1 Ук+г = д(ч+1. Ук).

полагая , .

(5)

(2)

(4)

Динамика системы (4) определяется следующим образом. Задаются начальные значения х0 = х ( С0 ) , у0 = у (С0) , и решается задача Коши (х'(1)=А1х(1)+В1у0, 1 х(£:о) = х0. Пусть - решение задачи (5). Полагая , далее решаем задачу

Коши:

(х'(р)=А1х(р)+В1у1,

(6)

и т.д.

Непрерывно-дискретная система (4) (или, что то же самое, система (2)) имеет точку равновесия . Изучается задача об устойчивости этой точки равновесия и о бифуркациях системы в окрестности этой точки, при этом рассматривается как бифуркационный параметр.

2. Исследование устойчивости

В силу условия (3) нелинейность мо-

жет быть представлена в виде

(7)

где - прямоугольная матрица размера , -квадратная матрица порядка , ,

при этом £ (х,у) = О (| х | 2 + | у | 2 ) при | х | ,| у | — 0. Тогда соответствующая системе (4) линеаризованная система имеет вид

(8)

1Ук+1 = А2хк+1 + В2ук. Основное внимание в данной работе будет уделено изучению случаев, когда:

1. Все собственные значения матрицы имеют отрицательные вещественные части.

2. Все собственные значения матрицы В2 по модулю меньше 1.

ISSN 1998-4812

Вестник Башкирского университета. 2021. Т. 26. №4

863

(9) (10)

В этих случаях линейные системы: х'(0 = Агхе Ук+г = В2Ук.к = 0,1,2,... являются асимптотически устойчивыми [6].

Переход от систем (9) и (10) к непрерывно-дискретной системе (8) или (4) может изменить характер устойчивости нулевых точек равновесия этих систем, что может привести к различным бифуркациям. Рассмотрим условия устойчивости нулевого решения системы (2).

Теорема 1. При малых значениях норм | | | | и | | А 2 | | точка равновесия х = 0 ,у = 0 системы (2) является асимптотически устойчивой при любом к > 0.

Справедливость этого утверждения следует из структурной устойчивости систем (9) и (10).

Пусть матрица А 1 обратима, т.е. существует матрица , определим квадратную матрицу порядка

А(К) =

. (11)

еАгН А^^е^ -1)В1 А2еА1" А2А^1(ел^ - 1)В1 + В2 Данной матрице соответствует дискретная сис-

тема:

хк+1 = eA-hxk + A^(eA-h - 1)В1Ук,

] уЛ+! = А 2 + [А 2 А Г 1 ( е^" - /)Я1 + ¿2 ]у* (12) ( к = 0,1,2,...

Теорема 2. Пусть все собственные значения матрицы удовлетворяют неравенству .

Тогда точка равновесия х = 0 , у = 0 системы (2) является асимптотически устойчивой.

Действительно, система (13) сохраняет все свойства системы (8), т.к. получена в ходе точной дискретизации системы (8), значит, точка х = 0, равновесия этих систем является гиперболической в силу условия теоремы 2, а значит, существуют ее окрестности, в которых системы (8) и (2) топологически эквиваленты [7, а 82]. Поскольку для системы (13) точка х = 0 , у = 0 является асимптотически устойчивой, значит, х = 0, у = 0 -асимптотически устойчивая точка равновесия и для системы (2).

3. Бифуркационное поведение системы (2)

Перейдем к изучению бифуркационного поведения системы (2).

Точками бифуркации системы (2) называют такие значения параметра , при которых точка равновесия этой системы является негиперболической.

Исходя из данного определения, приходим к очевидной теореме.

Теорема 3. Пусть матрица А (Л*) при некотором значении имеет собственное значение Тогда точка является точкой бифуркации системы (2).

