МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 13. № 3 (2021). С. 178-195.

УДК 517.958

МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ В ЗАДАЧЕ О ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ РЕЗОНАНСЕ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

М.Г. ЮМАГУЛОВ, Л.С. ИБРАГИМОВА, A.C. БЕЛОВА

Аннотация. В работе рассматривается задача о параметрическом резонансе для линейных периодических гамильтоновых систем, зависящих от малого параметра. Предлагаются основанные на методах теории возмущений линейных операторов новые формулы в задаче приближенного построения мультипликаторов линейных неавтономных периодических гамильтоновых систем. Основное внимание уделяется получению формул первого приближения для возмущений кратных дефинитных и индефинитных мультипликаторов. Предлагаемые формулы приводят к новым признакам устойчивости по Ляпунову линейных периодических гамильтоновых систем в критических случаях. Рассматриваются приложения в задаче о параметрическом резонансе в основных резонансах. Полученные результаты сформулированы в терминах исходных уравнений и доведены до эффективных формул и алгоритмов. Эффективность предлагаемых формул иллюстрируется при решении задачи о построении границ областей устойчивости треугольных точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел.

Ключевые слова: гамильтонова система, устойчивость, мультипликатор, малый параметр, параметрический резонанс, теория возмущений, задача трех тел, точки либрации.

Mathematics Subject Classification: 37J25, 37J40, 37N05

1. Введение

1.1. Основные уравнения. Рассматривается зависящая от скалярного или векторного малого параметра е линейная периодическая гамильтонова система (ЛПГС) вида:

^ = JA(t,e)x, х е R2W, (1.1)

в которой A(t,e) - вещественная симметрическая и Т-периодичеекая по t матрица (т.е. A(t + Т,е) = A(t, е)), а матрнца J определена равенством:

0 I

3 = \ п ; здесь I - единичная (М х N) матрпца. (1-2)

—1 и

Предполагается, что:

- элементы матрицы А(Ь, е) непрерывны по ¿и Сй-гладкие по е, где к ^ 1;

- выполнено тождество:

А(1,0) = Ас, (1.3)

где Ас - постоянная симметрическая матрица.

M.G. Yumagulov, L.S. Ibragimova, A.S. Belova, Perturbation theory methods in problem of

parametric resonance for linear periodic hamiltonian systems.

(с) Юмагулов M.Г., Ибрагимова Л.С., Белова А.С. 2021.

Исследование третьего автора выполнено в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации (код научной темы FZWU-2020-0027). Поступила 18 февраля 2021 г.

Условие (1.3) означает, что ЛПГС (1.1) при е = 0 является линейной автономной га-мил ьтоновой системой (ЛАГС):

^ = JAox, х е R2W. (1.4)

Систему (1.4) будем называть «невозмущенной», а систему (1.1) - «возмущенной» системой.

В статье обсуждаются некоторые вопросы о построении формул первого приближения для возмущений кратных дефинитных и индефинитных мультипликаторов системы (1.4). Рассматриваются приложения к исследованию задачи о параметрическом резонансе для системы (1.1). Более развернутая постановка будет приведена ниже.

1.2. Вспомогательные сведения. Приведем сначала в краткой форме некоторые вспомогательные сведения из общей теории линейных гамильтоновых систем (см., например, [1]-[4]).

Рассмотрим линейную периодическую гамильтонову систему:

^ = JA(t)x, х е R2W; (1.5)

здесь A(t) - вещественная симметрическая матрица, элементы которой являются непрерывными и Т-периодичеекими по t функциями. Ниже участвующую в системе (1.5) матрицу JA(t) для простоты будем называть гамилътоновой (в литературе используются и другие термины, например, инфинитезимально симплектическая матрица).

Мультипликаторы системы (1.5) - это собственные значения ее матрицы монодромии V, т.е. матрицы V = X(Т), где X(t) - фундаментальная матрица решений (ФМР) системы (1.5). В качестве ФМР системы (1.5) будем рассматривать решение матричной задачи Коши: X' = JA(t)X, X(0) = /; здесь I - единичная матрица размерности 2N. Имеют место следующие факты:

- Пусть ЛПГС (1.5) имеет мультипликатор Тогда = 0 и числа —, Дё, ~ также

являются мультипликаторами ЛПГС (1.5), причем той же алгебраической и геометрической кратности и того же индекса.

- Если ЛПГС (1.5) имеет мультипликатор ^и —1), то этот мультипликатор имеет четную алгебраическую кратность.

- ЛПГС (1.5) устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы ^ расположены на единичной окружности (т.е. = 1) и являются полупростыми. При этом ЛПГС (1.5) не может быть асимптотически устойчивой.

Наряду с (1.5) будем рассматривать также возмущенную ЛПГС вида:

^ = JA(t)x, ж е R2N, (1.6)

в которой A(t) - мадое возмущение матрицы A(t) (в классе симметрических, непрерывных Т

Пусть все мультипликаторы ^ системы (1.5) расположены на единичной окружности (т.е. = 1) и являются простыми. Пусть ^0 - это один из этих мультипликаторов. Тогда при малых возмущениях система (1.6) также будет иметь простой мультипликатор ¡1 близкий к при этом |Д| = 1. Свойства устойчивости системы (1.5) в этом случае не изменятся: она остается устойчивой.

Пусть теперь система (1.5) имеет кратный мультипликатор такой, что |^0| = 1 (а остальные мультипликаторы по-прежнему являются простыми и расположены на единичной окружности). Пусть для простоты эта кратность равна 2. Тогда при переходе

от (1.5) к возмущенной системе (1.6) мультипликатор обычно расщепляется па два простых мультипликатора и При этом возможны два случая:

а) = 1/ДГ : < 1 < Ы;

б) 1 = Ы = 1.

В случае а) возмущенная система (1.6) становится неустойчивой, а в случае б) - устойчивой.

Строго говоря, вопрос о том, какой из вариантов а) или б) выберет система (1.5) при расщеплении кратного мультипликатора зависит не только от свойств возмущенной системы (1.6), но и от невозмущенной системы (1.5). А именно, кратные мультипликаторы подразделяются на два типа: дефинитные и индефинитиные (см., например, [2]). Если кратный мультипликатор является дефинитным, то при любом достаточно малом линейном периодическом гамильтоновом возмущении системы (1.5) мультипликатор может расщепиться только по варианту б), т.е. мультипликаторы и ^2 останутся на единичной окружности. Если же кратный мультипликатор ^0 является индефинитным, то существуют малые возмущения, при которых эти мультипликаторы сойдут с единичной окружности.

