Анализ устойчивости систем предикатного управления на основе метода мягких функций Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ ПРЕДИКАТНОГО УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ МЕТОДА МЯГКИХ ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА*

О. Н. Масина

В статье получены теоремы об асимптотической устойчивости состояний равновесия управляемых систем с одним выходом на основе метода мягких функций Ляпунова, а также теоремы об устойчивости состояний равновесия систем с мягкими регуляторами на основе разрывных мягких функций Ляпунова и дивергентных мягких функций Ляпунова.

Введение. Для решения задач, в которых отсутствуют достаточно точные знания об объекте управления, эффективно применяются системы предикатного управления [1—3; 6; 9 — 11; 14; 16]. Этот вид управления относится к одному из уровней интеллектуального управления. Следуя [2], будем различать шесть классов систем управления:

1) системы программного управления (разомкнутые системы); 2) системы с обратной связью (замкнутые системы); 3) системы предикатного управления; 4) системы адаптивного управления; 5) системы интеллектно-го управления; 6) системы интеллектуального управления. Каждый класс систем управления включает все предыдущие классы с точки зрения охвата их возможностей управления.

Нечетким множеством А (или в другой терминологии мягким множеством А), определенным на некоторой числовой предметной области X, называется множество пар А = {(^а(х),х)} "х е X, где для каждого элемента х е X степень №а его принадлежности множеству А задается с помощью функции принадлежности Ца(х) е [0, 1]. Функция принадлежности преобразует числовую область значений X данной переменной в отрезок [0, 1]: тА : X ^ [0, 1] (например, [11]).

Системой предикатного управления называется система, обладающая такими свойствами, как: а) мягкая спецификация параметров; б) мягкое описание входных и выходных переменных системы; в) мягкое описание функционирования системы на основе продукционных правил ЕСЛИ... ТО. Од-

ним из важнейших компонентов системы предикатного управления является база знаний, которая представляет собой совокупность мягких правил ЕСЛИ. ТО, определяющих взаимосвязь между входами и выходами исследуемой системы.

Важной задачей в исследовании систем предикатного управления является задача устойчивости, решаемая с помощью мягких функций Ляпунова. Понятие устойчивости систем предикатного управления рассмотрено в [6].

Для динамических систем классическая (твердая) теория устойчивости развивалась, начиная с работ А. М. Ляпунова [8], Н. Е. Жуковского [5], А. Пуанкаре [12], Н. Г. Чета-ева [13], в работах Н. Н. Красовского [7], А. А. Шестакова [14], Ю. Н. Меренкова [10], В. Н. Щенникова [15], О. В. Дружининой [4] и в работах других отечественных и зарубежных ученых.

К системам предикатного управления относятся системы с мягкими регуляторами [11; 16]. Большой класс мягких регуляторов представляют регуляторы, в которых выход выражается в виде одноточечного множества (синглетона). Системы с синглетон-выходом эффективно применяются в задачах управления беспилотным вертолетом, управления транспортом, управления грузовыми лифтами, управления прохождением грузовых судов между островами без вмешательства человека, управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена [11; 16].

Анализ устойчивости систем с сингле-тон-выходом может быть сведен к задачам, решаемым с помощью линейных матричных

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-000626-а).

© Масина О. Н., 2012

неравенств [9], которые обеспечивают требуемые свойства мягких функций Ляпунова. В настоящей статье дано развитие метода мягких функций Ляпунова для дискретной и непрерывной систем с синглетон-выходом, а также показано применение разрывных мягких функций Ляпунова для исследования устойчивости систем с мягкими регуляторами. Кроме того, в настоящей статье получены условия равномерной устойчивости состояний равновесия систем с мягкими регуляторами с помощью метода дивергентных мягких функций Ляпунова, основанного на совместном использовании мягких функций Ляпунова и дивергентных функций поля скоростей.

