ЛОКАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Банщикова Ирина Николаевна

Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета

2021. Том 57. С. 3-76

УДК 517.962.22, 517.977 © И.Н. Банщикова

ЛОКАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ

Рассматриваются достаточные и необходимые условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы

x(m + 1) = (A(m) + B(m)U(m)) x(m), m € Z, x € Rn.

Изучены свойства устойчивости полного спектра показателей Ляпунова и интегральной разделен-ности линейных систем с дискретным временем, получено описание спектрального множества линейной системы в случае устойчивости полного спектра, изучено свойство равномерной полной управляемости линейной системы с дискретным временем, изучены свойства оболочки Бебутова линейной управляемой системы с дискретным временем.

Ключевые слова: дискретная линейная система, показатели Ляпунова, управляемость, стабилизиру-емость, динамическая система сдвигов.

DOI: 10.35634/2226-3594-2021-57-01 Введение

Одним из основных методов конструирования управления для линейных систем с постоянными коэффициентами является метод размещения полюсов [64]. Этот метод основан на выборе такой обратной связи, что полюса замкнутой системы оказываются в наперед заданных точках комплексной плоскости. Теоретической основой данного метода является следующая классическая теорема [33, В. М. Попов], [66, У. Уонэм]: линейная стационарная система

x = Ax + Bu, t € R, x € Rn, u € Rk,

управляема тогда и только тогда, когда для любого набора комплексных чисел Л = = [ß1,..., , симметричного относительно вещественной оси, найдется стационарная обратная связь u = Ux с постоянной матрицей U € Rkxn, обеспечивающая совпадение спектра замкнутой системы

x= (A + BU)x, t € R, x € Rn,

с набором Л. Аналогичный результат имеет место и для систем с дискретным временем [49], [50, с. 458]. В то же самое время, для стационарных систем хорошо изучена связь между положением полюсов и динамическими свойствами системы, такими, как устойчивость, колеблемость решений и т. п.

Аналогичная задача для нестационарных систем значительно менее изучена. Практически все известные результаты для нестационарных систем с непрерывным временем можно найти в книге [29].

Отметим, что для нестационарных систем (в отличие от стационарных) существует целый ряд неэквивалентных определений управляемости: равномерная, полная, дифференциальная, по входу, по выходу, и т.д. (см., например, [56]). Кроме того, для таких систем нет очевидного обобщения понятия полюсов. В определенной степени, показатели Ляпунова

играют ту же роль, что вещественные части полюсов для стационарных систем с непрерывным временем и логарифмы абсолютных значений полюсов для стационарных систем с дискретным временем.

Впервые задача о назначении спектра показателей Ляпунова линейной нестационарной системы с дискретным временем

x(m + 1) = A(m)x(m) + B(m)u(m), m E N, x E Rn, u E Rk, (0.1)

посредством линейной обратной связи u(m) = U(m)x(m) была рассмотрена в работе [42]. В этой работе было установлено, что свойство равномерной полной управляемости системы (0.1) обеспечивает разрешимость задачи о глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы

x(m + 1) = (A(m) + B(m)U(m))x(m), m E N, x E Rn, (0.2)

т. е. возможности построения для произвольного наперед заданного набора чисел Ai ^ ^ ... ^ An такого матричного управления U: N ^ Rkxn, что полный спектр замкнутой системы (0.2) совпадает с этим набором. Заметим, что алгоритм построения управления U(•) в этой работе не гарантирует малости нормы управления, даже если требуемое смещение показателей Ляпунова системы (0.2) по отношению к показателям свободной системы

x(m + 1) = A(m)x(m), m E N, x E Rn, (0.3)

мало.

В связи с этим возникает вопрос — можно ли для любого набора из малой окрестности полного спектра показателей Ляпунова системы (0.3) гарантировать возможность построения такой матрицы обратной связи U(•), что полный спектр показателей системы (0.2) совпадает с этим набором, при этом малому смещению показателей отвечает малая норма управления U(•)? Решению этого вопроса посвящена работа.

Для решения поставленной задачи в работе введено понятие пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (0.2).

Отметим, что вопрос о пропорциональной локальной управляемости спектра тесно связан с задачей об отыскании достижимых границ подвижности показателей системы при различных возмущениях ее коэффициентов. Для систем с непрерывным временем существенный вклад в решение этой задачи внесли Р. Э. Виноград [13], В. М. Миллионщиков [30], Н. А. Изобов [18,21], И. Н. Сергеев [36,37]. Вопросы построения спектрального множества при различных классах возмущений систем с непрерывным временем изучались М. И. Ра-химбердиевым и Н.Х. Розовым [35], Н. А. Изобовым [22,23], Н. А. Изобовым и Т.Е. Зверевой [20], С. А. Гришиным [15], А. Г. Сурковым [38]. Кроме того, задача об управлении показателями Ляпунова имеет непосредственную связь с проблемами устойчивости и стабилизации. В заключение введения отметим, что вопросами устойчивости и стабилизации решений систем с дискретным временем занимались В. Т. Борухов, О. М. Кветко [8]; В. А. Зайцев [17,67]; А. А. Кандаков, К. М. Чудинов [24,25]; А.Ю. Куликов, В. В. Малыгина [26]; Г. А. Леонов [27]; A. Bacciotti, A. Biglio [45]; S. Bittanti, P. Bolzern, G. De Nicolao [46]; C.I. Byrnes, W. Lin, B.K. Ghosh [47]; V. Cheng [48]; J.C. Engwerda [51]; L. Grane, F. Wirth [52]; W. Kwon, A. Pearson [57]; W. Lin [58]; J. Tsinias [65] и другие авторы.

ГЛАВА I. О свойстве устойчивости показателей Ляпунова систем с дискретным временем

Основной объект исследований главы — дискретная линейная однородная система

x(m + 1) = A(m)x(m), m E N, x E Rn.

Мы всюду предполагаем, что матрица A(-) этой системы вполне ограничена на N, т. е. A(m) обратима при всех m £ N и

sup(||A(m)|| + ||A-1 (m)||) < го.

meN

В таком случае система обладает полным спектром показателей Ляпунова, состоящим из n чисел. Вводится понятие устойчивости полного спектра и исследуются некоторые его свойства. В третьем параграфе построен пример системы с неустойчивым спектром показателей Ляпунова. Последние два параграфа главы посвящены исследованию важного подкласса множества систем с устойчивыми показателями — системам с интегральной разделенностью.

§ 1. Предварительные сведения

Пусть Rn — евклидово пространство размерности n с фиксированным ортонормирован-ным базисом e1;..., en и стандартной нормой || • ||. Через Rnxn будем обозначать пространство вещественных матриц размерности n х n со спектральной нормой, т. е. операторной нормой, индуцируемой в Rnxn евклидовой нормой в Rn; E £ Rnxn — единичная матрица, * — операция транспонирования. Пусть sn ^ ... ^ s1 ^ 0 — сингулярные числа [40, с. 493] матрицы F £ Rnxn. Тогда выполнены соотношения

||F|| = sn, ||F-1|| = s-1, | det F| = S1S2 ... sn и справедлива двусторонняя оценка

||F || i ^ u _ ||F ||

n— 1

||F-1 ||n-1 " sr Sn ^ | det F| ^ sr S1 = . (1.1)

Отметим еще два свойства спектральной нормы, которые также будут полезны нам в дальнейшем. Во-первых, для любой F £ Rnxn выполнено равенство [40, с. 373] ||F*|| = = ||F||. Во-вторых, имеет место оценка [40, с. 378]

/ n \ 1/2 ||F || М^ ||Fei|M <Vn max{|Fei ||: i = l,...,n}. ^ i=1 '

Множество всех упорядоченных по возрастанию наборов из n вещественных чисел будем обозначать R™. Для фиксированного набора ц = (ц1;... ,цп) £ R™ и произвольного 6 > 0 через О (ц) обозначим совокупность всех таких наборов v = (v1;..., vn) £ R<, что max |vj — ц | < 6. Таким образом, О (ц) — это 6-окрестность набора ц во множестве R<.

j=1,...,n ^

Рассмотрим линейную однородную систему с дискретным временем

x(m + l) = A(m)x(m), (1.2)

где аргумент m пробегает множество N натуральных чисел; неизвестная функция x принимает значения в Rn; коэффициент A(m) при каждом m принадлежит пространству Rnxn. Всюду ниже будем предполагать, что функция A(-) вполне ограничена на N [16], т.е. при каждом m £ N существует A-1(m), и найдется такое а0, что

||A|U ^ ао, ||А-1|те ^ ао. Здесь и ниже использовано обозначение ||А||те = sup ||A(m)||. Заметим, что при всех m

meN

выполнены неравенства

+ ||A-1|U ^ ||A(1)|| + ||A(1)||-1 ^ 2, (1.3)

поэтому а0 ^ 1 •

Для произвольных т0 € N и х0 € Кга введем начальное условие

х(то ) = хо. (1.4)

Определение 1.1. Задачей Коши для системы (1.2) называется задача о поиске решений системы (1.2), удовлетворяющих начальным условиям (1.4).

Определение 1.2. Фундаментальной системой решений (ФСР) системы (1.2) называется совокупность из п линейно независимых решений этой системы.

Определение 1.3. Пусть х1(-),..., жга(-) — некоторая ФСР системы (1.2). Фундаментальной матрицей системы (1.2) называется матрица

Ф(-)= [х1(-),...,хп(-)].

Хорошо известно (см., например, [14]), что для произвольных т0 € N и х0 € Кга решение задачи Коши (1.2), (1.4) существует, единственно и продолжаемо на все множество натуральных чисел; ФСР системы (1.2) существует; множество всех фундаментальных матриц этой системы совпадает со множеством

{ф(-)с: с € кгахга, С = 0},

и общее решение системы (1.2) имеет вид

х0(т, с) = ^^ с^жг(т) = Ф(т)с, т € N

г=1

где Ф(-) = [ж1(-),... (•)] — произвольная фундаментальная матрица системы (1.2), с = = со1(с1,..., сп) € Кга — произвольный постоянный вектор.

Определение 1.4. Пусть Ф(-) — некоторая фундаментальная матрица системы (1.2). Матрицей Коши системы (1.2) называется матрица

Х—(т, в) = Ф(т)Ф-1(з),

где т, в — натуральные числа.

Тогда [14, с. 13-14] для каждого решения х(-) этой системы имеет место равенство

х(т) = X—(т, з)ж(з) для всех т € N в € N,

X—(т, в)

т— 1

П А(/) при т > в,

¡=в

Е при т = в,

X— 1(^,т) при т < в.

т1

Здесь и всюду ниже полагаем ^ А(/) = А(т — 1)А(т — 2) ■ ■ ■ А(в), т. е. матрицы перемно-

¡=в

жаются в порядке убывания индекса. Тогда для любых т € N в € N выполнена оценка

||Х— (т, в) || ^ а0т—

и

Напомним теперь основные понятия асимптотической теории линейных систем с дискретным временем (см., например, [14]).

Для произвольного нетривиального решения я(-) системы (1.2) определим его показатель Ляпунова равенством

A[x] = lim m-1 ln ||x(m)||

и обозначим через Л спектр показателей Ляпунова системы (1.2), т.е. множество всех А £ R, для каждого из которых существует нетривиальное решение я(-) системы (1.2) с показателем А. Известно [14, с. 51-52], что множество Л состоит не более, чем из n различных чисел и расположено на отрезке [— ln а0, ln а0]. Пусть Л = (Ль ..., Лр}, где Л1 < ... < Лр, p ^ n. Показатель тривиального решения системы (1.2) полагаем равным —то.

Для каждого j £ {1,... ,p} рассмотрим множество Ej всех решений системы (1.2), показатели которых не превосходят Лj•. Множество E0 считаем состоящим из тривиального решения системы (1.2).

Тогда [14, с. 54] каждое из множеств Ej является линейным подпространством, и размерность dim Ej пространства Ej равна Nj, где Nj — количество линейно независимых решений системы (1.2), имеющих характеристический показатель Лj; N0 = dim E0 = 0.

Поскольку Ej С Ei при j < /, то N0 < N < ... < Np, при этом Np = n.

Возьмем произвольную ФСР Ф(-) = jx1^),...,xn(-)} системы (1.2), и для каждого j £ {1,... ,p} рассмотрим величину nj — количество решений с показателем Лj, входящих в Ф(-). Известно [14, с. 54], что справедливы неравенства

n1 + ... + nj ^ Nj, j = 1,..., p.

Определение 1.5 (см. [14, с. 53]). ФСР Ф(-) называется нормальной, если для нее выполнены строгие равенства

n1 + ... + nj = Nj, j = 1,..., p.

Определение 1.6 (см. [14, с. 55]). Говорят, что ФСР Ф(-) обладает свойством

n

несжимаемости, если для любой нетривиальной линейной комбинации y(-) = Cjxj(•)

j=1

входящих в нее решений справедливо равенство

A[y] = max{ A[xj]: Cj = 0}.

Известно [14, с. 55], что ФСР Ф(-) нормальна тогда и только тогда, когда она обладает свойством несжимаемости. Отсюда вытекают два важных следствия:

1) во всех нормальных ФСР системы (1.2) число nj решений с характеристическим показателем Лj одно и то же (и совпадает с величиной Nj — Nj-1), j = 1,... ,p;

2) всякая нормальная ФСР реализует весь спектр системы (1.2), т.е. множество чисел {A[xj]: j = 1,..., n} совпадает с ее спектром.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Итак, каждой линейной однородной дискретной системе (1.2) соответствует n чисел — показателей Ляпунова нетривиальных решений, входящих в ее произвольную нормальную ФСР: А1, А2,..., An. Это множество называется полным спектром показателей Ляпунова системы (1.2) [14, с. 57]. В дальнейшем будем обозначать его

A(A)= (A1(A),...,An(A)), считая при этом, что A1(A) ^ ... ^ An(A). Таким образом, A(A) £ R<.

Определение 1.7. Преобразованием Ляпунова системы (1.2) называется линейное преобразование вида

у(т) = Ь(т)х(т), (1.5)

где матрица Ь: N ^ вполне ограничена. Матрица Ь(-) при этом называется матрицей Ляпунова. Системы (1.2) и

у(т + 1) = С(т)у(т), т € Н, у € Ега, (1.6)

называются асимптотически эквивалентными (или приводимыми друг к другу), если существует связывающее их преобразование Ляпунова.

Замечание 1. Поскольку преобразование Ляпунова (1.5) переводит систему (1.2) в систему

у(т + 1) = Ь(т + 1)х(т + 1) = Ь(т + 1)А(т)х(т) = = Ь(т + 1) А(т) Ь-1 (т)у(т),

то системы (1.2) и (1.6) асимптотически эквивалентны тогда и только тогда, когда найдется матрица Ляпунова £(•), обеспечивающая выполнение тождества

С(т) = Ь(т + 1)А(т)Ь—1(т), т € N.

Отметим, что преобразование Ляпунова сохраняет свойство полной ограниченности матрицы системы, а также такие асимптотические (при т ^ характеристики системы, как полный спектр показателей Ляпунова, свойство устойчивости и т.п. (см. [14]).

Имеет место следующее достаточное условие асимптотической эквивалентности систем (1.2) и (1.6).

Теоре ма 1.1 (см. [42]). Если существует строго возрастающая последовательность (т^) Н натуральных чисел, такая, что при всех г € N выполнены равенства

Хс (т}+1,т,) = Ха (т}+1,т»)

и неравенства т^+1-т» ^ с < го, то системы (1.2) и (1.6) асимптотически эквивалентны.

Рассмотрим теперь линейную неоднородную систему с дискретным временем

х(т +1) = А(т)х(т) + /(т), т € Н, х € Ега, / € Ега.

Имеет место формула Коши для произвольного решения х(-) этой системы [14, с. 20]:

т— 1

х(т) = ХА(т,то)х(то) + ^^ ХА(т,в + 1)/(в), т > то, (1.8)

«=то

при каждом т0 € N.

§ 2. Аддитивные и мультипликативные возмущения. Устойчивость показателей Ляпунова

Нас будет интересовать вопрос о поведении полного спектра показателей Ляпунова системы (1.2) под действием различных возмущений ее коэффициентов.

Определение 2.1 (см. [2,60]). Пусть зафиксирован некоторый класс возмущений матрицы коэффициентов А(-) системы (1.2). Спектральным множеством системы (1.2), отвечающим заданному классу возмущений, будем называть совокупность полных спектров показателей Ляпунова возмущенных систем, когда возмущения пробегают весь заданный класс.

Сначала рассмотрим возмущенную систему в виде

у(т + 1) = (А(т) + ф(т))у(т), т € Н, у € Ега (2.1)

Систему (2.1) будем называть аддитивно возмущенной по отношению к системе (1.2), а сами возмущения ф(-) — аддитивными. Чтобы возмущенная система (2.1) обладала полным спектром показателей Ляпунова, состоящим из п чисел, достаточно потребовать от аддитивного возмущения ф(-) полной ограниченности матрицы А(-) + $(•). По этой причине введем понятие допустимого аддитивного возмущения.

Определение 2.2 (см. [2,60]). Аддитивное возмущение ф(-) будем называть допустимым для системы (1.2), если матрица А(-) + $(•) вполне ограничена на N.

Лемма 2.1 (см. [2]). Аддитивное возмущение ф(-) допустимо для системы (1.2) в том и только том случае, когда существует такая вполне ограниченная матрица Я: N ^ Егахга, что

^(т) = А(т)Я(т) - А(т), т € N. (2.2)

Доказательство. Необходимость. Пусть аддитивное возмущение ф(-) допустимо для (1.2). Положим

Я(т) = А-1 (т)(А(т) + ф(т)), т € N.

Тогда равенство (2.2) выполнено, а из полной ограниченности матриц А(-) и А(^) + ф(-) вытекает полная ограниченность Я(^).

Достаточность. Пусть Я(^) вполне ограничена. Определим матрицу ф(-) равенством (2.2). Тогда

А(т) + ф(т) = А(т)Я(т), т € N, (2.3)

и полная ограниченность матрицы А(-) + $(•) вытекает из полной ограниченности А(-) и Я(^). Лемма доказана. □

Равенство (2.3) позволяет записать возмущенную по отношению к (1.2) систему в виде

у(т + 1) = А(т)Я(т)у(т), т € N, у € Ега (2.4)

Матрицу Я(^) в этом случае называем мультипликативным возмущением матрицы системы (1.2), а саму систему (2.4) — мультипликативно возмущенной по отношению к системе (1.2). Если матрица А(-)Я(-) вполне ограничена, то полный спектр показателей Ляпунова возмущенной системы (2.4) состоит из п чисел. Так как по условию матрица А(-) вполне ограничена, то приходим к следующему определению.

Определение 2.3 (см. [2,60]). Мультипликативное возмущение Я(-) будем называть допустимым, если матрица Я(-) вполне ограничена на N.

Замечание 2. Отметим, что для всякой линейной однородной системы вида (1.2) множество допустимых мультипликативных возмущений одно и то же, в то время как множество допустимых аддитивных возмущений зависит от выбора матрицы А( ) системы (1.2).

Из леммы 2.1 и определений 2.2 и 2.3 вытекает следствие.

Следствие 2.1 (см. [2]). Множество <2 всех допустимо аддитивно возмущенных систем вида (2.1) совпадает со множеством К всех допустимо мультипликативно возмущенных систем вида (2.4).

Теперь рассмотрим подмножества множеств Q и R. Для произвольного 8 > 0 обозначим через Q множество всех допустимо аддитивно возмущенных систем вида (2.1), возмущения Q() которых удовлетворяют неравенству

sup ||Q(m)|| < 8,

meN

а через R^ — множество всех допустимо мультипликативно возмущенных систем вида (2.4), возмущения Я(-) которых удовлетворяют неравенству

sup ||R(m) - E|| <8.

meN

Лемма 2.2 (см. [2]). Для каждого 8 > 0 справедливы включения Q С Raoг, R<s С Qao<s.

Доказательство. Докажем сначала первое включение. Пусть допустимое аддитивное возмущение Q() таково, что

sup ||Q(m)|| < 8.

meN

Тогда система (2.1) с матрицей коэффициентов A() + Q(-) принадлежит множеству <2г. Положим

R(m) = E + A-1(m)Q(m), m G N.

Тогда из леммы 2.1 следует, что — допустимое мультипликативное возмущение, причем

R(m) — E = A-1(m)Q(m), поэтому

sup ||R(m) — E|| < a08.

meN

Это означает, что система (2.4) с матрицей коэффициентов A()R() принадлежит множеству Rao<s. Но при всех m справедливы равенства

A(m)R(m) = A(m) + Q(m),

откуда вытекает доказываемое включение.

Теперь докажем второе включение. Пусть допустимое мультипликативное возмущение Я(-) таково, что

sup ||R(m) — E|| <8.

meN

Тогда система (2.4) с матрицей коэффициентов A()R() принадлежит множеству R^. Определим матрицу Q() равенством (2.2). Тогда из леммы 2.1 следует, что Q() — допустимое аддитивное возмущение, причем

sup ||Q(m)|| ^ sup (|| A(m)|| ||R(m) — E||) < ао8.

meN meN

Это означает, что система (2.1) с матрицей коэффициентов A() + Q() принадлежит множеству Qao^. Но при всех m справедливы равенства

A(m)R(m) = A(m) + Q(m),

что и доказывает лемму. □

Для произвольного допустимого аддитивного возмущения Q() обозначим через

A(A + Q) = (Ai(A + Q),..., A„(A + Q)) G R™

полный спектр показателей Ляпунова системы (2.1). Спектральное множество системы (1.2), отвечающее классу всевозможных допустимых для этой системы аддитивных возмущений, будем обозначать A(Q). Аналогично для произвольного 5 > 0 положим A(Qs) — спектральное множество системы (1.2), отвечающее классу допустимых аддитивных возмущений Q(-), удовлетворяющих оценке sup ||Q(m)|| < 5.

meN

Далее, пусть

A(AR) = (Ai(AR),..., An (AR)) G R™

— полный спектр показателей Ляпунова системы (2.4) для произвольного допустимого мультипликативного возмущения R(-). Спектральное множество системы (1.2), отвечающее классу всевозможных мультипликативных возмущений, обозначаем A(R), а для произвольного 5 > 0 положим A(Rs) — спектральное множество системы (1.2), отвечающее классу допустимых мультипликативных возмущений R(-), удовлетворяющих оценке sup ||R(m) - E|| < 5.

meN

Тогда из следствия 2.1 и леммы 2.2 получаем такое утверждение.

Следствие 2.2 (см. [2]). Множества A(Q) и A(R) совпадают. Для каждого 5 > 0 имеют место включения

Обратимся теперь к вопросу о поведении полного спектра показателей Ляпунова системы (1.2) при различных возмущениях ее коэффициентов.

Определение 2.4. Показатели Ляпунова системы (1.2) называются устойчивыми, если для каждого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для всякой аддитивно возмущенной системы вида (2.1) из множества Q выполнены неравенства

|Ai(A) - Ai(A + Q)| < е, i =1,...,n, то есть имеет место включение A(<2s) С O£(A(A)).

Замечание 3. Определение 2.4 представляет собой непосредственный перенос на линейные системы с дискретным временем аналогичного определения для линейных систем с непрерывным временем (см., например, [19, с. 72]).

Из леммы 2.2 вытекает, что определение 2.4 эквивалентно следующему определению.

Определение 2.5 (см. [2]). Показатели Ляпунова системы (1.2) называются устойчивыми, если для каждого е > 0 найдется такое 5 > 0, что для всякой мультипликативно возмущенной системы вида (2.4) из множества R выполнены неравенства

|Ai(A) - Ai(AR)| < е, i = 1,...,n, то есть имеет место включение A(Rs) С öe(A(A)).

По аналогии с системами с непрерывным временем, введем понятия центральных показателей системы (1.2). Эти показатели играют ключевую роль в поведении показателей Ляпунова при возмущениях коэффициентов системы (1.2).

Определение 2.6 (см. [2]). Верхним центральным показателем (Винограда) системы (1.2) будем называть величину

1 m

fi(A)= lim lim — J]ln||XA(jT + 1, (j - 1)T + 1)|| =

T—те m—те mT z—' j=1

1 m jT

= limlim—J>|| П A(/)||,

T—те m—>-<re mT z—'

j=1 Z=(j-1)T+1

младшим центральным показателем (Миллионщикова) — величину

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ш

1 m

(A) = lim lim — Y, HX ((j - 1)T + 1,jT + 1)||-1 =

T^те m^^ mT z—' /M

j=1

1 m jT _1

= lim um -Vln ( П A(/))-1 .

Т^теm^^ rnT^ V II w;

j=1 Z=(j-1)T+1

Величины T и m здесь считаем пробегающими множество N натуральных чисел.

Замечание 4. Понятие верхнего центрального показателя для систем с непрерывным временем было введено Р. Э. Виноградом [13], а понятие младшего центрального показателя — В. М. Мил-лионщиковым [31].

Имеет место следующий критерий устойчивости полного спектра показателей Ляпунова.