Понятие дефинитности мультипликаторов связано с другим важным понятием теории ЛПГС. Говорят (см., например, [2], [5]), что система (1.5) является сильно (параметрически) устойчивой, если она и все достаточно малые линейные периодические гамильтоновы возмущения устойчивы по Ляпунову. Другими словами, система (1.5) является сильно (параметрически) устойчивой, если она и близкие к ней возмущенные системы (1.6) являются устойчивыми.

Важное значение имеет следующее утверждение (см., например, [2], стр. 172; [5], стр. 80).

Теорема 1.1. (Крейн - Гелъфанд - Лидский) Система (1.5) является сильно устойчивой тогда и только тогда, когда:

1) все ее мультипликаторы являются, полупростыми и равны единице по модулю;

2) числа ±1 не являются, ее мультипликаторами;

3) все ее кратные мультипликаторы являются, дефинитными.

2. Постановка задачи

Вернемся к основным системам (1.1) и (1.4).

Для невозмущенной автономной системы (1.4) матрица монодромии V в Т-периодичее-кой задаче имеет вид V = eTJA°. При этом мультипликаторы ^ системы (1.4) связаны с собственными значениями А матрицы ,1А0 равенств ом ^ = етх. В силу указанных выше свойств линейных гамильтоновых систем и в соответствии с теорией возмущений линейных операторов (см., например, [19]) верно следующее: если матрица ,1А0 имеет хотя бы одно собственное значение с ненулевой вещественной частью, то возмущенная ЛПГС (1.1) будет неустойчивой при всех малых |е|.

Пусть все собственные значения матрицы ,1А0 являются чисто мнимыми, а именно, ими являются числа:

± гшГ, ±гш2, ..., ±гш^, (2-1)

где ^ 0. Если некоторое собственное значение гшт имеет алгебраическую кратноеть к, то в списке (2.1) число гшт встречается ровно к раз, В этом случае при е = 0 все мультипликаторы ЛПГС (1.1) по модулю равны единице. Как было отмечено выше, особый интерес представляют ситуации, когда некоторые из этих мультипликаторов являются кратными.

Кратные мультипликаторы системы (1.4) возникают (см, например, [1]) при выполнении одного из условий:

81) среди чисел (2,1) имеется хотя бы одно гшто такое, что:

^ = ^ при некоТОром целом неотрицательном кс; (2.2)

Б2) среди чисел (2.1) имеется хотя бы одна пара гшто и гш10 (тс = 1с) такая, что:

2ж кс Т

што — Ш10 = при некотором целом кс. (2.3)

Замечание 2.1. Равенство (2.2) означает, что соответствующий мультипликатор системы, (1-4) равен 1 (если кс - четно) или -1 (если кс - нечетно) четной кратности. Отсюда и из теоремы Крейна - Гелъфанда - Лидского следует, что при выполнении равенства (2.2) невозмущенная система (1-4) ке обладает свойством, сильной устойчивости.

Замечание 2.2. Равенство (2.3) означает, что соответствующий мультипликатор системы (1-4) является кратным, при этом, он равен

^с = еТшт° * = еТш1°>. (2.4)

Если при этом, числа што и шг0 не удовлетворяют соотношению вида, (2.2) (т.е. што,Ш10 = ък/Т при любых целых к), то для, мультипликатора (2-4) выполнено: Цс = ±1-

Условие Б2 охватывает и случай, когда, матрица ЗАс имеет кратное чисто мнимое собственное значение. А именно, этот случай имеет место, если равенство (2.3) выполнено при кс = 0: тогда, штог = Ш10г.

Задачу исследования устойчивости системы (1.1) в условиях типа Б1 или Б2. часто называют (см, например, [1], [7]) задачей о параметрическом резонансе, а сами эти соотношения называют параметрическими резонансами. При этом соотношение типа (2.2) называют простым резонансом, а соотношение типа (2.3) - комбинационным резонансом. В этой связи отметим, что соотношения (2.2) и (2.3) можно представить в единой форме

2ж кс

П\итп + П2Ши

Т

в которой П\Ъ п2 - целые числа такие, что |п1| + |п21 = 2. В этом случае говорят о резонансе второго порядка.

Задаче исследования устойчивости линейных гамильтоновых систем с периодическим возмущением и, в частности, задаче о параметрическом резонансе посвящено множество работ. Большинство исследований основаны на методах нормализации линейных гамильтоновых систем и на преобразовании гамильтониана системы (1.1) путем канонической замены переменных. В этом направлении получен ряд важных результатов (см., например, [1], [И] [17]),

Другие подходы исследования задачи о параметрическом резонансе основаны на классической теории возмущений линейных операторов. Следует указать на то, что интерес представляют не непосредственное применение методов общей теории (этот путь, как правило, чрезвычайно громоздок и поэтому практически не применяется), а модификации методов, максимально учитывающих специфику задачи, связанную с гамильтоновостью системы. Указанный подход также получил свое развитие в работах многих авторов (см., например,

й, Й-М).

Исследования продолжаются в различных направлениях. Здесь особо актуальными представляются разработки общих подходов исследования задачи о параметрическом резонансе в терминах исходных уравнений без необходимости предварительного (часто трудоемкого и громоздкого) их преобразования. Основную сложность здесь представляет задача построения формул первого приближения для мультипликаторов возмущенной неавтономной периодической гамильтоновой системы, В этой связи укажем на то, что известные в литературе формулы, как правило, направлены на исследование автономных систем (см., например, [5], [8], [10], [18]),

В настоящей статье проводится исследование задачи о параметрическом резонансе для ЛПГС (1.1) в условиях и Б2, Приводятся новые формулы первого приближения в задаче приближенного построения мультипликаторов этой системы (1.1) с учетом их дефицитности или недифинитноети. Полученные формулы используются для проведения анализа устойчивости (неустойчивости) по Ляпунову ЛПГС (1.1).

Задача о параметрическом резонансе для ЛПГС (1.1) будет изучаться в следующих основных случаях, соответствующих условиям и 82:

РГ. Матрица ,1А0 имеет кратное (кратноети 2) собственное значение А = %ш0.; где ш0 ^ 0 ъ ш0 = кк/Т при натуральных к.