1. Использование мягких функций Ляпунова для анализа устойчивости дискретной системы предикатного управления. Рассмотрим дискретную систему предикатного управления

ЕСЛИ x(t) есть mat (x(t)), ТО x(t + 1) есть h(a, t), а = 1, 2, ..., П1, t = 1, 2, ..., П2, где x(t) = (X1 (t), X2(t))* — двумерный вектор состояния; mat(x(t)) = (ma(xi(t)),

m2 (x2(t))) — вектор-функция принадлежности X1(t) и X2(t); h(a, t) = (h^a, t), h2(a, t)) — вектор, соответствующий одноточечному множеству; П1, П2 > 2. Будем использовать упорядоченные координаты d^1) < ... <

< d^a) < dl(a + 1) < ... < d^n^ для X1 и d2(1) < ... < d2(t) < d2(t +1) < ... < d2(n2) для X2.

Пусть Rat = [d1(a), d1(a + 1)] x [d2(t),

d2(t +1)] — квадратная область, R°t —

квадратная область, в которой выполнено условие x(t) = 0 ^ x(t + 1) = 0, и пусть d(a, t) = (d^a), d2(t))* — вектор в двумерном пространстве. Для x(t) є Rat вектор x(t +1) запишем в виде x(t + І) = Aat(x(t)) x x x(t) + Pat, где

bat = a°a°h(a, t) + a0(1 - a2)h(a, t + 1) +

+ a2(1 - a0 )h(a + 1, t) + (11)

+ (1 - a0)(1 - a0)h(a + 1, t + 1),

a0 = a1(0), a0 =a2(0), Pat = ? для x(t) є Rlt. Матрица Aat(x(t)) имеет четыре различных

выражения в зависимости от матриц первого типа S(i,•), i = а, а +1, и матриц второго типа S(•,j), ]' = т, т +1, аналитический вид которых опускается.

Пусть Р — положительно определенная 2 х 2-матрица. Мягкая функция Ляпунова имеет вид V(x(t)) = х(0 Рх(0. Тогда

ДV(x(t)) = x(t + 1)*Px(t + 1) -

» » (1.2)

- х(0 Px(t) = -х РС, а2)х,

где матрица РО^) определяется равенством

^(■, а2) = -а2) РЛ(-, а2) + Р, в котором

А(, а2) = a2S(■, т) + (1 - а2^(, т + 1). (1.3) Нетрудно показать, что справедливы нижеследующие леммы.

Лемма 1.1. Неравенство ДV(x) < 0 "х Ф 0 выполняется в области тогда и

только тогда, когда справедливы следующие условия:

ДV(i,j)< 0, i = а, а + 1, у = т, т + 1, (1.4)

где АУ(г, у) = у)*Рк(г, у) - d(i, у)*Pd(i, у), i = а, а + 1, у' = т, т + 1;

СО, ■) < -у/Ду(^т)Л^У,Т+Т), i = а, а + 1, (15) С(,у') < -у/Ду(о~/)ДУ(а+^Г/), у' = т, т + 1,

где

С(г, ■) = h(i, т) Ph(i, т + 1) - d(i, т) Pd(i, т + 1),

i = а, а + 1,

С(-, у) = Ма, у) РМа + 1, у) - й(а, у)

Р^а + 1,у), у = т, т + 1; матрица F 0^) является положительно определенной для а2 = а2. (1.6)

Лемма 1.2. Рассмотрим политопную систему

х^ + 1) = А(-, а2)х(0 + рат, x(t) е Лат, (1.7)

где Рат = 0 в области Л(°т, и матрица АО^) определяется (1.3). Если для системы (1.7) выполняются неравенства (1.4) и (1.5), то условие ДV(x) < 0 справедливо всюду в области Лат.

