CC BY
828
и бзоры
УДК 658.012.011.56
НЕЧЕТКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ1
Ю. И. Кудинов*, И. Н. Дорохов**, Ф. Ф. Пащенко***
*Липецкий государственный технический университет;
**Российский химико-технологический университет им. Д. И. Менделеева, г. Москва; ***Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова, г. Москва
Рассмотрены вопросы анализа, синтеза и классификации нечетких регуляторов и систем управления. Дан анализ публикаций по нечетким регуляторам. Основное внимание уделено логико-лингвистическим, аналитическим и обучаемым нечетким регуляторам и системам управления. Рассмотрена нечеткая разностная Т8-модель, пригодная для описания динамических объектов и нечетких регуляторов. Показано применение методов Ляпунова для оценки устойчивости нечетких систем и синтеза нечетких регуляторов. Приведены структура и методы обучения нечетких систем управления, содержащих ней-ронечеткие Т8-модели регулятора и объекта. Дано сравнение нечетких и статистических регуляторов.
ВВЕДЕНИЕ
В теории управления особое внимание всегда уделялось проблеме синтеза математических моделей и алгоритмов управления при недостаточной информации об объекте управления и действующих на него полезных сигналов и помех. Этот интерес усилился в последнее время в связи с изучением слабо формализованных сложных систем и разработкой принципов и алгоритмов управления этими системами.
Опыт создания систем автоматического управления для сложных технологических объектов, в условиях большой неопределенности и неполноты знаний об объекте, нечеткости описаний показал неэффективность применения только формальных классических методов теории управления. Этим объясняется повышенный интерес к невероятностным моделям нечеткости и неопределенности, характерный для 1960—1970-х гг. Субъективная вероятность Севеджа, верхние и нижние вероятности Демпстера, характеризующие неопределенность в теории вероятностей, правдоподобие и доверие Шеффера и, наконец, теория нечетких множеств Заде — это неполный список направлений,
1 Работа выполнена при поддержке РФФИ по проекту 04-01-00816 и ОЭММПУ РАН по про грамме № 16.
ориентированных на моделирование на основе экспертных знаний и принятие решений в условиях нечеткости и неопределенности.
В последнее время наблюдается исключительно высокий интерес к одному из важнейших приложений теории нечетких множеств — анализу и синтезу нечетких регуляторов и систем управления технологическими процессами и установками. Нужно сказать, что широко применяемые традиционные ПИ- и ПИД-алгоритмы можно считать экспертными, так как были впервые построены в конце XIX столетия, когда теории автоматического управления еще не существовало. Отечественные публикации по этой проблематике относятся к концу 1980-х и началу 1990-х гг. [1—7]. Вместе с тем, за прошедшее десятилетие произошло лавинообразное увеличение числа теоретических и прикладных исследований в области нечетких регуляторов и систем управления. Об этом свидетельствуют последние конгрессы №АС и появление новых журналов, посвященных этой проблеме.
Большое число практических применений нечетких систем управления в промышленности, транспорте и бытовых приборах отмечено в Японии, Китае, США и в европейских странах.
В последнее время уже более определенно можно говорить о сформировавшихся трех видах нечетких регуляторов: логико-лингвистических, аналитических и обучаемых. Однако информация о
них не систематизирована и разбросана по многим публикациям. Цель настоящей работы — дать конструктивный анализ нечетких регуляторов, позволяющий специалисту свободно ориентироваться в области нечетких систем управления технологическими процессами в условиях неопределенности.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассмотрим такие основные понятия, как нечеткие множества и некоторые операции на них, лингвистическая переменная и нечеткое отношение.
Нечетким множеством X на универсальном множестве X = {[: я . < я < [тах} называется упо-
v Ш1П таХ' *
рядоченная совокупность пар [8]
х = {[, ; ([)}, [ е х,
где ; ([) — функция принадлежности я к ;, отображающая X в интервал [0, 1].
На нечетких множествах Х1 и Х2 определены операции объединения (связки “или”, “иначе”)
(;1 и ;2)([) = ;1([) V ;2(я) = тах(;1([), ;2(я)) и пересечения (связка “и”)
(;1 п ;2)([) = ;1([) л ;2(я) = т!п(;1([), ;2(я)).
Лингвистическая переменная определяется тройкой ([, 7[, X), в которой х — название переменной, Тх = { , Т2, ..., } — терм-множество
лингвистических значений или термов , / = 1, N,
с соответствующими функциями принадлежности
([), заданными на универсальном множестве X. Нечеткое отношение 5 на декартовом произведении множеств X X У = {([ \), [ е X, \ е У} есть нечеткое множество в X х У с функцией принадлежности 5 ([ \), которая характеризует степень совместимости пары [ \ с 5. Если [ \ — точки,
т. е. х X е {я1, ..., [*}, \ е У = {/,..., /}, то отношение является матрицей с элементами 5 (я0, уг), / = 1Д, и = 1^ [8].
ЛОГИКО-ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ
Такого рода нечеткие регуляторы содержат нечеткие множества, логические операции объединения, пересечения и композиции с лингвистическими значениями переменных, нечеткое отношение, образованное одной или несколькими логическими операциями, и правило вывода нечеткого выхода при известном входе. Первые логико-лингвистические регуляторы (ЛЛР) [9—11] оказали очень сильное влияние на последующие исследо-
Рис. 1. Преобразование входа в нечетком регуляторе
вания в области нечетких систем управления и заслуживают того, чтобы вначале изложить основные принципы их построения, а затем показать, как эти принципы реализованы в одном из регуляторов.
Принципы построения ЛЛР рассмотрим на примере простейшего обобщенного регулятора с одним входом х (обычно ошибка регулирования) и одним выходом у (регулирующее или управляющее воздействие), связанных нечеткими правилами
51: если х есть t1, то у есть 7\ иначе
52: если х есть t2, то у есть 72, иначе (1)
5Q: если х есть tQ, то у есть 7Q,
содержащими нечеткие множества t0 е Тх и 7е е Т\.
В алгоритме функционирования ЛЛР в той или иной форме присутствуют процедуры преобразований (фазификации )«]) измеренного значения х0 переменной х в лингвистическое значение X, нечеткого вывода (fuzzy inference ) лингвистического выхода 7' по известному входу t' и совокупности правил 5 = {51,..., 5Q} и преобразования (дефазификации "н/) лингвистического значения
выхода 7' в действительное у0 (рис. 1).
“Входной измеримой переменной х со значением х0 соответствует так называемое “вырожденное” нечеткое множество X' с функцией принадлежности
0
1, если [ = [
0
0, если [ Z [ ,
где х0 — точка, именуемая синглетоном множества X'. Запишем выражение нечеткого вывода для ЛЛР, заданного множеством правил (1)
51: если х есть t1, то у есть 71, иначе
52: если х есть t2, то у есть 72, иначе (2)
5Q: если х есть tQ, то у есть 7Q, х есть X’
у есть Т
Значения истинности высказываний “х есть X0”, “у есть 7е” и “х есть X'” в правилах (1) и посылке выражения вывода (2) определяются значениями соответствующих функций принадлежности Xе (х), 7е (у) и Х'(х) для х е X, у е У.