Р2. Матрица ,1А0 имеет два простых собственных значения АГ = %шГ и А2 = гш2, где шГ,ш2 > 0 шГ,ш2 = кк/Т при натуральных к, при этом шГ — ш2 = 2жк0/Т при некотором натуральном к0.

Р3. Матрица ,1А0 имеет простое собственное значение А = гш0.; где ш0 = пк0/Т при некотором натуральном к0.

Будем предполагать, что остальные (отличные от ±гш0 в случаях РГ и Р3ъ от ±1шГъ ±гш2 в случае Р2) собственные значения А матрицы ,1А0 являются простыми и чисто мнимыми, а именно, числами вида А = гш, где ш = кк/Т при целых к. При этом ни для одной пары из них не выполняется резонансное соотношение типа того, что указано в случае Р2.

Случаи РГъ Р2 соответствуют условию (2.3), а случай Р3 - условию (2.2); впрочем, если в случае РГ имеем ш0 = 0, то он соответствует обоим условиям (2.2) и (2.3). Нам удобно систему (1.1) представить в виде:

пт

— = 3[А0 + + х е , (2.5)

в котором </ - это матрица (1.2), А0 - матрица (1.3), 5Г(£) и Я2(¿,е) - вещественные, симметрические и Т-периодичеекие по £ матрицы, при этом матрица Б2(1,е) является гладкой по е и удовлетворяет соотношению: ||^2(¿,е)|| = 0(е2) при е ^ 0 равномерно по ¿.

3. Случай Рг

Изучение задачи начнем со случая РГ. Этот случай разбивается на поделучаи, когда собственное значение А = гш0 является полу простым (поделучай Р^ или неполу простым (поделучай РГ2). Рассмотрим эти поделучаи.

3.1. Поделучай РГ. Пусть матрица ,1А0 имеет полупростое (кратноети 2) собственное значение %ш0.; где ш0 ^ 0 и ш0 = кк/Т при натуральных к. Обозначим через V(е) матрицу монодромии «возмущенной» системы (2.5). Тогда У0 = eJA°т - матрица монодромии «невозмущенной» системы (1.4). В рассматриваемом поделучае матрица У0 имеет полупростое собственное значение = еш°т кратности 2. Отметим, что так как ш0 = кк/Т при натуральных к., то при ш0 > 0 имеем: = ±1. Отметим также, что при ш0 > 0 мультипликатор системы (1.4) может быть как дефинитным, так и индефинитным, а при ш0 = 0 он является индефинитным.

А именно, при > 0 возможны два взаимоисключающих случая (см., например, [2], [5]):

1с для любого собственного вектора е, отвечающего собственному значению гматрицы

ЗАс, выполняется соотпошение: (Зе, е) = 0; 2с существует собственный вектор е, отвечающий собственному значению гшс матрицы ЗАс, для которого (Зе, е) = 0.

В первом случае мультипликатор ^с = еш°т системы (1.4) является дефинитным, а во втором случае - индефинитным.

Так как матрица ЗАс имеет полупростое (кратноети 2) собственное зпачение гшс.; то существуют ненулевые линейно независимые векторы е,д € С2М такие, что

ЗАсе = шсе, ЗАсд = гшсд. (3-1)

Векторы е,д будут собственными и для матрицы монодромии Vс = eJAoT, отвечающими полупростому собственному значению ^с = ешоТ кратноети 2.

Из указанных выше свойств мультипликатора связанных с дефицитностью или ин-дефинитностью, вытекает следующее утверждение:

Лемма 3.1. Пусть ^с является дефинитным мультипликатором системы (1-4)- Тогда собственные векторы е,д матрицы ЗАс можно нормировать в соответствии с одной и только одной парой равенств:

(гЗе, е) = (гЗд, д) = 1 (3.2)

или

(гЗе, е) = (гЗд, д) = —1. (3.3)

Если, же является, индефинитным мультипликатором, то векторы е,д можно нормировать равенствами:

(гЗе, е) = —1, (гЗд, д) = 1. (3.4)

,

(е,Зд) = 0 . (3.5)

| |

матрица V(е) имеет пару собственных значений ^(е) и ^2(е) таких, что функции ^(е) и (е) являются непрерывно дифференцируемыми, причем ^1(0) = ^2(0) = Более того, они представимы в виде

^(е) = ^с + ^е + 0(е3/2), »2(е) = ^ + + 0(е3/2). (3.6)

Приведем схему построения коэффициентов и ^ в формулах (3.6).

,

матрицу

50 = [ Б^М, (3.7)

с

где Б]^^) - матрица, участвующая в системе (2.5). Далее положим

а = (Бсе, е), Ь = (Бсд, д), с=(Бсд, е). (3.8)

Отметим, что числа а и Ь являются вещественными, а число с, вообще говоря, комплексное.

3.1.1. Возмущение дефинитного мультипликатора. Рассмотрим сначала вопрос о коэффициентах и у^22 в формулах (5.6) в предположении, что ус = еШоТ является дефинитным мультипликатором системы (1.4), Отметим, что тогда ус = ±1 и, следовательно, в формуле ус = еш°т необходимо должно выполняться соотношение: = кк/Т при целых к. В частности, здесь мы должны предполагать, что = 0.

Теорема 3.1. Пусть имеет место одна из нормировок (3.2) или (3.3) и выполнено равенство (3.5). Тогда коэффициенты ^ и ^ в разложениях (3.6) - это собственные значения матрицы И = —гцсОс или И = 1усОс соответственно, где

Ис

а

с Ь

(3.9)

Доказательства этого и других основных утверждений статьи вынесены в п. 7.

Отметим, что собственные значения А1 и \2 матрицы (3.9) являются вещественными числами, а именно, корнями квадратного уравнения

А2 — (а + Ь)А + аЬ — сс = 0. (3.10)

Приведем следствия теоремы 3.1.