ат

Теорема 1.1. Состояние равновесия системы (1.7) асимптотически устойчиво в целом, если существует матрица Р > 0 такая, что выполнены условия:

1) в области Л<00т выполняются неравен-

ства (1.4), (1.5) с учетом соотношения (1.2) и условие — А(,а0)*РА(, а2) + Р > 0, гарантирующее выполнение свойства (1.6);

2) в других областях неравенства (1.4) и (1.5) с учетом (1.2) выполняются для двух

политопных систем вида х(( + 1) = £(■, т) х х х(0 + Рстт и х(£ + 1) = 5(-, т + 1)х(0 + Рстт.

Доказательство. Из леммы 1.1 следует справедливость условия 1. Докажем справедливость условия 2. Для системы (1.7) ДУ(х) имеет вид

АУ(х) = а2АУх(х) + (1 - а2) х х АУт+1(х) - а2(1 - а2)х А^х,

где

AF = ($(-, х) - 5(-, х + 1))*Р^(-, х) - 5(-, х + 1)),

ДУГ(х) = (5(-, т)х + рстт)*Р(5(-, т)х + рстт) -

- х Рх,

ДУт+1(х) = (£(■, т + 1)х + рстт)* х х Р(5(-, т + 1)х + рстт) - х Рх.

Так как Д_Р — положительно определенная матрица, третий член в выражении для

ДУ(х) неположителен при 0 < а2 < 1. Следовательно, если ДУт(х) < 0 и Ду.+^х) < 0 в области Лат, то ЛУ(х) < 0 в области Лат.

Из леммы 1.2 следует, что если неравенства (1.4) и (1.5) выполняются для политоп-ной системы вида х(( + 1) = 5(-, т)х(0 + рстт, то ДУт(х) < 0 всюду в области Лат. Если неравенства (1.4) и (1.5) выполняются для политопной системы х(( + 1) = £(■, т + 1)х(0 + + рат, то ДУт+1(х) < 0 всюду в области Лат. Это означает выполнимость условия 2. Теорема 1.1 доказана.

Условие 1 теоремы 1.1 является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось условие ДУ(х) < 0 "х Ф 0 в области Л°т. Условие 2 является достаточным, но не является необходимым для того, чтобы неравенство ЛУ(х) < 0 выполнялось в области ^ат * ^

Аналогичные условия асимптотической

устойчивости в целом могут быть получены и для системы вида х(( + 1) = А(а^, -)х(0 + рат, х(0 е Лат, где Рат = 0 в области Л0х. При этом используется соотношение (1.2), записанное виде АУ(х(0) = х(( + 1) Рх(( + 1) -

- х(0 Рх(0 = - х ^(а1, -)х, где матрица ^(а1, ■) определяется равенством ^Ха^, ■) =

= -А(а1, ■) РА(а1, ■) + Р, в котором

А(а^,■) = а^5(а,■) + (1 - а^)5(а + 1,■). (1.8)

2. Использование мягких функций Ляпунова для анализа устойчивости непрерывной системы предикатного управления.

Рассмотрим непрерывную систему предикатного управления

ЕСЛИ х(0 есть тстх(х(0), ТО х(0 есть к(а,х), а = 1, 2, ..., х = 1, 2, ..., п2, где входящие величины пояснены ранее.

Пусть < = [^(а), ^(а + 1)] х [^(х), ^(т + 1)], ^(а) < 0 < ^(а + 1), ^(т) <

< 0 < ^(т + 1) — квадратная область, в которой выполняется условие х(0 = 0 ^ х(0 =

= 0. Для х(0 е Лат производную х(0 можно записать в виде

х(0 = Аат(х(0)х(0 + рат, где рат определяется (1.1) и рат = 0 для

х(Ое <. Производная мягкой функции Ляпунова У(х) = х Рх имеет вид

У(х) = х Рх + х Рх =

* * (2.1)

= -х Ф(а1, -)х + 2х РРах,

где Ф(а1, ■) = -А(а1, ■) Р - РА(а1, ■), матрица А(а^, ■) определяется (1.8).