Каждое правило 5е — это не четкая импликация
5е = если х есть Xе, то у есть 7е = Xе о 7е.
В ЛЛР в качестве процедуры вывода 7 используется максиминная композиция Заде [8]
7(у) = (Х о 5)(у) = V(Х(х) л 5 (х, у)), (3)
х е ;
где 5 (х, у) = 9 5е(х, у) = V Xе(х) л 7е(у).
е - 1 е - 1
В точке х0 выражение (3) после подстановки Х(х0) = 1 принимает вид
7(у) = V 5(х0, у) = V Х(х0) л 7(у). (4)
е - 1 е - 1
Значение выхода у0 можно определить путем максимизации
у0 = тах 7 (у) (5)
у е 7
или вычисления “центра тяжести” функции принадлежности 7 (у)
0 у
у •'тах
| 7(у) Лу = | 7(у) Лу. (6)
у0
•'тт у
Наиболее известный и часто цитируемый ЛЛР, разработанный для управления паровой машиной [9], имеет четыре входных (х1 — о шибка давления, равная отклонению текущего значения от заданного значения; х2 — ошибка скорости; х3 — скорость изменения х1; х4 — скорость изменения х2) и две выходных (у1 — изменение тепла; у2 — изменение давления пара) переменных. Диапазоны изменения входных Х1, ..., Х4 и выходной У1 переменных х1, ..., х4, у1 разбиваются на семь интервалов со следующими лингвистическими значениями: 33 — положительное большое; 30 — положительное среднее; 36 — положительное малое; =( — нулевое; 16 — отрицательное малое; 10 — отрицательное среднее; 1% — отрицательное большое. Диапазон изменения У2 выходной переменной у2 состоит из пяти интервалов с определенными на них лингвистическими значениями 1%, 16, =(, 36, 3%. Указанные лингвистические значения образуют два терм-множества ' = {1%, 10, 16, =(,
36, 30, 3%} и '2 = {1%, 16, =(, 36, 3%}. Нечеткий регулятор состоит из двух совокупностей правил, ] = 1, 2, определяющих изменение тепла у1 и давления у2
5.1: если х1 есть Х^- и х2 есть Х21,- и ...
11 ... и х4 есть Х4у, то у. есть Уу , иначе
т>2 лг2 г2
5] : если х1 есть Х1у- и х2 есть Х2у- и ...
т^2 лг2
... и х4есть Х4у, то у. есть 7' , иначе
Л. Лу л.
5. : если х1 есть Х1у- и х2 есть Х2у- и ...
л. л.
... и х4есть Х4/ , то у. есть 7у ,
х1 есть Х1у и х2 есть Х2у и... и х4 есть Х4у ,
у. есть 7'' .
е.
Высказывания “х. есть X/ ” и “ х. есть X. ” в посылке выражения вывода (5) со значениями истинности, заданными соответствующими функе. ,
циями принадлежности Ху (х) и Хгу (х.), / = 1, 4,
] = 1, 2, 0. = 1, л, объединены логической связкой “и”, реализующей операцию пересечения. Тогда истинность левой части е.-го правила определяется как
Х0 (х1) л Х0 (х2) л ... л Х0 (х4),
а истинность посылки —
Ху (х1) л Х>/ (х2) л ... л Х4,- (х4), у = 1, 2.
Выражение максиминной композиции (3) примет вид
7-’(у.) = хХХ1([Х1 (х1) л (Х2(х2) л...
х4 е Х4
... л Х4 (х4)] л 5.(х1, ..., х4, у.)), (7)
Л е. 0(
где 5.(х1, ..., х4, у.) = е9,(ХЛ(х1) л Х>/(х2) л ...
0 -1
... л Х0(х4) л (у.)).
Поскольку х1,..., х4 являются синглетонами множеств Х, то после подстановки X/ (х0) = 1,
/ = 1, 4, в выражение (7) получим импликацию Мамдани
Л/
7.' (у,) = 5 (х 1, ..., х0, у.) = е91( х0 (х 1) л 4 (х2)
л... л (х") л (\)),У = 1, 2.
(8)
Действительные выходные значения у1 и у2 определяются на основании найденных функций принадлежности 7/ (у1) и 7' (у2) с помощью соотношений (5) и (6).
Рассмотренный ранее ЛЛР с импликацией (8) называется регулятором Мамдани. Если в выражении (4) принять 5 (х, у) = 1, то регулятор Мамдани будет иметь статическую характеристику многопозиционного реле (рис. 2, а), в котором нарушаются линейность и непрерывность выхода у относительно входа х.
Попытки устранить указанные недостатки были предприняты в работах [12—16] и заключались в использовании импликации Лукасевича в качестве нечеткого отношения 5 (х, у) в выражении (3):
5/(х, \) = 1 л [1 - ;(х) + <(\)].
(9)
Действительно, если принять 5х(х, у) = 1, то импликация (9) в выражении (4) с одним входом
Г(у) = V 5/ (х, у)
0 — 1
позволяет получить более совершенный ЛЛР, имеющий статическую характеристику линейной функции с насыщением (рис. 2, б).
Однако гораздо большее применение нашли регуляторы и нечеткие системы управления, использующие импликацию Заде. Им посвящено большое количество исследований, в которых регуляторы и системы управления представлены нечеткими дифференциальными
Х(0 = Х(0 о 5 и разностными уравнениями
Х,+ 1 = Х о 5.
(10)
(11)
В первых публикациях [17—21] анализировались устойчивость и управляемость нечетких динамических систем типа (10) и (11). Для этих целей привлекались функции Ляпунова [17, 18] и методы оценки устойчивости, опирающиеся на такие специфические понятия нечетких множеств, как энергия нечеткого множества Х^ и не четкого отношения 5, пиковые характеристики нечетких множеств и меры их близости [19—21].
Рис. 2. Статические характеристики нечетких регуляторов
Рис. 3. Схема замкнутой системы управления
Основной недостаток предлагаемых подходов заключается в отсутствии конкретных рекомендаций по выбору или синтезу нечетких регуляторов и систем управления, обладающих определенными динамическими свойствами (управляемости, устойчивости и качества процессов регулирования).
Первая попытка синтеза оптимального в смысле минимума ошибки регулирования ЛЛР была предпринята в замкнутой системе управления (рис. 3) на основании заданных таблицами 1 и 2 нечетких операторов )2и и )* объекта [22] и оптимальной замкнутой системы, соответственно.
В целях компактности изложения представим в аналитической форме табличные операторы объекта управления О
Нечеткий оператор объекта
(12)
Таблиц а 1
Управление и Выход 7
1% 10 16 36 30 3%
1% =( 16 16 10 1% 10 16
10 3% =( 1% 1% 1% 10 1%
16 16 16 =( 10 10 1% 1%
=( 3% 3% 3% =( 36 36 36
36 10 =( 36 1% 3% 30 3%
30 10 16 =( 36 =( 16 1%
3% 1% 1% 1% 3% 3% 3%
оптимальной замкнутой системы
7 = )*(7, Х) (13)
и синтезируемого регулятора Р
8 = )3; (Х, 7), (14)
в которых лингвистические переменные, характеризующие задание X, выход 7, его скорость 7 и управление 8 принимают значения из терм-множества 7 = {1%, 10, 16, 36, 30, 3%}. Опера-
тор объекта (12) строится по результатам исследования его статических и динамических характеристик. Для табличного оператора объекта (12) легко получить обратный относительно управления 8
оператор :
8 = )08 (7, Х), (15)
а оператор ) * оптимальной замкнутой системы можно получить, исходя из графика лингвистической динамики (рис. 4) и следующих эвристических соображений.