Для более детального изучения бифуркационного поведения системы (2) рассмотрим частный случай этой системы, а именно систему:

(13)

Г х' = ахх + Ь1ук,

УУк + 1 = а2хк + 1 + Ь2ук + £ где х,у е Д а 1, Ь 1, а2 , Ь2 - некоторые коэффициенты, функция удовлетворяет соотношению е (х,у) = О( | х | 2 + | у | 2 ) при х,у —0.

Условия 1 ° и 2 ° для системы (13) равносильны тому, что и . Для простоты изложе-

ния положим а 1 = — 1 , Ь 2 = -. Тогда получим следующие теоремы.

Теорема 4. Пусть

3 _ . 1

----тт < а7Ь-, < -

2 1-е~по 2'

тогда точка равновесия х = 0 , у = 0 системы (13) является асимптотически устойчивой при всех 0 < к < V

Действительно, системе (13) можно поставить в соответствие линейную непрерывно-дискретную систему

| х' = ахх + Ь1ук,

Ьъ+1 = а2хк+1 + Ь2ук.

Системе (14), в свою очередь, соответствует линейная дискретная система с точкой равновесия и матрицей

— - 1)^

(14)

A(h) =

■¡а-^к

а,е

a-ih

а2 ,

(15)

- 1 + Ь2

а1

Можно доказать, что точка равновесия х = 0 , у = 0 системы (14) будет асимптотически устойчива в том и только том случае, если выполняются условия

\Ъ2еа^\ < 1, - (Ь2 + 1 ) (еа 1" + 1 ) < ^-(еа 1" — 1 ) < (16)

а 1

(Ь2 - 1) ■ (е^ - 1).

Тогда при а 1 = — 1 , Ь 2 = ^ условия (17) примут

вид:

-е

12

-h\

< 1,

■ < а7Ъл < -.

(17)

Очевидно, что первое условие в системе (17) выполняется при любом . Тогда при некотором фиксированном значении второе условие примет вид

— а2^ <1 (18)

Поскольку при выполнении условия (18) точка равновесия х = 0 ,у = 0 системы (14) является гиперболической при любом , то эта точка равновесия будет являться асимптотически устойчивой для системы (13) также при указанных условиях.

3 1

Следствие 1. Пусть —-<а 2Ь ].<-. Тогда точка равновесия х = 0 ,у = 0 системы (13) является асимптотически устойчивой при любом .

1

Теорема 5. Пусть а 2Ь 1 = -, тогда любое значение является точкой бифуркации для системы (13), при этом оно соответствует бифуркации положения равновесия.

864

МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

Действительно, характеристическое уравнение

для линейной дискретной системы с матрицей (15)

1 1

при а! = — 1 ,Ъ2 = - и а2Ъ 1= - будет иметь корни

е~п 2 2

Я 1 = — <1 и Я 2 = 1. Поскольку Л2 = 1, то точка равновесия является негиперболиче-

ской для системы с матрицей (15), и в окрестности этой точки возникает сценарий бифуркации положений равновесия. Этот сценарий соответствует и системе (13).

Теорема 6. Пусть а2Ъ1 = —

3 1+е 0

2 1—е~по

при некотором . Тогда является точкой бифуркации системы 2 И 0-периодических решений системы (13).

Аналогично рассуждая, можно убедиться, что одно из собственных значений матрицы (15) равно -1, а другое по модулю меньше 1. Значит, в окрестности негиперболической точки равновесия линейной дискретной системы с матрицей (15) возникает сценарий бифуркации удвоения периода, что соответствует возникновению циклов периода 2 в окрестности этой точки. Тогда для соответствующей непрерывно-дискретной системы (13) это означает возникновение в окрестно-

сти точки равновесия -

периодических решений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Максимов В. П., Чадов А. Л. Гибридные модели в задачах экономической динамики // Вестник Пермского ун-та, 2011. №2(9). С. 13-23.

2. Логунова О. С., Агапитов Е. Б., Баранкова И. И., Андреев С. М., Чусавитина Г. Н. Математические модели для исследования теплового состояния тел и управления тепловыми процессами // Электротехнические системы и комплексы, 2019. №2(43). С. 25-34.