Лемма 2.1. Неравенство Т&(х) < 0 "х Ф 0

выполняется в области ^0х тогда и только тогда, когда справедливы следующие свойства:

V(г, у) < 0, г = а, а + 1, у = х, х + 1, (2.2)

где У (г,/) = /г(у', у) Р^(г,/) + ^(г, /) Р^г,/), г = а, а + 1, / = т, т + 1;

0(г, ■) < ■*]У (г, т)У(г, т + 1), г = а, а + 1,

Р-------:-------- (2.3)

-°(-,у) < VУ(а,;)У(а + 1, у), у = т, т + 1,

где

Д(г, ■) = 2 |^й(г, т) Pd(i, т + 1) + /г(г, т + 1) х

х Pd(i, т)] +1 |^(г, т) Р^{, т + 1) + й(1, т + 1) х х Р/г(у', т) ^, i = а, а + 1,

-ОС,;') = 2 |й(а, ;')* Pd(а + 1, ]) +

+ h(а + 1, /) Pd(а, у)] + 2 |^(а, у) Ph(а + 1, у) +

+ d(а + 1, у) Р^а, у)^, у = т, т + 1;

матрица Ф(а.1,-) является положительно определенной для а.1 = а0. (2.4)

Лемма 2.2. Рассмотрим политопную систему

х(0 = А(аь')х(0 + Рат, х(0 е Яат, (2.5)

где Рат в области а матрица А(а1, ■)

определяется (1.8). Если для системы (2.5) выполняются условия (2.2) и (2.3), то неравенство У(х) < 0 справедливо всюду в области Лат.

ат

Теорема 2.1. Состояние равновесия системы (2.5) асимптотически устойчиво в целом, если существует матрица Р > 0 такая, что

1) в области выполняются неравенства (2.2), (2.3) для производной (2.1) мягкой функции Ляпунова и свойство

-А(а°,-) * Р - РА(а°,-) > 0, гарантирующее выполнение условия (2.4);

2) в других областях неравенства (2.2) и (2.3) для производной (2.1) мягкой функции Ляпунова выполняются для двух поли-топных систем вида х(0 = 5(а, )х(0 + Рат и х(0 = 5(а + 1, )х(0 + Рат.

Доказательство теоремы 2.1 следует из лемм 2.1 и 2.2.

Получены условия асимптотической устойчивости в целом и для системы вида

x(t) = A(, a2)x(t) + рстт, x(t) е где PaT = 0

в области , матрица A(, a2) определяется (1.3). При этом использованы свойства производной (2.1) мягкой функции Ляпунова, записанной в виде

V(x) = x Px + x Px = -x Ф(-, a2)x + 2x PPCT,

где ф(, a2) = -A(-,a2)* P - PA(-,a2).

Рассмотрим управляемую систему предикатного управления

ЕСЛИ x(t) есть (x(t)),

ТО X(t) = Ax(t) + Bu(t), a = 1,2, x = 1, 2,

где u(t) = (ui(t), u-2(t)) — вектор управле-

ния; A и B — постоянные матрицы размера

2 х 2.

Для указанной системы пространство состояний разделено на области RaT и в каждой области определены постоянные матрицы K(a, ■), K(a +1) и вектор Хах. В этом случае предикатное управление с обратной связью имеет вид

u(t) = [a^Kfe, ■) + (1 - a^K(a + 1, 0]x(t) +

+ Xsx, x(t) e Rax,

где Xst = 0 для x(t) e ^ (2.6)

С учетом (1.8) получим замкнутую систему

X(t) = [aiS(s, ■) + (1 - ai)S(s + 1, ■)] x x x(t) + Pax, x(t) e Rax,

где

S(a, ■) = A + BK(a, ■), S(a + 1, ■) =

= A + BK(a + 1,0, Pax = BXax.

Рассмотрим теперь вопрос о стабилизации системы (2.7), сводящийся к тому, чтобы выбрать управление u(t), обеспечивающее асимптотическую устойчивость состояния равновесия системы (2.7). Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.2. Если управление определено посредством (2.6) и выполнены условия 1 и 2 теоремы 2.1 для матриц вида (2.8), то система (2.7) стабилизируема.