Точки 1, 2,..., 7 на графике характеризуют равенство лингвистических значений задания X и выхода 7, а также минимальную скорость выхода
7 = =(, позволяющую предотвратить перерегулирование. По мере увеличения рассогласования между X и 7, т. е. ошибки регулирования, должна возрастать скорост ь выхо да 7, направленная в сторону одной из этих точек. Направление и размеры
стрелок 7 соответствуют принятым лингвистическим значениям. Например, в точке “о” графика лингвистической динамики оптимальной замкнутой системы определены один набор данных табличного оператора )*: Х = 36, 7 = 30, 7 = 16 и соответствующее правило: если Х = 36 и 7 = 30,
то 7 = 16.
Табл^ а 2
Нечеткий оператор замкнутой системы
Рис. 4. График лингвистической динамики
Теперь сформулируем задачу синтеза оптимального нечеткого регулятора. Для всех лингвистических значений задания X и выхода 7, с помощью оператора оптимальной замкнутой системы (13) и обратного оператора объекта (15) определить управления 8, т. е. тройки (8, Х, 7}, образующие оператор регулятора (14).
Рассмотрим процедуру определения управления 8* в тройке (Х*, 7*, 8*} при Х* = 16, 7* = 30. Подстановка Х* = 16 и 7* = 30 в табл. 2 (оператор
)* оптимальной замкнутой системы) дает 7 * = 10.
Для 7* = 30 и 7 * = 10 из табл. 1 (оператор )28
объекта управления) получаем 8* = 10, т. е. реализуем обратный оператор объекта и определяем искомую тройку (16, 30, 10}.
В общем случае обратный оператор не яв-
ляется однозначным. Неоднозначным становится найденный оптимальный оператор регулятора, что значительно снижает практическую ценность такого подхода к синтезу ЛЛР.
Дальнейшее развитие методологии синтеза табличного оператора регулятора получило в работе [23]. На основании статических характеристик и переходных функций апериодического звена первого порядка, образующих операторы объекта по каналам управления )28 и возмущения (рис. 5), а
также качественного описания процесса регулирования удалось синтезировать нечеткий регулятор, действующий при изменении задания Х,
^3 = ^Х и ^7 и
Вход X Выход 7
1% 10 16 36 30 3%
1% =( 16 16 10 1% 1% 1%
10 36 =( 16 16 10 1% 1%
16 36 36 =( 16 16 10 1%
=( 3% 30 36 =( 16 10 1%
36 3% 30 36 36 =( 16 10
30 3% 3% 30 36 36 =( 16
3% 3% 3% 3% 30 36 36
Рис. 5. Схема управления с нечетким регулятором и компенсатором
и компенсатор, устраняющий влияние возмущения Ж на выход,
^ и ^7 и ^.
Здесь и — операция объединения компонент, реализующих три фазы управления.
На первой фазе управления 8Х = )Х(Х, () регулятора при существенном изменении задания X вначале значение 8Х устанавливается предельным. Как только выходная величина 7 достигнет некоторой окрестности задания X, по статической характеристике канала 8—7 выбирается управляющее воздействие, при котором установившееся значение выхода станет близким к заданию.
Управление и: или выход составляющей 8Ж = = Ж) компенсатора формируется, исходя
из двух принципов нечеткой инвариантности. По статической характеристике канала Ж—7 оценивается возможная реакция выхода 7Ж на возмущение Ж и определяется управление 8Ж, вызывающее изменение выхода 7, равное по величине и обратное по знаку значению 7Ж Тем самым удается обеспечить частичную компенсацию возмущения или независимость (инвариантность) выхода 7 от возмущения Ж
Более полной компенсации можно достигнуть, если выбрать такое управление 8Ж, при котором скорость изменения 7и будет равна по величине и противоположна по направлению скорости 7Ж.
Компонента )7 служит для устранения перерегулирования, а компонента — статической ошибки. Исходя из предложенных принципов
формирования компонентов регулятора и компенсатора, были разработаны методы синтеза табличных операторов )Х, )Ж, )7и , позволивших обеспечить требуемое качество регулирования температуры на выходе печи пиролиза ацетона [23]. Близкие подходы к синтезу табличного нечеткого регулятора были предложены для управления ректификационной установкой [24] и другими химическими объектами [25].
К основным недостаткам ЛЛР табличного типа можно отнести их ограниченную размерност ь (общее число переменных не должно превышать трех и субъективность выбора интервалов и соответствующих значений лингвистических переменных.
Отметим одно важное достоинство всех ЛЛР. Как было ранее сказано, ЛЛР подобен многопозиционному реле, у которого уровни срабатывания выбираются с учетом свойств объекта управления. Тем самым удается в значительной мере скомпенсировать влияние нелинейности объекта, заметно ухудшающей работу систем управления с линейными П-, ПИ- и ПИД -регуляторами.
АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ
Субъективность выбора интервалов и лингвистических переменных и связанное с ней снижение качества управления могут быть в значительной степени устранены в так называемых аналитических нечетких регуляторах и системах управления, работоспособность которых обеспечивается известными аналитическими и численными методами параметрической идентификации, анализа и синтеза линейных и нелинейных систем с привлечением нечетких динамических моделей.
Особое место занимает так называемая нечеткая модель Такажи и Суджено или ТБ-модель [26]. Сначала аналитическим путем [27], а затем в конкретных задачах моделирования и управления (в качестве регулятора) были продемонстрированы ее высокие аппроксимационные способности. Нечеткая ТБ-модель состоит из совокупности продукционных правил, содержащих в правой части линейные разностные уравнения [26]
если у(^ — 1) есть 71, ...,у (^ — г) есть 7г0 ,(16) х(/) есть Х00, ..., х(^ — V) есть Х0,
то уе(0 = а0 + £ а°у— £) + £ Е0х(г — /),
N — 1 / — 1
е = 1, л,
где а0 = (а0, а?, ..., а0), Ее = (Е0, Е1, Е0) — векторы настраиваемых параметров; у(^ — г) = = (1, у(^ — 1), ..., у (^ — г)) — вектор состояния;
Рис. 6. Нечеткий блок
Рис. 7. Схема соединения с обратной связью и его математическая модель
[ (! — V) = (х (!), х (! — 1), ..., х (! — V)) — входной век-
0 0 0 0 тор; 71 , ..., 7г ; Х0 ,..., Хг — нечеткие множества.
