CC BY
102
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2011. № 2 (3). C. 5-11
Математика
Mathematica
УДК 519.71
О СИНТЕЗЕ РЕГУЛЯТОРА ДЛЯ СТАБИЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОЙ СИСТЕМЫ С НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬЮ Горюшкин В.А.
Московский авиационный технологический институт (МАТИ - «РГТУ») имени К.Э.Циолковского, 121552, г. Москва, ул. Оршанская, 3
E-mail: [email protected]
Рассмотрены системы с нечетким управлением, вопросы анализа устойчивости и синтеза нечетких регуляторов. Рассмотрен способ синтеза стабилизирующего управления для нелинейных динамических систем с неопределенностью при помощи нечетких моделей Takagi-Sugeno. Даны условия асимптотической устойчивости систем с нечетким управлением на основе метода функций Ляпунова.
Ключевые слова: нелинейные системы с нечетким управлением, нечеткие модели Takagi-Sugeno, нечеткие системы с неопределенностями, функция Ляпунова, устойчивость, нечеткий регулятор, линейные матричные неравенства
(с) Горюшкин В.А., 2011
MSC 93C42
ON STABILIZING CONTROLLER DESIGN FOR FUZZY SYSTEM WITH UNCERTAINTY V.A. Goryushkin
MATI» - Russian State University of Aviation Technology, 121552, Orshanskaya st., 3, Moscow, Russia E-mail: [email protected]
This paper addresses fuzzy control systems, asymptotically stability analysis and fuzzy controllers design. A stabilizing control design method for nonlinear dynamical systems with uncertainties based on Takagi-Sugeno fuzzy models is discussed. The paper proposed asymptotic stability sufficient conditions for fuzzy control systems via Lyapunov’s second method.
Key words: nonlinear fuzzy control systems, Takagi-Sugeno fuzzy models, fuzzy systems with uncertainties, fuzzy Lyapunov function, stability, fuzzy controller, linear matrix inequalities
(c) Goryushkin V.A., 2011
Введение
Задачи управления, в которых исходные данные являются ненадежными, неполными, слабо формализованными, встречаются в различных отраслях техники, промышленности, экономики, медицины [1] — [3]. В таких задачах эволюция системы происходит при наличии разнообразных факторов, известных неточно. Управление в этих системах может быть реализовано специальными логическими регуляторами, с помощью которых можно управлять статическими и многими динамическими объектами. Такие нечеткие системы управления находят многочисленные приложения в промышленности, в управлении движением транспорта, в управлении подъемными кранами, лифтами, роботами-манипуляторами, в управлении технологическими процессами, в нечетком управлении профессиональным риском повреждения здоровья и т. п. [2]-[5]. При этом, согласно промышленным нормативам, часто требуется обосновать устойчивость предлагаемой системы управления. Другими словами, требование устойчивости системы управления с входящим в нее регулятором рассматривается как необходимое условие для использования системы управления. В частности, когда системы управления связаны с безопасностью людей (стабилизация полета самолета, космической станции и т.п.), управляют дорогостоящим оборудованием или сложным производственным процессом, подверженным потере устойчивости, проверка устойчивости систем управления, в том числе систем управления с неполной информацией, расценивается как проблема критической важности.
К настоящему времени имеется ряд достаточно успешно работающих методов проверки устойчивости систем управления с неполной информацией [5]-[7]. Однако многие из этих методов строгого обоснования устойчивости системы не дают, а обеспечивают лишь возможность проверки ее работоспособности для определенных случаев, применительно к конкретным условиям. Эффективным методом анализа стабилизации рассматриваемых систем с неполной информацией, позволяющим получить строгое математическое обоснование устойчивости, является, в частности, метод функций Ляпунова.
Настоящая статья является продолжением работы [2], в которой расмотрены некоторые аспекты устойчивости нечетких систем.
Построение нечеткой модели
Первым шагом при синтезе регулятора является построение системы, описывающей динамику процесса управления. Эта система включает в себя все существенные характеристики процесса. Такая система слишком сложна для использования ее при синтезе регулятора. Общий подход к синтезу системы управления заключается в использовании упрощенной системы для построения регулятора. Упрощенная система представляет собой упрощенный вариант исходной системы и обычно пренебрегает высокочастотной динамикой объекта. Таким образом, при синтезе необходимо совладать с неполнотой математической модели процесса управления. Для учета неопределенностей моделирования в настоящей работе рассмотрено использование регулятора, состоящего из двух частей. Первая часть стабилизирует модель объекта, которая не содержит неопределенностей, возникающих при моделировании. Роль второй части регулятора заключается в избавлении от неопределенностей, возни-
кающих при моделировании. В обоих случаях используется методика управления с обратной связью.
