Об условиях стабилизации нечетких TS-систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.71

ОБ УСЛОВИЯХ СТАБИЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКИХ TS-СИСТЕМ

В.А. Горюшкин

Московский авиационный технологический институт (МАТИ- РГТУ) имени К.Э. Циолковского, г. Москва, 121552 e-mail: msu28@bk.ru

Рассмотрены системы с нечетким управлением, вопросы анализа устойчивости и синтеза нечетких регуляторов. Рассмотрен метод стабилизации нечетких систем Takagi - Sugeno с помощью параллельно распределенной коррекции. Даны условия асимптотической устойчивости систем с нечетким управлением на основе использования нечеткой функции Ляпунова. Указанные в работе условия устойчивости могут быть преобразованы в линейные матричные неравенства и, таким образом, сведены к численной задаче, решаемой в рамках техники выпуклой оптимизации. Результаты могут найти применение при исследовании вопросов устойчивости нелинейных систем.

Ключевые слова: нелинейные системы с нечетким управлением, нечеткие модели Takagi - Sugeno, функция Ляпунова, устойчивость, нечеткий регулятор, линейные матричные неравенства.

On stability conditions of fuzzy TS systems. V.A. Goryushkin (MATI - Russian State University of Aviation Technology, Moscow, 121552)

This paper addresses fuzzy control systems, asymptotically stability analysis and fuzzy controllers design. PDC-based stabilization method for Takagi - Sugeno fuzzy systems is discussed. The paper proposed asymptotic stability sufficient conditions for fuzzy control systems via fuzzy Lyapunov function. It is shown via fuzzy Lyapunov function approach that less conservative asymptotic stability conditions for close-loop fuzzy systems may be obtained. The stability conditions can be reduced to linear matrix inequality problems. Therefore they can be solved efficiently in practice by convex programming techniques. The results may be used in problem solving of nonlinear systems stability.

Key words: nonlinear fuzzy control systems, Takagi - Sugeno fuzzy models, fuzzy Lyapunov function, stability, fuzzy controller, linear matrix inequalities.

Одним из основных направлений, связанных с решением различных проблем интеллектуального управления, является использование аппарата нечетких систем: нечетких множеств, нечеткой логики, нечеткого моделирования (например, [1]). С помощью использования этого аппарата появляется возможность построения нечетких систем управления различных классов, позволяющих решать задачи управления в ситуациях, когда традиционные методы неэффективны или неприменимы из-за отсутствия достаточного знания об объекте управления. Для некоторых классов нелинейных систем с нечетким управлением разработаны методы построения нечеткого управления. Одним из таких методов является мультимодельный подход Takagi - Sugeno.

В [2] показано, что нечеткие модели Takagi - Sugeno (TS-модели) представляют собой нелинейные системы, способные аппроксимировать широкий класс сложных или нелинейных систем с помощью правила вида ЕСЛИ ... ТО, которые устанавливают локальные соответствия «вход-выход» для нелинейной системы. Основная особенность нечеткой модели Takagi - Sugeno состоит в описании локальной динамики на каждой нечеткой импликации посредством линейных систем. При помощи нечетких моделей Takagi - Sugeno может быть описан широкий класс нелинейных динамических систем. Одним из достаточно разработанных методов исследования устойчивости нечетких систем является метод линейных матричных неравенств, который впервые был использован для анализа устойчивости однородных непрерывных и дискретных нечетких систем. Удобство метода линейных матричных неравенств обусловлено его численной реализацией в интегрированной среде MATLAB.

Большим преимуществом TS-моделей является также и то, что устойчивость представленных с их помощью систем может быть исследована с использованием метода функций Ляпунова (например, см. [3]). В [3] доказано, что исследование устойчивости нечеткой TS-модели может быть сведено к нахождению общей для всех подмоделей симметричной положительно определенной матрицы, удовлетворяющей некоторому множеству неравенств Ляпунова. Таким

образом, условия устойчивости для таких систем получаются на основе теории устойчивости Ляпунова и, как правило, записываются в виде линейных матричных неравенств, допускающих численное решение.

В настоящей работе рассмотрены условия устойчивости для замкнутых нечетких систем Takagi - Sugeno, полученные с использованием нечеткой функции Ляпунова. Такие условия являются более гибкими по сравнению с условиями устойчивости, полученными на основе квадратичной функции Ляпунова, поскольку они не требуют нахождения общей для всех подсистем симметричной положительно определенной матрицы. Напротив, рассмотренные в данной работе достаточные условия устойчивости используют для всех подсистем различные (но пропорциональные) матрицы.