Выражение (19) можно значительно упростить, если переобозначить входные переменные
(и0(!), м1(?>, ..., ир(!)) = (1, у (! — 1), у (! — г),
х (!), ..., х (! — 5)), коэффициенты разностного уравнения
/0 0 0\_/0 0 0 г 0 г 0 \
(с0 , с 1, ..., ср) (а0 , а 1, ..., аг, Е1, ..., Е5)
и функции принадлежности
( и0 («1(0), ..., ир (ит(!))) = (71 (у(! — 1)), ...,
7; (у ц — г)), Х0е (х (0), ..., х0 (х ц—5))),
где р = г + V + 1.
Аналитическая форма нечеткой модели (16),
А
предназначенная для вычисления выхода у(!), имеет вид у(/) = сти (!), где С = (с0, ..., сл, ...,
ср, ..., ср)т — вектор уточняемых параметров;
и Т(!) = (М0(/)Р1(/), ..., и0(0Ре(0, ..., МШ(?)Р1(/),..., мш(/)рл
(!))) — расширенный входной вектор; р0(!) = _ 8!0(и!(/))® ... ® 8^(Мш(!))
1
нечеткая функ-
£( 81 (х 1 (і))® ... 0 8р(Хр(і)))
0 = 1
ция, где = — операция минимизации или произведения.
При заданных в начальный момент і = 0 векторе с (0) = 0, корректирующей матрице 4 (0) размером ЯР X яр и значениях и (і) в моменты времени
і = 1,1 вектор параметров с (і) вычисляется с по-
мощью известного многошагового метода наименьших квадратов [27]
С (!) = С (! — 1) + 0 (!)и (!)[у (!) — ст(! — 1)и (!)],(17)
0(!) = 0(! — 1) — 4(!- ии(!) и Т( !* 4(и~ 1 ) ,(18)
1 + иТ(!) 4 (! - 1) и(!)
0 (0) = у/, у » 1,
где / — единичная диагональная матрица.
Полный алгоритм идентификации, помимо алгоритма (17), (18), содержит также алгоритмы идентификации количества правил л, порядка г, V разностного уравнения и параметров функций принадлежности [28—30].
Появление ТБ-модели оказало огромное влияние на последующее развитие теории нечетких систем управления:
• среди нечетких моделей для нее впервые стало правомерным применение традиционной параметрической идентификации;
• несмотря на присутствие в правой части правил линейных разностных уравнений в ТБ-модели, посредством уточнения параметров с, порядка
г, V и увеличения количества правил л удается описать с очень высокой точностью нелинейные динамические процессы;
• усредняющие свойства механизма вывода у и специфический вид функций принадлежности позволяют сделать ТБ-модель мало чувствительной к помехам и погрешностям измерений;
• будучи нелинейной и непрерывной функцией входных переменных и параметров, ТБ-модель предоставляет широкие возможности аналитического исследования устойчивости нелинейных систем с ее присутствием и последующего их обучения с целью получения требуемого качества переходных процессов.
Для замкнутой системы управления с нечетким регулятором на базе модели (16) также актуальна проблема устойчивости и ее количественной оценки. В духе классического представления линейных систем Танака и Суджено [31] предложили нечеткий блок (рис. 6) — динамический объект, описываемый нечеткой разностной моделью (16) в векторной форме
5*: если у (!) есть <* и х(!) есть X*,
г
то у*(! + 1) = а0 + £ а^(! — N + 1) +
N = 1
+ ^ (і — і + 1),
і = 1
(19)
где у (і) = [\ (і), \ (і - 1), ..., \ (і - г + 1)] , х (і) = [[ (і), [(і - 1), ..., [ (і - V + 1)]7; 7г = [ <1, ..., <Г], Хг' =
= [ Х/, ..., Х5* ]; г, V — порядок разностного урав-
нения; у (?) есть У а \ (?) есть <1 и... и \ (? — и + 1) есть <Ц.
Из таких блоков формируются различные соединения (параллельные и с обратной связью) и выводятся их математические модели.
Например, соединение с обратной связью (рис. 7), содержащее блоки объекта
51: если у (?) есть <1 и е (?) есть (1,
и
то \ (? + 1) = яг10 + X ^1^\(? — N + 1) +
N = 1 V
+ X Ег1;е(? — 0 + 1)
о = 1
и регулятора
52: если у (?) есть <2 и е (?) есть Е
(20)
то и'(?) = а2о + X D2N\(? - N + 1)
N = 1
эквивалентно блоку
51М: если у (?) есть У11 и е (?) есть С17', то \1М (? + 1) = аг10 — Е1 а2о + Е1[(?) +
и
+ X («^ — Е1 \(? — N + 1),
N = 1
где 1 = 1, 2, ..., И1,7 = 1, 2, ..., и2; е(?) = [х(?) — и(?), х (? — 1) — и (? — 1), ..., х (? — т + 1) — и (? — т + 1)]7; Г7 = (<1 П <!), Еу = ((/ П (2).
Вывод аналитических оценок устойчивости нечетких систем (19) и (20) осуществляется с помощью метода Ляпунова на основании уравнения свободного движения
51: если у (?) есть <1 и \ (? — и + 1) есть <Ц, (21)
то У(? + 1) = «1 \(?) + ... + (? — и + 1), 1 = 1, и ,
правую часть которого можно записать в матричной форме А.у (?), где \ (?) = [\ (?), \ (? — 1), ...,
\ (? — и + 1)]7,
А =
«1 «2 . . «и - 1 аг
1 0 . .0 0
0 1 . .0 0
0 0 .. .0 0
0 0 .. .0 0
0 0 .. .1 0
В работах [31—33] показано, что нечеткая система (21), представленная расчетной зависимостью
\(? + 1) = X А?(?)/ X ^',
1 = 1 1 = 1
является асимптотически устойчивой в глобальном смысле, если для всех подсистем существует положительно определенная матрица В такая, что
А7 %А1 — % < 0, V? е {1, 2, ..., «}.
Справедливость этой оценки была подтверждена лишь для самого простого пропорционального регулятора.
Близкий подход к анализу устойчивости, опирающийся на методы Ляпунова, был развит в работе [34] для нечеткой системы в пространстве состояний
51: если у1(?) есть У1, ..., \Д?) есть УЦ, то х(?) есть X1, то
\1(? + 1) = «11 \1(?) + а*12 \2(?) + ...
... + «1и\и(?) + Е1 х (?),
\1(? + 1) = аЦ.1 \1(?) + «Ц-2 \2(?) + ...
... + «Ц^Д?) + ЕЦх (?)
и получена аналитическая оценка устойчивости замкнутой системы с пропорциональным регулятором. Для достижения устойчивости предлагается
методом градиентов уточнять параметры и ко-
эффициент усиления регулятора.
Аналогичные подходы к анализу устойчивости нечетких систем, использующие методы Ляпунова с последующим синтезом регуляторов, изложены в работах [35—48]. Ограниченность метода Ляпунова очевидна: он позволяет реализовать устойчивость системы управления лишь самыми простыми пропорциональными регуляторами и не дает рекомендаций по достижению требуемого качества переходных процессов. Функции поддержания качества переходных процессов в нечетких системах управления могут обеспечить нечеткие обучаемые регуляторы и системы управления.