Нечеткую систему Така^1-8и^еио [4, 5] можно построить, если имеется локальное описание требующей управления динамической системы в терминах локальных линейных моделей
х (?) = А;х (?) + В; и (?), I = 1, ..., г,
где вектор состояния Х (?) € -Ки, вход управления и (?) € -Кш, а матрицы А; и В; имеют
соответствующую размерность. Затем эта информация соединяется с имеющимися правилами ЕСЛИ-ТО, в которых г-е правило имеет вид
Правило I:
ЕСЛИ г1(?) есть М;1 и ... и гр(?) есть М;р,
ТО Х (?) = А;х (?) + В;и (?),
где Мгу, 7 = 1, ..., п - 7-е нечеткое множество г-го правила. Пусть М^-(х^-(?)) -
функция принадлежности нечеткого множества М^- и пусть
(х(?)) = ]ПМ;7(Х7(?)) , к; (х(?)) = ^—,у?
7=1 Ё ^ (х (?))
г=1
Тогда при заданной паре (х (?), и (?)) получающаяся модель нечеткой системы записывается как весовое среднее локальных моделей и имеет вид
Ё (х(?)) (А;х (?) + В; и (?)) г
х = —----------г------------------ = Ё к (А;х(?) + В;и (?)) =
Ё ^ (х(?)) = (1)
i=1
= ( L hi (x(t)) Aij x (t)+ f L hi (x(t)) Bi ) u (t) = A (h) x + B (h) u,
где при i = 1, . . . , r
hi (x(t))= wi (x(t))
L w(x(t)) i=1
Заметим, что при ; = 1,..., г
к;(х(?)) > 0, Ёк(х(?)) = 1, к = (Й1, Й2,..., к)Т € [0, 1]г.
;=1
Для получения упрощенной модели полная модель процесса соединяется с его лингвистическим описанием. В данной работе рассмотрены полные модели, которые могут быть записаны в виде
х = f (х) + Ь(х)(и + £ (?, х)), (2)
где f : ^ _КИ, Ь : ^ ^ихш, а векторозначная функция ^ (?, х) представляет неопределенности модели. Единственная информация, доступная нам об этих
неопределенностях - их границы. Далее всюду предполагается, что представляю-
щая неопределенности системы ^ (?, х) ограничена неотрицательной функцией д = д (?, х), т.е.
III(?, х)11р < Д (?, х),
где || ■ ||р означает р-норму вектора. Таким же образом, как и управление | влияет на динамику системы посредством входной матрицы Ь(х). Соответствующая полной модели (2) нечеткая упрощенная модель имеет вид
х = А (к) х + В (к) (и +1 (?, х)).
Непосредственно с помощью метода Ляпунова доказывается, что достаточное
условие асимптотической устойчивости положения равновесия х = 0 нечеткой систе-г
мы х = Ё к; (х(?))А;х, где к; (х(?)) > 0 и ЁГ=1 к (х(?)) = 1 состоит в том, что существует ;=1
симметричная положительно определенная матрица Р такая, что для ; = 1,..., г
АТр + РА; < 0. (3)
г
Заметим, что если все А;, ; = 1,..., г в нечеткой модели х = Ё к; (х (?)) А;х гур-
;=1
вицевы и существует симметричная положительно определенная матрица Р такая, что условия (3) выполнены, то сумма матриц А;+Ау для любых ;,у = 1,..., г также гурвицева.
Действительно, пусть АТр + РА; = —Я;, АуР + РАу = —Яу, где Я; = ЯТ > 0 и Яу =
ЯТ > 0. Складывая, получаем ^АТ + А^Р + Р(А;+Ау) = — (Я; + Яу). Поскольку Р =
РТ > 0 и Я; = ЯТ > 0, Яу — > 0, то симметричные матрицы ^Я; + Яу) для любых
;, 7 = 1, . . . , г также положительно определены. Следовательно, по теореме Ляпунова матрицы А;+Ау гурвицевы.
Таким образом, если существуют ; и у такие, что матрица А; + Ау не является гурвицевой, то не существует и положительно определенной матрицы Р такой, что АТР + РА; < 0 при ; = 1,..., г, т.е. это условие является достаточным для не существования общей матрицы Р, удовлетворяющей (3).