Нечеткая система Takagi - Sugeno описывается нечеткими ЕСЛИ-ТО правилами, представляющими локально линейные отношения «вход-выход», где 7-е правило нечеткой системы Takagi - Sugeno имеет вид:

Правило г. ЕСЛИ ( есть МЛ и г ( есть , ТО х<>Л*ОД"С

7=1, 2, ..., г,

где г4, = ^ ?г - вектор исходных переменных, Л' / = Л', / , ..., Хп I ,

^ •• "„, 4.2.,- г ~ число ЕСЛИ-ТО правил, Му - нечеткие множества. Окончательный выход системы имеет вид

г

х ? г г Ах ? +Ви ? , (1)

1=1

где ^ { ^ - нормализованные веса для каждого правила,

М€>о, =1.

Метод стабилизации нечетких систем Takagi - Sugeno с помощью параллельно распределенной коррекции был разработан в [4, 5]. Основная идея при синтезе регулятора параллельно распределенной коррекции заключается в получении каждого правила управления для корректировки из соответствующего правила нечеткой модели Takagi - Sugeno. Получающийся общий нечеткий регулятор, вообще говоря, нелинейный, является нечетким смешением отдельных линейных регуляторов. Такой нечеткий регулятор использует те же самые нечеткие множества, что и исходная нечеткая модель. Для нечеткой системы (1) регулятор параллельно распределенной коррекции имеет следующий вид:

г

и ? г Г ( . (2)

1=1

Подставив (2) в (1), получим замкнутую нечеткую систему Takagi - Sugeno:

г г

х t г t hJ г t А-ВК х Г . (3)

¿=1

к„ г I

< 5..... для всех /, а 5 - заданные

ТЕОРЕМА 1. Пусть все Ит (( л ограничены, то есть

положительные числа. Тогда система (1) стабилизируется посредством нечеткого регулятора (2), если найдутся положительно определенные матрицы р и матрицы ^ такие, что все матрицы р пропорциональны, то есть Р = у ..Р. для всех /, ] = 1,..., г и у. > 0 для / Ф /. у.. = 1 для г = /,

1

г

у 5Р+ А .-ВР Т Р+Р А .-ВР. <0, 1,1=1 ,...,г (Т1)

/ > т т 7 J J ? 1 л 1 1 V/

га=1

и

1=1

¡=1

Ф, -дл > ^ -/у-.; >:+/; Ф, -/у-; > ^ -/у-; > о (Т2)

для всех г, ]',к = \,...,г таких, что ] <к .

Доказательство. В качестве функции Ляпунова выберем функцию

г

1=1

Пусть ^ - те же, что и в условии теоремы. Очевидно, что V С / О и " ПРИ " •

поэтому нам необходимо убедиться лишь в том, что при всех О. Тогда по

теореме Ляпунова об устойчивости и вся система (3) будет устойчива [6]. Собирая в правой части соотношения (3) вместе члены с одинаковыми индексами, перепишем его в виде

"=1 м

г г г г

/=1 /=1 /=1 ¡Ф j

Теперь найдем V С

<£& «О «О.<£& «О,]*С

V ¿=1 У V ™=1 У V ¿=1 У

Подставляем выражение из (4) в (5):

г г г

V «о хт < ^ил «о. « о «ОА -в^ >,+

.=1 1 .= 1

г г г

- «о, «о«Оа -вд+ А, -в^ >.+«о.

.=1 ^ 1

г г г

+

ЕЕЕ^О^О^ОЛ-в.

-=1 -=1

с О. «О ^о А. -вд + Ак-в^ рО

¿=1 .=1 —к

г г г

< «О. «О. « ОА.-вА У.+р.А-в^ >

'■=1 .=1 .=1 г г г г

^к ^СР.+«О. «О* «О А. -вд+а, -в^ >

г г г

= X

1=1 7=1

С учетом условия |/гт / | < имеем

г г г

Vсо хт <« о. « о. «ОА -в/. >, А-в^ ^

¡=1 .=1 .=1

г г г г

О. « Ок « О А -вд + А-в^У.

+

т т

т=1 '=1 .=1 ^к

Значит, при выполнении условий теоремы (Т1) и (Т2)

V «О хт < * О; « О А. -вд+Ак-в^ у

(4)

(5)

;=1 .=1

г г

т=1

т=1

г г

+Р, А-вл +л -ад + Е 8трт) +

«7=1

Г Г Г

+

«О, «Ок € С! Л,-В^+Лк-В^

¿=1 7=1

Таким образом, нечеткая система (3) является асимптотически устойчивой.