ОБУЧАЕМЫЕ НЕЧЕТКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ
Такого рода регулятор должен обладать способ-
ностью приобретать знания о поведении объекта и
системы и на их основе вырабатывать управление,
при котором ошибка регулирования не превышает
допустимой величины. В процессе обучения, по-
мимо регулятора, участвует модель объекта, которая
также должна приобретать знания и настраиваться
Рис. 8. Нейронечеткая структура TS-модели
на меняющиеся условия функционирования объекта. Указанным требованиям и описанию регулятора и объекта управления в достаточно полной мере удовлетворяет нечеткая TS-модель со структурой пятислойной нейронной сети прямого действия, известной под именем ANFIS (Adaptive-Network-based Fuzzy Inference Systems) [49—51].
Нейронечеткая структура обобщенной TS-модели с q правилами и р входами, реализующая механизм вывода у, изображена на рис. 8.
т» 0 • 1-
В первом слое при [ = [ , l = 1, р, вычисляются
степени функций принадлежности, а во втором слое они обрабатываются '-оператором минимизации или произведения. В третьем слое (1) определяются нормализованные веса w 0 = w0/(w0 + w0), 0 = 1, q , на которые в четвертом слое умножаются
соответствующие значения у0, найденные по линейным уравнениям
у1 = + e1 [ + Ь 2 X2 + ... +
у2 = ь2 + Ь1 [i + Ь 2 [2 + ••• + Ьр[р
Q un i un i un i i un
у = Ь о + ь 1 [1 + Ь 2 [2 + ... + Ьр[р-
Пятый слой — суммирование и получение ито-
А
гового значения у.
Приобретение TS-моделью знаний об объекте заключается в определении коэффициентов уравнений Ь0, L = 0, р, 0 = 1, q , параметров функций
принадлежности dL , L = 1, р, и числа правил Q,
А
при которых выходы модели у и объекта у совпадают или становятся близкими.
Если число правил q фиксировано, функции принадлежности ;0 ([, d) непрерывны относительно параметров d и обрабатываются '-оператором про-р
изведения (w0 = П ; ([,), в = 1, Q ), то TS-модели
L = 1
можно обучать методом обратного распространения ошибки BP (Back Propagation), предложенным в работах [52, 53]. Он заключается в минимизации квад-
А 2
ратической ошибки I = 0,5(у — у(с)) градиентным методом
.31
= c — h-
дс
(ЗЗ)
где с _ (Е, й) — вектор параметров; К — рабочий шаг.
На основании цепного правила определения частных производных по йо0
д/ _ д/ в дА . дм^0 в д;/
Эй/0 ду д^0 а;0 дйо0
и по Е0 _ а/ •
дЕ0 ду дЬі
без промежуточных выкладок запишем их аналитические выражения
-дІ- = (у — у)
дdв
. у - Z -у £
! = 1 / = 1, p ,
п <[і>
і = 1
і z /
д/ А -----------
—0 _ (У “ А)[, / _ 1, р , 0 _ 1, я , [0 _ 1.
дЬі
В качестве функции принадлежности обычно выбираются сигмоидные ;([) _ (1 + ехр(й[))—1, й ! 0, или радиально-базисные ;([) _ ехр(й1([ — й2)) функции, дифференцируемые по й, й1 и й2.
Приведем постановку задачи обучения нейроне-четкого регулятора С прямого действия, т. е. соединенного последовательно с объектом О (рис. 9).
Пусть объект управления с одним выходом описывается дискретным уравнением
У(* + 1) _/0(У(0, У(? — и), и(0, ..., и(/ - 5)) (23)
порядка г, 5.
10
CONTROL SCIENCES № З • 2OO4
Предположим, что объект управления обратимый, т. е. существует функция /0-1, инверсная уравнению (23):
и (?) = /0"1 (\ (? + 1), \ (?), ..., \ (? — и), и (? - 1),
..., и (? - г)).
Рассмотрим нейронечеткую ТБ-модель (см. рис. 8) с т-мерным входным вектором хр(?) =
= (\ (? + 1), \ (?), ..., \ (? — г), и (? - 1), ..., и (? - г)): А(?) = /р(хр(?), ср),
А
в которой обеспечивается требуемая близость и(?) к и (?) при соответствующих входах и которая предлагается в качестве регулятора. Обучение регулятора алгоритмом кОС управлению с минимал ьной квадратической ошибкой
/р = 0,5(х (? + 1) — \ (? + 1))2 = 0,5 н Р(? + 1)
в последовательной схеме (см. рис. 9) связано с вычислением выражения
д,р = ЗТр ^ д\ ^ ди дср д\ ди дср ,
в котором не определено значение производной д\/ди. Его можно легко найти с помощью нейро-нечеткой модели объекта, именуемой эмулятором
А(? + 1) = /э( А(?), ..., У(? — г), и (?), ..., и (? — г), сэ),
А
вычисляя д у/ди вместо д\/ди. Обучение эмулятора 5 алгоритмом кО5, обеспечивающим минимальную квадратическую ошибку
,э = 0,5(\ (? + 1) — А(? + 1))2 = 0,5 е^? + 1),
также как и регулятора, осуществляется ВР-мето-дом [54—57].
Все основные недостатки первых обучаемых систем управления связаны с применением ВР-ме-тода, а именно: локальный характер поиска и частое «зацикливание», присущие градиентным методам; требование непрерывности и дифференцируемости функций принадлежности; не определяются порядок (г, V) и количество правил и.
Для устранения “зацикливания” в работах [58—63] рекомендуется генетическим алгоритмом менять (встряхивать) размер рабочего шага К в формуле градиентов (22) и компоненты вектора с. Другие исследователи [64—66] считают, что для целей обучения достаточно применять только генетические алгоритмы, позволяющие преодолеть первые два недостатка ВР-метода.
Рис. 9. Последовательная схема управления
Наибольший эффект был достигнут при гибридном обучении, осуществляемом генетическим алгоритмом, уточняющим параметры функций принадлежности й, совместно с многошаговым методом наименьших квадратов (17), (18) для нахождения вектора Е и другими алгоритмами, определяющими порядок г, 5 и число правил я в ТБ-мо-дели [67]. При таком подходе удалось в значительной мере устранить все недостатки ВР-метода.
Обучаемые нечеткие регуляторы и системы управления относятся к классу наиболее перспективных. Они сохраняют высокую работоспособность в условиях помех и погрешностей измерения и достаточно быстро настраиваются на меняю -щиеся условия производства, снижая тем самым потери от неэффективного управления.
Вместе в тем, в ряде случаев и ЛЛР показывают высокую работоспособность. Так, в системах управления достаточно простыми объектами ЛЛР могут успешно конкурировать с обучаемыми регуляторами.