Т е о р е м а 2.1 (В. М. Миллионщиков [32]; Б. Ф. Былов и Н. А. Изобов [11]). Показатели Ляпунова системы (1.2) устойчивы тогда и только тогда, когда существует преобразование Ляпунова (1.5), приводящее систему (1.2) к системе

y(m + 1) = D(m)y(m), m G N, y G Rn, (2.5)

с блочно-диагональной матрицей D(m) = diag(D1(m),..., Dp(m)), обладающей следующими свойствами:

1) для каждого j G {1,... ,p} матрица Dj (m) нижняя треугольная размерами nj х nj;

2) имеют место равенства ^(Dj) = ^(Dj) = Л^, j = 1,...

3) блоки D1 (■),..., Dp(-) интегрально отделены, то есть существуют такие а > 1 и y > 0, что при всех m> s и j G {1,... — 1} справедливы неравенства

m- 1 m- 1

) 1 -1

ПА-+1(0)-1 ^ Yam-sm Dj(l)

Замечание 5. Из свойства 2) теоремы 2.1 следует [11,32], что диагональные элементы d^(-) матрицы D( ) таковы, что при всех j G {1,... ,p} и i G nj выполнены равенства

m

du = lim m-1Y^ln|djj(1)| = Лj;

m

1=1

запись i G nj здесь и ниже означает, что i G {no + ... + nj-1 + 1,..., no + ... + nj}, где n0 = 0.

§ 1 1 »J »J О «J

3. Пример линеинои дискретнои системы с неустойчивыми показателями Ляпунова

Эффект неустойчивости показателей Ляпунова при малых аддитивных возмущениях матрицы коэффициентов линейной системы с непрерывным временем был установлен О. Перроном в работе [59] (см. также [19, с. 23-24], [1, с. 194-195]). Ниже на основании примера Перрона системы с непрерывным временем и неустойчивыми показателями Ляпунова сконструирован соответствующий пример системы с дискретным временем, при этом возмущение матрицы коэффициентов системы (1.2) построено мультипликативным.

Пример 3.1 (см. [3]). Рассмотрим систему второго порядка

x(m + 1) = A(m)x(m), m G N, x G R2, (3.1)

с матрицей коэффициентов

A( ) = f e-" 0

A(m) I o g(m+1) sin ln(m+1)-msinln m—2a.

где параметр а принадлежит интервалу (0,1).

Проверим, что матрица A(-) системы (3.1) вполне ограничена на N. С этой целью введем в рассмотрение функции

f (t) = t sin ln t, p(t) = e—f (t), t ^ 1.

Тогда

/ e—" 0 \ ( e" 0

A(m) = n ^(m+l) > A (m) = П ^(m)e2a

o émsa /' " \ o

Так как

^(m)e2a j \ 1 <^(m+1)

|f(t)| = |sinlnt + coslnt| = |>/2sin(lnt + п/4) | < л/2, t ^ 1, (3.2)

то для каждого m G N выполнены неравенства

|f(m +1) - f (m)| < max |f'(t)| < V2.

t€[m,m+1]

Следовательно,

<^(m + 1)

^(m)e2a ^(m)e2a

<^(m + 1)

e-/(m+1)+/(m)-2a < g|/(m+1)—/(m)| —2a < 2a,

e-/(m)+/(m+1)+2a < g|/(m+1)-/(m)|+2a < e^2+2a

(3.3)

откуда вытекает полная ограниченность матрицы А(-).

Рассмотрим решения ж1^) и ж2(0 системы (3.1), удовлетворяющие начальным условиям

х (1) = е- , з = 1 ,2.

Тогда при всех т > 1

1 Тг1 /е-«(т-1)

х1(т) = X(т, 1)е1 = Д А(/)б1 = Д е-ав1 = I 0

1=1 1=1 ^

m—1

x2(m) = X(m, 1)e2 = П A(1)e2

i=1

m1

ne(1+1) sinln(1+1)—lsinlnl—2ae = / 0 |

e e2 I _msinlnm—2a(m— 1) I •

1=1

Вычисляя характеристические показатели Ляпунова решений x1^) и x2(-), получим

Afx1] = lim — lnle-"(m—1)| = -а,

A[*2]= ñm -— ln 1 e™ sinln m— 2a(m— 1) | = m sin ln m - 2a(m - 1)

m—y^o m

1

m—те m 1 1 m—те m

T-;— . , — 2a(m — 1) ^— . , ^

lim sinlnm + lim -= lim sinlnm — 2a.

m—те m—те m m—те

Для вычисления lim sin ln m рассмотрим последовательности

m—TO

tk = e(2k+1/2)n, mfc = [ífc] + 1, k e N.

Тогда

1 ^ lim sinlnm ^ lim sinlnmk = lim sin(lník + ln(mk/ík)) =

m—>-<ro k—TO k—TO

= lim (sinln ík cosln(mk/ík) + cosln ík sinln(mk/ík)) = lim cosln(mk/ík) =

k—TO V / k—TO

= lim cosln(mk/ík) = cos ln( lim mk/ík) = coslnl = 1.

k—TO k—TO

Таким образом, lim sinlnm = 1, и A[x2] = 1 — 2a.

m—TO

Из условия a < 1 вытекает, что A[x1] < A[x2], поэтому полный спектр показателей Ляпунова системы (3.1) состоит из чисел

Ai(A) = A[x1] = —a, А2 (A) = A[x2] = 1 — 2a.

Зафиксируем произвольное 7 > 0 и рассмотрим мультипликативное возмущение

вд ={r« (m)}U = L s f ) dT 1) • (34)

m

Докажем, что оно является допустимым. Из оценки (3.2) получаем, что для всех m £ N и Г £ [m, m +1], в силу теоремы Лагранжа, выполнено неравенство

|f (m) — f (Г)| = |m sinln m — Г sinln Г| ^ max |f'(t)| ■ |m — Г| ^ л/2.

i€[m,m+1]

Воспользуемся полученным результатом для оценки величины

1 п m+1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

<^(т) dr.

—(—) Л

В силу теоремы о среднем для определенного интеграла найдется г £ [т, т +1] такое, что

/ —(т) = —(г), и т

поэтому

cm+1

) dT = ^(т) = em sinln m-f sinln г = ef (m)-/(f) ^ e|f (m)-/(f)| ^ e^2

^(тПт — (—)

Из неравенства, связывающего спектральную и максимальную столбцовую норму матрицы [40, с. 378], получаем

, „-от />т+1 .

||Я(—)|| ^>/2(1 + Ыт)|) = л/2 1 + 7-7-7 / —(т) ¿И ^

V — (—) ут '

^ /2(1 + 7е-оте^) ^ л/2(1 + — £ N.

Непосредственной проверкой убеждаемся, что ||Я-1(—)|| = ||Я(—)||. Следовательно, выбранная функция Я(-) является вполне ограниченной и поэтому принадлежит множеству ^ допустимых мультипликативных возмущений.

1

Далее,

||Я(т) - Е|| = 7

-от лт+1

<^(т)

^(г) ¿т ^ 7е-оте^2 ^ 7е-о+Л т € N.

Заметим, что если 7 < £ео-л/2, то ||Я(-) — Е< то есть Я(-) € Кг.

Рассмотрим допустимо мультипликативную возмущенную по отношению к (3.1) систему

у(т + 1) = А(т)Я(т)у(т), т € N, у € К2. (3.5)

Матрица коэффициентов этой системы имеет вид

/ е-0 0

А(т)Я(т) = I ^е-ат-2а Г^) ,т ^(т)е-" у' <^(т+1) у ) ^(т+1)

Пусть ХАД(т, в) — матрица Коши системы (3.5). Тогда для каждого решения у(-) этой системы и произвольного т € N

т

у(т + 1) = Хад (т + 1,1)у(1) = Д А(/)Я(/)у(1) =

1=1

= А(т)Я(т)А(т — 1)Я(т — 1)... А(2)Я(2)А(1)Я(1)у(1) =

е

о

0

ут+1

' р(т+1М ^(Т) "Т ^(т+1) т

7

-а(т — 1) — 2а

е" 0

т

^(т)

^(т) ¿т ^^

е-

7^(т) ¿т

0

у(1)е—2а ¥>(2)

е

у(1)

т- 1 - то рт+1

^(т) 0

е — (2т + 1)а I ' , . е —2 та I у(1).

7 у(т+1) 1 ^(Т) ^+1)

Следовательно, решения системы (3.5) с начальными условиями

у1(1) = е1, у2(1) = е2

имеют вид

у1(т)

у11(т)

у21(т)

е-о(т-1)

е—(2т —1)а

7 ^(т)

<^(т)¿т

у2(т)

у2(т) у2(т)

0

2(т—1)а

^(т)

Заметим, что у2(т) = х2(т), поэтому

Л [у2] = Л[х2] = 1 — 2а. Найдем показатель Ляпунова решения у1^). С этой целью рассмотрим функцию

,-2о4 рЬ

Ж) к

^(т) ¿т, г ^ 1.

Вновь возьмем последовательности

¿к = е(2к+1/2)п, тк = ] + 1, к € N.

Тогда

) = е

— „-¿к эт1п^ _ -4*.

=е

2а

2

т

е

Отметим, что <^(т) > 0 при всех т ^ 1 и [tke п, tke 2п/3] С [1,tk] С [1,mk), поэтому

pmk ptk ptk e-2n/3

/ р(т) dT^ <^(т) dT^ <^(т) dT ^ tk (e-2n/3 - e-n) min <^(т).

Jl Jl Jtke-n re[tke-n ,tke-2n/3]

Найдем минимальное значение функции <^(-) на отрезке

J = [tk e-n ,ifc e-2n/3] = [e(2k-l/2)n ,e(2k-l/6)n ].

Так как

p'(t) = —e-t sinln t (sin ln t + cosln t) = — v^2e-t sinln t sin(ln t + n/4), (3.6)

то отрезок Jk содержит единственную критическую точку e(2k-l/4)n функции <£(•), в которой производная функции меняет знак с «+» на «—». Следовательно, минимальное значение функции достигается на одном из концов отрезка Jk. Сравнивая значения функции <^(-) на концах отрезка, получаем, что это минимальное значение достигается в левом конце

тк = e(2k-l/2)n, при этом

min <^(t) = ^(тк) = eTk = etke п. te Jk

Тогда

/mk

р(т) ^>tk (e-2n/3 — e-n) etke-n. Из равенства (3.6) получаем, что функция <^(-) убывает на отрезке

|"e(2k-l/4)n ,e(2k+3/4)n j,

который содержит в себе отрезок [tk,mk], поэтому <^(tk) > <^(mk). Кроме того, mk ^ tk + 1. Следовательно,

e-2amk e-2a(tk + l) fmk

#mk) = icmk) Л > йт>"^;г Л } 'т =

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

e-2a(tk+1) fmk

e-tk

Тогда поэтому

<^(т) dr > е-2ае(1-2а)^4 (е-2п/3 - е-п) =

1

= е-2% (е-2п/3 - е-п) е(1-2а+е-п^. У1(тк) = 7е"^(тк) > 7е-% (е-2п/3 - е-п) е(1-2а+е-п^,

г 1п г 1п — 1 , ^ - 1п ¿к + (1 - 2а + е-п)*к

АСУ1] ^ А[уЦ] ^ Иш т-11п |у21(тк)| ^ Иш —^-Ш =

к^те к^те тк

1п ¿к + (1 - 2а + е-п)*к ¿к п 0 , -п

= 11ш ----— • — = 1 - 2а + е ' .

к^те ¿к тк

Следовательно, полный спектр показателей Ляпунова А (АД) возмущенной системы (3.5)

состоит из чисел

А1(АД) = А [у2] = 1 - 2а, А2(АД) = А^1] ^ 1 - 2а + е-п,

а спектр А (А) невозмущенной системы (3.1) — из чисел

А1(А) = А^1] = -а, А2 (А) = А [ж2] = 1 - 2а.

Возьмем е = (1 - а)/2 > 0. Для любого 8 > 0 найдется допустимое мультипликативное возмущение € ^ вида (3.4), где 7 < 8еа-л,/2, такое, что

|А1(АД) - А1 (А)| = А1(АД) - А1(А) = 1 - 2а + а =1 - а>е.

Следовательно, А(АД) € О (А(А)). Это означает, что показатели Ляпунова системы (3.1) неустойчивы.

§ 4. Интегральная разделенность линейной системы с дискретным временем

В этом параграфе будем рассматривать свободную линейную систему (1.2). Как и прежде, через А(Л) = (А^Л),..., Ап(Л)) € К™ будем обозначать полный спектр показателей Ляпунова этой системы.

Замечание 6. Рассмотрим диагональную систему

у(т + 1) = с1(т),..., сп(т))у(т), т € N у € Мп, (4.1)

с вполне ограниченной матрицей С( ) = ё1а^С1(-),..., сп(-)). Обозначим через У(т,з) матрицу Коши системы (4.1). Тогда при всех т > 1

т—1 т—1 т—1

У(т, 1) =Ц С(I) = ё!а6( П сл(1),..., Ц Сп(I)), 1=1 1=1 1=1

то есть У(т, 1) = [у1(т),... ,уп(т)], где

т—1

уг(т)= вгЦ сг(1), г = 1,...,и. (4.2)

Матрица У(т, 1) является фундаментальной матрицей системы (4.1). Используя понятие несжимаемости (определение 1.6), нетрудно проверить, что соответствующая фундаментальная система решений {у1( ),... ,уп( )} нормальна.

Также будем рассматривать преобразование Ляпунова системы (1.2), но не в виде (1.5), а в виде

х(ш) = Ь(т)у(т), (4.3)

где матрица Ь: N ^ Кпхп вполне ограничена.

Замечание 7. Применяя преобразование (4.3) к системе (1.2), получим систему

у(т + 1) = Ь—1(т + 1)х(т + 1) = Ь—1(т + 1)А(т)х(т) = = Ь—1(т + 1)А(т)Ь(т)у(т).

Таким образом, преобразование (4.3) переводит (1.2) в систему (1.6), где

С (т) = Ь-1 (т + 1)А(т)Ь(т).

Введем понятие интегральной разделенности систем с дискретным временем.

Определение 4.1 (см. [4]). Система (1.2) называется системой с интегральной разделенностью, если она имеет фундаментальную систему решений х1(-),..., хп(-) такую, что при некоторых 7 > 0, а > 1 и всех натуральных 3 < т, г € (1,... ,п — 1} выполнены неравенства

НХг+1(ш)Н > 1Ит)Н (4 4)

11x^(3)|| ||хг(з)|Г К->

Замечание 8. Определение 4.1 для систем с непрерывным временем было дано Б. Ф. Бы-ловым в [9].

Приведем (с доказательствами) два свойства интегрально разделенных систем, аналогичные свойствам интегрально разделенных систем с непрерывным временем (см., напри-[1])-

Лемма 4.1. Если (1.2) — система с интегральной разделенностью, то ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из п различных чисел.

Доказательство. Рассмотрим фундаментальную систему решений х1 (•),..., жга(-) системы (1.2), для которой выполнены неравенства (4.4). Полагая в этих неравенствах ] = 1 < т и логарифмируя, получим

|^+1(ш)|| ( 1 |Ит)

ln и ,.,-,^11 ^ ln Ya

отсюда

В то же время

ж,+1(1)|| V Их4 (1)!

lim — (ln ||x,+1(m)| — ln ||xl(m)||) ^ lnа.

т^-те m

lim — (ln ||x,+1(m)|| — ln ||x,(m)|) =

m^-те m

/ln ||x,+1(m)|| ln ||x,(m)||-1\ ^ m^re V m m J ^

^ lim —ln ||x,+1(m)|| + lim (--ln ||xl(m)|| ) =

m^re m т^те \ m J

= lim —ln ||x,+1(m)| — lim — ln ЦХ(m)|| = A[xm ] — A^],

m^re m rn^re m

поэтому A[x,+1] — A[x4] ^ ln а > 0 при всех i G {1,..., n — 1}. Это означает, что n различных чисел A[x1],..., A[xn] образуют полный спектр системы (1.2). Лемма доказана. □

Следствие 4.1. ФСР системы (1.2), для которой выполнены неравенства (4.4), нормальна.

Лемма 4.2. Интегральная разделенность инвариантна относительно ляпуновских преобразований.

Доказательство. Пусть интегрально разделенная система (1.2) ляпуновским преобразованием (4.3) приводится к системе (1.6). Покажем, что эта система также интегрально разделена. Рассмотрим ее фундаментальную систему решений

Y(•) = |L-1(^)x1(^), L-1(-)x2(-),..., L-1(-)xra(-)},

где ж1^),..., жп(•) — та фундаментальная система решений системы (1.2), для которой справедливы неравенства (4.4). Пусть постоянная l ^ 1 такова, что ||L(m)|| ^ l, ||L-1(m)|| ^ l при всех натуральных m. Тогда

||L-1(m)x(m)|| ^ ||L-1(m)|| ||x(m)|| ^ l||x(m)||

и

||x(m)|| = ||L(m)L-1(m)x(m)|| ^ ||L(m)|| ||L-1(m)x(m) || ^ l||L-1(m)x(m) ||,

откуда

||L-1(m)x(m)|| ^ i .

Теперь проверим непосредственно неравенства (4.4) для фундаментальной системы решений Y(•):

||L-1 (m)x,+1(m)|| ||L-1(j)|| |x,+1(m)| Hx^Cj)|| 1 =

||L-1 (j)x,+1(j)|| ||L-1(m)xi(m)|| ^ l l =

||x,+1(m)|| ||x,(j)|| ^ 1 ■ = ~m-j

^ M Yam-j = 7ат

liz^j)|| ||x.(m)^ l4 Лемма доказана. □

Определение 4.2. Функция c2: N ^ R называется интегрально отделенной от функции c1: N ^ R, если при некоторых 7 > 0, а > 1 и всех натуральных s < m выполнены неравенства

П МП > 7ат-fi |c.(')i ' 7а ■

Совокупность функций c1, ■ ■ ■, cn: N ^ R называется интегрально разделенной, если существует перестановка (¿1, ■ ■ ■, in) индексов (1, ■ ■ ■, n) такая, что для каждого j G {1, ■ ■ ■, n — 1} функция cij+1 (■) интегрально отделена от функции cij(■).

Л е м м а 4.3 (см. [4]). Если диагональ c1(-), ■ ■ ■, cn(-) системы (4.1) интегрально разделена, то эта система интегрально разделена.

Доказательство. Пусть (i1, ■ ■ ■, in) — такая перестановка индексов (1, ■ ■ ■, n), что

П |cij+1 (1)| > Yam~s (4 5)

П |cij (1)| - Ya (4.5)

при некоторых 7 > 0, a > 1 и всех натуральных m > s и j ^ n — 1. Рассмотрим фундаментальную систему решений Ф(-) = |yn (■),■■■ , yin (•)}, где yi(-) определены равенствами (4.2). Так как при всех натуральных m > s и j ^ n

llyij (m)l т—\ mi

Л = Ц |cij(i)|'

то из неравенства (4.5) вытекает

llyij+1 (m) || > llyij (m) ||

llyij+1 (s)ll llyj (s)||

при всех натуральных m > s и j ^ n — 1. Это означает, что система (4.1) интегрально разделена. Лемма доказана. □

Рассмотрим теперь вопрос о приведении системы (1.2) к диагональному виду.

Теорема 4.1 (см. [4]). Система (1.2) приводима к системе (4.1) с вполне ограниченной диагональной матрицей C(■) = diag(c1(-), ■ ■ ■ , cn(-)) тогда и только тогда, когда она имеет фундаментальную матрицу

Ф(-)= [x1 (-),---,xn(-)]

такую, что при некотором р > 0 и всех натуральных m выполнено неравенство

n

| detФ(m)| > рД llxj(m)l (4.6)

j=1

Доказательство. Необходимость. Пусть система (1.2) приводится к диагональному виду (4.1) преобразованием Ляпунова (4.3). Система (4.1) имеет нормальную фундаментальную матрицу

^(m) = [y1(m)e1, ■ ■ ■, yn(m)en],

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

m— 1

где yj (m) = П cj (/). Положим

1=1

Ф(ш,) = [x1(m), ■ ■ ■ ,xn(m)] = L(m^(m).

Это фундаментальная матрица системы (1.2). Пусть

L(m) = [11 (m), ■■■,/""(

Тогда поэтому

xj (m) = j (m)yj (m),

n n n n *

П llxj(m) ll П llj(m)MI|yj(m)| П llj(m)ll j=1 j=1 j=1 j=1

Так как матрица L(-) вполне ограничена на N, то при некотором I > 1 и всех m £ N выполнены неравенства ¡L(m)l ^ I, llL—1 (m)У ^ I, поэтому

ЦР(m)l = llL(m)ejЦ ^ HL(m)H ^ I, | det L(m)| > p—> ^, следовательно,

| det L(m)| 1 =

П ll1j(m) l 1

j=1

и неравенство (4.6) выполнено.

Достаточность. Пусть Ф(ш,) = [x1(m), ■ ■ ■, xn(m)] — фундаментальная матрица, для которой выполнено условие (4.6). Положим

1j (m) = ,,x. (m)„, j = 1, ■. ■ ,n, me N, llxj (m) l ^ ' ' ' '

и построим матрицу L(m) = [/1(m), ■ ■ ■, /n(m)] . Тогда для матрицы

D(m) = diag(lx1(m)l, ■ ■ ■, Hxn(m)H)

справедливо равенство

Ф(ш,) = L(m)D(m), m £ N. (4.7)

Докажем, что L(-) — матрица Ляпунова. Действительно,

n

llL(m)ll = sup llL(m)hl ^ V ЦР(m)l = n, l|hN = 1 j=1

n

р П llxj(m)l , .. I det Ф^)! 1=1

|detL(m)| = щсЩ > j=„ j( .,, = р,

1 v л п llxj(m)l j=1

поэтому

(,„)Ц « »^Н' « n"—1

det £(т)| р

К системе (1.2) применим преобразование Ляпунова (4.3) с построенной матрицей £(•). Это преобразование переводит систему (1.2) в систему (1.6), которая имеет фундаментальную матрицу Ф(т) = £-1(т)Ф(т), то есть выполнено равенство Ф(т) = ¿(т)Ф(т). Сравнивая его с (4.7), получаем тождество

Ф(т) = Д(т), т £ N.

Так как фундаментальная матрица линейной однородной системы обращает в тождество эту систему, получаем Ф(ш + 1) = C (ш)Ф(ш), откуда

C(m) = Ф(ш + 1)Ф-V) = D(m + 1)D-1 (m) = diag( ^m^ ^''''' '

то есть C(m) — диагональная матрица. Полная ограниченность C(•) вытекает из замечания 1. Теорема доказана. □ Для произвольной фундаментальной системы решений

Ф() = К (•),..., xn()}

системы (1.2) обозначим через L¿(m) линейное подпространство пространства натянутое на векторы x^m),... , x¿(m), и через вг(т) G (0,п/2] — угол между L¿(m) и вектором xi+1(m) (т. е. угол между вектором xi+1(m) и его проекцией на L¿(m)), i G {1,..., n—1}, m G N. В случае необходимости ниже будем подчеркивать зависимость подпространств и углов от выбора Ф() следующим образом: L¿(m) = L¿(m; Ф), ^¿(m) = ^¿(m; Ф).

Следствие 4.2 (см. [4]). Система (1.2) приводима к системе (4.1) с вполне ограниченной диагональной матрицей C(•) = diag(c1(^),... ,cn()) тогда и только тогда, когда она имеет фундаментальную матрицу

ф() = и-),...,^-)],

такую, что при некотором в G (0, п/2] и всех i G {1,..., n — 1} для углов вг() = вг(; Ф) выполнены неравенства

inf e¿(m) ^ в. (4.8)

m€N

Доказательство. Известно (см., например, [12, формула (3)]), что

| det Ф(m)| = ||x1(m)| ... ||xn(m)|| sine1(m)... sinen-1(m), (4.9)

поэтому условие (4.6) эквивалентно неравенству

sin e1(m)... sin en-1(m) ^ p, m G N. (4.10)

Если это неравенство выполнено, то при всех i G {1,..., n — 1}

e¿(m) ^ sine¿(m) ^ . P ^ p,

[ [ sin ej (m)

то есть оценка (4.8) справедлива для в = р. Обратно, если имеет место условие (4.8), то

22 sin e¿(m) ^ — e¿(m) ^ — в, п п

поэтому

sin в1(m)... sin вп-^m) ^ (2в/п)m G N, и оценка (4.10) выполнена при р = (2в/п)n 1. Следствие доказано. □

Лемма 4.4 (см. [4]). Пусть Ф(-) = {ж1(-},...,жга(-)} — ФСР системы (1.2), такая, что при некотором ] € {1,..., п — 1}, всех натуральных г < ] — 1 и в < т выполнены неравенства

||жт (т)| ^ laш-s ||ж*(т)| (4 11)

и (4.8). Тогда существует такое С, > 0, что для каждого нетривиального решения ¿(•) € £3(■) и всех натуральных т ^ $ выполнены неравенства

|г(т)1 < С,. (4.12)

||ф)Ш 3 ||х3($)||

Доказательство. Пусть € (■) — произвольное нетривиальное решение. Зафиксируем произвольный начальный момент времени в € N. Пронормируем х1(-),..., ж3(■) так, чтобы ||Х($)|| = 1 при всех I € {1,... то есть вместо х1(-),... , ж3(■) рассмотрим

хс1(-),..., Ж3(■), где

Ж (•) = х1(-) I = 1 ?