Следствие 3.1. Пусть ус является, дефинитным мультипликатором системы, (1-4)-Пусть имеет место нормировка (3.2) (нормировка (3.3)). Тогда коэффициенты ^ и в разложениях (3.6) имеют вид

^ = —г^сАъ = —г/1сА2 (у[1) = 1^1, = 1^2), (3.11)

А А2

Следствие 3.2. Пусть ус является, дефинитным мультипликатором системы (1-4)-Пусть имеет место нормировка (3.2) или (3.3). Тогда, при ис > 0 невозмущенная система (1-4) является, сильно устойчивой. При переходе к возмущенной системе (1.1) дефинитный мультипликатор ус расщепляется в соответствии с формулам,и (3.6) и (3.11), оставаясь на единичной окружности: (е)| = |у2(е)| = 1. При малых |е| систем,а, (1.1) остается, устойчивой.

3.1.2. Возмущение индефинитного мультипликатора. Пусть теперь ус = егш°Т является индефинитным мультипликатором системы (1.4).

Теорема 3.2. Пусть имеет место нормировка (3-4) и выполнено равенство (3.5). Тогда коэффициенты и у!^2 в разложениях (3.6) - это собственные значения матрицы И = гусВ1, где

И1

(3.12)

—с —Ь А1 А2

А2 + (а — Ь)А — аЬ + сс =0 (3.13)

и, следовательно, могут быть как вещественными, так и комплексными. Обозначим через А = (а + Ь)2 — 4сс дискриминант уравнения (3.13). Приведем следствия теоремы 3.2.

Следствие 3.3. Пусть ус является, индефинитным мультипликатором системы

(1-4)- Пусть имеет место нормировка (3-4). Тогда коэффициенты у!2 и в разложениях (3.6) имеют вид

^ = —ЩсА1, = —г/1сА2, (3-14)

где А\ и А2 - корни квадратного уравнения (3.13). Для малых |е| индефинитный мультипликатор системы (1-4) расщепляется в соответствии с формулам,и (3.6) и (З.Ц).

Следствие 3.4. Пусть А > 0. Тогда, для данного возм,ущения ^(£) системы (2.5) и всех малых |е| индефинитный мультипликатор системы (1-4) расщепляется, оставаясь на единичной окружности: (е)| = |^2(е)| = 1. При малых |е| си,стем,а, (2.5) остается, устойчивой.

Следствие 3.5. Пусть А < 0. Тогда для данного возм ущения, Яг (£) системы, (2.5) и всех малых ненулевых |е| индефинитный мультипликатор системы, (1-4) расщепляется, покидал единичную окружность: (е)| < 1 и |^2(е)| > 1. При малых ненулевых |е| система (2.5) неустойчива.

3.2. Подслучай Р^. Пусть теперь матрица ТА0 имеет неполупростое (кратности 2) собственное значение гш0.; где ш0 ^ 0 и ш0 = кк/Т при натуральных к. Тогда матрица мо-нодромии У0 «невозмущенной» системы (1.4) имеет неполупростое собственное значение = еш°Тг кратности 2. Согласно теории возмущений линейных операторов при малых |е| матрица монодромии V(е) «возмущенной» системы (2.5) имеет пару собственных значений (е) и ^2(е) таких, что функции ^(е) и ^2(е) являются непрерывными, причем

(0) = ^2(0) = Более того, они предетавимы в виде разложения Пюизье:

щ (е) = 1ю + Л1^1 /2 + О(е), Ы?) = »0 + /2 + О(е). (3.15)

Перейдем к решению задачи вычисления коэффициентов в формулах (3.15). С этой целью отметим, что в рассматриваемом случае найдется пара ненулевых линейно независимых векторов е,д е С2М таких, что выполняются равенства

ТА0е = гш0е, ТА0д = ш0 д + е. (3.16)

Отметим, что выполнены также равенства: У0е = ^0е и У0д = ^0(д + Те).

Несложно установить справедливость следующего утверждения.

Лемма 3.2. Имеют место соотношения, (е, Те) = 0, (е, Тд) = 0, при этом, число (е, Тд) является вещественным. Вектор д можно выбрать из условия выполнения равенства

(д,Тд) = 0. (3.17)

Ниже равенство (3.17) будем считать выполненным. В силу леммы 3.2 определено число

_ 1 ' '

(е,Тд).

Теорема 3.3. Коэффициенты, ^ и ^ 6 разложениях (3.15) - это числа:

= —ТУ (в0е,е), ^ = (3.18)

где 80 - матрица (3.7).

Отметим, что подкоренное выражение в формуле (3.18) является вещественным.

Приведем некоторые следствия из теоремы 3.3.

Следствие 3.6. В подслучае РЦ невозмущенная си,стем,а, (1-4) ке является, сильно устойчивой и, соответственно, ее мультипликатор = егш°Т является, индефинитным. Для, малых |е| мультипликатор расщепляется в соответствии с формулами (3.15) и (3.18).

Следствие 3.7. Пусть ей(Б0е,е) > 0. Тогда для данного возмущения 8Г(Ь) системы, (2.5) при соответствующих малых |е| мультипликатор системы, (1-4) остается, на, единичной окружности: |^Г(е)| = 1^2(е)1 = 1. В этом, случае систем,а, (2.5) остается, устойчивой.

Следствие 3.8. Пусть £и(S0e, е) < 0. Тогда для, данного возмущения S\(t) системы (2.5) при соответствующих малых \е\ мультипликатор ß0 системы, (1-4) покидает единичную окружность: \ц\(е)| < I и \ß2(e)\ > 1- В этом случае си,стем,а, (2.5) неустойчива.

3.3. Случай нулевого собственного значения. Важным частным вариантом случая Pi является ситуация, когда матрица JA0 имеет нулевое собственное значение Л = 0 кратности 2, Здесь имеются некоторые особенности.

Во-первых отметим, что в этой ситуации в формулах (3,6) и (3,15) имеем: ß0 = 1- Отсюда и из теоремы Крейна - Гельфанда - Лидского следует, что тогда система (1.4) не обладает свойством сильной устойчивости,

Л = 0

Поэтому указанная ситуация может изучаться в соответствии с формулами и выводами пп, 3,1,2 и 3,2,

4. Случай P2

Рассмотрим теперь задачу о параметрическом резонансе для системы (2,5) в случае P2, т.е. пусть матрица JA0 имеет два простых собственных значения Л = и Л2 = iu2, где ш\,ш2 > 0 = жk/Т при натуральных к, при этом — ш2 = 2жк0/Т для неко-

торого натурального к0. Пусть, гак и выше, V(е) - матрица монодромии «возмущенной» системы (2.5). Тогда матрица монодромии V0 = eJA°T «невозмущенной» системы (1.4) имеет полупростое собственное значение ß0 кратности 2, а именно, ß0 = еТш1% = еТш2%. При этом в силу того, что ш\,ш2 = ж к/Т при натуральных к, имеем ß0 = ±1-

При малых ^матрица V (е) имеет пару собственных значений ßi (е) и ß2(e) таких, что функции ß(е) и ß2(e) являются непрерывно дифференцируемыми и предетавимыми в виде (3.6).