Доказательство теоремы 2.2 непосредственно следует из (2.6) и теоремы 2.1.

(2.7)

(2.8)

3. Использование разрывных мягких функций Ляпунова для анализа устойчивости систем предикатного управления. Особенность анализа устойчивости систем с мягкими регуляторами состоит в том, что регулятор обладает свойством, при котором возможно разделение фазового пространства на области, для которых параметры регулятора и его структура являются зависящими от области. Мягкие регуляторы могут быть непрерывными или разрывными в зависимости от операторов, которые используются, и от принятых правил нечеткой логики.

Как известно [11], правила модели с мягким регулятором имеют вид

ЕСЛИ xi есть Xf И ... Иxn естьХ^ ТО u есть Ui,

ЕСЛИ xi есть Xl И ... И xn есть Х^

Мягкий регулятор, соответствующий уравнению (3.3), является регулятором параллельно распределенной коррекции [9] и определяется правилом:

ЕСЛИ xi есть Xl И ... И xn есть Х^, ТО u = -Kix,

(3.4)

(3.l)

где u — управление; xi, ..., xn — переменные предпосылок (переменные состояния); Xl, ..., Xn, U1 — нечеткие множества. Степени принадлежности для правила П(1) определяются соотношениями вида mn (1)(x,u) =

= mXi(x) * m i(u), где функции mXi(x) и

i U г

m ui (u) определяют степени принадлежности

x к Xi и u к U1 соответственно.

Вход X и выход Y для системы (3.l) с мягким регулятором описываются следующим

образом: mu (u) = SUP T(mx (x), mn (x,u)), при

x

этом управление можно определить формулой:

Ju mu (u)udu

Ju mu (u)du

Система с мягким регулятором может быть описана с помощью множества r правил П(і):

где К — передаточный коэффициент, и результирующая стабилизируемая система примет вид

г г

х = XX ^(х)^-(х)(а - вк}-)х. г=1 /=1

Предположим, что существует рабочих режимов в областях фазового пространства, для которых были построены управления ^(х). Комбинация линейных и нелинейных регуляторов позволяет построить многомодельный мягкий регулятор [11]:

nd

Ё Uidi(x)

i=i__________

nd ’ Ё di(x) i=1

(3.5)

(3.2)

ТО X = А х + Вій, где А^, В і — постоянные матрицы. Правилам (3.2) соответствует уравнение вида

Г

х = X /%(х)(Ах + В^и), (3.3)

г=1

где 0 < /%(х) < 1,X /%(х) = 1. Система (3.2),

(3.3) является системой Такахи — Суджено [9].

где ^(х) — относительное расстояние х до г-й области.

Очевидно, что усложнение регуляторов осуществляется при переходе от мягкого регулятора, описываемого с помощью (3.1), к регулятору, описываемому посредством

(3.4), а затем к регулятору, описываемому посредством (3.5). Большинство устойчивых систем с мягкими регуляторами допускают квадратичную мягкую функцию Ляпунова. Однако когда число подсистем увеличивается, важным становится объем вычислений, и существование или нахождение приемлемой мягкой функции Ляпунова не гарантируется, хотя система и является фактически устойчивой.

Чтобы преодолеть указанный недостаток, для исследования устойчивости систем с мягкими регуляторами используются разрывные мягкие функции Ляпунова. С помощью разрывных мягких функций Ляпунова проверяются условия устойчивости в соответствующей области; разрывность функции Ляпунова всегда возникает на границе областей.

Теорема 3.1. Предположим, что для непрерывно дифференцируемой нелинейной системы с мягким регулятором выбрана кусочная мягкая функция Ляпунова ^(х) для каждой области Лй, множество которых образует разбиение фазового пространства.