Отметим, что Х1(т),... , Ж3 (т) образуют базис линейного подпространства £3 (т), и нормировка решений не влияет на углы в( ■). Тогда для решения

*(■ )

|Ф)||

справедливо представление

*( ■ ) = ^Г ( ■ )

з

5(т) = ^^ с1Х1(т), т € N 1=1

с не зависящими от т константами с1,..., сз .В равенстве

з

5(з) = ^ с Ж1^)

1=1

все векторы по норме равны 1, при этом для всех 1 < I < ] справедливы неравенства в1($) ^ в. Отсюда следует [9, лемма 1], что найдется такая не зависящая от выбора г( ■ ) € £3 ( ■ ) и ^ € N величина С > 0, что |с1| < С. Следовательно, для каждых г( ■ ) € £3 ( ■ )

и т ^ в € N

|5(т)|| < Е |С11 Их1 (т)|| = Е М Щ1 < Е С Ш?• (4

Из неравенств (4.11) следует, что для каждого I € {1,..., ^ — 1}

|ж1(т)| < -1 -(т^) |ж1+1(т)| <

||х1($)Н < 1 а |Ж1+1 (в)||

... < 71-3а-(3-1)(т^) |х3 (т)| < 71-3 ||Х (т)|

13)

-3

Продолжая оценку (4.13), получим

к(т)| <с■ (_L + _L+ ||х3 (т)| =.с ||х3(т)

||ф)Ш Ч3-1 73-2 ----- ^ ||х3($)|| ' 3 ||х3($)|| ■

Таким образом, существует такое С3 > 0, что при всех € £,(■) и т ^ в € N имеет место неравенство (4.12). Лемма доказана. □

Теорема 4.2 (см. [4]). Система (1.2) интегрально разделена тогда и только тогда, когда она приводима к интегрально разделенной диагональной системе (4.1).

Доказательство. Достаточность вытекает непосредственно из леммы 4.2. Необходимость. Пусть Ф(-) = {ж1 (■),..., жга(-)} — фундаментальная система решений системы (1.2), для которой выполнены условия (4.11). Докажем, что для углов ßi(m) = ßj(m; Ф) справедливы условия (4.8).

Предположим, что это не так, и пусть i G {1,..., n — 1} — наименьший номер, для которого условие (4.8) не выполнено. Тогда существуют строго возрастающая последовательность моментов времени (mk)ke N С N и последовательность решений (zk(•))k N С Lj(-) такие, что

ßi(mk) = <(zk(mk),xi+1 (mk)) < 1. Без ограничения общности можно считать, что ||zk(mk)|| = ||xi+1(mk)|| = 1. Тогда

0 < ||zk(mk) — xi+Vk)|| = 2sin(ßi(mk)/2) < Ä(mk) < 1/k,

поэтому

lim ||zk(mk) — xi+1(mk)|| = 0.

k—^^o

Для любого фиксированного M G N имеем оценки

||zk(mk + M) — xi+1(mk + M)|| = ||X(mk + M,mk)zk(mk) — X(mk + M,mk)xi+1(mk)|| <

mfc +M-1

< ||X(mk + M,mk)|| ||zk(mk) — xt+1(mk)|| < Ц ||A(/)|| ■ ||zk(mk) — xi+1(mk)|| <

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

l=mfc

< a0M||zk(mk) — xi+1(mk)||, следовательно, для каждого фиксированного M G N

lim ||zk(mk + M) — xi+1(mk + M)|| = 0. (4.14)

k—те

С другой стороны, в силу нашего предположения о минимальности номера i, для которого не выполнено условие (4.8), из леммы 4.4 мы имеем оценку

Uzk(mk + M^ = ||zk(mk + M)| < C |x'(mk + M)| ||Z (mk + M)| = |zk(mk)| < C |xi(mk)| '

из которой

||zk(mk + M) — xi+1(mk + M)|| > ||xi+1(mk + M)| — ||zk(mk + M)|| > >11 i+1( + M)||-r H^k + M)| = ||xi+1(mk + M)| ||s*(mk + M)| >

> |x (mk +M)| гг |xi(mk)| = |xi+1 (mk)|| C |xi(mk)| >

^ м + М)|| _ + М)|| = ,м _ ^ + М)|| ^ ,м _ с,_ м.

Так как а > 1, а С не зависит от М, то при достаточно больших М С N величина в правой части последнего неравенства строго положительна и не зависит от к, что противоречит равенству (4.14).

Из следствия 4.2 получаем, что система (1.2) приводима к диагональной системе (4.1). Интегральная разделенность этой системы вытекает из леммы 4.2. Теорема доказана. □

§ 5. Некоторые свойства интегрально разделенных систем

Теорема 5.1 (см. [4]). Если (1.2) — система с интегральной разделенностью, то для всякой нормальной ФСР Ф(-) = {у1 (■),..., yn(-)} этой системы, упорядоченной по возрастанию показателей, найдутся такие y1 > 0 и a > 1, что при всех натуральных m > s и i ^ n — 1 выполнены неравенства

llyi+1(m)|| > Y am-s |Hm)||

ИУ+Ч^И " 71 lHs)|| •

Доказательство. Пусть Ф(-) = {ж1(-),..., xn(-)} — фундаментальная система решений системы (1.2), для которой выполнены условия определения 4.1. Тогда Ф(-) нормальна и, следовательно, несжимаема, то есть для любой нетривиальной линейной комбинации

n

у(-) = ckxk (■) имеет место равенство Л [у] = max A[xk]. k=1 ck =0 Зафиксируем произвольное s G N. Вместо фундаментальных систем Ф(-) и Ф(-) будем рассматривать фундаментальные системы Ф(-) и Ф(-), состоящие из решений Xj(■) = = xj(-)/||xj(s)|| и yj(■) = yj(-)/||yj(s)|| соответственно, то есть пронормируем все решения

в момент времени s. Очевидно, что фундаментальная система Ф(-) несжимаема, поэтому

j

0 = 5] j (■), j = 1,...,n, k=1

где cj = 0. Точно так же, как в доказательстве леммы 4.4, из [9, лемма 1] получаем существование такого C > 0, что |c£| ^ C при всех j G {1,..., n} и k G {1,..., j}.

Докажем для каждого j G {1,..., n} существование такого Bj > 0, что для всех натуральных m > s

||yj(m) || > Bj ||xj(m)||. (5.1)

Действительно, если j = 1 или если c] = ... = cj-1 = 0 при j > 1, то из условия

||yj (s)| = ||xj (s)|| = 1 получаем

r,j (m) = \ c7 xk (m) = ¿x (m) = ± x (m)

yj (m) = ^^ ck Xk (m) = cj Xj (m) = ±Xj (m), k=1

поэтому неравенство (5.1) выполнено при В3 = 1.

Пусть теперь 3 > 1 и не все коэффициенты сЦ,..., с,-1 равны нулю. Положим

j-1

rkl

k=1

(•) = £ ck xk (■).

Тогда г3(■) € £3-1(; Ф), причем г3(■) — нетривиальное решение. Так как нормировка решений не влияет на выполнение неравенств

(т)| > ^ат-3_||ж*(т)

НЖ+ЧЯН ||Х(3)|| '

то из доказательства необходимости теоремы 4.2 получаем, что для всех углов вг(0 = = вг(-; ф) справедливы неравенства

1п:Г вг(т) > в, (5.2)

а из леммы 4.4 — существование такого С_1 > 0, что при всех т > в

Ц*(в)|| < 3 ||ж3_1(в)|| = С^_1||Х (т)| = = с. ||ж3_1(т)|| < 3 ||ж3(т)|| = 3 .(т) 3 1 ||ж3_1 (в)|| < 7ат_5 ||ж3(в)|| 7ат_51| ( )

Поэтому

к3 (т) || < 3 ||г3 (в)Н|ж3 (т) || <

7ат_«

3-1

< 3 ■ (£ 3 ||«кМИ) ■ «з3(т)| < Сз^ И*(т)

Из равенства

3

у'3 (т) = ^ V"'; — ^ V"-; "г <3

у3 (т) = ^^ ск Хк (т) = г3 (т) + с3 X3 (т)

к=1

получаем оценку

73(т)|| > |с31 ||ж3(т)|| _ ||г3(т)|| > (Ц1 _ ) Н*3'{т

Так как а > 1, то найдется такое М € N что при всех т > в + М выполнено неравенство

ИI

НГ(т)|| >

Положим

3(т)|| > -3-||ж3(т)||.

= шт^ ,, 3—— : т = в, в + 1,... , в + М _ 1 У

||У3 (т) || ||Ж3 (т) ||

Тогда при всех т € {в, в + 1,..., в + М _ 1}

||у3(т) || > ^3 ||ж3(т)||.

Наконец, пусть В3 = ш1п{ Д3, |с3|/2}. Тогда неравенство (5.1) имеет место при всех натуральных т > в.

Заметим, что уг(■) € Ф), поэтому, в силу леммы 4.4, при всех т > в имеет место неравенство

||у (т)| < с ||жг(т)Н . =_ |Ив)|| < с llxi(в)Н' г 1

Используя это неравенство и оценку (5.1), получим, что при всех натуральных т > в

и г < п _ 1

(т)Н = ||?7+1(т)|| > В 11^+1^11 = в 1|зг+1(т)Н > ||ут(в)|| = Ну (т)Н > Вг+1|Ж (т)Н = Вг+1 ||ж^+1(в)Н >

> Бг+17а 1ЙвГ >^Т7а МвГ =: 71а МвГ •

Теорема доказана. □

Следствие 5.1 (см. [4]). Для всякой нормальной фундаментальной системы решений Ф(-) системы с интегральной разделенностью (1.2) для углов вг(-) = А('>Ф) имеют место неравенства (5.2) при некотором в € (0, п/2] и всех натуральных г < п _ 1.

Доказательство. По ФСР Ф(-) построим новую ФСР Ф(-), упорядочив входящие в Ф(-) решения по возрастанию показателей Ляпунова. Из теоремы 5.1 и из доказательства необходимости теоремы 4.2 следует, что для углов вг(-; Ф) имеют место неравенства вг(т; Ф) ^ в при некотором в > 0 и всех m £ N и i £ {1,..., n — 1}. Но для фундаментальных матриц Ф(-) и Ф(-) справедливо равенство | ёе1Ф(т)| = | ёе1Ф(т)|, из которого, пользуясь формулой (4.9), получаем

n—1 П—1

Д sin в (m; Ф) = Д sin (т; Ф) ^ sinn—1 в, т £ N.

j=i j=i

Отсюда вытекает, что для углов вг(') = вг(-; Ф) имеют место неравенства (5.2) при некотором в £ (0,п/2] и всех натуральных i ^ n — 1. Следствие доказано. □

Следствие 5.2 (см. [4]). Диагональная система (4.1) интегрально разделена тогда и только тогда, когда ее диагональ интегрально разделена.

Доказательство. Достаточность установлена в лемме 4.3.

Необходимость. Пусть система (4.1) интегрально разделена. Рассмотрим ее фундаментальную систему решений Ф(-) = (y1(-),... , yn(-)}, где уг(-) определены равенствами (4.2). Тогда, в силу замечания 6, Ф(-) нормальна. Пусть (i1;..., in) — такая перестановка индексов (1,..., n), что

%ij+i] > L j = 1,...,n — 1

Тогда из теоремы 5.1 получаем, что при некоторых y > 0, а > 1 и всех натуральных m > s и j ^ n — 1 выполнены неравенства

llj (m)|| ^ —s ||yij (т)||

llj (s)ll ' ||yij (s)

Но

поэтому

m— 1

l|yj(m)l = Д

(s)

j =s

m— 1 m— 1

П |cij+i(1)1 ^ Yam—^ |Cij (1)|,

1=s

то есть при всех натуральных т > з и ^ ^ п — 1 справедливы оценки

Ц К (1)1 ^ •

Это означает, что диагональ системы (4.1) интегрально разделена. Следствие доказано. □

Следствие 5.3 (см. [4]). Система (1.2) интегрально разделена тогда и только тогда, когда она приводима к диагональной системе (4.1) с интегрально разделенной диагональю.

Доказательство вытекает непосредственно из теоремы 4.2 и следствия 5.2. □

Определение 5.1 (см. [14, с. 64]). Сопряженной системой к линейной однородной системе (1.2) называется система

^(ш + 1) = ^(ш)А-1(т), £ Ега. (5.3)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 5.2 (см. [4]). Если (1.2) — система с интегральной разделенностью, то сопряженная система (5.3) также является системой с интегральной разделенностью.

Доказательство. Пусть ляпуновское преобразование (4.3) приводит систему (1.2) к диагональному виду (4.1) с интегрально отделенными функциями с(•), Сг+1 (•), г = 1, .. п — 1. Тогда, в силу замечания 7, выполнено равенство

А(ш) = + 1)С (ш)Д-1(ш),

поэтому

+ 1) = А(ш)Д(ш)С-1(ш). Применим ляпуновское преобразование п(ш) = ^(ш)Ь(ш) к системе (4.1), получим

п(ш + 1) = -0(ш + 1)Ь(ш + 1) = -0(ш)А-1(ш)А(ш)Ь(ш)С-1(ш) = = ^(ш)Ь(ш)С-1(ш) = п(ш)С-1(ш).

Таким образом, преобразование п(ш) = ^(ш)Ь(ш) приводит систему (5.3) к диагональной системе

п(ш + 1) = п(ш)Я(ш), п* е Ега, (5.4)

где

следовательно,

H(m) = diag(hi(m),..., hn(m)) = C (m),

hj(m) = (c^m)) 1, i = 1,...,n. При всех натуральных m > s и i ^ n — 1 справедливы неравенства

m— 1 m— 1 m—1

П |hi(1)l П |Ci(1)l—1 П lci+1 (1)1

1=s_ _ 1=s_ _ 1=s_ ^ Yflm— s

m— 1 m— 1 m— 1

П |hi+1(1)| П |Ci+1(1)| —1 П |ci(1)|

1=s 1=s 1=s

т. е. функция hj(-) при каждом i G {1,..., n — 1} интегрально отделена от функции hi+1(-). Это означает, что система (5.4) интегрально разделена, а потому и (5.3) интегрально разделена. Теорема доказана. □ Для доказательства завершающей теоремы параграфа нам понадобится еще одна лемма. Аналогичное утверждение для функций непрерывного аргумента приведено в [1, с. 51-52].

Л е м м а 5.1 (см. [4]). Пусть функция f: N ^ R вполне ограничена, то есть существует такое M ^ 1, что sup |f (m)| ^ M, sup |f (m)|-1 ^ M. Тогда для каждого фиксирован-

meN meN

ного T G N

1 m i fcT

lim — if(i)i = sm — £inif(i)|. 1=1 1=1

Доказательство. Зафиксируем любое натуральное T. Очевидно, что выполнено неравенство

1 m i fcT

um - if (oi ^ nm in if (i)|. 1=1 1=1

Докажем противоположное неравенство.

Заметим, что при всех m £ N

ln |f (m)| ^ ln M, - ln |f (m)| = ln |f (m)|-1 ^ ln M,

поэтому | ln |f (m)| | ^ ln M при всех натуральных m.

Пусть (m,) jeN — строго возрастающая последовательность натуральных чисел, на кото_ 1 m

рой реализуется lim — J^ln |f (1)|. Положим

m^TO m 1=1

kj = [mj/T] •

Без ограничения общности можно считать, что kj ^ 1. Так как

m, £ [k,T, (kj + 1)T),

m^b ' 1

то m, - kj T < T и 1 < 1 + ~т. Тогда

kjT kj

k, T mj mj

ln |f (0| = ^(E ln |f (0|- £ ln |f (0|

j l=1 j l=1 l=k, T+1

mj mj

jj

= mj 1 |f (1)|- -1- ln |f (1)| ^

kj T , kj T

l=1 ^ i=k, t +1

mj mj mj

mj 1 1 | | mj 1 T ln M

E1»|fc)|- r^ E lln|fWH ■ mEь|f(')|-

kj T kj T , , _ kj T ^^j kj T

»V f J- »V f J- I I L1

l=1 j l=k, T+1 j j l=1

_ . mj T ln M

Так как kj ^ то при j ^ то, то lim -— = 1 и lim —--= 0, поэтому

j^TO kjT J^TO kjT

kT k, T

_ 1 kT _ 1 J

klim T^E ln |f (1)| ^ lim т"^ ln |f (1)| ^

l=1 j l=1

1 mj 1 m

^ lim — |f (1)| = lim |f (1)|,

J^TO m, m^TO m ''

j l=1 l=1

что и требовалось доказать. Лемма доказана. □

Т е о р е м а 5.3 (см. [4]). Система (1.2) интегрально разделена тогда и только тогда, когда ее полный спектр показателей Ляпунова устойчив и состоит из n различных чисел.

Доказательство. Необходимость. Из леммы 4.1 получаем, что спектр показателей Ляпунова системы (1.2) состоит из n различных чисел Л1 (A) < ... < ЛП(А), и кратность каждого показателя равна 1. Итак, в рассматриваемом случае p = n и n = 1 при всех i £ {1,..., n}. Из следствия 5.3 вытекает существование преобразования Ляпунова (4.3), приводящего систему (1.2) к диагональному виду (4.1) с интегрально разделенной диагональю c1(-),... ,cn(-). Полагая D,(m) = c,(m) £ R1x1, получим, что свойство 1 теоремы 2.1 выполнено.

Далее, в силу замечания 6, нормальной фундаментальной системой решений системы (4.1) является Ф(-) = (y1(-),... , yra(-)}, где уг(-) определяются равенствами (4.2). Без ограничения общности можно считать, что ЛДА) = А[уг], i = 1,..., n. Тогда

| m- 1 | m- 1

ЛДА) = lim m-1 ln ||yl(m)|| = lim m-1 ln 1 I I q(z) = lim m-1 > ln |q(z)|.

m^TO m^TO | m^TO ' ^

l=1 l=1

С другой стороны,

кТ

) = 11ш 11ш — П Д (1)

1 ^ Т^те т^те шТ^ 11

1

к=1 1=(к—1)Т+1 т кТ

11Ш 11Ш —— > 1п II с, (/)

Т^те т^те шТ ' А А ^

к=1 1=(к—1)Т+1

1

11Ш 11Ш - > 1п |с,

Т т шТ

1=1

тТ

Е 1п I

1

11ш 1п |с, (1)|,

п.—\CTCi т —*

т^те ш

1=1

последнее равенство здесь вытекает из леммы 5.1. Следовательно, П(Д,) каждом у € {1,..., п}. Аналогично,

Л, (А) при

кТ

ВД-) = Т11ш 11ш 1п ( П Д(1))

Т^те т^те шТ ^—' '

1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

11ш 11ш ——

Т^те т^те шТ

к=1 1=(к-1)Т +1

т кТ

11ш 11ш — У]1п П с,(1)

Т^те т^те шТ ^—' А А

к=1 1=(к-1)Т +1

тТ

1

п|

1

1=1

С, (1 )| = 1 1ш —

т^те ш

11ш 1п |с, (1)| =Л, (А).

га—5-оо т ^—'

1=1

Таким образом, свойство 2 теоремы 2.1 также выполнено.

Наконец, в силу интегральной разделенности функций с1 (•),..., сга(^) при некоторых а > 1, 7 > 0 и всех натуральных ш > 5, у ^ п — 1 выполнены неравенства

т— 1

Пд+1(г))

1

т—1

П |с,+1(1)1

7а"

т—1

П!<

т— 1

7а"

П д (1)

Это означает, что и свойство 3 теоремы 2.1 выполнено. Следовательно, полный спектр показателей Ляпунова системы (1.2) устойчив.

Достаточность. Пусть полный спектр показателей Ляпунова системы (1.2) состоит из п различных чисел и устойчив. Тогда р = п, и из свойства 1 теоремы 2.1 получаем, что система (1.2) некоторым преобразованием Ляпунова (4.3) приводима к блочно-диагональному виду (2.5), где

Д(ш) = diag(Д1(ш),..., Дга(ш)) = diag(с1 (ш),..., сга(ш))

с одномерными блоками Д, (•) = с,(•), то есть система (1.2) приводима к диагональному виду (4.1). Из свойства 3 теоремы 2.1 следует, что при некоторых а > 1, 7 > 0 и всех натуральных ш > 5, у ^ п — 1 выполнены неравенства

т— 1

П|с;+1(01 = 1(П ¿^(О) —1

1

т— 1

^ 7ат

П д (1)

7а

П |с,(1)|.

Это означает, что диагональ системы (4.1) интегрально разделена. Таким образом, преобразование (4.3) приводит систему (1.2) к диагональной системе с интегрально разделенной диагональю. Из следствия 5.3 получаем, что система (1.2) интегрально разделена. Теорема доказана. □

ГЛАВА II. Достаточные условия пропорциональной локальной управляемости показателей Ляпунова

В этой главе рассматривается локальная задача о назначении полного спектра показателей Ляпунова для линейных систем с дискретным временем. В § 6 вводятся различные определения управляемости полного спектра показателей Ляпунова, в том числе ключевое определение работы — пропорциональная локальная управляемость полного спектра показателей Ляпунова. Из этого определения вытекает, что если замкнутая система

х(ш + 1) = (А(ш) + В(ш)и(ш))х(ш), ш £ Н, х £ Ега, (11.1)

обладает свойством пропорциональной локальной управляемости спектра, то выбором подходящей матрицы и(•) мы можем установить полный спектр показателей Ляпунова замкнутой системы (11.1) в произвольную позицию в некоторой окрестности спектра Ляпунова свободной системы

х(ш + 1) = А(ш)х(ш), ш £ Н, х £ Ега, (11.2)

при этом норма матрицы и(•) ограничена сверху расстоянием между этими двумя спектрами с некоторым постоянным множителем, не зависящим от выбора целевой позиции спектра.

В последующих параграфах главы получены достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра. Одним из этих условий является равномерная полная управляемость системы

х(ш + 1) = А(ш)х(ш) + В(ш)и(ш), ш £ Н, х £ Ега, и £ . (11.3)

Это свойство исследуется в § 7.

В § 8 введено понятие пропорциональной глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова мультипликативно возмущенной системы. Доказано, что в случае устойчивости показателей невозмущенной системы мультипликативно возмущенная система обладает этим свойством. На основе полученных результатов получено описание спектрального множества линейной системы с устойчивыми показателями.

В последнем параграфе второй главы на основе результатов предыдущих двух параграфов получены достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (11.1) — равномерная полная управляемость системы (11.3) и устойчивость полного спектра показателей Ляпунова системы (11.2) (теорема 9.2). В заключение параграфа построен пример 9.1, показывающий, что найденные условия не являются необходимыми.

§ 6. Управляемость показателей Ляпунова

Рассмотрим линейную управляемую систему с дискретным временем

х(ш + 1) = А(ш)х(ш) + В(ш)и(ш), (6.1)

где аргумент ш пробегает множество N натуральных чисел; неизвестная функция х принимает значения в Мга; коэффициент А(ш) при каждом ш принадлежит пространству Мгахга и коэффициент В(ш) при каждом ш принадлежит пространству Мгахк; управление и принимает значения в . Всюду ниже будем предполагать, что функция А(-) вполне ограничена, а матрица В(•) ограничена на Н, при этом

^ ао, ||А-1||те ^ ао, ||В^ ао.

Из (1.3) следует, что а0 ^ 1.

Управление и(-) в системе (6.1) выберем в виде линейной обратной связи и(ш) = = и(ш)х(ш), получим замкнутую систему вида

х(ш + 1) = (А(ш) + В(ш)и(ш))х(ш), ш € Н, х € . (6.2)

Будем называть и(•) матричным управлением для системы (6.2). Поскольку мы будем решать задачу об управлении спектром показателей Ляпунова, то естественным образом приходим к следующему определению.

Определение 6.1 (см. [44]). Матричное управление и: N ^ Екхп называется допустимым для системы (6.2), если матрица А(-) + В(-)и(•) вполне ограничена на N.

Пусть и(•) — допустимое для системы (6.1) матричное управление. Тогда для замкнутой системы (6.2) определен полный спектр показателей Ляпунова А(А + Ви) =

= (А1(А + Ви),..., А„(А + Ви)) € Е™.