Так как в рассматриваемом случае P2 мультипликатор ß0 системы (1.4) является полупростым, то задачу построения коэффициентов и ß^2 в формулах (3.6) здесь можно

P1

P2

P1 P2

говорить о том, что найдется пара ненулевых линейно независимых векторов e,g Е C2N таких, что выполняются равенства:

JA0e = iu\e, JA0g = iu2g.

Эти векторы будут собственными и для матрицы монодромии V0 = eJA°T, отвечающими полу простому собственному значению ß0 кратное ти 2.

Во-вторых, хотя здесь и имеет место полный аналог леммы 3.1, но доказательство этого аналога будет иметь свои особенности. В частности, необходимости обеспечить выполнения равенства (3.5) здесь нет, так как оно будет выполнено всегда.

P2

использовать числа

а=( So е, е ), b=( Sag, д), c=i e-2mkot/T ( S (t)g, e)dt; (4.1)

Jo

здесь S0 - матрица (3.7).

P2

теорем 3.1 и 3.2, а также их следствий.

o = 0 P2

P1 o = 0

означает, что ш\ = w2, т.е. матрица JA0 имеет кратное полупростое собственное значение Л = iu0] здесь и0 = ш\ = ш2.

5. Случай Р3

Рассмотрим, наконец, случай Р3, т.е. пусть матрица ,1А0 имеет простое собственное значение гш0 , где = ък0/Т при некотором натуральном к0. Тогда матрица монодромии уо = езА°т «Невозмущенной» системы (1.4) имеет полупростое собственное значение ^0 кратности 2, где = 1 (есл и к0 четно) и ли = — 1 (есл и к0 нечетно). Из теоремы Крейна - Гельфанда - Лидс ко го следует, что в рассматриваемом случае система (1.4) не обладает свойством сильной устойчивости.

Матрица монодромии V(е) «возмущенной» системы (2.5) при малых |е| имеет пару собственных значений ^(е) и ^2(е) таких, что (0) = ^2(0) = Функции ^(е) и ^2(е) непрерывно дифференцируемы и предетавимы в виде (3.6).

Приведем утверждение относительно вычисления коэффициентов ^ в формулах (3.6). С этой целью отметим, что в рассматриваемом случае имеется ненулевой вектор е + 1д Е С2М (где е,д Е К2М) такой, что:

■!А0(е + гд) = гш0(е + гд). (5.1)

При этом векторы е,д Е будут собственными и для матрицы монодромии У0 = eJA°т, отвечающими полу простому собственному значению кратное ти 2.

Лемма 5.1. Имеет место соотношение: (е, Зд) = 0.

Положим

1

^ = . 5'2

(е,3д)

Число (е, Зд), а следовательно, и число и, является вещественным. Определим матрицу:

а Ь\

В = ußo

Ъ2 -а

(5.3)

в которой числа а.;Ъ\ ъЬ2 определяются равенствами:

п

гт х

а = J [cos(2uot)(^(t)e,g) - -sin(2uot) [(Si(t)g,g) - (Si(t)e,e)]}dt, (5.4)

b\ = [cos2(w0i) (Si(t)g, g) + sin2(u0t) (Si(t)e,e) + sin(2u0t) (Si(t)e,g)]dt, (5.5) o

b2 = h - [(S0e, e) + (Sog, g)]; (5.6) здесь S0 - матрица (3.7).

Теорема 5.1. Коэффициенты, ß^ и ß^2 в формулах (3.6) - это собственные значения матрицы (5.3).

Положим

А = а2 + ЪгЪ2. (5.7)

Собственные значения Ai и А2 матрицы (5.3) - это числа Ai)2 = ±vß0\/A, которые могут быть как вещественными, так и чисто мнимыми. Следовательно, коэффициенты ß^22 в формулах (3.6) - это числа

ß{1] = ußoVA, ß{2) = -ß{1]. (5.8)

Приведем некоторые следствия теоремы 5.1.

Следствие 5.1. В случае Р3 мулътипликатор ß0 системы (1.4) равен ß0 = 1 или ß0 = —1 и является, полупростым, кратности 2. Этот мультипликатор является, индефинитным и, соответственно, невозмущенная система (1-4) ке является, сильно устойчивой. Для, малых \е\ мулътиплика тор ß0 расщепляется в соответствии с формулами (3.6) и (5.8).

Следствие 5.2. Пусть А < 0. Тогда для данного возмущения Ясистемы (2.5) при малых \е\ мультипликатор р0 системы, (1-4) остается, на, единичной окружности: \рх (е)\ = \р2(е)\ = 1- В этом, случае си,стем,а, (2.5) остается, устойчивой.

Следствие 5.3. Пусть А > 0. Тогда для данного возмущения Я(^ системы, (2.5) при малых ненулевых \е\ мультипликатор р0 системы, (1-4) покидает единичную окружность: \р\(е)\ < 1 и \р2(е)\ > 1- В этом случае при малых ненулевых ^ систем,а, (2.5) неустойчива.

6. Приложение: устойчивость точек либрации задачи трех тел

6.1. Постановка задачи. В качестве приложения рассмотрим вопрос об устойчивости треугольных точек либрации плоской ограниченной эллиптической задачи трех тел (ПОЭЗТТ) (см., например, [5], [11]). Этот вопрос в линейной постановке приводит к необходимости исследования системы дифференциальных уравнений:

х е К4

(6.1)

в которой </ - матрица (1.2) порядка 4 х 4, А(Ь,е,р) - симметрическая матрица:

А(г ,е,р)

3л/3

1 - 4Р&, е)

3/3

(2р - 1) Р(г, е) о -1

(2ц - 1) р(1, £) 0

9

1

1 - 4Р&, £)

0

0 0

01

Здесь р(Ь, е) = (1 + еооБ^-1, £ - эксцентриситет кеплеровекой орбиты (0 ^ е < 1), р - параметр масс (0 < р < 1). Система (6.1) является линейной периодической (с периодом Т = 2п) гамильтоновой системой.