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ РАБОТЫ НЕЧЕТКИХ РЕГУЛЯТОРОВ, СИНТЕЗИРОВАННЫХ МЕТОДАМИ НЕЧЕТКОЙ ЛОГИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Несмотря на достигнутые результаты в теории и применении нечетких регуляторов, всё ещё есть много вопросов, требующих своего разрешения. Это относится к обоснованию и выбору метода синтеза регулятора и оценке преимуществ синтеза нечетких регуляторов по сравнению с классическими методами синтеза, например, с вероятностными методами. В основе синтеза нечетких регуляторов лежат суждения и опыт эксперта. Между тем, и в теории вероятностей для оценки количе-
ственной меры уверенности эксперта используются субъективные вероятности [68, 69]. Естественно, что вероятностные методы синтеза имеют сегодня более солидную математическую основу, чем методы нечеткой логики, основанные на выборе функции принадлежности и определении базовой лингвистической переменной [70].
В работах [70—73] исследуются вопросы построения нечетких ПИ- и ПИД-регуляторов и сравнения с классическими вероятностными методами синтеза регуляторов. Рассмотрим построение нечеткого линейного ПИ-регулятора с двумя входами. Таблица, с помощью которой реализуется ПИ-алгоритм, имеет вид табл. 3 [71].
Интегрирующий исполнительный механизм формирует управляющее воздействие по формуле и = ик _ 1+ Аи^. Нормированные значения отклонения регулируемой величины и её приращения \ = 0,2; А\ = 0,9. Этим значениям входных сигналов соответствуют четыре лингвистические переменные
<= =(; <2= 36; А<1= 30; А<2= 3% (24)
со следующими значениями функций принадлежности:
р1(е) = 0,4; р2(е) = 0,6; р1(Ае) = 0,3; р2(Ае) = 0,7.
Результаты работы [72] позволили получить рейтинги регулирующих воздействий [70]
А81= 36; С1(Аи1) = т1п[р1(е), р1(Ае)] = 0,3;
А82= 30; С2(Аи2) = т1п[р1(е), р2(Ае)] = 0,4;
А83= 30; С3(Аи3) = тт[р2(е), р1(Ае)] = 0,3;
А84= 30; С4(Аи4) = тт[р2(е), р2(Ае)] = 0,6.
Таким образом, регулирующее воздействие определяется двумя лингвистическими переменными 36 и 30 с рейтингом 0,3 и 1,3, соответственно. Значения приращения регулирующего воздействия представляет собой абсциссу х0 центра тяжести фигуры, состоящей из двух треугольников, опирающихся на диапазоны лингвистических переменных 36 и 30 с высотами, равными 0,3 и 1,3, соответственно: х0= 0,603.
Таблица 3 Оператор нечеткого линейного ПИ-регулятора
у/Ду 1% 10 15 36 30 3%
1% 1% 1% 10 10 16 16 =(
10 1% 10 10 16 16 =( 36
16 10 10 16 16 =( 36 36
=( 10 16 16 =( 36 36 30
36 16 16 =( 36 36 30 30
30 16 =( 36 36 30 30 3%
3% 36 36 30 30 3% 3%
В общем случае полученное число следует умножить на диапазон изменения приращения регулирующего воздействия.
В работах [70, 73, 74] рассмотрен синтез нечеткого регулятора на основе вероятностных методов. Для принятых выше значений \ = 0,2; А\ = 0,9 лингвистические переменные определяются также формулами (24). Но вместо функций принадлежности им соответствуют следующие значения плотностей распределения:
^1(е) = 1,2; ^2(е) = 1,8; ^1(Ае) = 0,9; ^2(Ае) = 2,1.
Лингвистические переменные приращения регулирующего воздействия формируется согласно табл. 3. Значения плотности распределения лингвистических переменных приращения регулирующего воздействия в этом случае:
А81= 36; ^1(Аи) = 1, 08;
А82= 30; ^2(Аи) = 2,52;
А83= 30; ^3(Аи) = 1,62;
А84= 30; ^4(Аи) = 3,78.
Приращение регулирующего воздействия в этом случае равно математическому ожиданию (центру тяжести) найденных лингвистических переменных: Аи = 0,627.
Таким образом, для данного примера результаты синтеза нечеткого регулятора методами нечетких множеств и вероятностными методами практически совпадают.
Правда, надо признать, что в исследуемом примере методы теории вероятностей логически более обоснованны и не требуют специальных эвристических процедур.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Современные технологические и социальноэкономические системы представляют собой сложные слабоформализуемые системы, функционирующие в условиях большой неопределенности, неполноты знаний и нечеткости описаний как самой системы, так и действующих на неё сигналов [75]. Со временем стало ясно, что для управления такими системами уже недостаточно применения классических методов теории управления и необходима разработка новых методов и подходов. Один из таких подходов базируется на нечетких множествах и нечеткой логике Л. Заде. Вначале этот подход применялся и показал свою эффективность при создании экспертных систем. Несколько позднее он стал применяться для создания систем экспертного управления, а в последнее время — для синтеза регуляторов и систем управления технологическими системами. В этой статье рассмотрены, в основном, три класса нечетких регуляторов: логико-лингвистические, аналитические и обучаемые.
Отметим, что ряд теоретических и прикладных исследований не укладывается в предложенную классификацию. Так, например, системы управления, основанные на знаниях, сочетают в себе алгоритмы, использующие, помимо экспертных знаний, аналитические и конструкторские знания об объекте управления и действующих сигналах, о трендах изменений параметров объекта и т. п. [75]. С другой стороны, развиваются методы построения нечетких регуляторов на основе современных тенденций в теории управления. Например, на основе идей систем с переменной структурой [76], многомерных, многосвязных систем [77], обучающихся градиентных и нейронных алгоритмов [78] и др.
Выяснилась связь между классическими методами синтеза регуляторов и нечеткими регуляторами [70, 73]. В ряде случаев классические подходы дают возможность улучшить теоретическое обоснование построения нечетких алгоритмов. Нечеткие регуляторы доказали свою эффективность при управлении статическими объектами и постепенно завоевывают все более широкие области применения в управлении динамическими системами. Они сохраняют работоспособность в условиях помех и погрешностей измерения и достаточно быстро учитывают и настраиваются на меняющиеся условия производства, снижая тем самым потери от неэффективного управления.
Авторы надеются, что данная работа, направленная на конструктивный анализ имеющихся публикаций по нечетким регуляторам, поможет читателям ориентироваться в существующих подходах к разработке нечетких систем управления и их применениях в различных отраслях.
ЛИТЕРАТУРА
1. клиев Р. к., Ждикеев #. М., Шахназаров М М Производственные системы с искусственным интеллектом. — М.: Радио и связь, 1990. — 264 с.
2. Дудинов да. Ж Нечеткие системы управления // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. — 1990. — № 5. — С. 196—206.
3. Дузьиин 5. Г., Травкин С. Ж Теория нечетких множеств в задачах управления и прин ципах устройства нечетких процессоров: Обзор зарубежной литературы // Автоматика и телемеханика. — 1992. — № 11. — С. 3—36.
4. Захаров 5. #., >Льянов С. 5. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления.
I. Научно-организационные, технико-экономи ческие и прикладные аспекты // Изв. РАН. Техническая кибернетика. — 1992. — № 5. — С. 171—196.
5. Захаров 5. #., >Льянов С. 5. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления.
II. Эволюция и принципы построения // Изв. РАН. Техническая кибернетика. — 1993. — № 4. — С. 189—205.
6. Захаров 5. #., >Льянов С. 5. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления.
III. Методология проектирования // Изв. РАН. Техни че-ская кибернетика. — 1993. — № 5. — С. 197—220.
7. Захаров 5. S., Ульянов С. 5. Нечеткие модели интеллектуальных промышленных регуляторов и систем управления.
IV. Имитационное моделирование // Изв. РАН. Техни че-ская кибернетика. — 1994. — № 5. — С. 169—211.
8. Заде J. k. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. — М.: Мир, 1976. — С. 165.
9. Матвеи/ (. +., As/7/аи 6. An experiment in linguistic synthesis with a fuzzy logic controller // Int. J. Man-Machine Studies. — 1975. — No. 7. — P. 1 — 13.
10. ./'cNert Ж -. 0., 9аи 1аи?а /emNe +. 5. Application of luzzy controller in a warm water plant // Automatica. — 1976. — 1о. 12. — P. 301—308.
11. ./Qj P. -., Матвеи/ (. +. Application of fuzzy control system to industrial processes // Automatica. — 1977. — 1о. 13. — P. 235—242.
12. G/'fes 5. Lukasiewicz logic and fuzzy set theory // Int. J. Man-Machine Studies. — 1976. — 1о. 8. — P. 313—327.
13. %uaae 0., 5«?Aeu/ourf ". А. Fuzzy relations in a control setting // Kybernetes. — 1978. — 1о. 7. — P. 185—188.
14. ./'cNert Ж /. 0., Матвеи/ (.+. Analysis of a fuzzy logic controller // Fuzzy Sets and Systems. — 1978. — 1о. 1. — P. 29—44.
15. Perfuyc] Ж On the use of fuzzy Lukasiewicz logic for fuzzy control // Archiwum automatyki i telemechaniki. — 1980. — Vol. 25, 1о. 3. — P. 301—314.
16. РаМш/'и -. GX/7G 1. С. ). Modelling controllers using fuzzy relations // Kybernetes. — 1980. — 1о. 3. — Vol. 9. — P. 223—229.
17. G/ада 0. Theory of fuzzy systems // Fuzzy Sets and Systems. — 1983. — Vol. 10. — P. 65—77.
18. G/ада 0. Invariance and stability of fuzzy systems // J. Math. Analysis and Appl. — 1984. — Vol. 99, 1о.1. — P. 299—319.
19. .м]£а ,. P., GXpta 0. 0., 1/'N//oraN P. 1. Energetistic stability of fuzzy dynamic systems // IEEE Trans. Syst. Man and Cy-bern. — 1985. — Vol. SMC-15, 1о. 5. — P. 783—792.
20. -а/и 5. Outline of an approach for the analysis of fuzzy systems // Int. J. Control. — 1976. — Vol. 27, 1о. 3. — P. 627—640.
21. 7oqj 5. 0. Analysis and control of fuzzy systems using finite discrete relations // Int. J. Control. — 1978. — Vol. 27, 1о. 3. — P. 431—440.
22. Риаае 0., 5ийец/0га? ". А. Theoretical and linguistic aspects of the fuzzy controller // Automatica. — 1979. — Vol. 12. — P. 553—577.
23. Х^динов да. j. Синтез нечеткой системы управления // Известия РАН. Теория и системы управления. — 1999. — № 1. — С. 166—172.
24. Х^динов да. j., Дорохов j. S. Управление ректификационной установкой на основе не четких множеств // Теоретические основы химической технологии. — 1991. — Т. 25, № 4. — 563—569 с.
25. Х^динов да. j., Дорохов j. S. Новый принцип построения регуляторов для сложных химико-техноло гических объектов на основании качественной информации // Докл. РАН. — 1994. Т. 336, № 1. — С. 75—79.
26. Га^^/' Г., би^еио 0. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control. // IEEE Trans. Systems Man Cybernet. — 1985. — Vol. 15, 1о. 116. — P. 116—132.
27. P«cN/e\ -. -. Sugeno-type controller are universal controllers // Fuzzy Sets and Systems. — 1993. — №э. 53. — P. 299—303.
28. Х^динов да. j., Ренков k. Г., Хелина k. да. Моделирование технологических и экологических процессов. — Липецк: ЛЭГИ, 2001. — C. 131.
29. Ренков k. Г. Построение и идентификация нечетких математических моделей технологических процессов в условиях неопределенности / Дисс. канд. техн. наук, Липецк: ЛГТУ, 2002. — 147 с.
30. Ali Y. 0., ZKdqj /. A methodology for fuzzy modeling of engineering systems // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — 1о. 118. — P. 181 — 197.
31. Гаиа^ X, бм^еио 0. Stability analysis and design of fuzzy control systems // Fuzzy Sets and Systems. — 1992. — 1о. 45. — P. 135—156.
ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ № 3 • 2ПП4
из
32. JanaNa K, 6ano 0 Fuzzy stability criterion of a cross of nonlinear systems // Inform. Sci. — 1993. — No. 71. — P. 3—26.
33. JanaNa K, 6ano 0 A robust stabilization problem of fuzzy controller systems and its applications to backing up control of a truck-trailer // IEEE Trans. Fuzzy Systems. — 1994. — No. 2. — P. 1—13.
34. ./m : C., 6. C., .won : +. Stability analysis and stabili-
zation of fuzzy state space models // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — No. 71. — P. 131—142.
35. Y. $., +. C. On stability of a fuzzy systems model
// Control Theory Appl. — 1995. — No. 12. — P. 335—341.
36. ./m C. :., CAo <. :., PauN 0. A multirule-based controller using the robust property of a fuzzy controller and its design method // IEEE Trans. Fuzzy Systems. — 1996. — No. 4. — P. 315—327.
37. +. O., JanaNa Gu/I/m 0. P. An approach to fuzzy control of nonlinear systems: stability and design issue // IEEE Trans. Fuzzy Systems. — 1996. — No. 4. — P. 14—23.
38. JanaNa .., /NeGa J., :anj +. O. Robust stabilization of a cross of uncertain nonlinear systems via fuzzy control: quadratic stabilizability, H • control theory and linear matrix inequalities // IEEE Trans. Fuzzy Systems. — 1996. — No. 4. — P. 1—13.
39. Kng +. Analytical study on structure, stability and design of general nonlinear Takagi-Sugeno fuzzy control systems // Au-tomatica. — 1998. — Vol. 34, No. 12. — P. 1617—1623.
40. JanaNa .., /NeGa J., :anj +. O. Fuzzy regulators and fuzzy observers: relaxed stability conditions and LMI-based designs // IEEE Trans. Fuzzy Systems. — 1998. — Vol. 6, No. 12. — P. 1—16.
41. Joneyama /., MsA/'Nawa 0., .aWayama +. Output stabilization of Takagi-Sugeno fuzzy systems // Fuzzy Sets and Systems. — 2000. — No. 111. — P. 253—266.
42. 0a 6xn =.-O. Output tracking and regulation of nonlinear system based on Takagi-Su-geno fuzzy model // IEEE Trans. Syst. Man Cybern. — Part B: Cybern. — 2000. — Vol. 30, No. 1. — P. 47-59.