О п р е д е л е н и е 6.2 (см. [42, 44]). Полный спектр показателей Ляпунова системы (6.2) называется:

• глобально управляемым, если для любого набора ц € М™ найдется допустимое для системы (6.1) матричное управление и(•), обеспечивающее выполнение равенства

А(А + Ви) = ц; (6.3)

• пропорционально глобально управляемым, если для каждого А > 0 найдется такое I = 1(А) > 0, что для любого набора ц = (ц1;... , цга) € Од(А(А)) существует допустимое для системы (6.1) матричное управление и(•), обеспечивающее выполнение равенства (6.3) и удовлетворяющее оценке

I тах |А,(А) — ц|; (6.4)

,=1,...,га

• локально управляемым, если для каждого е > 0 существует такое 5 > 0, что для любого набора ц € О^ (А(А)) найдется допустимое для системы (6.1) матричное управление и(•), обеспечивающее выполнение равенства (6.3) и удовлетворяющее оценке

||и||те ™ е;

• пропорционально локально управляемым, если найдутся такие 5 > 0 и I > 0, что для каждого набора ц = (ц1;...,цп) € О^(А(А)) существует допустимое для системы (6.1) матричное управление и(•), гарантирующее выполнение равенства (6.3) и удовлетворяющее оценке (6.4).

Очевидно, что из пропорциональной локальной управляемости полного спектра системы (6.2) следует его локальная управляемость; из пропорциональной глобальной управляемости следует глобальная управляемость; наконец, из пропорциональной глобальной управляемости следует пропорциональная локальная управляемость (и локальная управляемость).

Достаточные условия глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова были получены в работе [42]. Заметим, что предложенный в этой работе алгоритм построения матричного управления и(•) не обеспечивает малости нормы этого управления, даже если требуемое смещение спектра показателей Ляпунова относительно спектра свободной системы (1.2) мало. На первом шаге построения управления производится смещение спектра в точку (0,..., 0) € М™ а на втором шаге — в целевую точку ц. Понятно, что

если спектр свободной системы А(А) далек от начала координат, а целевая точка ^ близка к А(А), то матричное управление и(•) не может быть малым по норме. По этой причине возникает вполне естественный вопрос: можно ли обеспечить малость управления и(•), если требуется всего лишь «слегка пошевелить» спектр показателей Ляпунова?

Ответу на этот вопрос посвящена работа. В частности, во второй главе показано, что достаточными условиями пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы (6.2) является равномерная полная управляемость системы (6.1) и устойчивость показателей Ляпунова свободной системы (1.2). В третьей главе решается вопрос о необходимости этих условий.

Докажем здесь одно утверждение о свойстве пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.

Рассмотрим систему (6.2) и подействуем на нее произвольным преобразованием Ляпунова (1.5), в итоге получим систему

у(ш + 1) = Ь(ш + 1)х(ш + 1) = Ь(ш + 1) (А(ш) + В(ш)и (ш)) х(ш) = = Ь(ш + 1)( А(ш) + В(ш)и (ш)) £-1(ш)у(ш) = = (Ь(ш + 1)А(ш)£-1(ш) + Ь(ш + 1)В (ш)и (ш)Ь-1(ш)) у(ш).

Обозначим

С (ш) = Ь(ш + 1)А(ш)£-1 (ш), С(ш) = Ь(ш +1)В(ш), (6.5)

V(ш) = и(ш)Ь-1 (ш), ш £ Н,

тогда получим

у(ш + 1) = (С(ш) + (ш))у(ш), ш £ Н. (6.6)

Лемма 6.1 (см. [7]). Свойство пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова инвариантно относительно преобразований Ляпунова, т. е. системы (6.2) и (6.6) обладают этим свойством одновременно.

Доказательство. Пусть система (6.2) обладает свойством пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова. В соответствии с этим свойством найдем числа 5 > 0 и l > 0, возьмем любой набор чисел ^ £ (A(A)) и построим матричное управление U(■), гарантирующее выполнение равенства (6.3) и удовлетворяющее оценке (6.4). Возьмем произвольную матрицу Ляпунова L(-), и пусть l = = sup ||L-1 (m)||. Положим V(m) = U(m)L-1(m). Так как преобразование Ляпунова сохра-

m€N

няет полный спектр показателей Ляпунова, то A(A) = A(C) и

Кроме того,

A(C + GV) = A(C + GUL-1) = A(A + BU) = ^

||V|U ^ l||U|U ^ ll max |Aj(A) - ^| = ll max |Aj(C) - ^

Это означает, что полный спектр показателей Ляпунова системы (6.6) пропорционально локально управляем. Точно так же доказывается, что наличие этого свойства у системы (6.6) влечет его для системы (6.2). Лемма доказана. □

§7. Равномерная полная управляемость систем с дискретным временем

Основным объектом исследования этого параграфа является линейная управляемая система с дискретным временем (6.1).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

При исследовании управляемости важную роль играет матрица управляемости (матрица Калмана)

т— 1

Ж(шо,ш) = £ Ха(шо,з + 1)В(у)В*(у)ХА(шо,у + 1),

,=то

где ш > ш0 — произвольные натуральные числа.

Определение 7.1 (см. [53]). Система (6.1) называется равномерно вполне управляемой, если найдутся такие К € N и 7 > 0, что

£(шо,шо + К)£ ^ 7||£||2

для каждых ш0 € N и £ € Если К задано, то мы говорим, что система К-равномерно вполне управляема.

Замечание 9. Понятие равномерной полной управляемости линейных систем с непрерывным временем было введено Р. Калманом в [55].

Приведем три утверждения (лемма 7.1, теоремы 7.1 и 7.2) о равномерной полной управляемости, необходимые для дальнейших исследований. Их доказательства практически дословно повторяют доказательства соответствующих утверждений для систем с непрерывным временем. Эти доказательства мы приведем для полноты изложения.

Л е м м а 7.1 (см. [29]). Если система (6.1) К -равномерно вполне управляема, то существует такое положительное число в, что при каждом ш0 € N выполнено неравенство

||Ж—1 (шо,шо + К)|| ™ в.

Доказательство. Возьмем любое ш0 € N. Матрица Ш(ш0,ш0 + К) эрмитова, поэтому все ее собственные значения вещественны [40, с. 53]. Пусть

Àj = Àj (W(mo, mo + K)) G R, j = 1,...

n,

— произвольное собственное значение матрицы W(m0,m0 + K); £ G Rn, ||£|| = 1, — соответствующий собственный вектор. Тогда из определения 7.1 получим неравенство

Àj = Àj£*£ = £*W(mo, mo + K)£ ^ 7,

из которого следует соотношение

n

det W (mo ,mo + K ) = Д Àj (W (mo,mo + K )) ^ 7n > 0,

j=i

означающее, что матрица W(mo,mo + K) обратима. Тогда из (1.1) следует, что для ||W-1(mo,mo + K)|| справедлива требуемая оценка

l|W-'(mo.mo + K)» < + ^ , ffl!-. =;

det W (mo,mo + K) Yn

Лемма доказана. □

Ниже мы будем использовать следующий критерий равномерной полной управляемости системы (6.1). Для систем с непрерывным временем этот критерий был установлен Е.Л. Тонковым [39, с. 37-38].

Т е о р е м а 7.1 (см. [53]). Система (6.1) К-равномерно вполне управляема тогда и только тогда, когда существует такое а > 0, что для произвольных хо € Кга и то € N найдется управление и: [то,то + К — 1] ^ Е* такое, что решение х(-) задачи Коши для системы (6.1) с выбранным и(-) и начальным условием (1.4) удовлетворяет равенству х(то + К) = 0, при этом

||и||[то,то+К—1] ^ а||хо||-

Доказательство. Необходимость. Пусть в > 0 ограничивает сверху величину ||Ж-1(т0,т0 + К)||. Зафиксируем произвольные то € N и хо € Ега и выберем в качестве управления и(-) функцию

и(т) = —В*(т)Х^(то,т + 1)Ж-1(т0, то + К)хо, т € [то,то + К — 1]. Для решения задачи Коши (6.1), (1.4) имеет место формула Коши

т— 1

х(т) = ХА(т,то)хо + ХА(т, з + 1)В(з)и(з), т > т0,

или

/ т—1 \ х(т) = Х^(т,то) ( хо + ^ Х^то, з + 1)В(з)и(3) 1, т > то,

поэтому

/ то+к — 1 Ч

'(то + К)= ХА(то + К,то)( х + £ ХА(то,з + 1)В(^)и(^П =

✓ то+К—1

ХА(то + К,тоМ х — £ ХА(то,з + 1)В(з)В*(з(то,з + 1) х

^ -1—т г\

х Ж 1(то,то + К)хо

= Х^(то + К, то) ^ х — Ж (то, то + К —1(то,то + К =

= ХА(то + К,то)(хо — хо) = 0, то есть условие (1.4) выполнено. Для нормы управления и(-) справедлива оценка

||и|[то,то+К—1] ^ «о ■ ■ в ■ ||хо|| =: а|

Достаточность. Предположим противное, пусть система (6.1) не является К-равномерно вполне управляемой. Тогда для каждого к € N найдутся момент времени т* и вектор е* € Ега, ||£к || = 1, такие, что

е^Ж(т*+ К)е* <1.

Пусть е, ||е|| = 1, — предельная точка последовательности (£к). Без ограничения общности можно считать, что последовательность (£к) имеет предел £. Для квадратичной формы Ж(т, т + К)е справедливы оценки

|£кЖ(т*+ К)е* — Г Ж(т*+ К)£| ^ ^ (т*+ К)(е* — Й| + Ш — Г(т*+ К)£| ^

^ ие^ж (т* ,т* + к ) им е* — еи + ||ж (т* ,т* + к ^ше* — П ^

^ 2||Ж(т*+ К)11е* — С||.

Поскольку матрица Ш(т,т + К) ограничена, отсюда следует, что для каждого е > 0 найдется номер к£, начиная с которого будет выполнено неравенство

0 ^ ГШ(т^тк + К)£ ^

^ & Шт тк + К)& + (т*, тк + К)& - Г Ш(т*, т*. + К)£| < е.

При каждом к € N на [то, то + К — 1] определено управление ик(■), удовлетворяющее оценке ||ик|| ^ а||£|| = а и такое, что решение я(-) задачи Коши для системы (6.1) с управлением и = ик(■) и начальным условием х(тк) = £ удовлетворяет равенству

х(тк + К) = 0.

Тогда

тк +К-1

£ Х^то,? + 1)В (? )и(? ) = —£

.=тк

поэтому

тк +К-1 тк +К-1

1 = = Г Е Хл(то,^' + 1)В(?)и(?)| ^ £ |£*ХА(то,^- + 1)В(?)|||К(?)|| ^

.=тк .=тк

тк+К-1 , тк+К-1 ^ 1/2

тк +к -1 , тк+л-1 ч

^ а Е ^(то? + 1)В(?)|| ^ а(К £ ||№(то,? + 1)В(?)||2]

, тк +К-1 ч 1/2 _

= а(К ^ ||£*Ш(то,тй + К)||2) < аv/K£.

^=тк

При е ^ а;1^ получаем противоречие. Теорема доказана. □

Применяя к системе (6.1) преобразование Ляпунова (1.5) и используя обозначения (6.5), получим соотношения

у(т + 1) = Ь(т + 1)х(т + 1) = Ь(т + 1) (А(т)х(т) + В(т)и(т)) = = Ь(т + 1) (А(т)Ь-1(т)у(т) + В(т)и(т)) = = Ь(т + 1)А(т)Ь-1(т)у(т) + Ь(т + 1)В(т)и(т) = = С (т)у(т) + С(т)и(т).

Таким образом, преобразование (1.5) переводит систему (6.1) в систему

у(т + 1) = С (т)у(т) + С(т)и(т), (7.1)

где С(■) и С(-) определены равенствами (6.5).

Теорема 7.2 (см. [34]). Ляпуновское преобразование сохраняет свойство К -равномерной полной управляемости системы, т.е. если система (6.1) К -равномерно вполне управляема, (1.5) — преобразование Ляпунова, то преобразованная система (7.1) К -равномерно вполне управляема.

Доказательство. Построим матрицу Калмана системы (7.1). Пусть Хс (т, в) — матрица Коши однородной системы (1.6). Заметим, что при всех т, в € N имеют место равенства

т- 1 т- 1

1

Хс (т, в) = П С (?) = П Д? + 1)А(? )Ь-1(?)

(L(m)A(m - 1)L-1(m - 1)) ■ (L(m - 1)A(m - 2)L-1(m - 2)) x

m— 1

x (L(s + 1)A(s)L-1(s)) = = L(m) Ц A(j)L-1(s) = L(m)XA(m,s)L-1(s),

поэтому для матрицы Калмана системы (7.1) имеем представление

WL(mo,mo + K) =

m0+K-1

= £ Xc (mo,j + 1)G(j )G*(j )XC (mo,j + 1) =

j=mo m0+K-1

= £ L(mo)XA(mo,j + 1)L-1(j + 1)L(j + 1)B(j) x

j=mo

x B*(j)L*(j + 1)L-*(j + 1)XA(mo, j + 1)L*(mo) = = L(mo)W (mo,mo + K )L*(mo),

где W(mo, mo + K) — матрица Калмана системы (6.1). Из свойства K-равномерной полной управляемости этой системы следует, что существует не зависящее от mo положительное число 0, для которого

. £*W(mo,mo + K)£ ^ min -- ^ 0.

ll?ll=o ll£ll2

Для произвольного ненулевого вектора £ £ имеем оценку

e*WL(mo,mo + K )£ = £ * L(mo)W (mo,mo + K )L*(mo)£ = ll£ll2 ll£ll2

= £*L(mo)W (momo + 2K )L*(mo)£ . »£f ^ 0 . min J^M = 0lL-1(mo)l-2.

llL*(mo)£l2 ll£ll2 llnll=o llnl2 " V o;"

Так как L(-) — матрица Ляпунова, при некотором а > 0 справедливы неравенства

llL-1(m)ll ^ а, 0HL-1(mo)H-2 ^ 0а-2 =: 01,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и положительная величина 01 не зависит от mo. Следовательно, при всех mo £ N выполняется оценка

. £*WL(mo,mo + K)£ ^ min -[77772- ^ 01,

n?n=o ll£ll2

то есть преобразованная система (7.1) K-равномерно вполне управляема. □

Докажем еще некоторые результаты, касающиеся равномерной полной управляемости. Аналогичные результаты для систем с непрерывным временем были доказаны в статье [28] (см. также [29, лемма 12.1, теорема 12.1]).

Лемма 7.2 (см. [44]). Система (6.1) K-равномерно вполне управляема в том и только том случае, когда существует такое положительное p, что для произвольных mo £ N и H £ Rnxn найдется матричная функция V: [mo, mo + K - 1] П N ^ Rfcxn такая, что

|[mo,mo+K-1] ^ PllH - Е ^

разрешающая матричную задачу управления

Z (m + 1) = Z (m) + XA(mo,m + 1)B(m)V (m), (7.2)

Z(mo) = E, Z(mo + K) = H. (7.3)

Доказательство. Необходимость. Пусть система (6.1) К -равномерно вполне управляема. Возьмем любые то € N и Н € Мгахга. В силу критерия равномерной полной управляемости Е. Л. Тонкова (теорема 7.1) для каждого из векторов

гг = (Н — Е К I = 1,...,п,

существует управление иг (т), т = то, то + 1,...,ко + К — 1, удовлетворяющее оценке

||и1 |[т0,т0+К-1] ^ Ро^г

такое, что решение задачи Коши для системы (6.1) с этим управлением и с начальным условием х(то) = гг попадет в начало координат в момент времени то + К, т. е.

х(то + К) = 0.

Поскольку решение этой задачи Коши записывается в виде

т- 1

(т,то)г/ + У^ Хд(т,

х(т) = ХА(т,то)гг + ^ Х^(т,? + 1)В(?)иг(?)

. =т0 т- 1

= ха (т, то и ^ + ^ Х^(то, ? + 1)В(?)иг(?)

. =т0

то

т0+К-1 . =т0

откуда получаем равенство

У то+К-1 ч

"(то + К) = ха (то + К, то и + ^ Х^то,? + 1)В(?)иг(?П = 0,

то+К-1

(Е — Н)ег + ^ ХА(то,? + 1)В(?)иг(?) = 0.

. =т0

Пусть V(т) = [и1(т),..., ип(т)]. Тогда

то+К-1

(Е — Н)ег + ]>] ХА(то,? + 1)В(? )У (?> = 0, / = 1,...,п,

. =т0

поэтому

т0+К-1

(Е — Н)+ £ Ха (то, ? + 1)В (? )У (? ) = 0

. =т0

и

т0+К-1

Н = Е + ^ ХА(то,? + 1)В (?)У (?).

. =т0

С другой стороны, решение системы (7.2) с начальным условием Z(то) = Е имеет вид

т- 1

Z(т) = Е + £ ХА(то,? + 1)В(?)У(?), (7.4)

следовательно, при выбранном управлении V(•) выполнено равенство Z(т0 + К) = Н.

п

Кроме того, для всех т € {т0,..., т0 + К — 1} и х = ^ х^-е^- € Еп имеют место соотношения

||V (m)x|| =

j=i

V (m)ej = £ u(m)

j=i

^ £ |xj|||uj(m)| ^ ||x| £ ||uj(m)| ^

j=i j=i

n

^ ||zj|| ^ p0n||x||||H - E||.

j=i

Возьмем p = p0n, тогда

||V (m)x|| ..

[mo,mo+K-1] = SUp -—- ^ p||H - E||.

x=0 ||x|

Достаточность. Пусть для любых m0 G N и H G Rnxn существует матричная функция V(m), m = m0,m0 + 1,..., m0 + K — 1, V G Rkxn, разрешающая задачу управления (7.2), (7.3) и такая, что выполнена оценка || V||[mo,mo+K-1] ^ p||H — E||. Возьмем любые x0 G Rn и m0 G N. Рассматривая систему (7.2) от m = m0 до m = m0 + K — 1, мы получим

mo+K-1

£ XA(m0 + 1)B(j)V (j ) = H — E.

j=mo

Пусть H = E + [—x0, 0,..., 0]. Выберем u(m) = V(m)e1. Решение задачи Коши для системы (6.1) с управлением u = «(•) и начальным условием x(m0) = x0 записывается в виде

/ m— 1

x(m) = X(m,m0)i X + £ XA(m0,j + 1)B(j)V(j)e1

^ j=mo

поэтому

✓ mo+K—1 ч

x(m0 + K) = X(m0 + K,m0)( X + £ XA(m0,j + 1)B(j)V(j)eH =

^ j=mo '

, mo+K — 1 ч

= XA(m0 + K,m0M — H + E + ^ XA(m0,j + 1)B(j)V(j)J e1 = 0.

^ j=mo

Для ||u|[mo,mo+K—1] имеем оценку

||u||[mo,mo+K-1] ^ ||VH[mo,mo+K—1] ^ P||H — E! = P||(H — E= Р|Ы|.

Следовательно, система (6.1) является K-равномерно вполне управляемой. □

Т е о р е м а 7.3 (см. [44]). Если система (6.1) K-равномерно вполне управляема, то найдутся такие а > 0 и r > 0, что для любого m0 G N и любой матрицы H G Rnxn, ||H — E|| < r, существует управление U(m), m = m0, m0 + 1,..., m0 + K — 1, U(m) G Rkxn, удовлетворяющее оценкам

||U(m)|| ^ a||H — E||,

(А(т) + В (т)и (т))

1

< Эй2 , т €{то,то + 1,...,то + К — 1},

и обеспечивающее для матрицы Коши ХА+ви(т, в) системы (6.2) с и = и(■) выполнение равенства

ХА+ви (то + К, то) = Х^(то + К, то)Н.

Доказательство. Возьмем любые Н € Егахга и то € N. Пользуясь леммой 7.2, найдем V(т), т = то,...,то + К — 1, удовлетворяющее оценке ¡V||[т0,т0+к-1] ^ ^ р||Н — Е|| и разрешающее задачу управления (7.2),(7.3). Из (7.4) следует, что при всех т = то + 1,..., то + К имеют место неравенства

т1

(т) — Е || =

^Ха (то,? + 1)В (? )V (?)

. =т0

т1

£ ||ХА(то,? + 1)||||В(?)|||^(?)|

. =т0

т1

. -т0 +1

о ^

Определим

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ р||Н — Е|| £ ||Ха(то,? + 1)|| ||В(?)|| ^ р||Н — Е|| £ а

. =т0 . =т0

т0+К-1 К а (ак - 1) ^ р||Н — Е|| ^ «¿-т0+1 = р||Н — Е||£ао = р||Н — Е||

— —7 ао — 1

ао — 1

. =т0

г=1

2ао(аК — 1)р

и предположим, что ||Н — Е|| < г, тогда ||Z(т) — Е|| < 1/2. Последнее неравенство означает [40, с. 301], что Z(т) обратима и

Z (т)|| = 11-1(т) — Е + Е|| ^ |^-1(т) — Е|| + 1

= 11(т)(Е — Z(т))|| + 1 ^ ||Z-1 (т)||||Е — Z(т)|| + 1 < и поэтому -1(т)|| < 2. Положим

Z -1(т)

+ 1

Тогда

и

Обозначим Получаем

^(т) = V (т^ (т), т = то,то + 1,...,то + К — 1.

||И(т)|| ^ 2р||Н — Е||

Z(т + 1) = [в + ХА(то, т + 1)В(т)^(т)^ Z(т), Z(то) = Е, Z(то + К) = Н.

У(т) = ХА(т,то^(т), и(т) = У1(т)ХА(то,т).

У (т + 1) = Ха (т + 1,то^ (т + 1) = = А(т)ХА(т, то) ( Е + ХА(то, т + 1)В(т)И(т) ) Z(т) =

= А(т)ХА (т, m0)Z (т) + А(т)А 1(т)В(т) V1(m)Z (т) = = А(т)У (т) + В (т) У1(т)ХА(то, т)ХА(т, то^ (т) = А(т)У (т) + В (т)и (т)У (т) = (А(т) + В(т)и (т))У (т).

2

Это означает, что У (т), т = т0,..., т0 + К — 1, — решение матричного уравнения

У (т + 1) = (А(т) + В(т)и (т))У (т) (7.5)

с определенным выше управлением и(т). Кроме того,

У (т0) = Е.

Следовательно,

У (т) = Х^+ви (т,т0), т = т0,...,т0 + К,

Х^+ви (т0 + К, т0) = У (т0 + к) = = Х^(т0 + К, т0)^ (т0 + К) = Х^(т0 + К, т0)Н.

Заметим, что

||и(т)|| ^ ||У1(т)|| |Х^(т0,т)|| ^ 2раК ||Н — Е||

и, определив а = 2ра0, мы получим оценку ||и(т)|| < а||Н — Е||. Наконец, из уравнения (7.5) мы получим обратимость матрицы А(т) + В(т)и(т) и оценку

(А(т) + В(т)и (т))

1

^ ||У(т)||||У-1(т + 1)|| ^

^ ||ХА(т,т0)||^ (т) || -1(т + 1)||||Хл(т0 ,т + 1)|| < < 2а0К||£(т)|| ^ 2а2К(||£(т) — Е|| + 1) < 2а0к3/2 = .

Теорема доказана. □

Наряду с системой (1.2) вновь рассмотрим мультипликативно возмущенную систему (2.4). Пусть ХАд(т, в) — матрица Коши этой системы.

Л е м м а 7.3 (см. [44]). Для любого натурального т > в справедливо равенство

т— 1

ХАв(т, в) = Хд(т, в) + £ ХА(т,?) (Я?) — Е)ХАД(?, в).

Доказательство. Определим матрицу ф(-) равенством (2.2). Тогда А(т)+ф(т) = = А(т)Я(т), следовательно, система (2.4) совпадает с аддитивно возмущенной системой (2.1), поэтому матрицы Коши этих систем совпадают:

Хлв(т, в) = Х^+д(т, в), т > в.

Зафиксируем т € N. Рассмотрим матрицу ХА+^(т, з) = [г1(т),..., £п(т)] для т ^ в. Поскольку ХА+д(з, в) = Е, то ^(з) = ег, I = 1,..., п. Для каждого I € {1,..., п} и для любого натурального т > з справедлива формула Коши

ХА+д(т, в)ег = ^(т) = ХА(т, в)ег + £ ХА(т, ? + )гг(7)

т-1

= ХА(т, в)ег + £ ХА(т,? + ШС?)ХА+д(?»ег =

т-1

= ХА(т,5)ег + £ ХА(т, ? + ШС?)ХА+д(^', в)ег,

и

следовательно,

т-1

ХА+3(т, в) = ХА(т в) + ^ ХА(m, ? + 1)^(?)ХА+^(?\ в)

и

Хля(т, в) = ХА+д(т, в) = Хд(т, в) + ^ Ха(т,? + 1)^(?)ХА+д(?', в)

т-1

= Ха(т, в) + £ Ха(т,? + 1)А(?) (Я(?) — Е)Хая(?, в) =

т1

ХА(т, в) + ^ ХА(т,?КД(?) — е)хая(?, в).

(т, в) + ХА(т,

Лемма доказана. □

Теорема 7.4 (см. [44]). £сли система (6.1) равномерно вполне управляема, то существуют 5 > 0 и I > 0 такие, что для любой Я(-) € ^ найдется допустимое для системы (6.2) матричное управление и(■) такое, что

■ ^ /||Я — Е||те,

и система (2.4) асимптотически эквивалентна системе (6.2).