Обозначим Ак = (х|х(£ ) е R|1, х(0 е Щ, k = 1, 2, Если выполняются условия:

1) V(х) > а(\\х||) "х е Яй; 2) Т&^(х) < 0

"х е Я^ 3) у,(х) < Уй(х) "х е Апк, где а —

функция Хана, то состояние равновесия системы (3.3) равномерно устойчиво.

Доказательство теоремы 3.1 вытекает из теоремы А. М. Ляпунова [8] об устойчивости с учетом определения устойчивости состояния равновесия.

Теорема 3.2. Если выполняются условия:

1) я(||х(0||) < Уй(х) < Ь(||х(0||) "х е Яй;

2) Ук(х) < -с(х); 3) У*Хх)<Уй(х) "х е Ам,

где а, Ь, с — функции Хана, то состояние равновесия системы (3.3) равномерно асимптотически устойчиво.

Доказательство теоремы 3.2 проводится рассуждением от противного с целью прийти к противоречию с условием 1. Доказательство равномерной устойчивости состояния равновесия базируется на применении теоремы А. М. Ляпунова о равномерной устойчивости [8].

4. Использование дивергентных мягких функций Ляпунова для анализа устойчивости систем предикатного управления.

Рассмотрим систему предикатного управления

— = /(х) + Ь ■ и, /(0) = 0,

Л (4.1)

и = F(x), F(0) = 0,

где х е X с Яп, f (х) — нелинейная моно-

тонно возрастающая функция; Ь — н-мерный вектор; и — скалярная переменная управления; и е и, и с Я, F(x) — нелинейная функция, определяемая в виде

,Р(х) = Ь2(тх 0 тп(х,и)), (4.2)

где символ о означает операцию композиции; 12 — оператор дефаззификации; тп(*)(х,и) =

= тх- (х)*т -(и) — степень принадлежности

- и

пары (х, и) к правилу П(г); тиг(и) — функция принадлежности и к множеству иг;

(х) — результат агрегирования степеней принадлежности входа х^ к множеству Х^;

символ * означает операцию логического минимума или алгебраического произведения; тх = тХ-(х1 )*т2Х-(х2) * ■■■ * тХ (хп),

Х1 х2 хп

I = 1, ..., и — мягкий выход, соответствующий входу х = (х1,х2, ...,хп); П= Ц|П(-) —

база правил мягкого регулятора. Результат действия F(x) соответствует управляющему воздействию на объект управления.

Рассмотрим нелинейную систему, описываемую дифференциальным уравнением

х = д(х,й), х е Я”,й е Н с Як, (4.3)

которое определено на множестве В(г) х Н, где В(г) = {х е Яи: ||х < г}, г > 0.

Предполагается, что функция д(х,й) удовлетворяет условию Липшица относительно х = (х1, х2, ..., хи) для каждого й е Н с с Я*1, т. е.

ЗЬ = 1(Ь) > 0 : ^(х1, й| - д(х2, й) < ^х1 - х2

"х1, х2 е В(г), и решения х((, х0, й) уравнения (4.3) непрерывно зависят как от начальной точки х0 = = х(0, х0, й), так и от параметра й = {Й1,

Й2, ..., й*} для * > 1.

Решение х = 0 называется равномерно ^смойчмвьш омносммельно лножесмва Н с с Я*, если

"е > 0 35 = 5(е) |х0| < 5 ^ |х (Ь,х0й)| < е

"Ь е Я+, "й е Н. (4.4)

В (4.4) число 3 зависит от е, но не зави-

сит от выбора точки й е Н.

Теорема 4.1 [9]. Если тривиальное состояние равновесия х = 0 уравнения (4.3) асимптотически устойчиво для каждого й, принадлежащего компактному множеству Н с Я*, то состояние равновесия х = 0 уравнения (4.1) равномерно устойчиво относительно множества Н.

Мно^ммелел Эйлера назовем положительную в окрестности состояния равновесия функцию, равную нулю лишь в самом состоянии равновесия.