Устойчивость нечетких моделей и синтез стабилизирующего регулятора
Получим теперь достаточное условие асимптотической устойчивости нечеткой модели, заданной в виде (1) с помощью обратной связи
г
и = — Ё ку (х (?)) ^ух.
./=1
Замкнутая система имеет вид
х = Ё Ёк;(х (?)) к у(х (?)) (А;—В^ )х. (4)
;=1 у=1
Предположим, что матрицы коэффициентов усиления выбраны так, что матрицы
А; — В;^, ; = 1, . ., г
в
являются гурвицевыми. Пусть = (А; — В;^) + (Ау — Ву^') при ; < у < г.
Предположим также, что существует положительно определенная матрица Р таТ
кая, что выполнены условия (А; — В;^) Р+Р(А; — В^') < 0, ; = 1,..., г. Представим
эти неравенства в виде
(А; — В^)ТР + Р(А; — В^;) = —Я;, I = 1, ..., г
где каждая Я; является симметричной положительно определенной. Пусть X; означает наименьшее собственное значение Я;. Поскольку Я; = ЯТ > 0, то X; > 0 при ; = 1,..., г.
Пусть аТ-Р + РО= — Я ;у, ;< у < г. Поскольку Я ;у = ЯТ, то собственные значения Я;; являются действительными. Пусть X;,- означает наименьшее собственное значение
R
j ij.
Теорема 1. Пусть все (А} — В}Р}), і = 1,..., г являются гурвицевыми и существует симметричная положительно определенная матрица Р такая, что выполнены условия (А} — В}р) Р+Р (А} — ВР) < 0, і = 1,..., г. Тогда замкнутая нечеткая модель (4) асимптотически устойчива, если матрица
( Хі Х12/2
Х12/2 Х2
. x1r/2 ^
Х2г/2
у Х^/ 2 Х^т/2 ... Хг у
положительно определена.
Доказательство. В качестве функции Ляпунова для замкнутой системы (4) возьмем V = V (х (?)) = хТ (?)Рх (?) Найдем производную V по времени:
V = 2xTPx = 2xTP £ £ hi (x (t)) hj (x (t)) (A; - B;Fy)xJ =
= £ І hi (x (t) ) h j (x (t) ) ( (A; - B;Fj) T P + P (A; - B;Fj) ) x = i=1/=1 ^ '
4
r r r
2
= - £ h2 (x (t))xT R;x - £ £ h; (x (t)) hj (x (t))xT R;jx. ;=l ;=l j>;
Теперь воспользуемся тем, что для любой симметричной матрицы М = МТ выполнено Хтт (М) ||х|2 < хТМх , где Хт,п (М) - наименьшее собственное значение М. Тогда
У < - £ h2 (x (t)) Х; + £ £ h; (x (t)) hj (x (t)) Х;j |x| =
V'=l ;=l j>; /
( ( Х1 Х12/2 ... Xlr/2 ^ / hl \ \
Х12/2 Х2 X2r/2
(hl, h2,..., hr)
= - {hTAh) |x|2 .
у Xlr/2 Xf2r/2 ... Xr у
h2 hr
iixii2 =
Таким образом, если матрица из условия теоремы положительно определена, то производная функции Ляпунова отрицательна. Доказательство закончено. □
Теперь воспользуемся методом Ляпунова для синтеза нечеткого управления динамических систем с неопределенностью вида (2). Для того, чтобы избавиться от неопределенности £ и получить условия асимптотической устойчивости системы, применим следующий способ построения стабилизирующего управления. Синтез стабилизирующего управления и разделим на две части: и = ис + ин . Сначала строим часть ис в виде
r
uc = - L hj (x (t)) Fjx (5)
j=l
так, чтобы система х = £ £ Ні (х (ґ)) ку (х (ґ)) (Лі — Б^^х была асимптотически устой-
і=1 ]=1
чивой в целом и существовала общая матрица Р удовлетворяющая условиям
(Лі — Б^)тР + Р(Лі — Б^) < 0 и ОТр + РОи < 0, і = 1,..., г. Система (2) с управле-
нием (5) имеет вид
X = £ Ні (х (ґ))ЛіХ — £ Ні (х (ґ)) бА £ ку (х (ґ))^)х ) +
і=і і=і у=1 у
г гг /п.
+ £ Ні (х(ґ)) Бі (и2 +%) = £ £ Ні (х (ґ)) Ну (х (ґ)) (Лі — БіЕ])х+ (6)
і=1 і=1 ]=1
+ £ Ні (х (ґ)) Бі (ис + %) . і=1
Затем строим регулятор ин для того, чтобы избавиться от неопределенности %. В результате система (2) с управлением и = ис + ин является асимптотически устойчивой в целом. Вид регулятора ин определяется следующей теоремой.