Доказательство. Пусть К € N таково, что система (6.1) К -равномерно вполне управляема. Согласно теореме 7.3, найдутся а, г > 0 такие, что для любого т € N и для любой фиксированной Нг € Мгахга, ||Нг — Е|| < г, найдется матричное управление

иг: [(/ — 1)К + 1, /К] П N ^ Екхга такое, что

||иг(т)|| ^ а|Нг — Е||, (А(т) + В(т)иг(т)) 1

< Эаок

и

ХА+виг (/К + 1, (/ — 1) К + 1) = ха (/К + 1, (/ — 1) К + 1) Нг. (7.6)

Пусть 5 > 0 настолько мало, что выполнено неравенство

£Ка2К (£ + 1)к < г.

Возьмем любую матрицу Я(-) € Заметим, что

||я|и ^ ||я — Е||те + 1 <5 +1.

Из леммы 7.3 получаем

хАЯ (/К + 1, (/ — 1)К + 1) = хА(/к + 1, (/ — 1)К + 1) +

1К

+ хА(/к + 1,?)(Я(?) — е)хАЯ(?, (/ — 1)К + 1) = Х^/К + 1, (/ — 1)К + 1)Нг,

.=(г-1)К+1

где

1К

Нг = Е + £ хА((/ — 1)К + 1,? (Я(?) — е)хАД(?', (/ — 1)К + 1).

.=(г-1)К+1

Кроме того,

IK

|H - EII ^ ||R - EIU £ ||xa((z - 1)K + 1,j ||||xAR j, (l - 1)K + 1) II £

j=(l-1)K+1

^ ||R - E||теКаК(ac||R|U) < IIR - EIUKajf (5 + 1)K < 5Ka0K (5 + 1)K < r. Последнее неравенство вместе с (7.6) означает, что существует матричное управление U(■),

U(m) = Ui(m), I G N, m G {(l - 1)K + 1,..., IK},

такое, что

XA+BU(/K + 1, (l - 1)K + 1) = XA+BU;(/K + 1, (l - 1)K + 1) = = Xa(/K + 1, (l - 1)K + 1)Hi = XAR(/K + 1, (l - 1)K + 1).

Заметим, что

IIUIL = sup( max ||Ui(m)||) ^ ZgN уm=(l-1)K+1,...,lK /

^ a sup ||H - EII ^ aKa0K(5 + 1)K||R - E|U = /||R - E||те.

leN

Для построенного матричного управления U(■) справедлива оценка

||U|U ^/||Я - E|U < 55

поэтому

IIA + BU|U ^ ||A|U + ||B|U|UIU < ao(1 + /?). Кроме того, матрица A(m) + B(m)U(m) обратима для любого m G N и

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1

(A + BU)

< 3a0K.

По теореме 1.1 мы получаем, что системы (6.2) и (2.4) асимптотически эквивалентны. Теорема доказана. □

§ 8. Спектральное множество системы с устойчивыми показателями

Введем понятие пропорциональной глобальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова мультипликативно возмущенной системы.

Определение 8.1 (см. [44]). Полный спектр показателей Ляпунова системы (2.4) называется пропорционально глобально управляемым, если для каждого А > 0 существует I = 5(А) > 0 такое, что для любого набора

^ = (^1,... ) G 0д(A (A))

найдется матрица R(-) G R, удовлетворяющая оценке

||R - E^ 5 max |Aj(A) - ^| (8.1)

и гарантирующая выполнение равенства

A(AR) = (8.2)

oo

Наша цель — доказать это свойство в случае, когда показатели Ляпунова невозмущенной системы (1.2) устойчивы. Для этого рассмотрим сначала скалярное линейное неоднородное уравнение

<(т + 1) = а(т)<(т) + д(т), т € N < € К, (8-3)

т—1

где функция а: N ^ К вполне ограничена. Положим Л,(т) = Д а(/) при т ^ 2 и Л,(1) = 1.

1=1

Непосредственно из формулы (1.8) вытекает, что для каждого решения <(•) уравнения (8.3) имеет место равенство

т— 1

<(т) = й(т)(<(1) + £ 1(в + 1)д(в)) , т> 1. (8.4)

8=1

Рассмотрим теперь линейную однородную систему с дискретным временем

у(т + 1) = Е (т)у(т), т € Н, у € , (8.5)

с вполне ограниченной на N нижней треугольной матрицей

Е (т) = /(т)}?^.=1.

т— 1

Положим Л.г(т) = Д /¿г(1) при т > 1 и Л.г(1) = 1. 1=1

Системе (8.5) поставим в соответствие систему

<(т +1) = Р(т)<(т), т € Н, < € , (8.6)

матрица Е(-) которой имеет вид

-Р(т) =

/Ч/п(т)| 0 ... 0 ^

1 |/22(т)| ... 0

\ 1 1 ... ^(т)| /

Рассмотрим также мультипликативно возмущенную по отношению к (8.5) систему

г(т +1) = Е(т)^(е^1,..., е^)г(т), т € Н, г € . (8.7)

Л е м м а 8.1 (см. [2]). Пусть ] € {1,..., к} фиксировано,

<0 = ш1(<1(0,... О)

— решение системы (8.6) с начальным условием <(1) = е^. Тогда для произвольного набора чисел ^ ... ^ координаты решения

г(-) = со1(... (•))

системы (8.7) с начальным условием г(1) = е^- удовлетворяют оценкам

|гг(т)| ^ аг—■7е^'(т—1)<г(т), г €{1,...,к}, т € Н, (8.8)

где а = вир{1, /(т)|: г, = 1,..., к, т € Н}.

Доказательство. Зафиксируем ] € {1,...,к}. Найдем координаты <г(-) решения <(•) системы (8.6), удовлетворяющего начальному условию <(1) = е3-.

При всех г € {1,...,] — 1}: <г(т) = 0. Координата <(•) является решением задачи Коши < (т + 1) = / (т)|< (т), < (1) = 1, поэтому < (т) = (т)|, т € Н. А при г > ] координата удовлетворяет линейному неоднородному уравнению

г—1

<г(т + 1) = |/гг(т)|<г(т) + £ <г(т) и начальному условию <г(1) = 0, поэтому, в силу (8.4), справедливо равенство

т—1 г—1

<г(т) = |^(т)| ^>г—1(в + 1)|£ т> 1.

8=1 1=3

Теперь будем доказывать оценки (8.8).

1) При г € {1,... — 1}: |гг(т)| = <г(т) = 0, и (8.8) выполнено.

2) Функция г(•) является решением задачи Коши

г-(т +1) = Лз(т) е г-(т), г-(1) =1,

поэтому

т— 1

Ъ(т) = П = ^(т)е^'(т—1), т > 1,

1=1

(т)| = (т)|е^(т—1) = < (т)е^(т—1),

и оценка (8.8) при г = обращается в точное равенство.

3) Пусть неравенство (8.8) доказано при всех г € ... ,р — 1}, где р € + 1,..., к}. Докажем его для г = р. Функция гр(-) является решением задачи Коши

р—1

гр(т + 1) = /р(т)е^гр(т) + £ /рг(т)е^г(т), гр(1) = 0, поэтому, в силу (8.4),

т\

=3

т—1 р— 1

1

гр(т) = ^Р(т)е^р(т—(в + 1)е—1^ £ /^К1г(в),

«=1 1=

откуда

т— 1 р— 1

|гр(т)| £ |Лр(т)|е""(т—^ |^—1 (в + 1)|е—|/рг(в)|е"»|гг(в)| £

8=1 1 = т— 1 р— 1

£ |йр(т)|е^(т—^ £ |й—1(5 + 1)|е—^а^е"1а1—3(8—^(в) £ 8=1 1 = т— 1 р— 1

£ |йр(т)|е^(т—|й—1(5 + 1)|е—^а • ар—1—3е^'е^'(8—<1(в) ^ 8=1 1 = т— 1 р— 1

= ар—3|Ьр(т)|е"р(т—^ £ |^—1(5 + 1)|е(^'—^ £ ^(в) £

8=1 1=3

т— 1 р— 1

£ ар—3 |йр(т)|е^р(т—1)е(^^—-р)(т—|й—1(5 + 1)| <1 (в)

8=1

m— 1 p— 1

= ap—j|hp(m)|evj(m—Ih--1(s + 1)| J] <(s) = ap—jevj(m—1)^p(m), m > 1.

s=1 l=j

Лемма доказана. □

Пусть Fo(-) = diag(/и(-),..., /kk(•)) — матрица диагонального приближения для матрицы F(■) системы (8.5). Заметим, что

1 m jT

ВД) = lim Em Ц JJ Fo(1)y =

T—re m—re mi z—' -LJ-

j=1 l=(j— 1)T+1

1 m jT

=firem—теmT^лахД ln|fii(1)|,

j=1 l=(j—1)T+1

1 m jT _1

w(Fo)= lim Em -—£]n ( Д Fo(/))— 1 " = T —>-<re m—re mi z—' A A

j=1 l=(j—1)T+1

1 m jT

= lim lim —— > min > ln I /»» (/) I. T—re m—re mT ^ t=1>...,fc ^ U»»WI

j=1 l=(j—1)T+1

Аналогично случаю систем с непрерывным временем [10, с. 120-121], можно доказать, что центральные показатели треугольных систем и систем их диагонального приближения совпадают, поэтому в нашем случае Q(F) = H(F) = Q(Fo), w(F) = w(F) = w(Fo).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Теорема 8.1 (см. [2]). Пусть матрица F (■) системы (8.5) такова, что

ВД) = ЭД) = А.

Тогда для любого набора чисел v1 ^ ... ^ полный спектр показателей Ляпунова возмущенной системы (8.7) состоит из чисел А + ^ ... ^ А + v1.

Доказательство. Из условий теоремы следует, что показатели Ляпунова системы (8.5) устойчивы, а ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из k чисел А. Такими же свойствами обладает и система (8.6). Отсюда вытекает, что показатель Ляпунова всякого нетривиального решения системы (8.6) равен числу А. Кроме того, для всех i G {1,..., k}

m— 1

-1

/»» = lim m 1 У^ ln | /»»(l) | = А.

m.—vre ' ^

1=1

Зафиксируем произвольное j G {1,..., k} и рассмотрим решения z(-) = col(z1(-),..., (■)) и <(■) = col(^1(-),..., (■)) систем (8.7) и (8.6) соответственно, удовлетворяющие начальным условиям z(1) = <(1) = ej. Тогда при всех i G {1,..., k} справедливы неравенства А[<»] ^ А[<] = А. Найдем показатель Ляпунова функции z(-). Из леммы 8.1 получаем, что при всех i G {1,..., k} имеют место оценки (8.8), поэтому

А[г»] = А[|г»|] = А[е^'(m—1)] + А[<»] ^ Vj + А,

при этом

А[^ ] = А[е"'(m—1)] + А[< ] = Vj + А [ | h j (m)|] =

m-1

= Vj + lim m—1 ln |hj(m)| = Vj + lim m—1 ln I I |/jj(/)| = Vj + /jj = Vj + А.

mm

i=1

Следовательно,

A[z] = max A[zj] = A + Vj. i=1,...,k

Построим фундаментальную систему решений Z(•) = {г1^),..., гк(•)} системы (8.7) такую, что г3(1) = , ] = 1,..., к. Тогда А[г3] = А + V, причем этот показатель реализуется ^'-й координатой решения г3(•). Докажем, что Z(•) несжимаема (определение 1.6), то есть для любой нетривиальной линейной комбинации 7?г3(•) входящих в Z(•) решений

имеет место равенство

k

a[£yzj = max{A[zj]: 7 = 0}.

3=1

Пусть 7 = со1(71,..., 7к) € Кк — произвольный ненулевой вектор, и I € {1,..., к} — наименьший индекс, для которого 7^ = 0. Рассмотрим

к к г(т) = Z (ш)7 = £ 73 г3 (т) = £ 73 г3 (т).

3=1 3=г

Тогда

A[z] ^ max A[zj] = A + v. j=1.....k

С другой стороны, фундаментальная матрица Z(■) нижняя треугольная (см. доказательство леммы 8.1), поэтому /-я координата zj (■) решения zj(■) равна тождественно нулю при всех j > /, и для /-й координаты функции z(■) справедливо равенство

k

zj(m) = Yj zj (m) = 7^ zl (m), m G N. j=i

Тогда A[z] ^ A[zj] = A[z^] = A + v. Следовательно,

A[z] = A + v = max A[zj].

j: Yj =0

Итак, фундаментальная система решений Z(■) несжимаема. Но тогда фундаментальная система Z(■) нормальна, а потому реализует полный спектр показателей Ляпунова системы (8.7). Следовательно, полный спектр этой системы состоит из чисел A + vk,..., A + v1. Теорема доказана. □

Сейчас мы получим достаточное условие пропорциональной глобальной управляемости полного спектра показателей системы (2.4). Для этого нам понадобится одно простое утверждение.

Утверждение 8.1 (см. [6]). Пусть А > 0 — фиксировано. Тогда для каждого значения t G [—А, А] выполнено неравенство

ед - 1

|e* - 1| |t|. (8.9)

Доказательство. Очевидно, что |e* — 1| ^ в1*1 — 1. Далее, функция f (t) = (в* — 1)/t строго возрастает при t > 0, поэтому при 0 < |t| ^ А выполнено неравенство

(в1*1 — 1)/|t| ^ (вд — 1)/А,

которое влечет (8.9). При t = 0 неравенство (8.9) тоже выполнено. □

Теорема 8.2 (см. [2]). Пусть показатели Ляпунова системы (1.2) устойчивы. Тогда полный спектр показателей Ляпунова мультипликативно возмущенной системы (2.4) пропорционально глобально управляем.

Доказательство.В соответствии с теоремой 2.1 построим преобразование Ляпунова (1.5), приводящее систему (1.2) к виду (2.5). Из (1.7) и (2.5) следует, что

D(m) = L(m + 1)A(m)L-1(m). (8.10)

Пусть Д > 0 фиксировано. Возьмем произвольный набор чисел ß = (ß1;...,ßn) G G Од (A (A)) и обозначим v? = ß? — А? (A), j G {1,..., n}. Тогда |v? | < Д при всех j. Зафиксируем i G {1,... ,p}. Для каждого i G n? имеет место равенство v? = ß? — Aj(A), поэтому числа Vj, j G n¿, упорядочены по возрастанию. Упорядочим их по убыванию и полученный набор чисел обозначим n?, j G n¿. Пусть H¿ — диагональная n х n матрица, диагональные элементы которой совпадают с enj, j G n¿. Тогда матрица H = diag (eni,..., e4n) совпадает с блочно-диагональной матрицей diag(H1;..., Hp). Рассмотрим мультипликативно возмущенную по отношению к (2.5) систему

ф(т +1) = D(m)H^(m), m G N, ф G Rn. (8.11)

Это система с блочно-диагональной матрицей, диагональные блоки которой — нижние треугольные матрицы Dj(m)Hj, i = 1,... Рассмотрим фундаментальную матрицу Ф(-) = = [ф1^),... , фп(0] системы (8.11), такую, что Ф(1) = E. Так как матрица системы (8.11) блочно-нижнетреугольная, то такую же структуру имеет и Ф(-). Из доказательства теоремы 8.1 следует, что А[ф?] = n? + ЛДА) = в?, j G n¿, i G {1,... ,p}. Заметим, что набор чисел {въ ..., вп} совпадает с набором {ßb ..., ßn}, но второй набор упорядочен по возрастанию. Кроме того, для каждого i G {1,...,p} набор {ej}jeni совпадает с набором {ßj }jeni, но первый упорядочен по убыванию, а второй по возрастанию. Отсюда следует,

что max в? ^ min в.? при всех i G {2,... ,p}.

jera¿-l jen

Докажем несжимаемость Ф(^). Из нее будет следовать нормальность Ф(-) и то, что полный спектр показателей Ляпунова возмущенной системы (8.11) состоит из чисел

ß1 ^ ... ^ ßn

Действительно, рассмотрим произвольную нетривиальную линейную комбинацию вхо-

п

дящих в Ф(^) решений: ф(^) = ^^Yjф?(•). Пусть k G n — произвольно. Обозначим

j=1

= {j G n: j ^ k}. Так как Ф(^) блочно-нижнетреугольная, то для k-й координаты

решения ф(-) имеем равенство фк(•) = > Yjф?(•), откуда А[фк] ^ max А[ф?] ^ max А[ф?].

■i' jelfe jelfe

je/fc

Рассмотрим s G {1,..., n} — наибольший индекс, для которого Ys = 0, и пусть s G ni0. Найдем наименьший индекс l G ni0, для которого yZ = 0. Тогда max А[ф?] = вь

j: Yj =0

Для доказательства несжимаемости Ф(-) надо установить, что А[ф] = вг. В самом деле, А[ф?] ^ max в? ^ вг при всех k G {1,... ,l — 1}. Для координаты фг(•) справедливы ра-

jen¿0_i

венства фг(•) = ^ YjФ?(•) = Y^z(•), поэтому А[фг] = А^гфгг] = А[фгг] = вг. Наконец, при je/

k G {l + 1,..., s}: А[ф?] ^ max А[ф?] = вг. Следовательно, А[ф] = max А[ф?] = вг.

je/fc: Yj=0 fc=1,...,n

Таким образом, фундаментальная система решений Ф(-) несжимаема, и полный спектр системы (8.11) состоит из чисел ß1 ^ ... ^ ßn.

К системе (8.11) применим обратное преобразование Ляпунова ф = L(m)y. Тогда, с учетом равенства (8.10),

y(m + 1) = L-1(m + 1)ф(т + 1) = L-1(m + 1)Д(ш)Яф(ш) =

= L-1(m + 1)L(m + 1)A(m)L-1(m)^(m) = = А(т)Ь-1(т)Нф(т) = A(m)L-1(m)HL(m)y(m), m G N.

Положим

R(m) = L-1(m)HL(m), m G N. (8.12)

Из полной ограниченности матрицы Ляпунова L(-) и невырожденности H вытекает полная ограниченность матрицы Я(-). Итак, имеем допустимо мультипликативно возмущенную по отношению к (1.2) систему вида (2.4). Так как преобразование Ляпунова сохраняет полный спектр, то показатели Ляпунова построенной системы (2.4) — это набор чисел

^ ... ^ ^n.

Пусть l = max{||L||^, ||L-1||те}. Обозначим

? = ?(A) = l2(eA - 1)/Д. (8.13)

Докажем, что построенное мультипликативное возмущение R(^) удовлетворяет оценке (8.1). Действительно, из равенства (8.12) получаем, что R(m) — E = L-1(m)(H — E)L(m), поэтому ||R — E^ l2|H — E||. Далее, из утверждения 8.1 получаем оценки

eA _ 1

||H — E|| = max |enj — 1| = max |eVj — 1| ^ max (e|vj 1 — 1) ^ —-— max |vj|. j=1,...,n j=1,...,n j=1,...,n A j=1,...,n

Следовательно,

eA — 1 ^ ^

||R — E^ l2—-— max |vj| = l max |Vj| = l max — Aj(A)|, A j=1,...,n j=1,...,n j=1,...,n

т. е. оценка (8.1) выполнена. Теорема доказана. □

Из этой теоремы вытекает описание спектрального множества мультипликативно возмущенной системы в случае устойчивости показателей невозмущенной системы.

Теорема 8.3 (см. [2,60]). Предположим, что показатели Ляпунова системы (1.2) устойчивы. Тогда спектральное множество A(R) системы (1.2) при всевозможных допустимых мультипликативных возмущениях ее коэффициентов совпадает со множеством R™ всех упорядоченных по неубыванию наборов из n чисел, при этом для каждого A > 0 найдется такое I = 1(A) > 1, что для любого 8 G (0, A) имеет место включение

O,(A(A)) с A(Ra).

Доказательство следует непосредственно из теоремы 8.2. Неравенство 1(A) > 1 следует из (8.13) и из того, что l ^ 1 и eA — 1 > A при всех A > 0. Теорема доказана. □

Т е о р е м а 8.4 (см. [60]). Пусть показатели Ляпунова системы (1.2) устойчивы. Тогда для каждого £ > 0 найдутся такие положительные 81 < 82, что справедливы включения

OSl (A(A)) с A(R52) с O£ (A(A)).

Доказательство. Возьмем произвольное £ > 0. Так как показатели Ляпунова невозмущенной системы (1.2) устойчивы, то по определению 2.5 найдется такое 82 > 0, что имеет место включение A(R^2) с O£(A(A)). Пользуясь теоремой 8.3, найдем величину

1(82) > 1 и положим 81 = 82/1(82). Тогда 81 < 82, поэтому O^ (A(A)) с A(R(52) = = A(R^2) с O£( A (A)). Теорема доказана. □

§ 9. Достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова

Сначала установим связь между свойствами пропорциональной глобальной управляемости полного спектра мультипликативно возмущенной системы (2.4) и пропорциональной локальной управляемости полного спектра замкнутой системы (6.2).

Теорема 9.1 (см. [44]). Пусть система (6.1) равномерно вполне управляема. Если полный спектр показателей Ляпунова системы (2.4) пропорционально глобально управляем, то полный спектр показателей Ляпунова системы (6.2) пропорционально локально управляем.

Доказательство. Из пропорциональной глобальной^правляемости полного спектра системы (2.4) следует, что для A = 1 существует такое I = 1(1) > 0, что для любого набора ( ) ( )

j = (jb...,j„) G O^A(A))

существует матрица Я(-) G R, удовлетворяющая оценке (8.1) и обеспечивает выполнение равенства (8.2). Так как (6.1) равномерно вполне управляема, то по теореме 7.4 найдутся 6 > 0 и l > 0 такие, что для любой системы (2.4) с Я(-) G Rj существует допустимое для системы (6.2) матричное управление U(•) такое, что ||U^ l||R — E||те, и система (2.4)

асимптотически эквивалента системе (6.2). Возьмем 81 = min{1,6/l}. Рассмотрим набор чисел ( ) ( ) ( )

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

j = (j1,...,j„) gO5i(A(A)) с O^A(A)).

Из пропорциональной глобальной управляемости полного спектра системы (2.4) следует, что существует матрица Я(-) G R такая, что

||R — E||те ^ I6 max |Aj(A) — j1 ^ 181 ^ 6

j=1,...,n

и равенство (8.2) выполнено. Так как система (6.1) равномерно вполне управляема, то по теореме 7.4 для этой матрицы Я(-) существует допустимое для системы (6.2) матричное управление U(•) такое, что

||U|U ^ a||R — E||те ^ al6 max |A^(A) — j|,

j=1,...,n

и такое, что системы (6.2) и (2.4) асимптотически эквивалентны. Поскольку асимптотически эквивалентные системы имеют одинаковый спектр, то теорема доказана. □

Теорема 9.2 (см. [44]). Пусть система (6.1) равномерно вполне управляема, а полный спектр показателей Ляпунова системы (1.2) устойчив. Тогда полный спектр показателей Ляпунова системы (6.2) пропорционально локально управляем.

Доказательство следует непосредственно из теорем 8.2 и 9.1. □

Сейчас мы покажем на примере, что найденные достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова системы (6.2) не являются необходимыми. Для построения этого примера введем в рассмотрение скалярную функцию натурального аргумента

{1 при m = 1,

1 при m G [m2j-1,m2j — 1], (9.1)

0 при m G [m2j ,m2j+1 — 1],

где последовательность м определяется рекуррентно: т1 = 1,

т23- = = ? + для ? е N.

Кроме того, для произвольного а е К рассмотрим функцию

/«(т) = 1 + Ь(т)(еа - 1), т е N.

Л е м м а 9.1 (см. [6]). При каждом а е К функция /«(•) имеет точное логарифмическое среднее значение, равное а.

Для доказательства этой леммы нам понадобится одно утверждение. Аналогичное утверждение для функций непрерывного аргумента приведено в [10, с. 148-149].

Утверждение 9.1 (см. [6]). Пусть (вк}ке N — произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел. Если функция /: N ^ К постоянна на отрезках [вк, 5к+1 - 1] п N то

1 т—1 1 «к-1

Ит — V /С?) = Ит — V /(?).

т^те т ^—' к—^оо 5к £—'

7=1 к 7=1

Доказательство. Пусть / (т) = /к при всех т е [вк, зк+1 — 1] П N. Обозначим

1 т— 1

^(т) = — V / (?).

т

7=1

Докажем, что функция <^(-) монотонна на каждом из отрезков = [вк, зк+1] П N.

«к—1

Возьмем любое натуральное т е такое, что т +1 е . Положим Ск = ^ / (?).

7=1

Если т > вк, то

т—1 «к — 1 т—1

р(т) = - £ /(?) = /(?) +/(?)) = - (Ск + (т — вк/ = - (Ск — /к) + /к.

т т т т

.7 = 1 7=1 7=«к

При т = получаем равенство

1 т—1 1 1 ^(т) = — V / (?) = — Ск = — (Ск— вкЛ) + Л.