3. Расина И. В. Дискретизация непрерывных управляемых систем на основе обобщенных решений // Автоматика и телемеханика, 2011. №6. С. 171-178.

4. Максимов В. П., Чадов А. Л. Об одном классе управлений для функционально-дифференциальной непрерывно-дискретной системы // Известия вузов. Математика, 2012. №9. С. 72-76.

5. Марченко В. М., Борковская И. М. Устойчивость и стабилизация линейных гибридных дискретно-непрерывных стационарных систем // Труды БГТУ, 2012. №6. С. 7-10.

6. Юмагулов М. Г. Введение в теорию динамических систем. СПб.: изд-во «Лань», 2015. 272 с.

7. Шильников Л. П., Шильников А. Л., Тураев Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. М.Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 428 с.

Поступила в редакцию 01.07.2021 г.

ISSN 1998-4812

BeciHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2021. T. 26. №4

865

DOI: 10.33184/bulletin-b su-2021.4.1

STABILITY AND BIFURCATIONS OF CONTINUOUS DISCRETE DYNAMIC SYSTEMS WITH A CONSTANT STEP OF DISCRETION

© M. G. Yumagulov1, S. V. Akmanova2*

1Bashkir State University 32 Zaki Validi Street, 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Nosov Magnitogorsk State Technical University

38 Lenin Avenue, 455000 Magnitogorsk, Russia.

Phone: +7 (3519) 29 85 62.

*Email: [email protected]

The authors studied the stability of the equilibrium points of a continuous-discrete system with a constant discretization step, containing a linear differential and nonlinear difference equations and describing processes with significantly different characteristics by means of continuous and discrete variables. The study is based on the transition to an equivalent nonlinear discrete system, as well as linearization in the vicinity of the equilibrium point. Based on the analysis of the resulting system, a condition for the asymptotic stability of the zero solution of the original system for a constant grid step h > 0 was formulated and proved. The found conditions made it possible to determine the bifurcation values of the parameter h. The main bifurcation scenarios were studied. Further, this system was dis-cretized with a step h and transition to the corresponding linear discrete dynamic system with two vector variables. On the example of a particular case of the obtained system, namely, on the example of a linear discrete system with two one-dimensional variables, conditions for the asymptotic stability of the zero equilibrium point of this system were established, its bifurcation points were identified, and the bifurcation scenarios corresponding to these points were described. The obtained Lyapunov values make it possible to carry out a detailed qualitative analysis of the main scenarios of bifurcations, including the direction of bifurcations, and to study the nature of stability.

Keywords: dynamical systems, bifurcations, equilibrium point, asymptotic stability, bifurcation point, matrix eigenvalues.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Maksimov V. P., Chadov A. L. Vestnik Permskogo un-ta, 2011. No. 2(9). Pp. 13-23.

2. Logunova O. S., Agapitov E. B., Barankova I. I., Andreev S. M., Chusavitina G. N. Elektrotekhnicheskie sistemy i kompleksy, 2019. No. 2(43). Pp. 25-34.

3. Rasina I. V. Avtomatika i telemekhanika, 2011. No. 6. Pp. 171-178.

4. Maksimov V. P., Chadov A. L. Izvestiya vuzov. Matematika, 2012. No. 9. Pp. 72-76.

5. Marchenko V. M., Borkovskaya I. M. Trudy BGTU, 2012. No. 6. Pp. 7-10.

6. Yumagulov M. G. Vvedenie v teoriyu dinamicheskikh sistem [Introduction to the theory of dynamical systems]. Saint Petersburg: izd-vo «Lan'», 2015.

7. Shil'nikov L. P., Shil'nikov A. L., Turaev D. V., Chua L. Metody kachestvennoi teorii v nelineinoi dinamike [Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics]. M.-Izhevsk: Institut komp'yuternykh issledovanii. 2003.

Received 01.07.2021.