Теорема 2. Пусть заданное для системы (2) управление вида (5) таково, что существует общая для всех подсистем матрица Р, удовлетворяющая условиям
(Лі — Бі¥і)тР + Р(Лі — Б^і) < 0, і = 1,..., г
тг
и пусть і = (гь г2,..., гт) = £ к і (х (ґ )) Б\Рх. Тогда замкнутая система с управле-
і=1
нием и = ис + ин, где ис = —иаУ |Ы| р, р > 1, — + - = 1, является асимптотически
р р а
устойчивой для любой неопределенности % такой, что ||% ||а < Па-
Доказательство. Предположим, что ис, определяемое в виде (5) и такое, что выполняются условия (Лі — Б^)тР + Р(Лі — Б іБі) < 0 и ОтиР + РОц < 0, і= 1,..., г уже построено. Управляемая с помощью ис система (2) принимает вид (6), т.е.
х=£ £ к і (х (ґ )) Ну (х (ґ )) (Лі — Б іБу) х + £ Н і (х (ґ )) Б і (ис + %). і=1 ]=1 і=1
Покажем теперь, что V = хтРх является функцией Ляпунова для замкнутой системы, где Р = Рт > 0 удовлетворяет условиям (Лі — Б ^)тР+Р (Лі — Б< 0 и ОтР + РОц < 0, і= 1,..., г. Для этого мы вычислим V (ґ ) вдоль траекторий замкнутой системы и покажем, что эта производная отрицательна. Имеем
V (ґ ) = 2хтР\ £ £ Ні (х (ґ )) Ну (х (ґ )) (Л і — Б )х + £ к і (х (ґ )) Бі (ис + %) ) < (7)
V і=1 у=1 і=1 у (7)
< — 2д?гтУ ||г||р + 2гтк < —2^ ||г||р + 2|гтк| .
Применяя к (7) неравенство Гёльдера \vTw\ < ||v||p \\w\\q, где 1 +1 = 1, получаем
Р q
V () < —2^ ||^|p + 2 1^1^ \\h\\q < — 2^ ||^|p + 2 ||^|p Дq < 0 .
Следовательно, согласно теореме Ляпунова, замкнутая система асимптотически устойчива. □
Заключение
Таким образом, для учета неопределенностей моделирования использован регулятор, состоящего из двух частей. Первая часть стабилизирует модель объекта, которая не содержит неопределенностей, возникающих при моделировании. Роль второй части регулятора заключается в избавлении от неопределенностей, возникающих при моделировании. В обоих случаях используется методика нечеткого управления с обратной связью. Полученные условия устойчивости могут быть использованы в задачах совершенствования технологических процессов и инженерных систем нечеткого управления. Для более полного применения построенных регуляторов к реальным техническим и физическим системам, необходимы дальнейшие исследования, направленные на ограничение влияния внешних возмущений, разрозненных неопределенностей, а также недоступных переменных состояния.
Литература
1. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. — 798 с.
2. Driankov D., Hellendorm H., Reich Frank M. An introduction to fuzzy control. Berlin: Springer, 1996.
3. Круглов В.В., Дли М.И., Голунов Р.Ю. Нечеткая логика и искусственные нейронные сети. М.: Физматлит, 2001.
4. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. - 1985. - Vol. SMC-15, Jan/Feb. - P. 116—132.
5. Tanaka K., Wang H.O. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality approach. N.Y.: Wiley, 2001.
6. Горюшкин А.В. Об устойчивости нечетких систем управления // Вестник КРАУНЦ. Сер. Физ.-мат. науки. - 2011. - №2(1.) - С.17-25.
7. Sugeno M., Kang G.T. Structure identification of fuzzy model // Fuzzy Sets Syst. - 1998. - V. 28. - P. 15—33.
8. Tanaka K., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems // Fuzzy Sets and Systems. - 1992. - №45(2). - P. 135—156..
9. Wang H.O., Tanaka K., Griffin M.F. An approach to fuzzy control of nonlinear systems: Stability and design issues // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. - 1996. - 4(1) - P. 14-23.
10. Feng G., Cao S.G., Rees N.W., Chark C.K. Design of fuzzy design control systems with guaranteed stability // Fuzzy Sets and Systems. - 1997. - 85(1) - P. 1 — 10.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 05.11.2011