т ^ т т4 7

. =1

Аналогично,

<^(т + 1) =-— (Ск — вк /к) + /к.

т + 1 у у

Следовательно,

^(т + 1) — ^(т) = —(Ск — вкД) — — (Ск — вкД) = вк/к , Ск.

т +1Ч т т(т + 1)

Таким образом, знак разности <^(m +1) — <^(m) не зависит от m, поэтому <£(•) монотонна

на Jk. Это означает, что max <^(m) достигается на концах отрезка Jk.

m€ Jk

Пусть (¿¿)ieN — последовательность натуральных чисел, на которой реализуется

lim <^(m). 50

Существует единственное натуральное число k такое, что ¿г G [ski, ski+1 — 1]. Тогда

< max{^(sfc.),^(sfci+i)}

для всех i G N, следовательно,

lim <^(m) = lim ^(i) < lim ) < lim ).

т^-те г^-те г^-те fc^-те

Выполнено также противоположное неравенство

поэтому

lim <^(ш) ^ lim

т^те fc—)-оо

lim <^(ш) = lim ).

т^те fc—)-oo

Утверждение доказано. □

Доказательство леммы 9.1. Возьмем произвольное значение а G R и обозначим

т— 1

ß = ea — 1. Докажем, что предел lim m— 1 ln(l + ßb(j)) существует и равен а. Так

т^те j_i

как находящаяся под знаком суммы функция постоянна на отрезках j G [mk, mk+1 — 1], то, в силу утверждения 9.1, для вычисления этого предела достаточно найти лишь пределы по подпоследовательностям (m2fc+i) fceN и (m,2fc)fceN. Заметим, что | ln(1 + ßb(m)) | < |а|, поэтому

1

0 < -

т2к-1 — 1

m,2fc — m2k—1 следовательно,

Тогда

£ ln(l + ßb(j)) j=1

< m2fc— 1 |а| m2k— 1 |а| |а|

m,2fc — m2k— 1 (k — 1)m,2fc—1 k — 1:

1 m2k-1 —1

lim - £ ln(1 + ßb(j)) =0.

J = 1

и

1 rn2t — 1

lim - V ln(1 + ßb(j)) =

J=1

/т2к-1 — 1 т2Ь — 1

,lim -1--m2k ~ m2k—1 ■ ( £ ln(1 + ßb(j)) + £ ln(1 + ß)

\ J=1 ^=т2к-1

1 т2к-1 —1

= lim - V ln(1 + ßb(j)) + ln(1 + ß) = ln(1 + ß) = а,

к^те m2fc — m2k— 1 f

1 т2к+1 —1 1 т2к+1 —1 lim - £ ln(1 + ßb(j ))=lim —- £ ln(1 + ßb(j )) =

J=1 J=1

, , т2к+1 —1

= lim-—---£ ln(1 + ßb(j)) =

к^те 1 + k/m2fc TO2fc ^

1 т2к —1 1 т2к+1 —1

= lim - V ln(1 + ßb(j)) + lim - V ln(1 + ßb(j)) =

j=1 ^'=т2к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 т2к-1 ( )

= lim - £ ln(1 + ßb(j)) = а.

j=1

m—1

Итак, существует точный предел lim m— 1 ln(1 + ßb(j)) = а. Лемма доказана. □

m—re j=1

Пример 9.1 (см. [6]). Рассмотрим скалярную функцию натурального аргумента <(m) = em sinln m и линейную управляемую систему

x(m + 1) = A(m)x(m) + B(m)u(m), m G N, x G R2, u G R2, (9.2)

где

A(m)

э 1/2 0

0

y(m+1) ^(m)e

B (m)

b(m) 0 01

функция &(•) определена равенством (9.1).

Из примера 3.1 получаем, что полный спектр показателей Ляпунова свободной системы х(т + 1) = А(т)х(т) неустойчив и состоит из чисел А1(А) = —1/2, А2(А) = 0. При каждом К е N для матрицы Калмана системы (9.2) имеет место равенство

W (m2K ,m2K + K)

00

0 Yk

где 7К > 0. Это означает, что система (9.2) не является равномерно вполне управляемой.

Итак, ни первое, ни второе условия теоремы 9.2 не выполнены. Но оказывается, что полный спектр показателей Ляпунова замкнутой системы

х(т + 1) = (А(т) + В(т)и(т))х(т), т е N, х е К2,

пропорционально локально управляем. Действительно, возьмем 6 = 1/4 и для произвольных чисел е (—3/4, —1/4) и е (—1/4,1/4) положим

а1 = ет — е—1/2, а2 = а2(т) = У(т + 1) (е№ — 1).

<^(т)е

Построим матричное управление

и(т) = diag(а1,а2(т^, т е N.

Тогда

A(m) + B (m)U (m)

—1/2 0

0

y(m+1) ) + ^(m)e

b(m) 0 01

а1 0 0 a2(m)

e—1/2 + b(m)(eM1 - e—1/2)

0

^(m+1) e^2 —1 ^(m)

Таким образом, замкнутая система

х(т + 1) = (А(т) + В(т)и(т))х(т), т е N, х е К2, (9.3)

диагональна, поэтому ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из верхних лога-

рифмических средних значений диагональных элементов, т. е. из чисел

m— 1

Ai(A + BU)= lim -Vln(e—1/2 + - e—1/2))

m—>-<L m ^—' 1=1

m—1

= J*e—1/2(1+ ВД(е<"+1/2 - «)) =

1=1

1 _ 1 m—1

=- 2+m—m m£ln(1 +b(1)(ep,+1/2 -ч).

1=1

m1

A2(A + BU)= lim — > In 14 .,. ' eM2—1 =

m—L m "p1 <^(i)

lim -InП ^ e-2—1 = um -lnfe(m—1))

m—L m AJ- m—L m V w(1) /

-— m sinln m , (m — 1)(«2 — 1) = lim -+ lim ---- = 1 + ^2 - 1 = ß2-

m—L m m—L m

Получаем, что A1(A + BU) =

Итак, построенное управление U(•) обеспечивает выполнение равенств Aj(A+BU) = ß i = 1, 2. Докажем, что оно удовлетворяет требуемой липшицевой оценке

||U ||l ^ I max - Ai(A)|.

г=1,2

Действительно, используя оценки (8.9) и (3.3), получим

ы = К1 - e—1/2| = e—1/2|eMl+1/2 - 1| ^

1/Т

e1/4 _ 1

^ e—1/2-|ß1 + 1/2| = 4e—1/2(e1/4 - 1)|ß1 - A1 (A)|,

l«2(m)| = |eM2 - 1| ^ e^2-1 = 1(e1/4 - 1)ß - A2(A)|.

<^(m)e 1/4

Пусть I = 1(e1/4 - 1),

тогда

L ^ max{ |a1|, sup |a2(m)|} ^ I max - Aj(A)|.

^ N i=1,2

meN

Таким образом, система (9.3) обладает свойством пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова, несмотря на то, что для нее не выполнены условия теоремы 9.2. Следовательно, условия этой теоремы достаточны, но не необходимы для пропорциональной локальной управляемости показателей.

ГЛАВА III. Необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости показателей

Как было установлено примером 9.1, найденные во второй главе достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова замкнутой системы (равномерная полная управляемость открытой системы и устойчивость показателей Ляпунова свободной системы) не являются необходимыми. В этой главе при помощи концепции оболочки Бебутова получены необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова. Здесь мы

не отказываемся от условия устойчивости показателей Ляпунова открытой системы, а усиливаем это условие до интегральной разделенности. В § 10 вводится определение оболочки Бебутова системы с дискретным временем и изучаются ее свойства. В § 11 установлено, что если исходная линейная однородная система с дискретным временем интегрально разделена, то всякая система из ее оболочки Бебутова обладает этим свойством. В § 12 изучено свойство равномерной полной управляемости систем из оболочки заданной линейной управляемой системы. В § 14 получены необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова всех систем, входящих в оболочку Бебутова заданной линейной управляемой системы.

§ 10. Динамическая система сдвигов. Оболочка Бебутова

Для произвольной ограниченной функции F0: N ^ Rqxr и любого s G N рассмотрим функцию Fs: N ^ Rqxr, где Fs(m) = F0(m + s) — сдвиг F0(m) на s. Обозначим через R(F0) замыкание в топологии поточечной сходимости на N множества {Fs(-): s G N}. Таким образом, F G R(F0) в том и только том случае, когда существует неубывающая последовательность (s^) N с N такая, что

lim ||F(m) — Fs. (m)|| = 0

для каждого m G N. Отметим, что F G R(F0) тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдется номер J = J (е), начиная с которого выполнено неравенство

max ||F(m) — Fs. (m)|| < е.

m^e-1

Известно [62, с. 34], что R(F0) метризуемо в метрике

p(F, F) = sup min{||F(m) — F(m)||,m-1}.

meN

Пространство (R(F0),p) компактно [62, с. 34]. Это пространство называется оболочкой Бебутова функции F0 (см. [63], [54, с. 32]).

Лемма 10.1 (см. [43]). Если ||F0||TO ^ а0, то ||F^ а0 для любого F G R(F0).

Доказательство. Пусть F G R(F0). Тогда для любого е > 0 и любого m G N найдется номер J = J(m, е) такой, что при j ^ J выполняется неравенство

||F(m) — Fsj (m) || < е.

Зафиксируем любое е > 0 и m G N. Тогда для любого j ^ J имеем

||F(m) || ^ ||FS. (m)|| + ||F(m) — Fs. (m)|| < «0 + е.

Устремляя в полученном неравенстве е к 0, получим ||F(m)|| ^ а0. Это верно для любого m G N, поэтому ||F^ а0. Лемма доказана. □

Лемма 10.2 (см. [43]). Если A0: N ^ Rnxn вполне ограничена, причем выполнены неравенства ||A0||TO ^ а0, ||A-1|TO ^ а0, то каждая A G R(A0) вполне ограничена, при этом A-1 G R(A-1) и ||A||^ ^ а0, ||A-1||TO ^ а0.

Доказательство. Оценка для ||A||TO получена в лемме 10.1. Из этой же леммы получаем, что для любой C G R(A-^ справедливо неравенство ||C^ а0.

Теперь докажем, что всякая A G R(A0) обратима. Пусть (sj) N — неубывающая последовательность натуральных чисел, для которой

lim ||A(m) - As,. (m)|| = 0

j^œ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

для каждого m G N, и J = J(m, e) — номер, начиная с которого выполняется неравенство

||A(m) - As, (m)|| < e. Тогда нетрудно проверить, что det A G R(det A0), причем

lim | det A(m) — det As. (m) | = 0.

j^œ j

Из (1.1) получаем

|det Ao(m)|> p» * an =Cil

для любого m G N.

Возьмем любые e > 0, m G N и выберем Ji = Ji(m, e) так, чтобы было выполнено неравенство

| det A (m) — det As, (m) | < e для любого j ^ J1. Тогда при всех m G N и j ^ J1 справедливы оценки

| det A(m) | ^ | det As, (m) | — | det A (m) — det As, (m) | > c0 — e.

Устремляя здесь e к 0, мы получим | det A(m)| ^ c0. Это показывает, что матрица A(m) обратима для любого m G N. Кроме того, из неравенства (1.1) мы получаем

'A'(m)|| < ^^ < Ç =

Сейчас покажем, что А-1 С ^(А-1). Возьмем любые е > 0 и т Е N. Положим

32 = 32(т, е) = тах{3(т, е), 71(т, е)}.

Предположим, что ] ^ 32. Тогда

||А-1(т) - А-/(т)|| = ЦА-Дт)^.(т) - А(т)) А-1(т) || ^ ^ 1|А-1(т)| ||А-1(т)|| ||Ав,(т) - А(т)|| < «^е = «Ще.

Последнее неравенство означает, что А-1 Е ^(А-1). Поскольку для любого С Е ^(А-1) мы имеем ||С^ а0, то и ||А-1||те ^ а0. Лемма доказана. □

Рассмотрим систему

х(т +1) = А0(т)х(т) + В0(т)и(т), т Е Н, х Е и Е , (10.1)

с вполне ограниченной матрицей А0: N ^ и ограниченной матрицей В0: N ^ Е Пусть

||А0^ «0, ||А-1|те ^ й0, 11В01^ ^ й0. Отождествим систему (10.1) с функцией ст0(-), где

^(т) = (А0(т),В0(т)) Е 55

raxfc

и любую функцию ст(-) = (•)) € !ЭТ(а0) отождествим с линейной управляемой си-

стемой (6.1). Пространство !ЭТ(а0) называется оболочкой Бебутова системы а0.

Из лемм 10.1 и 10.2 следует, что для любой ст(-) = (А(^),В(^)) € !ЭТ(а0) выполняются неравенства

||А||те ^ ао, ^ ао, ||В^ ао-

Поэтому для матрицы Коши свободной системы (1.2) мы имеем оценку

||ха(ш,8)| ^ а0т-в|

для любых т, 5 € N.

Для любых натуральных чисел 5 < т и системы а € !ЭТ(а0) обозначим через (5,т) матрицу Калмана системы а.

Лемма 10.3 (см. [43]). Функция а м- (5, т) непрерывна на ^(а0) для любых фиксированных 5 < т.

Доказательство. Пусть а, а € ^(а0) таковы, что р(а, а) < $. Тогда выполняются неравенства

тах ||А(т) — А(т)|| < $, тах ||В(т) — В(т)|| < $.

т^й-1 т^й-1

Пусть 5 < т — произвольные натуральные числа. Возьмем $ < т-1. Тогда для любого 0 € (в,..., т — 1} мы имеем

||В(о) — В(о)|| <$

и

||хА(5,о + 1) — Х^о + 1)|| = ||хА1(о + 1,5) — X- 1(о + 1, 5)|| ^ ^ ||Х-1(0 + 1, 5) || ||Х—1(0 + 1, 5) || |хА(о + 1,5) — Х^о + 1, 5) || ^ ^ а0(т-5)|А(?) ••• А(5) — АО) ••• а4(5)П ^

^ а2(т-5) £ат-^|А(г) — ¿(¿)|| ^ (т — 5)а?т—8)$-

Тогда

(5,т) — (5,т)|| ^

т—1

^ (|Х(5, о + 1) — Х^о + 1)|| ||в(о)||в *(0) | |Х (5,0 + 1)|| +

+ |Х(50 +1)|| ||В(0) — ВО)||||в*(о)|| ||Х*(5,0 +1)|| + + |Х1(5,0 + 1)|| ||В(о)||||В*(о) — В*(о)|| |Х (5,0 + 1)|| +

+ ||Х1(5,? + 1)|| ||В(о)||||В*(о)|| |Х (5,0 + 1) — Х1(5,0 + 1)||) ^ ^ (т — 5)(2(т — 5)а3(т—5)а288 + 2а0(т—'«Ч^ =: ф,т)$. Для любого £ > 0 положим

$ = $(£) = т1п(т—1, £с—1(5, т)}.

Тогда из неравенства р(а, а) < 6 следует

HW(s,m) - Wg>(s,m)|| < е.

Это означает, что функция а м- W,(s,m) непрерывна. Лемма доказана. □

Для любого а G R(ao) и натурального K обозначим через ^(а, K) наименьшее собственное значение матрицы Калмана W,(1, K + 1). Очевидно, что

Ма, K) = min{e*WCT(1, K + 1)£: £ G Rn, H£H = 1}-

Отметим, что для любого £ G мы имеем

£*WCT (1, K + 1)£ = к к

= ££*Xa(1,j + 1)B(j)B*(j)XA(1, j + 1)£ = £ H£*Xa(1, j + 1)B(j)H2 ^ 0, j=1 j=1

поэтому

^(а, K) ^ 0, а G R(ao), K G N.

Из леммы 10.3 и того факта, что собственные значения непрерывно зависят от матриц [40, с. 635], получаем следующее следствие.

Следствие 10.1 (см. [43]). Для любого фиксированного K G N функция а м ^(а, K) непрерывна на множестве ^(а0).

Лемма 10.4 (см. [43]). Для любого а G ^(а0) функция k м ^(а, k) является неубывающей.

Доказательство. Пусть а(-) = (A(-),B(•)) G ^(а0). Возьмем любое m G N и £ G Rn, H£H = 1 такое, что

£*WCT (1, m + 2)£ = ^(а, m + 1).

Тогда

m

Ма, m) ^ £*WCT(1, m + 1)£ = £ £*XA(1, j + 1)B(j)B*(j)X*(1, j + 1)£ =

j=i

m m+1

£ H£*Xa(1, j + 1)B(j)H2 ^ H£*Xa(1, j + 1)B(j)H2 = £*WCT(1,m+2)£ = ^(а,m +1). j=i j=i

Лемма доказана. □

§ 11. Оболочка Бебутова и интегральная разделенность

Теорема 11.1 (см. [7]). Если система

х(т +1) = Ло(то)ж(то), т £ Н, £ Ега, (11.1)

интегрально разделена, то для каждой А(-) £ ^(А0) система (1.2) интегрально разделена.

Доказательство. Так как система (11.1) интегрально разделена, то существует преобразование Ляпунова

х(т) = ¿0(т)г(т), т € N (11.2)

приводящее (11.1) к системе

г(т +1) = А0(т)г(т), т € Н, г € Ега, (11.3)

с интегрально разделенной диагональной матрицей коэффициентов

А0(т) = diag(^(т),..., ^П(т)),

т. е. такой, что при некоторых 7 > 0, а > 1 и всех натуральных т>5, г € (1,..., п — 1} выполнены неравенства

П^0+1(г)| > ^ат—8

,=8 И0 (1)1 >7а .

Так как преобразование (11.2) связывает системы (11.1) и (11.3), выполнено тождество

А(т) = 1(т + 1)А0(т)^0(т), т € N. (11.4)

Пусть ||А0||те ^ а0, ||А—^ а0, Н^и ^ I, ||Ь—^ I. Тогда

||А^ а012, ||А—^ а012- (11.5)

Рассмотрим сначала простой сдвиг А0(-) на к € Н, то есть рассмотрим матрицу (т) =

= А(т + к), т € N. Определим ¿к(т) = ¿0(т + к) и А(т) = А0(т + к). Тогда ясно, что (•) — матрица Ляпунова. Из (11.4) получаем тождество

(т) = А0(т + к) = 1(т + к + 1)А0(т + к)Ь0 (т + к) = = 1(т + 1)А (т)Ьк (т),

поэтому преобразование Ляпунова

х(т) = (т)г(т), т € Н,

связывает системы

х(т + 1) = (т)х(т), т € Н, х € Ега, (11.6)

и

г(т + 1) = А(т)г(т), т € Н, г € Ега (11.7)

А(т) = diag(^(т),... ,^(т)),

где обозначено (т) = 40(т + к) — сдвиг 40(т) на к. Тогда при всех г € (1,..., п — 1} и т > 5 выполнены неравенства

Пт—114+1(01 _ т—1^0+1(1 + к)| _ т+4-1 и0+1(/)| ^

,=, Кк(1)| " 1=1 |40(1 + к)| " г==8+к 140(1)1 -1а '

поэтому система (11.7) интегрально разделена. Так как ляпуновское преобразование сохраняет это свойство, то и система (11.6) интегрально разделена.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

При этом

Пусть теперь А(-) £ !К(А0). Тогда существует неубывающая последовательность натуральных чисел (з,такая, что Ит.,^^ ||А(т) — А^. (т)|| = 0 при каждом т £ N. Рассмотрим последовательность функций (¿^ (■))№ лежащую в компактном множестве ^(Ь0). Из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Без ограничения общности будем считать, что сама последовательность (¿^ (•))N сходится в метрике р к некоторой функции £(•) £ ^(¿0). Тогда для каждого т £ N

11т ||£(т) — ¿а,(т)|| =0,

поэтому для каждого е > 0 найдется номер 3 = ^(т, е) такой, что при всех ] ^ 3 выполнено неравенство (т) — ¿(т) || < е. Кроме того, существует номер 32 = 32(т, е), начиная с которого ЦА^. (т) — А(т)|| < е. Пусть 3 = 3(т,е) = тах{/1(т,е), 32(т,е)}. Рассмотрим матрицу

Д(т) = ¿-1(т + 1)А(т)£(т), т £ N.

Для каждых е> 0, т £ N и ] ^ 3 (т, е) справедливы неравенства

0 ^ ||Д(т) — (т)|| = ||Ь-1(т + 1)А(т)£(т) — ¿-1(т + 1)Ав.(т)Ьв.(т)|| ^ ^ ||£-1(т + 1)А(т)£(т) — ¿-1(т + 1)А(т)£(т)|| + + ||£-1(т + 1)А(т)£(т) — ¿-1(т + 1)Аа. (т)£(т)|| + + ||£-1(т + 1)Лв.(т)Ь(т) — ¿-1(т + 1)Лв.(т)Ьв.(т)|| ^ ^ ||£-1(т + 1) — ¿-1(т + 1)|| ■ ||А(т)|| ■ ||Дт)|| + + (т + 1)|| ■ ||А(т) — Ач (т)|| ■ ||Дт)|| + + ||£-1(т + 1)|| ■ ||А, (т) || ■ ||£(т) — Ьа, (т)|| ^ ^ ||Ь-1(т + 1)|| ■ ||Ь(т +1) — ¿а((т + 1)|| ■ ||Л-1(т + 1)|| ■ «01 + + е12 + а01е ^ 1(12а0 +1 + а0) е.

Следовательно, при каждом т £ N

11т ||Д(т) — Ба.(т)|| = 0,

поэтому Д(^) £ !К(Д0). В силу леммы 10.2 матрица Е(-) вполне ограничена, при этом

р|и ^ «012, ||Я-1||те ^ «012, (11.8)

поскольку выполнены оценьси (11.5).

Ч/с=1, ^а (т) = Н(т)}

нальна, то

Пусть Д(т) = (т)} ¡г'к_1, Да (т) = {^к (т)} ™к_г Так как матрица Да(т) диаго-

<4 <'">= . "Р" 1 = к' ("-9)

I «а(т) при г = к. Тогда при всех г, к £ {1,..., п} и ^ 3(т, е) справедливы неравенства

0 ^ (т) — ^ак(т)| ^ ^ПЦЯ(т) — Да,.(т)|| ^ ^1(14 + I + «0)е.

Переходя в этом неравенстве к пределу при е ^ 0 и учитывая (11.9), получим, что при каждом г = к

^ (т) = ¿Ц (т) = 0,

то есть матрица Д(-) диагональна. Пусть Д(т) = ..., 4га(т)). Из (11.8) при

всех т € N получаем оценки

Щт)| ^ ||Я(т)|| ^ ||Я||те ^ ас12, Иг(т)|-1 ^ ||£-1(т)|| ^ ||Я-1||те ^ ао12.

Следовательно, для всех г € {1,..., п}, е > 0, т € N и ^ ^ 3 (т, е)

| ^ (т) | | ^ (т) - ^ (т) + ^ (т) |

|d.(m)| |d.(m)|

> |di(m)| - (m) - d.(m)| _ (m) - d.(m)| >

^ |d.(m )| |d.(m)| ^

> 1 - ^nl(l2a0 + I + a0)e ■ a0l2 _ 1 - Vna0l3(l2a0 + I + a0)e _: 1 - ке,

и, аналогично,

|d.(m)| _ |d.(m) - d.j (m) + d.j (m)| > |d.j (m)| - |d.(m) - d.j (m)|

K' (m)| ^ (m)| (m)|

_ 1 - Mi(ml- (m)l > 1 - V^(l2a0 +1 + *,)e ■ a0l2 _ 1 - ке.

К (m)|

Тогда при всех i G {1,..., n - 1}, e > 0, m > s и j > max J(Z,e) справедливы

l€{s,...,m-1}

оценки

m- idi+i(i)i _ m-1 ids+i(i)i m-1 m- л >

f=. |di(1)l t\ |dSj(1)1 ' fi |dS+1(1)| ' fi |di(1)| "

> 7am-s ■ (1 - Ke)m-s ■ (1 - Ke)m-s _ 7 ■ (a(1 - Ke)2)m-s.

Переходя в этом неравенстве к пределу при е ^ 0, получим, что при всех натуральных m > s и i G {1,..., n - 1} выполнено неравенство

ТТ MmCT > m-s

Это означает, что диагональ матрицы D(-) интегрально разделена, поэтому система

z(m + 1) _ D(m)z(m), m G N, z G

интегрально разделена. Но преобразование Ляпунова x(m) _ L(m)z(m) связывает эту систему с системой (1.2), поэтому и (1.2) интегрально разделена. Теорема доказана. □

§ 12. Оболочка Бебутова и равномерная полная управляемость

В этом параграфе мы будем использовать обозначения

W0(s,m) _ (s,m), W.(s,m) _ (s,m).

Теорема 12.1 (см. [5,43]). Если система а0 К -равномерно вполне управляема, то каждая система а(-) = (А(-),В (•)) € ^(а0) К -равномерно вполне управляема.