Исследованию устойчивости треугольных точек либрации ПОЭЗТТ посвящены многочисленные исследования. Одним из наиболее интересных здесь является вопрос о построении областей устойчивости системы (6.1) в плоскости параметров (р, е). Основные известные результаты относительно этого вопроса изложены в монографии [11]. Исследования в указанном направлении активно продолжаются (см., например, [22]—[25]).

На рис. 1. изображены области устойчивости и неустойчивости системы (6.1) для малых значений р.

Заштрихованная область соответствует устойчивости. Граница области устойчивости образована тремя непрерывными линиями Г, Г2 и Г3. Эти линии выходят на ось р в точках:

1 /2 ро = ~ - ^т = 0,028595...,

/69 И8~

0, 038520....

(6.2)

В этом пункте в качестве иллюстрации полученных выше результатов обсуждаются вопросы построения касательных к кривым Г, Г2 и Г3 в точках (р0, 0) и (р*, 0) соответственно.

6.2. Вспомогательные построения. При е = 0 система (6.1) является автономной:

п х

^ = ,1Ао(р)х, х е К4, (6.3)

4

4

1

РИС. 1. Область устойчивости треух'ольных точек .либрации

где ЗА0(у) - гамильтонова матрица:

ЗАо Ы

3^3

0

-1 1

- 4

(1 - 2^)

0

10 01

3^3

(1 - 2^) 0 1

5

4

10

(6.4)

Анализ характеристического уравнения матрицы (6.4) показывает, что:

1° матрица ЗА0(^0) имеет пару простых чисто мнимых собственных значений вида ±гш0.; где ш0 = 1/2, При этом два других ее собственных значения - это числа ±ш\.; где = л/3/2, Таким образом, при ^ = ^0 выполняется условие типа (2.2) или (что то же самое) условия случая Рз (см. п. 5). При ^ = система (6.3) имеет мультипликатор

'П0

е

гшо2п

-1

2° матри ца ЗА0 (и*) имеет пару неполупростых кратности два чисто мнимых собственных значений вида ±гш0, оде ш0 = 1/л/2- Таким образом, при ^ = ^* выполняется условие типа (2.3) или (что то же самое) условия случая Р\, а именно, подслучая (см. п. 3.2). При ^ = р* система (6,3) имеет мультипликатор = е™^2, являющийся пеполупростым кратности два и индефинитным.

Таким образом, задача исследования устойчивости системы (6.1) при ^ = и при ^ = и малых значениях е является задачей о параметрическом резонансе. При этом

для ^ = имеет место простой резонанс, а для ^ = у,* - комбинационный резонанс.

1° 2°

1

4

4

1°

ких к значениях ^ и малых значениях е. А именно, эту задачу будем изучать для значений лежащих на прямой

^ = ^0 + те, (6.5)

где т - некоторый фиксированный коэффициент.

Подставляя (6,5) в (6,1) и проведя соответствующие преобразования (с учетом (6,2)), получим систему

п х

— = 3\Ао + £8гП) + 82и, е)]х, х е К4,

(6.6)

где

,1Ао = ЗА(цо)

0 1

-1 0

1 /6

- 4

у/6 5

~2~ 4

1 1 0 0 0 1

--—01

-V т -10

Звх^) = -тА\ - сое 1А2,

А^

3/3

0000 0000 0100 1000

А2

0 0

3

4

л/6 ~2~

0 0 /6

9 4

00 00

00 00

матрица , е) является симметрической, непрерывной и 2^-периоднчеекой по гладкой по е и удовлетворяет соотношению: \\Я2(1, е)\\ = 0(£2) при е ^ 0 равномерно по ¿.

Система (6,6) - это система вида (2,5), Для исследования устойчивости системы (6,6) воспользуемся теоремой 5,1, Для этого следует построить матрицу (5,3), В свою очередь, это требует построения собственного вектора е + %д, отвечающего собственному значению г/2 матрицы ,1А0, В качестве е и д можно взять, например, векторы

' 8 ' ' /6 '

-2/6 , 9 = 2

3/6/2 2

7 0

Далее, фигурирующие в формулах (5,3)-(5,6) числа Т, ш0, р0 (которое здесь переобозна-о

Т = 2п,

Шо

о

1,

-1/7.

Все готово для вычисления элементов матрицы (5,3), После несложных вычислений получим:

-4/6 39 - 504/2т 39 + 504/2т 4/6

В = ^ 28

В частности, число (5,7) здесь равно: А = 49п2 (33/16 - 648т2).

Отсюда и из следствия 5,1 получим, что кратный мультипликатор щ = -1 системы (6,3) при р = р0 при переходе к системе (6,6) расщепляется в соответствии с формулами (3,6) и (5,8), которые в нашем случае принимают вид:

щ(£) = -1 + п^е + 0(£3/2), т(£) = -1 + ^е + 0(е3/2)

(2),

здесь

^ Ц = 7 /А,

(2) т'

V?.

2

Тогда из следствий 5,2 и 5,3 получим, что изменение характера устойчивости системы (6,6) происходит при Д = 0, т.е. при значениях т, определенных равенствами: т = ±ко, где

к°=\/Ж •

При этом система (6.6) неустойчива, если — ко < га < ; она устойчива, если т < — ко или т > к0. Отсюда следует, что прямые

^ = ^о + ко£ , ^ = ^о — ко£ являются искомыми касательными к кривым Д и Г2 в точке (^о, 0).

6.4. Случай 2°. Рассмотрим задачу исследования устойчивости системы (6.1) при близких к зпачениях ^ и малых значениях е. А именно, эту задачу будем изучать для значений (^,е), лежащих на прямой

* I

^ = ^ + т£,

(6.7)

где т - некоторый фиксированный коэффициент.

Подставляя (6.7) в (6.1) и проведя соответствующие преобразования, получим систему вида (6.6), в которой:

ЗАо = ТА(^)

0 1 1 0

—1 0 0 1

1 4 \/2э 4 1 со 1 0 -1 1 0

Т81(Ь) = — тА1 — сое

Л

0 0 0 0 0 0 0 0

3/3 0 0 0 0 , Л = 0 0 0 0

2 0 1 0 0 3 4 ■У23 4 0 0

1 0 0 0 \/23 - 4 9 4 0 0

Для исследования устойчивости полученной системы воспользуемся теоремой 3.3. Для этого следует определить числа (3.18). В свою очередь, это требует построения пары ненулевых линейно независимых векторов е,д € С2М таких, что выполняются равенства (3.16) при шо = 1/л/2. Эти векторы будут собственным и присоединенным, соответственно, для матрицы монодромии Уо = eJA°T, отвечающими неполупроетому собственному значению егл/2ж Кратности 2; а именно, будут выполнены равенства:

Уод = е^ (д + Те).

Ке

е,

В качестве е и д можно взять, например, векторы

8/2 — 2г/23 10г л/46 — 21 3/2 — 2^/23

1

9

3л/2 — 2гл/23

—4 (9/23 + 16г/2) 68 — 16г/46 — (48 + 24^/46) 0

Далее, фигурирующие в формулах (3.16) и (3.18) числа Т, шо, ^о (которое здесь переобозначено через цо) и и равны:

Т = 2п,

Шо

1

/2,

_

'По = е

V

1

160 •

Отсюда и из следствия 3,6 получим, что кратный мультипликатор щ = есистемы (6,3) при р = р* при переходе к системе (6,6) расщепляется в соответствии с формулами (3,15) и (3,18), которые в нашем случае принимают вид:

ЛЛ?) = Щ + 'Ц(!)е1/2 + 0(е), щ(е) = Ло + г{?е1/2 + 0(е);

здесь

(!) - 1 (1)

ГЦ* = /26 ' \Jв21^]т^K, Щ = - ГЦ

Тогда из следствий 3,7 и 3,8 получим, что изменение характера устойчивости системы (6,6) происходит при т = 0. При этом система (6.6) неустойчива (устойчива), если т > 0 (т < 0). Отсюда следует, что вертикальная прямая р = р* является искомой касательной к кривой Г3 в точке (р*, 0),

7. Доказательства основных утверждений

7.1. Вспомогательные построения. Приведем сначала некоторые вспомогательные утверждения, полученные ранее авторами настоящей статьи (см, [20], [21]), А( )

Пусть сначала матрица А0 = А(0) имеет полупростое собственное значение А0 (вещественное или комплексное) кратности 2. Тогда при малых |е| матрица А(е) имеет два собственных значения А(1)(е) и А(2)(е) таких, что А(1)(0) = А(2)(0) = А0. Указанные функции непрерывно дифференцируемы и предетавимы в виде

А(1)(е) = Ао + еА? + 0(е3/2), А(2)(е) = Ао + еА? + 0(е3/2). (7.1)

В рассматриваемом случае найдутся две пары линейно независимых векторов е,д е и е*, д* е См такие, что:

Аое = Аое, Аод = Аод, А*е* = Аое *, А*д* = Аод *.

, , *, *

(е, е*) = (д, д*) = 1, (е, д*) = (д, е*) = 0. (7.2)

А(1) А(2)

в формулах (7.1) являются собственными

значениями матрицы:

" (Аге, е*) (А19, е*) " ( А , *) ( А , *)

где А = А'(0).

В

(7-3)

Ао = А(0) Ао

| | А( )

два собственных значения А(1)(е) и А(2)(е) таких, что А(1)(0) = А(2)(0) = Ао. Указанные функции непрерывны и предетавимы в виде разложения Пюизье:

А(1\е) = Ао + е1/2А[1) + 0(е), А(2)(е) = Ао + е1/2А™ + 0(е). (7.4)

В рассматриваемом случае найдутся две пары линейно независимых векторов е,д е и е*, д* е См такие, что:

Аое = Аое, Аод = Аод + е, А*е* = Аое *, А*д* = Аод * + е*.

, , *, *

(е, д*) = (д, е*) = 1, (е, е*) = (д, д*) = 0. (7.5)

Б

(7.6)

Теорема 7.2. Коэффициенты А^ и А<2) в разложениях (7-4) - это числа

X? = А<2) = -А« ;

здесь Л = А'(0).

Ниже без специальных ссылок используются свойства матрицы (1.2):

3 = = 1, = 3* = -3, Ке(3х,х) = 0 для Ух е С2М.

7.2. Доказательство теорем 3.1 и 3.2. Ограничимся приведением доказательства теоремы 3.1; теорема 3.2 доказывается аналогично.

В силу теоремы 7.1 коэффициенты и в разложениях (3.6) - это собственные значения матрицы

(У1е,е*) (Уд,е*)

(У1е,д*) (У19,д*)

здесь У\ = V'(0).

Пусть в условиях нашей теоремы 3.1 для определенности имеет место нормировка (3.2). Тогда в качестве векторов е* и д* в матрице (7.6) будем использовать векторы

е* = —гЗе, д* = —гЗд, (7.7)

где е и д - векторы из (3.1). Векторы (7.7) являются линейно независимыми собственными векторами матрицы (ЗА0)*, отвечающими собственному значению А = -ш0г, т.е. для них выполнены равенства:

(ЗАо)*е* = -йоге*, (ЗАо)*д* = -шогд*. (7.8)

В силу равенств (3.2) и (3.5) векторы е, д, е*,д* удовлетворяют условиям нормировки (7.2). Матрица монодромии V(е) системы (2.5) предетавима (см., например, [21]) в виде:

V (е) = И + еП + ^ (е); (7.9)

здесь У0 =

т

У = У'(0) = еУА°т I e-JA°т3^(т)£1А°ТЗт, (7.10)

о

а У2(е) ~ непрерывно дифференцируемая матрица, удовлетворяющая условию: ||^2(е)|| = 0(И2) при ^ ^ 0.

Подставляя матрицу (7.10) в (7.6) и учитывая равенства (7.7), установим справедливость теоремы 3.1.

7.3. Доказательство теоремы 3.3. По векторам е и д из равенств (3.16) определим новые векторы:

= ^ 91 = g, е* = -aЗe, д* = aЗg,

где а - ненулевой коэффициент (вообще говоря, комплексный). Эти векторы удовлетворяют равенствам:

Уов! = ^оеь Уодг = + еь Уо*е* = Д0е*, У£д{ = ~р09* + е*.