Известно [4], что если г — асимптотически устойчивое состояние равновесия диф-

dx / ч

ференциального уравнения вида = д(х)

и У(х) — функция Ляпунова, для которой выполнено условие -V > а^а2, а.} > 0, а2 > 0,

то существует множитель Эйлера а(х), для которого дивергенция div(а(x)/’(x)) является отрицательно определенной. Функцию Ляпунова, обладающую указанным свойством, назовем дивергентной функцией Ляпунова для состояния равновесия г.

Для системы, описываемой уравнением

у = О(у), у е Я", (4.5)

где поле скоростей (О^, ..., Оп) непрерывно и удовлетворяет в некоторой области Q с Яп фазового пространства Яп условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши, справедливы следующие теоремы.

Теорема 4.2 [4]. Пусть divG(x) < 0 в окрестности состояния равновесия х = = (х^ ..., хп) = 0 системы (4.5) и существует дивергентная функция Ляпунова в силу указанной системы. Тогда состояние равновесия х = 0 асимптотически устойчиво.

Обобщением теоремы 4.2 является следующая теорема.

Теорема 4.3 [4]. Пусть div[a(x) О(х)] < 0 в окрестности состояния равновесия х = 0 системы (4.5), где а(х) — множитель Эйлера, и пусть существует дивергентная функция Ляпунова в силу системы (4.5). Тогда состояние равновесия х = 0 асимптотически устойчиво.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4.4. Пусть система (4.1) представлена в виде

х = д(х,и), х е Я”, и е и с Я, (4.6)

где множество и является компактным. Пусть divg(x, у) < 0 в окрестности состояния равновесия х = 0 системы (4.6) и существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия х = 0. Тогда это состояние равновесия системы (4.6) асимптотически устойчиво для каждого и е и.

Доказательство. Представление системы (4.1) в виде (4.6) является аналогом (4.3) с заменой А на и. Поэтому все предположения относительно (4.3) справедливы и для системы (4.6). Применяя далее теорему 4.2, получим асимптотическую устойчивость состояния равновесия х = 0 системы (4.6) для каждого и е и.

Теорема 4.5. Пусть div[a(x) д(х,и] < 0 в окрестности состояния равновесия х = 0 системы (4.6), где ст(х) — множитель Эйлера, и пусть существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия х = 0. Тогда это состояние равновесия асимптотически устойчиво для каждого и е и.

Доказательство теоремы 4.5 проводится аналогично доказательству теоремы 4.4 с применением теоремы 4.3.

Теорема 4.6. Если состояние равновесия х = 0 системы (4.6) асимптотически устойчиво для каждого и, принадлежащего компактному множеству и с Я, то состояние равновесия х = 0 системы (4.6) равномерно устойчиво относительно множества и.

Доказательство теоремы 4.6 следует из теоремы 4.1.

Найдем дивергенцию поля скоростей:

гїі^(х, и) = + ... + д—

дхі -Х'2 -хп

дх,

г=1

г=1

аКх)

дх,

(4.7)

Из теоремы 4.4 и свойства (4.7) вытекает следующая теорема.

Теорема 4.7. Пусть для системы (4.6) в окрестности состояния равновесия х = 0 выполнено неравенство

divg(x, и) < 0 и существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия х = 0. Тогда это состояние равновесия системы (4.6) асимптотически устойчиво для каждого и е и.

Из теоремы 4.6 и свойства (4.7) вытекает следующая теорема.

Теорема 4.8. Если выполняются условия теоремы 4.7 для каждого и, принадлежащего компактному множеству и с Я, то состояние равновесия х = 0 системы (4.6) равномерно устойчиво относительно множества и.

Далее, найдем

[а(х)д(х)] = д1 + ^ дг + ...

ОХ1 дхг2

да л. , ч (4.8)

... +-дп + а divg(x, и).

дхп

Из теоремы 4.5 и свойства (4.8) вытекает следующая теорема.