Доказательство. Для любого фиксированного натурального i рассмотрим систему аД-) = (АД-), Bj(-)), полученную из системы ao(-) сдвигом на i G N. Отметим, что для любого s > j матрица Коши X^(s, j) системы

x(m + 1) = Aj(m)x(m)

удовлетворяет равенству

XAi (s, j ) = Ai (s - 1) ••• Ai(j ) = Ao(i + s - 1) ••• Ao(i + j ) = X^ (s + i,j + i),

а для s < j мы имеем

XAi (s, j) = X—!(j, s) = + i, s + i) = Xao (s + i, j + i).

Поэтому для любого s G N матрица Калмана W^s, s + K) системы ai может быть записана в виде

s+K —!

Wi(s,s + K)= £ XAi(s,j + 1)Bi(s)B*(j)XAi(s,j + 1) =

j=s

s+K—!

= £ Xa0(s + i,j + i + 1)Bo(j + i)B0(j + i)XA0(s + i,j + i + 1) =

j = s s+i+K — !

= £ Xao (s + i,j + 1)Bo(j )B0(j )XAo (s + i,j + 1) = Wo (s + i,s + i + K ).

j=s+i

Согласно нашему предположению, система ao является K-равномерно вполне управляемой, поэтому для всех s G N справедливо неравенство

Wo (s + i, s + i + K) ^ yE,

следовательно, для всех i, s G N

Wi(s,s + K) ^ yE.

Если a G R(ao), то существует такая неубывающая последовательность (ij)jeN натуральных чисел, что lim p(ai., a) = 0. Тогда по лемме 10.3 получаем

j^œ 3

lim ||Wi.(s, s + K) - W,(s, s + K)|| =0, s G N.

j^œ 3

Для любого £ G ||£|| = 1, мы имеем

£*W,(s, s + K)£ = £*Wij (s, s + K)£ + £* (W,(s, s + K) - Wj(s, s + K))£ ^

^ Y - || Wi.(s, s + K) - W,(s, s + K)||. Переходя к пределу при j ^ то в этом неравенстве, получаем

£*W,(s, s + K)£ ^ y.

Это означает, что W,(s, s + K) ^ yI. Так число s G N произвольно, отсюда следует, что система a K -равномерно вполне управляема. Теорема доказана. □

Теорема 12.2 (см. [43]). Если система a0 не является равномерно вполне управляемой, то существует система

<?(•) = (£(•),£(•)) Е ЯМ и вектор £ Е ||£|| = 1, такие, что

0^(1, m + 1)B(m) = 0

для каждого m Е N.

Доказательство. Возьмем любое K Е N. Система a0 не является K-равномерно вполне управляемой, поэтому для любого j Е N существуют число j Е N U {0} и вектор £j Е ||£j || = 1, такие, что

e;wo(i + ij, 1 + ij + K)£j <j-1.

Следовательно,

e;W (1, к + 1)o <j-1

и

,K) < j-1.

Пусть aK — предельная точка последовательности (a^). Без ограничения общности будем считать, что lim a^. = aK. Из непрерывности функции a м ß(a, K) мы имеем

j^ro j

0 ^ ß(aK,K) = lim ß(ai7 ,K) ^ lim j-1 = 0.

Тогда

ß(aK ,K) = 0.

Пусть а — предельная точка последовательности (aK)KeN. Выберем любое натуральное s. Тогда для любого j Е N найдется Kj > s такое, что

|ß(aKj, s) - ß(^,s)| < j-1.

По лемме 10.4 функция s м- ß(aKj, s) неубывающая, поэтому

0 ^ ß(^,s) ^ ß(aKj, s) + |ß(a,s) - ß(aKj ,s)| < ß(aKj ,Kj) + j-1 = j-1 для любого j Е N.

Итак, существует система а Е R(a0) такая, что ß(<r, s) = 0 для любого s Е N, и, следовательно, для любого натурального числа s существует вектор £s Е ||£s|| = 1, такой, что

s

0 = e;w (1, s += e; ^ ад j + 1)J(j )5;(j)xi(1, j + 1& =

j=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

s

= E ne^u + 1)j5(j)|2. j=1

Это означает, что £;фа(1, j + 1)J(j) = 0 для любого j Е {1,..., s}. Для каждого s Е N определим множество

S = {£ Е Rn: ||£|| = 1, №(1, j + 1)j5(j) = 0 для каждого j = 1,..., s}.

Всякое 2а непусто, потому что £а £ £а. Более того, ясно, что для любого в имеет место включение 2а э £а+1. Каждое 2а компактно, поскольку оно ограничено и замкнуто. Мы имеем семейство стягивающихся компактных подмножеств Мга. По теореме Кантора о пе-

оо

ресечении [41, с. 196] найдется £ £ П 2а. Тогда для точки £ при всех ] £ N выполнено

а_1

равенство

? Х^ + 1)В(.7) = 0.

Теорема доказана. □

Возьмем аО = (АО, В(■)) £ Я(а0). Для свободной системы (1.2) рассмотрим сопряженную систему [14, с. 64]

ф(т +1)= ф(т)А-1(т), т £ N ф* £ Ега (12.1)

Пусть Ф^(т, в) — матрица Коши системы (12.1), то есть фа(т, в) — это такая матрица, что каждое решение фО системы (12.1) для любых т, в £ N удовлетворяет равенству

ф(т) = ф(в)ФА(т, в).

Легко проверить, что матрицы Коши Ф^(т, в) и Хд(т, в) систем (12.1) и (1.2) связаны между собой равенством

ФА(т, в) = ХА(в,т), т, в £ N.

Это означает, что любое нетривиальное решение сопряженной системы может быть представлено в виде

ф(т) = £ * ХА(1,т), т £ N где £ £ Кга — ненулевой вектор.

Следствие 12.1 (см. [43]). Если система а0 (■) не является равномерно вполне управляемой, то существует такая система ст(-) = (А(-), ВО) £ Я(а0), что некоторое нетривиальное решение ф^) сопряженной системы (12.1) удовлетворяет равенству

ф1 (т + 1)В(т) = 0

для любого т £ N.

Теорема 12.3 (см. [7]). Пусть система (11.1) интегрально разделена, а система а00 = (А00,В00) не является равномерно вполне управляемой. Тогда существует система а £ Я(а0), которая некоторым преобразованием Ляпунова (1.5) приводится к системе

у(т +1) = Е(т)у(т) + С(т)и(т), т £ N, у £ Ега, и £ , (12.2)

с диагональной матрицей Е(■) и матрицей С(-) с нулевой первой строкой.

Доказательство. Поскольку система а0 не является равномерно вполне управляемой, в силу следствия 12.1 найдется система

а(-)= (АО, ОД) £ ЯЫ

такая, что сопряженная система (12.1) имеет решение ф1(^), для которого выполнено тождество

ф1(т + 1)В(т) = 0, т £ N.

Пусть Ф(-) — нормальная фундаментальная матрица системы (12.1), образованная последовательными строками ф1^),..., фга(-).

В силу теоремы 11.1 каждая система А(-) £ Я(А0) является системой с интегральной разделенностью, а сопряженная система наследует это свойство (теорема 5.2), поэтому (12.1) — система с интегральной разделенностью. Тогда, в силу следствия 5.1, для углов вг(-) = АО; Ф) имеют место неравенства

т£ вг(т) ^ в, я шеГ '11 ; и'

, п,

где в £ (0,п/2). Построим матрицу Ь(т) со строками /1(т),

фг (т)

, /га(т), где

Р(т) =

1 (т)Г

т е N,

, п.

Тогда £(■) — матрица Ляпунова (см. доказательство достаточности теоремы 4.1 и следствие 4.2). Применим преобразование Ляпунова (1.5) с построенной матрицей £(■) к системе (6.1), получим систему (12.2), где

Е (т) = Ь(т + 1)А(т)£-1(т), С(т) = Ь(т + 1)В(т).

Покажем, что для матриц Е(■) и С(-) выполнены требуемые свойства.

Действительно, для первой строки матрицы С(-) при каждом т £ N имеем равенство

е1С(т) = е1Ь(т + 1)В(т) = /1(т + 1)В(т)

ф1 (т + 1)

В(т) = 0.

||ф1(т +

Далее, к сопряженной системе (12.1) применим преобразование Ляпунова

ф(т) = п(т)Ь(т), т £ N.

Тогда

п(т + 1) = ф(т + 1)Ь-1(т + 1) = = ф(т)А-1(т)Ь-1(т + 1) = п(т)Ь(т)А-1(т)Ь-1 (т + 1),

то есть преобразование (12.3) переводит систему (12.1) в систему

п(т + 1) = п(т)С (т),

(12.3)

(12.4)

где

С (т) = Ь(т)А-1(т)Ь-1(т + 1)

Система (12.4) имеет фундаментальную матрицу

Н(т) = ^(Нф^т)!,..., ||фга(т)||), т £ N, поскольку выполнено тождество

Ф(т) = Н(т)Ь(т), т £ N

и Ф(^) — фундаментальная матрица системы (12.1). Следовательно, для матрицы С(■) системы (12.4) имеем равенство

^(т +1)|| ||фп(т +1)

С (т) = Н(т + 1)Н-1 (т) =

| ф1

то есть С(■) — диагональна. Но

(т)||

1(т) ||

Е(т) = Ь(т + 1)А(т)Ь-1(т) = С-1(т), т £ N

и поэтому Е(■) — диагональна. Теорема доказана.

□

1

§ 13. Оболочка Бебутова и равномерная полная управляемость

Теорема 13.1 (см. [7,61]). Пусть система (11.1) интегрально разделена. Тогда система а0 равномерно вполне управляема в том и только том случае, когда для каждой ст(-) = (•)) е R(a0) соответствующая замкнутая система (6.2) обладает свойством пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.

Доказательство. Необходимость. Так как система (11.1) интегрально разделена, то при каждом A(-) е R(A0) система (1.2) интегрально разделена (теорема 11.1), поэтому ее показатели Ляпунова устойчивы (теорема 5.3). Далее, система а0 равномерно вполне управляема, следовательно, каждая система ст(-) = (A(-),B(•)) е R(a0) равномерно вполне управляема (теорема 12.1). Но тогда для системы (6.1) выполнены все условия теоремы 9.2, из которой вытекает, что система (6.2) обладает свойством пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова.

Достаточность. Пусть для каждой ст(-) = (A(-), B (•)) е R(a0) соответствующая замкнутая система (6.2) обладает свойством пропорциональной локальной управляемости полного спектра показателей Ляпунова. Докажем, что система а0 равномерно вполне управляема.

Предположим противное, пусть система а0 не является равномерно вполне управляемой. В силу теоремы 12.3 существует система а е R(a0), которая некоторым преобразованием Ляпунова (1.5) приводится к системе (12.2) с диагональной матрицей F(•) = = diag(/i0),...,/n(•)) и матрицей G(^) с нулевой первой строкой. Так как по условию система (11.1) является системой с интегральной разделенностью, то, в силу теоремы 11.1, линейная однородная система (1.2) обладает этим же свойством. Ляпуновское преобразование (1.5) сохраняет свойство интегральной разделенности и приводит систему (1.2) к системе

y(m +1) = F(m)y(m), m е N, y е Rn, (13.1)

поэтому ее полный спектр показателей Ляпунова устойчив, некратен и состоит из попарно различных чисел А1,..., Ага, где

Aj = fj О, j = 1,...,n.

Пусть A(F) = (A1(F),..., A„(F)) Е R™ — полный спектр системы (13.1), и k Е {1,..., n} — такой индекс, что А1 = Ak (F).

Обозначим 1

а = - min |Ai — Aj | > 0.

4 i=j

Из устойчивости показателей Ляпунова системы (13.1) вытекает, что найдется такое > 0, что для любого допустимого для системы (12.2) матричного управления V(•), удовлетворяющего оценке || V||ro < i1, полный спектр показателей Ляпунова замкнутой системы

y(m + 1) = (F(m) + G(m)V(m))y(m), m Е N, y Е Rn, (13.2)

лежит в A(F)), т.е. состоит из попарно различных чисел. Наряду с (13.2) рассмотрим усеченную систему

z(m +1)= (F1(m) + G1(m)V1(m))z(m), m Е N, z Е Rn-1, (13.3)

матрица F1 + G1V1 которой получается из F + GV вычеркиванием первой строки и первого столбца. Тогда ( )

F1 (m) = diag(^(m),..., /„(m)),

Gi(m) — это (n — 1) x k-матрица, образованная из G(m) отбрасыванием первой строки, а V1(m) — это k x (n — 1)-матрица, образованная из V(m) отбрасыванием первого столбца. Система (13.3) является возмущенной по отношению к диагональной системе

z(m +1) = F1(m)z(m), m G N, z G Rn-1, (13.4)

диагональ которой интегрально разделена. Так как полные спектры показателей Ляпунова систем (13.1) и (13.4) состоят из наборов верхних логарифмических средних значений функций /2 ..., / и /2,..., / соответственно, то полный спектр показателей Ляпунова системы (13.4) состоит из чисел Л2,..., Ага, то есть из чисел Aj(F), j = k. Из интегральной разделенности диагонали матрицы F\(-) вытекает устойчивость показателей Ляпунова системы (13.4), поэтому существует 62 > 0 такое, что из условия < 62 следуют

неравенства

|Aj(Fi) — Aj(Fi + GiVi)| < a, j = 1,..., n — 1.

Возьмем 6 = min{6i;62} и зафиксируем произвольное допустимое для системы (13.2) управление V(•) такое, что ||V< 6.

Пусть Vi(m) — kx (n—1)-матрица, полученная из V(m) вычеркиванием первого столбца. Тогда Vi(•) — допустимое для (13.3) управление, при этом || ^ || V<6 ^ 62.

Рассмотрим нормальную ФСР zi(^),..., z"-(•) системы (13.3) такую, что A[zг] = = Ai(Fi + GiV);

z l(m) = col (zi (m),..., z^-i(m^, i =1,...,n — 1.

Положим yl(m) = col(0,z^(m),..., z^-i(m^. Функции yi(^),..., yra-i(-) являются линейно независимыми решениями системы (13.2), их показатели попарно различны и лежат в a-окрестностях чисел Aj (F) при j = k. Следовательно, набор показателей этих решений совпадает с набором чисел Aj (F + GV), j = 1,..., n, j = k.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть yn(-) = col(ynO),..., уПО) — любое решение системы (13.2), показатель которого равен Ak(F + GV). Числа Ai(F + GV),..., An(F + GV) попарно различны, поэтому функции yi(^),...,yn(•) линейно независимы, а это означает, что первая координата уПО решения yn(-) не равна тождественно нулю (в противном случае функция znO = col(ynO),..., уПО) — решение системы (n — 1)-го порядка (13.3), линейно зависимое с решениями z i(•),...,zn- i(•), что влечет линейную зависимость yi(•),...,уга(-)). Но

yn(m + 1) = / (m)yn(m),

поэтому

A[yn]= /0 = Afc (F),

Следовательно,

Afc(F + GV) = A[yn] ^ A[yn] = Afc(F).

Таким образом, функции y i(•),..., yn(-) образуют нормальную ФСР системы (13.2), при этом ни один показатель Aj(F + GV) не попадает в левую a-полуокрестность величины Ak(F), и это верно для любого допустимого для системы (13.2) управления V(•) такого, что ||V< 6. Поэтому возмущениями G(^)V(•), где ||V< 6, невозможно добиться выполнения равенства

Afc (F + GV ) = Afc (F) + vfc

ни при каком G (—a, 0). Это означает, что полный спектр показателей Ляпунова системы (13.2) не обладает свойством пропорциональной локальной управляемости. Так как преобразование Ляпунова сохраняет это свойство (лемма 6.1), то полный спектр системы (6.2) не является пропорционально локально управляемым. Полученное противоречие доказывает теорему. □

Пример 13.1 (см. [61]). Рассмотрим линейную управляемую систему

х(т + 1) = А0(т)х(т) + В0(т)и(т), т € N х € К2, и € К2, (13.5)

где

Ао(т.)^0 е). Д,(т)=( ^ 1

функция &(•) определена равенством (9.1).

Заметим, что для каждого К € N существует номер ] = К такой, что для матрицы Калмана системы (13.5) имеют место равенства

т^'+К—1

Ж (т2,- ,т2,- + К) = ^ ХА(т2^ ,1 + 1)В(1)В * (ОХ^т,- ,1 + 1) =

+К—1

000

I 0 e2(m

l=m2j

Е

^ 0 e2(m2j -l-1) j = 1 0 e2(m2j -1) • e-2m2j (1-e-2K)

0 0 \ / 0 0

0 e-^^ = 0 -

1-1-2 / V u 12-1

Это означает, что система (13.5) не является равномерно вполне управляемой, так как матрица Калмана содержит нулевую строку. Свободная система

x(m + 1) = A0(m)x(m), m Е N, x Е R2, (13.6)

стационарна, поэтому ее полный спектр показателей Ляпунова устойчив. Показатели Ляпунова этой системы — это числа

m

A1(Ao)= um moI = 0

m^ro m

l=1

и

1 ^^ 1 ^^ l A 2(A0) = Um — lnTT |a2(1)| = um — lnTT e = lim = 1.

m^ro m m^ro m m^ro m

l=1 l=1

Поэтому полный спектр показателей Ляпунова совпадает с набором (0,1), то есть он некратен, следовательно, (13.6) — система с интегральной разделенностью. Возьмем любой набор чисел (ßbß2) Е A(A0)), положим

а1 = ew — 1, а2 = e№ — e,

и подействуем на систему (13.5) обратной связью u(m) = U(m)x(m), где

U (m) = diag (а1, а2).

Тогда замкнутая система имеет диагональный вид

x(m + 1) = diag(1 + 6(m)a1, e + а2)x(m), (13.7)

поэтому ее полный спектр показателей Ляпунова состоит из чисел

m- 1 m- 1

A1 (A0 + J0U)= lim m-1V ln(1 + 6(j)а1), A 2(A0 + J0U)= lim m-1 V ln(e + а2).

m^-ro ' ^ m^-ro ' ^

j=1 j=1

Ясно, что A2(A0 + B0U) = Из леммы 9.1 следует, что Ai (A0 + B0U) =

Кроме того, из утверждения 8.1 при |t| < 1/2 получаем оценку |е* — 1| ^ 2(e1/2 — 1)|t|, поэтому справедливы следующие неравенства

|ai| = |e^ — l| ^ 2(e1/2 — 1)Ы Ы = |eM2 — e1 = e|eM2-i — 2e(e1/2 — 1)|^ — 1| для любого набора G ^/2(A(A0)). Тогда справедлива оценка

, ^ 2e(ei/2 — 1) max — Aj(Ao)|,

^=1,2

поэтому полный спектр показателей Ляпунова системы (13.7) пропорционально локально управляем, где 5 = 1/2,1 = 2е(е1/2 — 1).

Из теоремы 13.1 вытекает, что оболочка Бебутова системы (13.5) содержит систему с неуправляемым полным спектром показателей Ляпунова. Найдем эту систему. Оболочка Бебутова системы (13.5) содержит в себе систему

х(т + 1) = А0(т)х(т) + В(т)и(т), т € N (13.8)

где

В(т)=(0?

Действительно, возьмем последовательность (т2^ Пусть т € N произвольно. Тогда

||Вт2. (т) — В(т)|| = |6(т2, + т)|. Для каждого ] > т выполнены неравенства

т^- < + т < + ] = т^^, поэтому 6(т2^ + т) = 0. Это означает, что

Иш ||Вт2Л. (т) — В(т) || =0

для каждого т € М, что влечет включение (А0, В) € А0, В0).

Для каждого допустимого матричного управления и(•) = {и^-(•)}2)^=1 замкнутая система для системы (13.8) имеет вид

х(т + 1) = ( 1 ч 0, ч | х(т), те N. (13.9)

\ И21(т) е + «22 (т) )

Каждая фундаментальная система решений этой системы содержит решение я(-) с ненулевой первой координатой ж1(^). Для показателя Ляпунова этого решения справедливо неравенство А[х] ^ А[ж1] = 0. Для произвольного нетривиального решения я(-) с нулевой первой координатой справедливы оценки А[х] ^ А[х2] = е + и22(^). Если ||и||те < е/2, то |и22(т)| ^ ||и||те < е/2 для каждого т € М, поэтому

1 т— 1 1 т—1

А[х] ^ ИШ — V 1п |е + м22(^')| ^ ИШ — V 1п(е — е/2) = 1 — 1п2 > 0. т^те т ^—' т^те т ^—'

¿=1 ¿=1

Таким образом, для каждого допустимого и(•) с достаточно малой ||и||те выполнены неравенства А^(А0 + Ви) ^ 0, ] = 1, 2. Это означает, что невозможно добиться выполнения равенства А1(А0 + Ви) = где — отрицательное число, и поэтому полный спектр показателей Ляпунова системы (13.9) не является пропорционально локально управляемым.

Финансирование. Работа выполнена при поддержке Минобрнауки РФ в рамках государственного задания № 075-00232-20-01, проект FEWS-2020-0010, и поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект № 20-01-00293.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. СПб.: Изд. СПбГУ, 1992.

2. Банщикова И. Н., Попова С. Н. О спектральном множестве линейной дискретной системы с устойчивыми показателями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 1. С. 15-26. https://doi.org/10.20537/vm160102

3. Банщикова И. Н. Пример линейной дискретной системы с неустойчивыми показателями // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2016. Т. 26. Вып. 2. С. 169-176. https://doi.org/10.20537/vm160203

4. Банщикова И. Н., Попова С. Н. О свойстве интегральной разделенности систем с дискретным временем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2017. Т. 27. Вып. 4. С. 481-498. https://doi.org/10.20537/vm170401

5. Банщикова И. Н. К свойству равномерной полной управляемости систем с дискретным временем // Современные проблемы математики и ее приложений: тезисы Международной (49-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. ИММ УрО РАН. Екатеринбург, 2018. С. 23. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32695424

6. Банщикова И. Н., Макаров Е. К., Попова С. Н. Об условиях пропорциональной локальной управляемости спектра показателей Ляпунова линейной системы с дискретным временем // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2019. Т. 29. Вып. 3. С. 301-311. https://doi.org/10.20537/vm190301

7. Банщикова И. Н., Попова С. Н. Необходимые и достаточные условия пропорциональной локальной управляемости показателей Ляпунова линейных систем с дискретным временем // Дифференциальные уравнения. 2020. Т. 56. № 1. С. 122-132. https://doi.org/10.1134/S0374064120010148

8. Борухов В. Т., Кветко О. М. Критерии стабилизируемоси дискретных линейных бесконечномерных систем в метрических и ультраметрических пространствах // Известия РАН. Теория и системы управления. 2010. № 2. С. 3-11. https://elibrary.ru/item.asp?id=14298696

9. Былов Б. Ф. О приведении системы линейных уравнений к диагональному виду // Математический сборник. 1965. Т. 67(109). № 3. С. 338-344. http://mi.mathnet.ru/msb4370

10. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э., Гробман Д. М., Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966.

11. Былов Б. Ф., Изобов Н.А. Необходимые и достаточные условия устойчивости характеристических показателей линейной системы // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1794-1803. http://mi.mathnet.ru/de820

12. Былов Б. Ф. О приведении линейной системы к блочно-треугольному виду // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 12. С. 2027-2031. http://mi.mathnet.ru/de6381

13. Виноград Р. Э. О центральном характеристическом показателе системы дифференциальных уравнений // Математический сборник. 1957. Т. 42 (84). № 2. С. 207-222. http://mi.mathnet.ru/msb5050

14. Гайшун И. В. Системы с дискретным временем. Минск: Институт математики НАН Беларуси, 2001.

15. Гришин С. А. Некоторые вопросы управления и устойчивости линейных систем // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. № 11. С. 1862-1869. http://mi.mathnet.ru/de4694

16. Демидович В. Б. Об одном признаке устойчивости разностных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 7. С. 1247-1255. http://mi.mathnet.ru/de759

17. Зайцев В. А. Стабилизация стационарных аффинных управляемых систем с дискретным временем//Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51. № 12. С. 1658-1669. https://doi.org/10.1134/S0374064115120110

18. Изобов Н.А. О старшем показателе линейной системы с экспоненциальными возмущениями // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 7. С. 1186-1192. http://mi.mathnet.ru/de753

19. Изобов Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Математический анализ. 1974. Т. 12. С. 71-146. http://mi.mathnet.ru/intm30

20. Изобов Н. А., Зверева Т. Е. Спектр характеристических показателей Ляпунова двухмерной стационарной системы при возмущениях-поворотах // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. № 11. С. 1964-1977. http://mi.mathnet.ru/de4393

21. Изобов Н. А. Экспоненциальные показатели линейной системы и их вычисление // Доклады АН БССР. 1982. Т. 26. № 1. С. 5-8.