Для практических вычислений предпочтительно иметь все условия записанными в виде линейных матричных неравенств. Тогда можно организовать их одновременную проверку с помощью компьютерных вычислений. Подробно преобразования различных условий для нечетких систем в линейные матричные неравенства рассматриваются, например, в [7]. Однако рассматриваемые там условия устойчивости являются исключительно квадратичными. Доказанная выше теорема 1 дает не квадратичные условия устойчивости, поэтому возникает задача преобразования условий этой теоремы в линейные матричные неравенства. Покажем, как можно

преобразовать в такой вид условие теоремы

к„ г I

ТЕОРЕМА 2. Пусть известны х и 2 . Условия

к„ г I

удовлетворяются следующие матричные неравенства

1 хг<Р

>0

< Ът выполнены, если (6)

(

т Л

5 Р Я

ш I у

Я 5 I

V и т

>0

при /, /, т = 1, ..., г, где Л' = Р! 1, а матрицы II и зависят от Д. , II, Р и кт С

дк г ?

Доказательство. Имеем \кт г ? | = Поэтому

-х ?

Эх ?

Г;

г t

У Л

-х

9х

Аналогично [6] представим " в виде

< 5„.

г t

дх ^

-х t

<5!

дх1^ 3/г г (

т

дх ?

.у

=Е<

]Р, V

(7)

(8)

где0рг г I >0,^9^ г Г =1.

I

Подставим выражение для Л'С из (3) в (8):

тогда

¿=1 ^=1

г t хр1 А. г ? Д.-ЯР. х/ <5

I V ,=1

| 5 Г Г

—х г (V 0 , г г х , У У/г. г г к. г г А -ЯР.

р! р! / , / , 1 3 113

°т 1 V '=1

ТТк. г t к. г ? А -ЯР

/ • / • 1 3 113

\ <=1 7=1

X t <1.

Т

т

Л

Нечеткая функция Ляпунова при t > 0 удовлетворяет условиям

следовательно,

Поэтому

С помощью дополнения Шура последнее неравенство переписывается в виде

(

1 х7 0

которое имеет вид (6).

Аналогично неравенство \hm z t =

dh z t

dx t

-x t

>0,

< 5,„ будет выполняться при условии

J_ 51

(Х9^ z { Tf z { hJ z { А-Щ

V J=l

/ ly 1=1 i=l У 1=1

которое с помощью дополнения Шура записывается в виде

5 У/г. z t P

m ^^ i i

E0* г * V EEA. zt h}zt A -BF}

V ¡-1 j-i

5J

Е9,' 2 ' V Е1> 2 ' А; 21 4 -од

V ' ^¡-1 г 1

то есть имеет вид (7).

Таким образом, на основе нечеткой функции Ляпунова получены условия устойчивости для замкнутых нечетких систем Takagi - Sugeno. Эти условия являются более гибкими по сравнению с условиями устойчивости, которые могут быть получены на основе квадратичной функции Ляпунова, поскольку не требуют нахождения общей для всех подсистем симметричной положительно определенной матрицы. Кроме этого показано, что найденные условия устойчивости могут быть записаны в виде линейных матричных неравенств и, следовательно, при решении конкретных задач к ним могут применяться компьютерные вычисления. Рассмотренные условия устойчивости могут быть использованы в задачах совершенствования технологических процессов и технических систем нечеткого управления.

1=1

1=1

1=1

т

¡-1

г г

Литература

1. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009. - 798 с.

2. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control // IEEE Trans. Syst., Man, Cybern. - Vol. SMC-15. - Jan/Feb 1985. - P. 116-132.

3. Tanaka K., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems // Fuzzy Sets and Systems. - 45(2). - 1992. - P. 135-156.

4. Wang H.O., Tanaka K., Griffin M.F. An approach to fuzzy control of nonlinear systems: Stability and design issues // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. - 4(1). - 1996. - P. 14-23.

5. Design of fuzzy design control systems with guaranteed stability / G. Feng, S.G. Cao, N. W. Rees, C.K. Chark // Fuzzy Sets and Systems. - 85(1). - 1997. - P. 1-10.

6. Tanaka K., Hori T., Wang H.O. A multiple Lyapunov function approach to stabilization of fuzzy control systems // IEEE Transactions on Fuzzy Systems. - 11(4). - 2003. - P. 613-629.

7. Tanaka K, Wang H.O. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality approach. - N.Y.: Wiley, 2001.