При этом векторы е1, д1, е*, д* можно нормировать в соответствии с аналогами равенств (7.5), положив а = Т~р0/(е, Зд).

Для завершения доказательства теоремы 3.3 остается применить утверждение теоремы 7.2 к матрице (7.9).

7.4. Доказательство леммы 5.1. По векторам е,д Е R2N, участвующим в равенстве (5,1), определим вещественные векторы е* = Jg и д* = Je. Тогда

( JAa)*(g * + i е*) = -шаг (д * + г е*),

т.е. вектор g*+iе* будет собственным вектором матрицы ( JA0)*, отвечающим собственному значению Л = —u0i.

В соответствии со спектральной теорией линейных операторов (см., например, [19]) пространство R2N предетавимо в гаде прямой суммы R2N = Е0 ф Е0 инвариантных для оператора JA0 подпространств. Здесь Е0 - это корневое подпространство, отвечающее собственным значениям Л0 = ±u0i оператора JA0, а Е0 - это корневое подпроетран-

Е0

Е0

Е0 = \v : (v, е*) = (v, д*) = 0}.

Покажем, что 1(е, е*)| + 1(е, д*)1 > 0, Действительно, в предположении противного получим (е, е*) = (е, д*) = 0, т.е. е Е Е0. С другой стороны, по построению е Е Е0. Это возможно лишь, если е = 0, что противоречит тому, что е - это собственный вектор.

( , *) = ( , J )

(е, д*) = (е,Je) = 0.

7.5. Доказательство теоремы 5.1. В силу теоремы 7.1 коэффициенты и

в разложениях (3.6) - это собственные значения матрицы (7.6), в которой V\ = V'(0), векторы е и д берутся из равенства (5.1). В качестве векторов е* и д* будем использовать векторы

* = J , * = J ,

Элементы матрицы (7.6) могут быть вычислены с использованием формул (7.10) и (7.11). Проведя необходимые преобразования, получим, что матрица (7.6) совпадает с матрицей (5.3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.П. Маркеев. Линейные гамильтоновы системы и некоторые задачи об устойчивости движения спутника относительно центра, масс. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований. 2009.

2. В.А. Якубович, В.М. Старжинский. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. М.: Наука. 1972.

3. В.Ф. Журавлев, Ф.Г. Петров, М.М. Шундерюк. Избранные задачи гамилътоновой механики. М.: ЛЕН АНД. 2015.

4. V. Lanchares. Оп the stability of Hamiítonian dinamical systems // Monografías Matematicas Garca de Galdeano. 39, 155-166 (2014).

5. K. Mever, G. Hall, D. Offin. Introductiva to Hamiítonian Dynamical Systems and the N-Body Problem. 2nd ed. vol. 60 of Applied Mathematical Sciences. New York: Springer. 2009.

6. Ю. Мозер. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Наука. 1973.

7. В.А. Якубович, В.М. Старжинский. Параметрический резонанс в линейных системах. М.: Наука. 1987.

8. Б.П. Демидович. Лекции по математический теории устойчивости. М.: Наука. 1967.

9. Д. Трещев. Введение в теорию возмущений гамильтоновых систем. М.: Фазис. 1998.

10. А.Р. Sevranian, A.A. Mailybaev. Multiparameter Stability Theory with Mechanical Applications. NJ: World Scientific. 2003."

11. А.П. Маркеев. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука. 1978.

12. А.П. Маркеев. О кратном, резонансе в линейных системах Гамильтона // Докл. РАН. 402:3, 539-543 (2005).

13. А.Д. Брюно. О типах устойчивости в системах Гамильтона //Препринты 1111 \ I им. М.В. Келдыша. 021, 24 с. (2020).

14. А.Д. Брюно. Нормальная форма системы Гамильтона с периодическим возмущением // Препринты 1111 \ I им. М.В. Келдыша. 057, 27 с. (2019).

15. О.В. Холостова. О периодических движениях неавтономной гамилътоновой системы в одном, случае кратного параметрического резонанса // Нелинейная динамика. 13:4, 477-504

(2017).

16. B.C. Бардин, Е.А. Пекина. О конструктивном алгоритме исследования, устойчивости положения равновесия периодической гамилътоновой системы с двумя степенями свободы, в случае резонанса первого порядка, // Прикладная математика и механика. 82:4, 414-426

(2018).

17. A. Elipe, V. Lanchares, A. Pascual. On the stability of equilibria in two-degrees of freedom hamiltonian system,s under resonances //J- Nonlinear Sei. 19, 305-319 (2005).

18. Л. Пезари. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1964.

19. Т. Като. Теория возмущений линейных матриц. М.: Мир. 1975.

20. Л.С. Ибрагимова, И.Ж. Мустафина, М.Г. Юмагулов. Асимптотические формулы в задаче построения, областей гиперболичности и устойчивости динамических систем // Уфимс. матем. журн. 8:3, 59-81 (2016).

21. М.Г. Юмагулов, Л.С. Ибрагимова, A.C. Белова. Методы исследования, устойчивости линейных периодических систем, зависящих от, малого параметра // Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз. 163, 113-126 (2019).

22. A.B. Батхин, А.Д. Брюно, В.П. Варин. Множества устойчивости многопараметрических гамильтоновых систем, // Препринты 1111\ I им. М.В. Келдыша. 42, 32 с. (2011).

23. G.E. Roberts. Linear Stability of the Elliptic Lagrangian Triangle Solutions in the Three-Body Froblem // Journal of Differential Equations. 182, 191-218 (2002).

24. T. Kovacs. Stability chart of the triangular points in the elliptic restricted problem of three bodies // Mon. Not. R. Astron. Soc. 430:4, 2755-2760 (2013).

25. М.Г. Юмагулов, O.H. Беликова, H.P. Исанбаева. Бифуркации в окрестностях границ областей устойчивости точек либрации задачи трех тел // Астрономический журнал. 95:2, 158-168 (2018).

Марат Гаязович Юмагулов, Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: yum_mg@mail. ru

Лилия Сунагатовна Ибрагимова, Башкирский государственный университет, ул. 3. Ва. in. in. 32, 450074, г. Уфа, Россия E-mail: lilibr@mail.ru

Анна Сергеевна Белова,

Башкирский государственный университет,

ул. 3. Ва. in. in. 32,

450074, г. Уфа, Россия

E-mail: 89177662488@mail.ru