Теорема 4.9. Пусть для системы (4.6) в окрестности состояния равновесия выполнено неравенство

а(х)Г£ + £Ъ ■°^(х> | +

^г=1 дхг г=1 дхг

да(х) да(х)

+-------51 + —:------------д'2 +

дх1

дх2

да(х)

+ —-----5п ^ 0

дхп

и пусть существует дивергентная функция Ляпунова для состояния равновесия х = 0.

Тогда это состояние равновесия системы (4.6) асимптотически устойчиво для каждого и е и.

Из теоремы 4.6 и свойства (4.8) вытекает следующая теорема.

Теорема 4.10. Если выполняются условия теоремы 4.9 для каждого и, принадлежащего компактному множеству и с R, то состояние равновесия х = 0 системы (4.6) равномерно устойчиво относительно множества

и.

Полученные в настоящей статье условия устойчивости систем предикатного управле-

ния с помощью метода мягких функций Ляпунова могут быть использованы при решении задач устойчивости систем при постоянно действующих возмущениях, задач стабилизации управляемых систем, а также при проектировании технических систем предикатного управления. Условия устойчивости, полученные на основе метода дивергентных мягких функций Ляпунова, могут служить основой для разработки алгоритмов исследования устойчивости движения и использоваться в дальнейшем для реализации в виде компьютерных программ.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Афанасьев В. Н. Динамические системы управления с неполной информацией : Алгоритмическое конструирование / В. Н. Афанасьев. М. : КомКнига, 2007. 216 с.

2. Васильев С. Н. К интеллектному управлению / С. Н. Васильев // Нелинейная теория управления и ее приложения. М. : Физматлит, 2000. С. 57 126.

3. Дорф Р. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп ; пер. с англ. М. : Лаб.

базовых знаний, 2004. 831 с.

4. Дружинина О. В. Индексно-дивергентный метод исследования устойчивости нелинейных ди-

намических систем / О. В. Дружинина. М. : ВЦ РАН, 2007.

5. Жуковский Н. Е. О прочности движения / Н. Е. Жуковский // Уч. зап. Моск. ун-та,

1882. Вып. 4. С. 1 104.

6. Красовский А. А. Справочник по теории автоматического управления / А. А. Красов-

ский. М. : Наука, 1987. 712 с.

7. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения / Н. Н. Красов-

ский. М. : Физматгиз, 1959. 211 с.

8. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения / А. М. Ляпунов. М. ; Л. :

Гостехиздат, 1950. 471 с.

9. Масина О. Н. Моделирование и анализ устойчивости некоторых классов систем управления / О. Н. Масина, О. В. Дружинина. М. : ВЦ РАН, 2011. 164 с.

10. Меренков Ю. Н. Математическое моделирование и качественный анализ математических

моделей динамических систем : дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Ю. Н. Меренков. М. :

РГОТУПС, 2003. 254 с.

11. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление / А. Пегат ; пер. с англ. А. Г. Подвесов-

ского, Ю. В. Тюменцева. М. : БИНОМ. Лаб. знаний, 2009. 798 с.

12. Пуанкаре А. Избранные труды : в 3 т. / А. Пуанкаре. М. : Наука, 1971. Т. 1.

772 с. ; 1972. Т. 2. 360 с.

13. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике / Н. Г. Че-

таев. М. : Изд-во АН СССР, 1962. 535 с.

14. Шестаков А. А. Обобщенный прямой метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами / А. А. Шестаков. М. : КомКнига, 2007. 320 с.

15. Щенников В. Н. Устойчивоподобные свойства решений нелинейных управляемых систем :

дис. ... д-ра физ.-мат. наук / В. Н. Щенников. Л. : ЛГУ, 1988.

16. Sugeno M. On stability of fuzzy systems expressed by fuzzy rules with singleton consequents /

M. Sugeno // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. 1999. Vol. 7, № 2. P. 201 224.

Поступила 13.02.2012.