43. CAox /.-+., CAen 6.-+. Stability analysis of the discrete Takagi-Sugeno fuzzy model with time-varying consequen usertain-ties // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — No. 118. — P. 271—279.
44. =anj /.-0, // 5.-+., ZKang P.-$. Stability analysis and systematic design of fuzzy control systems // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — No. 120. — P. 65—72.
45. G«eura J. 0., Perme/ren /. Control laws for Takagi-Sugeno fuzzy models // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — No. 120. — P. 95—108.
46. Joneyama /., 1M/'Nawa 0, .aWayama +., /cA/Nawa $. Design of output feedback controllers for Takagi-Sugeno fuzzy systems // Fuzzy Sets and Systems. — 2001. — No. 121. — P. 127—148.
47. 6xn 0., // 5., =Aanj P. Stable and optimal adaptive fuzzy control of complex systems using fuzzy dynamic model // Fuzzy Sets and Systems. — 2003. — No. 133. — P. 1—17.
48. CAanj :.-/., 6xn C.-C. Constrained fuzzy controller design of discrete Takagi-Sugeno fuzzy model // Fuzzy Sets and Systems. — 2003. — No. 133. — P. 37—55.
49. JaNaj/ +., +a\avA/ /. NN-driven fuzzy reasoning // Int. J. Ap-pr. Reasoning. — 1991. — No. 5. — P. 191—212.
50. Jajeu 5. 5. Implementing fuzzy logic controllers using a neural network framework // Fuzzy Sets and Systems. — 1992. — No. 48. — P. 53—64.
51. P«Nc/e\ /. /., +a\avA/ /. Neural nets for fuzzy systems // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — No. 71. — P. 265—276.
52. //n C. J., /ee C. 6. G. Neural-network-based fuzzy logic control and decision system // IEEE Trans. Comput. — 1991. — Vol. 40, No. 12. — P. 1320—1336.
53. /anj /.-6. 5. ANFIS Adaptive-network-based fuzzy system // IEEE Trans. Systems Man Cybernet. — 1993. — Vol. 23, No. 6. — P. 665—685.
54. P«Nc/e\ /. /., +a\avA/ /., C]oja/a (. Fuzzy neural controller // Proc. IEEE Int. Conf. on Fuzzy Systems. San Diego. — 1992. — P. 197—202.
55. Гая£ -. 5., 6ии С. Neuro-fuzzy modeling and control // Proc. IEEE. — 1995. — Vol. 83, 1о. 3. — P. 378—406.
56. 6А/ <., 0/]Mrnoto 0., <ийа]а^' 1., Огаи/ 0. A method of fuzzy rules generation based on neuro-fuzzy learning algorithm // J. Japan Soc. Fuzzy Theory Systems. — 1996. — Vol. 8, 1о. 4. — P. 695—705.
57. /иаи^ С. Р., //и С.-Г. An on-line self-constructing neural fuzzy inference network and its applications // IEEE Trans. on Fuzzy Systems. — 1998. — Vol. 5, Na. 1. — P. 12—32.
58. РА/^ат/ +., PmNmGd Г., 6Айага Г., Аиа/ Р Structure optimization of fuzzy neural network by genetic algorithm // Fuzzy Sets and Systems. — 1995. — 1о. 71. — P. 257—264.
59. Риаисмсо +., /и/s 0. Genetic fuzzy systems // Tatra Mount. Math. Publ. — 1997. — 1о. 13. — P. 93—121.
60. СА/и Г. С. Genetic algorithms for learning the rule base of fuzzy logic controller // Fuzzy Sets and Systems. — 1998. — 1о. 97. — P. 1—7.
61. /иаи^ С.-)., //и -.-< Genetic reinforcement learning through symbiotic evolution for fuzzy controller design // IEEE Trans. Syst., Man and Cybern. Ptb. Cybernetics. — 2000. — Vol. 30, 1о. 2. — P. 290—302.
62. 5а/ара^е А., Рииига .., .oflrfo А. Evolutionary learning of fuzzy logic controllers and their adaptation through perpetual evolution // IEEE Trans. Fuzzy Systems. — 2002. — Vol. 10,
1о. 3. — P. 309—321.
63. САеи С., Жои£ С.-С. Self-generating rule-mapping fuzzy controller design using a genetic algorithm // IEE Proc. Control Theory Appl. — 2002. — Vol. 149, 1о. 2. — P. 143—148.
64. .аии С. /. Genetic algorithms for fuzzy controllers // A I Expert. — 1991. — Vol. 6, 1о. 1. — P. 26—33.
65. .аии С. /., Geflft\ (. Fuzzy control of PH using genetic algo-
rithms // IEEE Trans. Fuzzy Systems. — 1993. — Vol. 1, 1о. 1.
66. //nNens ". А., 1уои,^а +. О. Genetic algorithms for fuzzy
control // iEe Proc. Control Theory Appl. — 1995. —
Vol. 142, 1о. 3. — P. 161—185.
67. Худинов Ж. j., Халов p. k., Худинов j. да. и др. Разработка нечеткой обучаемой системы управления // Промышленные АСУ и контроллеры. — 2004. — № 2. — С. 25—29.
68. Гнеденко Р. 5. Курс теории вероятностей. — М.: Мир, 1961.
69. Худсон Д. Статистика для физиков. — М.: Мир, 1967.
70. Ротач 5. ^. Экспертная оценка алгоритмов управления методами нечеткой логики и теории вероятностей // Теплоэнергетика. — 2002. — № 4. — С. 51—56.
71. Р/'уои^ P., "ue/7 0. Use of fuzzy PID controllers in fuzzy control of coal power plants // Proceedings of Fuzzy-96. — Zittau, Germany, 1996.
72. *и/7ато P.G. Fuzzy Control // Measurements and Control. — October 1987.
73. Ротач 5. ^. О фази-ПИД-регуляторах // Теплоэнергетика. — 1999. — № 8. — С. 32—36.
74. Ротач 5. ^. Возможен ли синтез нечетких регуляторов с помощью теории нечетких множеств // Промышленные АСУ и контролеры. — 2004. — № 1. — С. 33—34.
75. Лрангишвили j. 5., Лаценко Ф. Ф., Русыгин Г. Л. Системные законы и закономерности в электродинамике, природе и обществе. — М.: Наука, 2001.
76. ZKdoj -., =Ааи^ Р., // 5. Analysis and design of fuzzy controller based on fuzzy reaching law // Proceedings of the 14-th World Congress iFAC. — Beijing, 1999. — P. 189—194.
77. P., 0аии G., Gos/ие 5. How to evaluate fuzzy PID controllers without using process information // Proceedings of the 14-th World Congress IFAC. — Beijing, 1999. — P. 177—182.
78. =Ааи^ +., САаи С., САеии^ .., <e <. Fuzzy art map neural network and its application to fault diagnosis of navigation sys-tеms // Automatica. — 2001. — Vol. 37. — Р. 1065—1070.
S 52-^0-55
S f095; 97<?-95-59
S f095; 554-P0-20
(-таг7: yeoGou^pM.UM □