22. Изобов Н. А. О характеристических показателях линейных систем с гробмановскими возмущениями // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 3. С. 428-437. http://mi.mathnet.ru/de7427

23. Изобов Н. А. О существовании гробмановских спектральных множеств линейных систем положительной меры // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 6. С. 953-957. http://mi.mathnet.ru/de7507

24. Кандаков А. А., Чудинов К. М. Эффективный критерий устойчивости дискретной динамической системы // Прикладная математика и вопросы управления. 2017. № 4. С. 88-103. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32303669

25. Кандаков А. А., Чудинов К. М. Эффективные критерии экспоненциальной устойчивости автономных разностных уравнений // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. 2018. Т. 23. № 123. С. 402-414. https://doi.org/10.20310/1810-0198-2018-23-123-402-414

26. Куликов А. Ю., Малыгина В. В. Устойчивость линейного разностного уравнения и оценки его фундаментального решения // Известия высших учебных заведений. Математика. 2011. № 12. С. 30-41. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=16951911

27. Леонов Г. А. Проблема Брокетта для линейных дискретных систем управления // Автоматика и телемеханика. 2002. № 5. С. 92-96. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=16370856

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

28. Макаров Е. К., Попова С. Н. К методу поворотов для линейных управляемых систем // Доклады НАН Беларуси. 1998. Т. 42. № 6. С. 13-16. https://www.elibrary.ru/item.asp?id=28159492

29. Макаров Е. К., Попова С. Н. Управляемость асимптотических инвариантов нестационарных линейных систем. Минск: Беларуская навука, 2012.

30. Миллионщиков В. М. Критерий малого изменения направлений решений линейной системы дифференциальных уравнений при малых возмущениях коэффициентов системы // Математические заметки. 1968. Т. 4. № 2. С. 173-180. http://mi.mathnet.ru/mz6759

31. Миллионщиков В. М. Доказательство достижимости центральных показателей линейных систем // Сибирский математический журнал. 1969. Т. 10. № 1. С. 99-104. http://mi.mathnet.ru/smj5620

32. Миллионщиков В. М. Грубые свойства линейных систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1969. Т. 5. № 10. С. 1755-1784. http://mi.mathnet.ru/de818

33. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. М.: Наука, 1970.

34. Попова С. Н. Задачи управления показателями Ляпунова: дис. ... канд. физ.-матем. наук. УдГУ. Ижевск, 1992.

35. Рахимбердиев М. И., Розов Н. Х. Распределение показателей Ляпунова линейных систем с периодическими коэффициентами, близкими в среднем к постоянным // Дифференциальные уравнения. 1978. Т. 14. № 9. С. 1710-1714. http://mi.mathnet.ru/de3507

36. Сергеев И. Н. Точные верхние границы подвижности показателей Ляпунова системы дифференциальных уравнений и поведение показателей при возмущениях, стремящихся к нулю на бесконечности // Дифференциальные уравнения. 1980. Т. 16. № 3. С. 438-448. http://mi.mathnet.ru/de3943

37. Сергеев И. Н. Точные границы подвижности показателей Ляпунова линейных систем при малых в среднем возмущениях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1986. Вып. 11. С. 32-73. https://zbmath.org/?q=an:0619.34049

38. Сурков А. Г. О спектральном множестве линейных систем второго порядка с ограниченными возмущениями. Минск, 1984. (Препринт / АН БССР. Ин-т математики; № 22(207)).

39. Тонков Е.Л. К теории линейных управляемых систем. Ижевск: Издательский центр «Удмуртский университет», 2018.

40. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

41. Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1986.

42. Babiarz A., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Pole placement theorem for discrete time-varying linear systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 2017. Vol. 55. No. 2. P. 671-692. https://doi.org/10.1137/15m1033666

43. Babiarz A., Banshchikova I., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Necessary and sufficient conditions for assignability of the Lyapunov spectrum of discrete linear time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 2018. Vol. 63. No. 11. P. 3825-3837. https://doi.org/10.1109/tac.2018.2823086

44. Babiarz A., Banshchikova I., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Proportional local assignability of Lyapunov spectrum of linear discrete time-varying systems // SIAM Journal on Control and Optimization. 2019. Vol. 57. No. 2. P. 1355-1377. https://doi.org/10.1137/17m1141734

45. Bacciotti A., Biglio A. Some remarks about stability of nonlinear discrete-time control systems // Nonlinear Differential Equations and Applications. 2001. Vol. 8. No. 4. P. 425-438. https://doi.org/10.1007/pl00001456

46. Bittanti S., Bolzern P., De Nicolao G., Engwerda J. C. Comments on "Stabilizability and detectability of discrete-time, time-varying systems" // IEEE Transactions on Automatic Control. 1992. Vol. 37. Issue 8. P. 1274-1275. https://doi.org/10.1109/9.151126

47. Byrnes C. I., Lin W., Ghosh B. K. Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state feedback // Systems and Control Letters. 1993. Vol. 21. No. 3. P. 255-263. https://doi.org/10.1016/0167-6911(93)90036-6

48. Cheng V. A direct way to stabilize continuous-time and discrete-time linear time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1979. Vol. 24. Issue 4. P. 641-643. https://doi.org/10.1109/tac.1979.1102101

49. Dickinson B. On the fundamental theorem of linear state variable feedback // IEEE Transactions on Automatic Control. 1974. Vol. 19. Issue 5. P. 577-579. https://doi.org/10.1109/tac.1974.1100639

50. Elaydi S. An introduction to difference equations. New York: Springer, 2005. https://doi.org/10.1007/0-387-27602-5

51. Engwerda J. C. Stabilizability and detectability of discrete-time time-varying systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1990. Vol. 35. Issue 4. P. 425-429. https://doi.org/10.1109/9.52294

52. Grune L., Wirth F. Feedback stabilization of discrete-time homogeneous semilinear systems // Systems and Control Letters. 1999. Vol. 37. Issue 1. P. 19-30. https://doi.org/10.1016/s0167-6911(98)00110-8

53. Halanay A., Ionescu V. Time-varying discrete linear systems: input-output operators, Riccati equations, disturbance attenuation. Basel: Springer, 1994. https://www.springer.com/gp/book/9783764350123

54. Johnson R., Obaya R., Novo S., Nunez G., Fabbri R. Nonautonomous linear Hamiltonian systems: oscillation, spectral theory and control. Cham: Springer, 2016. https://doi.org/10.1007/978-3-319-29025-6

55. Kalman R. E. Contribution to the theory of optimal control // Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana. 1960. Vol. 5. No 1. P. 102-119. https://zbmath.org/?q=an:0112.06303

56. Klamka J. Controllability of dynamical systems. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991.

57. Kwon W., Pearson A. On feedback stabilization of time-varying discrete linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1978. Vol. 23. No. 3. P. 479-481. https://doi.org/10.1109/TAC.1978.1101749

58. Lin W. Further results on global stabilization of discrete nonlinear systems // Systems and Control Letters. 1996. Vol. 29. No. 1. P. 51-59. https://doi.org/10.1016/0167-6911(96)00037-0

59. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Mathematische Zeitschrift. 1930. Vol. 31. Issue 1. P. 748-766. https://doi.org/10.1007/bf01246445

60. Popova S. N., Banshchikova I. N. Spectral set of a linear system with discrete time // Journal of Mathematical Sciences. 2018. Vol. 230. No. 5. P. 752-756. https://doi.org/10.1007/s10958-018-3783-3

61. Popova S.N., Banshchikova I.N. On the property of proportional local assignability of the Lyapunov spectrum for discrete time-varying systems // Proceedings of 2018 14th International Conference "Stability and oscillations of nonlinear control systems" (Pyatnitskiy's conference) (STAB): Russia, Moscow, V. A. Trapeznikov Institute of control sciences, May 30-June 1, 2018. Moscow: IEEE, 2018. https://doi.org/10.1109/STAB.2018.8408389

62. Sell G. Topological dynamics and ordinary differential equations (Series Van Nostrand Reinhold mathematical studies). New York: Van Nostrand, 1971.

63. Sell G. R. The Floquet problem for almost periodic linear differential equations. Ordinary and partial differential equations. New York: Springer, 1974. P. 239-251. https://doi.org/10.1007/BFb0065533

64. Sontag E. D. Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems, vol. 6. New York: Springer, 2013. https://www.springer.com/gp/book/9780387984896

65. Tsinias J. Stabilizability of discrete-time nonlinear systems // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 1989. Vol. 6. Issue 2. P. 135-150. https://doi.org/10.1093/imamci/6.2.135

66. Wonham W. M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems // IEEE Transactions on Automatic Control. 1967. Vol. 12. No. 6. P. 660-665. https://doi.org/10.1109/tac.1967.1098739

67. Zaitsev V. Sufficient conditions for uniform global asymptotic stabilization of discrete-time periodic bilinear systems // IFAC-PapersOnLine. 2017. Vol. 50. Issue 1. P. 11529-11534. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.1623

Поступила в редакцию 10.02.2021

Банщикова Ирина Николаевна, старший преподаватель, научный сотрудник, Удмуртский государственный университет, 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, 1. ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6687-5008 E-mail: [email protected]

Цитирование: И. Н. Банщикова. Локальная управляемость показателей Ляпунова линейных систем с дискретным временем // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2021. Т. 57. С. 3-76.

I.N. Banshchikova

Local assignability of Lyapunov exponents of linear discrete-time system

Keywords: linear discrete-time system, Lyapunov exponents, controllability, stabilizability, dynamic shift system.

MSC2020: 39A06, 39A22, 39A30, 93B55 DOI: 10.35634/2226-3594-2021-57-01

We consider sufficient and necessary conditions for the proportional local assignability of the Lyapunov spectrum of the system

x(m + 1) = (A(m) + B(m)U(m)) x(m), m € Z, x € Rn.

The properties of stability of the Lyapunov spectrum and integral separation of linear discrete-time systems are studied, description of the spectral set of a linear system in the case of the full spectrum stability is obtained, the property of uniform complete controllability of a linear system with discrete time is studied, and the properties of the Bebutov shell of a linear discrete-time control system are investigated.

Funding. This research was funded by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation in the framework of state assignment No. 075-00232-20-01, project FEWS-2020-0010, and was funded by RFBR, project number 20-01-00293.

REFERENCES

1. Adrianova L. Ya. Vvedenie v teoriyu lineinykh sistem differentsial'nykh uravnenii (Introduction to the theory of linear systems of differential equations), St. Petersburg: Petersburg State University, 1992.

2. Banshchikova I. N., Popova S. N. On the spectral set of a linear discrete system with stable Lyapunov exponents, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2016, vol. 26, issue 1, pp. 15-26 (in Russian). https://doi.org/10.20537/vm160102

3. Banshchikova I. N. An example of a linear discrete system with unstable Lyapunov exponents, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2016, vol. 26, issue 2, pp. 169-176 (in Russian). https://doi.org/10.20537/vm160203

4. Banshchikova I. N., Popova S. N. On the property of integral separation of discrete-time systems, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2017, vol. 27, issue 4, pp. 481-498 (in Russian). https://doi.org/10.20537/vm170401

5. Banshchikova I. N. To the property of uniform complete controllability of discrete-time systems, Modern problems in mathematics and its applications, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, 2018, p. 23 (in Russian). https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32695424

6. Banshchikova I.N., Makarov E. K., Popova S.N. On the conditions of proportional local assignabil-ity of the Lyapunov spectrum of a linear discrete-time system, Vestnik Udmurtskogo Universiteta. Matematika. Mekhanika. Komp'yuternye Nauki, 2019, vol. 29, issue 3, pp. 301-311 (in Russian). https://doi.org/10.20537/vm190301

7. Banshchikova I.N., Popova S.N. Necessary and sufficient conditions for proportional local controllability of Lyapunov exponents in linear discrete-time systems, Differential Equations, 2020, vol. 56, issue 1, pp. 120-130. https://doi.org/10.1134/S0012266120010139

8. Borukhov V. T., Kvetko O. M. Stabilizability criteria for discrete linear finite-dimensional systems in metric and ultrametric spaces, Journal of Computer and Systems Sciences International, 2010, vol. 49, issue 2, pp. 169-177. https://doi.org/10.1134/S1064230710020012

9. Bylov B. F. On reduction of a system of linear equations to a diagonal form, Matematicheskii Sbornik (Novaya Seriya), 1965, vol. 67 (109), issue 3, pp. 338-344 (in Russian).

http ://mi.mathnet.ru/eng/msb4370

10. Bylov B. F., Vinograd R. E., Grobman D. M., Nemytskii V. V. Teoriya pokazatelei Lyapunova (Theory of Lyapunov exponents), Moscow: Nauka, 1966.

11. Bylov B. F., Izobov N.A. Necessary and sufficient conditions for the stability of the characteristic exponents of a linear system, Differ. Uravn., 1969, vol. 5, no. 10, pp. 1794-1803 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de820

12. Bylov B. F. Reduction of a linear system to block-triangular form, Differ. Uravn., 1987, vol. 23, no. 12, pp. 2027-2031 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de6381

13. Vinograd R. E. On the central characteristic index of a system of differential equations, Matematich-eskii Sbornik (Novaya Seriya), 1957, vol. 42 (84), no. 2, pp. 207-222 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/msb5050

14. Gaishun I. V. Sistemy s diskretnym vremenem (Discrete-time systems), Minsk: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, 2001.

15. Grishin S. A. Some questions on the control and stability of linear systems, Differ. Uravn., 1982, vol. 18, no. 11, pp. 1862-1869 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de4694

16. Demidovich V. B. A certain criterion for the stability of difference equations, Differ. Uravn., 1969, vol. 5, no. 7, pp. 1247-1255 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de759

17. Zaitsev V. A. Stabilization of stationary affine control systems with discrete time, Differential Equations, 2015, vol. 51, no. 12, pp. 1637-1648. https://doi.org/10.1134/S0012266115120113

18. Izobov N.A. The highest exponent of a linear system with exponential perturbations, Differ. Uravn., 1969, vol. 5, no. 7, pp. 1186-1192 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de753

19. Izobov N. A. Linear systems of ordinary differential equations, Journal of Soviet Mathematics, 1976, vol. 5, pp. 46-96. https://doi.org/10.1007/BF01091661

20. Izobov N. A., Zvereva T. E. The spectrum of characteristic exponents of a two-dimensional stationary system with perturbations-rotations Differ. Uravn., 1981, vol. 17, no. 11, pp. 1964-1977 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de4393

21. Izobov N. A. Exponential exponents of a linear system and their computation, Dokl. Akad. Nauk BSSR, 1982, vol. 26, no. 1, pp. 5-8.

22. Izobov N. A. Characteristic exponents of linear systems with Grobman perturbations, Differential Equations, 1991, vol. 27, no. 3, pp. 299-306. http://mi.mathnet.ru/eng/de7427

23. Izobov N.A. On the existence of Grobman spectral sets of positive measure for linear systems, Differential Equations, 1991, vol. 27, no. 6, pp. 666-669. http://mi.mathnet.ru/eng/de7507

24. Kandakov A. A., Chudinov K. M. Effective stability criterion for a discrete dynamical system, Applied Mathematics and Control Sciences, 2017, no. 4, pp. 88-103 (in Russian). https://www.elibrary.ru/item.asp?id=32303669

25. Kandakov A. A., Chudinov K. M. Effective criteria of exponential stability of autonomous difference equations, Tambov University Reports. Series Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 123, pp. 402-414 (in Russian). https://doi.org/10.20310/1810-0198-2018-23-123-402-414

26. Kulikov A. Yu., Malygina V. V. Stability of a linear difference equation and estimation of its fundamental solution, Russian Mathematics, 2011, vol. 55, no. 12, pp. 23-33. https://doi.org/10.3103/S1066369X11120048

27. Leonov G. A. The Brockett problem for linear discrete control systems, Automation and Remote Control, 2002, vol. 63, no. 5, pp. 777-781. https://doi.org/10.1023/A:1015497921140

28. Makarov E.K., Popova S.N. On the method of rotations for linear controlled systems, Doklady Natsional'noi Akademii Nauk Belarusi, 1998, vol. 42, no. 6, pp. 13-16 (in Russian). https://zbmath.org/?q=an:1040.93 5 09

29. Makarov E.K., Popova S.N. Upravlyaemost' asimptoticheskikh invariantov nestatsionarnykh lineinykh sistem (Controllability of asymptotic invariants of time-dependent linear systems), Minsk: Belorusskaya Nauka, 2012.

30. Millionshchikov V. M. A criterion for a small change in the direction of the solutions of a linear system of differential equations as the result of small disturbances in the coefficients of the system, Mathematical notes of the Academy of Sciences of the USSR, 1968, vol. 4, no. 2, pp. 595-600. https://doi.org/10.1007/BF01094958

31. Millionshchikov V. M. A proof of the attainability of the central exponents of linear systems, Siberian

Mathematical Journal, 1969, vol. 10, no. 1, pp. 69-73. https://doi.org/10.1007/BF01208409

32. Millionshchikov V. M. Structurally stable properties of linear systems of differential equations, Differ. Uravn., 1969, vol. 5, no. 10, pp. 1755-1784 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de818

33. Popov V. M. Giperustoichivost' avtomaticheskikh sistem (Hiperstabilitatea sistemelor automate), Moscow: Nauka, 1970.

34. Popova S.N. Control problems for Lyapunov exponents, Can. Sci. (Phys.-Math.) Dissertation, Izhevsk, 1992. (In Russian).

35. Rakhimberdiev M. I., Rozov N. Kh. Distribution of Ljapunov exponents in linear systems with periodic coefficients that are nearly constant in the mean, Differ. Uravn., 1978, vol. 14, no. 9, pp. 1710-1714 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de3507

36. Sergeev I. N. Sharp upper bounds of mobility of the Ljapunov exponents of a system of differential equations and the behavior of the exponents under perturbations approaching, Differ. Uravn., 1980, vol. 16, no. 3, pp. 438-448 (in Russian). http://mi.mathnet.ru/eng/de3943

37. Sergeev I.N. Exact bounds for the mobility of Lyapunov indices of linear systems in the case of small (on the average) perturbations, Trudy Seminara Imeni I. G. Petrovskogo, vol. 11, pp. 32-73 (in Russian). https://zbmath.org/?q=an:0619.34049

38. Surkov A. G. O spektral'nom mnozhestve lineinykh sistem vtorogo poryadka s ogranichennymi vozmushcheniyami (On the spectral set of second-order linear systems with limited perturbations), Minsk, 1984.

39. Tonkov E. L. K teorii lineinykh upravlyaemykh sistem (To the theory of linear control systems), Izhevsk: Udmurt State University, 2018.

40. Horn R. A., Johnson C. R. Matrix analysis, Cambridge: Cambridge University Press, 1986. Translated under the title Matrichnyi analiz, Moscow: Mir, 1989.

41. Engelking R. General topology, Lemgo: Heldermann Verlag, 1989.

42. Babiarz A., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Pole placement theorem for discrete time-varying linear systems, SIAM Journal on Control and Optimization, 2017, vol. 55, no. 2, pp. 671-692. https://doi.org/10.1137/15m1033666

43. Babiarz A., Banshchikova I., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Necessary and sufficient conditions for assignability of the Lyapunov spectrum of discrete linear time-varying systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 2018, vol. 63, no. 11, pp. 3825-3837. https://doi.org/10.1109/tac.2018.2823086

44. Babiarz A., Banshchikova I., Czornik A., Makarov E., Niezabitowski M., Popova S. Proportional local assignability of Lyapunov spectrum of linear discrete time-varying systems, SIAM Journal on Control and Optimization, 2019, vol. 57, no. 2, pp. 1355-1377. https://doi.org/10.1137/17m1141734

45. Bacciotti A., Biglio A. Some remarks about stability of nonlinear discrete-time control systems, Nonlinear Differential Equations and Applications, 2001, vol. 8, no. 4, pp. 425-438. https://doi.org/10.1007/pl00001456

46. Bittanti S., Bolzern P., De Nicolao G., Engwerda J. C. Comments on "Stabilizability and detectability of discrete-time, time-varying systems", IEEE Transactions on Automatic Control, 1992, vol. 37, issue 8, pp. 1274-1275. https://doi.org/10.1109/9.151126

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

47. Byrnes C. I., Lin W., Ghosh B. K. Stabilization of discrete-time nonlinear systems by smooth state feedback, Systems and Control Letters, 1993, vol. 21, no. 3, pp. 255-263. https://doi.org/10.1016/0167-6911(93)90036-6

48. Cheng V. A direct way to stabilize continuous-time and discrete-time linear time-varying systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 1979, vol. 24, issue 4, pp. 641-643. https://doi.org/10.1109/tac.1979.1102101

49. Dickinson B. On the fundamental theorem of linear state variable feedback, IEEE Transactions on Automatic Control, 1974, vol. 19, issue 5, pp. 577-579. https://doi.org/10.1109/tac.1974.1100639

50. Elaydi S. An introduction to difference equations, New York: Springer, 2005. https://doi.org/10.1007/0-387-27602-5

51. Engwerda J. C. Stabilizability and detectability of discrete-time time-varying systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 1990, vol. 35, issue 4, pp. 425-429. https://doi.org/10.1109/9.52294

52. Griine L., Wirth F. Feedback stabilization of discrete-time homogeneous semilinear systems, Systems

and Control Letters, 1999, vol. 37, issue 1, pp. 19-30. https://doi.org/10.1016/s0167-6911(98)00110-8

53. Halanay A., Ionescu V. Time-varying discrete linear systems: input-output operators, Riccati equations, disturbance attenuation, Basel: Springer, 1994. https://www.springer.com/gp/book/9783764350123

54. Johnson R., Obaya R., Novo S., NUnez G., Fabbri R. Nonautonomous linear Hamiltonian systems: oscillation, spectral theory and control, Cham: Springer, 2016. https://doi.org/10.1007/978-3-319-29025-6

55. Kalman R. E. Contribution to the theory of optimal control, Boletin de la Sociedad Matematika Mexicana, 1960, vol. 5, no 1, pp. 102-119. https://zbmath.org/?q=an:0112.06303

56. Klamka J. Controllability of dynamical systems, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1991.

57. Kwon W., Pearson A. On feedback stabilization of time-varying discrete linear systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 1978, vol. 23, no. 3, pp. 479-481. https://doi.org/10.1109/TAC.1978.1101749

58. Lin W. Further results on global stabilization of discrete nonlinear systems, Systems and Control Letters, 1996, vol. 29, no. 1, pp. 51-59. https://doi.org/10.1016/0167-6911(96)00037-0

59. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme, Mathematische Zeitschrift, 1930, vol. 31, issue 1, pp. 748-766. https://doi.org/10.1007/bf01246445

60. Popova S. N., Banshchikova I. N. Spectral set of a linear system with discrete time, Journal of Mathematical Sciences, 2018, vol. 230, no. 5, pp. 752-756. https://doi.org/10.1007/s10958-018-3783-3

61. Popova S. N., Banshchikova I. N. On the property of proportional local assignability of the Lyapunov spectrum for discrete time-varying systems // Proceedings of 2018 14th International Conference "Stability and oscillations of nonlinear control systems" (Pyatnitskiy's conference) (STAB): Russia, Moscow, V. A. Trapeznikov Institute of control sciences, May 30-June 1, 2018. Moscow: IEEE, 2018. https://doi.org/10.1109/STAB.2018.8408389

62. Sell G. Topological dynamics and ordinary differential equations (Series Van Nostrand Reinhold mathematical studies), New York: Van Nostrand, 1971.

63. Sell G. R. The Floquet problem for almost periodic linear differential equations. Ordinary and partial differential equations. New York: Springer, 1974. P. 239-251. https://doi.org/10.1007/BFb0065533

64. Sontag E. D. Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems, vol. 6, New York: Springer, 2013. https://www.springer.com/gp/book/9780387984896

65. Tsinias J. Stabilizability of discrete-time nonlinear systems, IMA Journal of Mathematical Control and Information, 1989, vol. 6, issue 2, pp. 135-150. https://doi.org/10.1093/imamci/6.2.135

66. Wonham W. M. On pole assignment in multi-input controllable linear systems, IEEE Transactions on Automatic Control, 1967, vol. 12, no. 6, pp. 660-665. https://doi.org/10.1109/tac.1967.1098739

67. Zaitsev V. Sufficient conditions for uniform global asymptotic stabilization of discrete-time periodic bilinear systems, IFAC-PapersOnLine, 2017, vol. 50, issue 1, pp. 11529-11534. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2017.08.1623

Received 10.02.2021

Banshchikova Irina Nikolaevna, Senior Lecturer, Researcher, Department of Differential Equation, Laboratory of Mathematical Control Theory, Udmurt State University, ul. Universitetskaya, 1, Izhevsk, 426034, Russia.

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-6687-5008 E-mail: [email protected]

Citation: I.N. Banshchikova. Local assignability of Lyapunov exponents of linear discrete-time system, Izvestiya Instituta Matematiki i Informatiki Udmurtskogo Gosudarstvennogo Universiteta, 2021, vol. 57, pp. 3-76.

ЛОКАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Банщикова Ирина Николаевна

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Банщикова Ирина Николаевна

LOCAL ASSIGNABILITY OF LYAPUNOV EXPONENTS OF LINEAR DISCRETE-TIME SYSTEM

Текст научной работы на тему «ЛОКАЛЬНАЯ УПРАВЛЯЕМОСТЬ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ЛЯПУНОВА ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ»