Об устойчивости решений разрывных систем с квазинормальной определяющей матрицей Текст научной статьи по специальности «Математика»

4. Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980.

5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

6. Hajek O. Discontinuous differential equations I, II // Journal of Differential Equations. 1979. V. 32. Iss. 2. P. 149-170; P. 171-185.

7. Hermes H. The generalised differential equation x £ R(t, x) // Advances Math. 1970. V. 4. Iss. 2. P. 149-169.

8. Коняев Ю.А. Метод унитарных преобразований в теории устойчивости // Известия вузов. Математика. 2002. № 2. С. 41-45.

9. Безяев В.И., Коняев Ю.А. Анализ устойчивости решений одного класса квазилинейных неавтономных разрывных систем // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. Москва, 2010. № 4. С. 5-10.

10. Безяев В.И. Об устойчивости решений одного класса разрывных систем // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2015. Т. 20. Вып. 6. С. 1730-1735.

11.Карташев А.П., Рождествеский Б.П. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1986.

12. Kovacic I., Brennan M.J. The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour. John Wiley and Sons, 2011.

Поступила в редакцию 5 октября 2016 г.

Безяев Владимир Иванович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]

UDC 517.925

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1938-1943

ON STABILITY OF SOLUTIONS OF DISCONTINUOUS SYSTEMS WITH QUASI-NORMAL A DEFINING MATRIX

© V. I. Bezyaev

Peoples Friendship University of Russia 6 Miklukho-Maklay St., Moscow, Russian Federation, 117198 E-mail: [email protected]

We give effective conditions of stability and instability of solutions of quasi-linear non-autonomous ODE systems with non-linear quasi-normal a defining matrix having discontinuous elements. The results obtained do not use the Lyapunov functions. We consider some examples.

Key words: systems with discontinuous right-hand side; the stability and instability of solutions; normal and quasi-normal matrix

REFERENCES

1. Andronov A.A., Vitt A.A., Hajkin S.Eh. Teoriya kolebanij. M.: Nauka, 1981.

2. Gelig A.H., Leonov G.A., YAkubovich V.A. Ustojchivost' nelinejnyh sistem s needinstvennym sostoyaniem ravnovesiya. M.: Nauka, 1978.

3. Demidovich B.P. Lekcii po matematicheskoj teorii ustojchivosti. SPb.: Lan', 2008.

4. Rush N., Abets P., Lalua M. Pryamoj metod Lyapunova v teorii ustojchivosti. M.: Mir, 1980.

5. Filippov A.F. Differencial'nye uravneniya s razryvnoj pravoj chast'yu. M.: Nauka, 1985.

1942

6. Hajek O. Discontinuous differential equations I, II // Journal of Differential Equations. 1979. V. 32. Iss. 2. P. 149-170; P. 171-185.

7. Hermes H. The generalised differential equation x £ R(t, x) // Advances Math. 1970. V. 4. Iss. 2. P. 149-169.

8. Konyaev YU.A. Metod unitarnyh preobrazovanij v teorii ustojchivosti // Izvestiya vuzov. Matematika. 2002. № 2. S. 41-45.

9. Bezyaev V.I., Konyaev YU.A. Analiz ustojchivosti reshenij odnogo klassa kvazilinejnyh neavtonomnyh razryvnyh sistem // Vestnik RUDN. Seriya: Matematika. Informatika. Fizika. Moskva, 2010. № 4. S. 5-10.

10. Bezyaev V.I. Ob ustojchivosti reshenij odnogo klassa razryvnyh sistem // Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2015. T. 20. Vyp. 6. S. 1730-1735.

11.Kartashev A.P., Rozhdestveskij B.P. Obyknovennye differencial'nye uravneniya i osnovy variacionnogo ischisleniya. M.: Nauka, 1986.

12. Kovacic I., Brennan M.J. The Duffing Equation: Nonlinear Oscillators and their Behaviour. John Wiley and Sons, 2011.

Received 5 October 2016

Bezyaev Vladimir Ivanovich, Peoples Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Applied Mathematics Department, e-mail: [email protected]

Информация для цитирования:

Безяев В.И. Об устойчивости решений разрывных систем с квазинормальной определяющей матрицей // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2016. Т. 21. Вып. 6. С. 1938-1943. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1938-1943

Bezyaev V.I. Ob ustojchivosti reshenij razryvnyh sistem s kvazinormal'noj opredelyayushchej matricej [On stability of solutions of discontinuous systems with quasi-normal a defining matrix]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1938-1943. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1938-1943 (In Russian)

1943

УДК 517.925

DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1944-1949

О МЕТОДЕ РАСПРОСТРАНЯЮЩИХСЯ ВОЛН В ЛИНЕЙНОЙ ГЕМОДИНАМИКЕ

© В. И. Безяев, Н. Х. Садеков

Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: [email protected]

В работе рассматриваются некоторые задачи для линеаризованных уравнений гемодинамики на простейших графах, методом распространяющихся волн и методом продолжения получены точные решения рассматриваемых задач.

Ключевые слова: гемодинамика; гиперболическая система; граф; метод распространяющихся волн; метод продолжений

1. Введение

Для математического описания течения крови в сосудах наиболее распространенными являются квазиодномерные модели (см., например, [1-3]). Применение квазиодномерного приближения позволяет исследовать широкий круг задач гемодинамики на геометрических графах (основы теории дифференциальных уравнений на графах изложены в [4]). В данной работе рассматриваются некоторые задачи для линеаризованных уравнений гемодинамики на простейших графах, методом распространяющихся волн и методом продолжения (см. [5]) получены точные решения рассматриваемых задач. Представленные результаты дополняют исследования в [2].

Уравнения гемодинамики в квазиодномерном приближении представляют собой гиперболическую систему двух дифференциальных уравнений в частных производных и одного алгебраического соотношения. В качестве пространственной переменной х выбирается длина дуги, проходящей через центры круговых поперечных сечений сосуда. Скорость движения крови считается направленной вдоль оси сосуда и одинаковой во всем круговом сечении сосуда. Обозначим и(х,Ь) — скорость кровотока (см/с), Р(х,Ь) — давление (мм рт. ст.), Б(Р) — площадь поперечного сечения сосуда (см 2 ), р — плотность крови (г/см 3 ).

Тогда уравнения гемодинамики в квазиодномерном приближении имеют вид (см. [2]):

ди иди 1 дР =0 дЬ дх р дх '

дБ диБ =0 (1)

дЬ дх ' Б = Б (Р),

где первое уравнение описывает закон сохранения импульса, второе — закон сохранения массы крови, а третье — это уравнение состояния, которое отражает упруго-механические свойства сосуда.

Из физиологических исследований известно, что пульсационное отклонение давления, вызванного сердечным выбросом в аорту, от среднего значения в норме составляет примерно 20%. Это позволяет использовать линейное приближение для исходной нелинейной системы

1944

уравнений (1) относительно фоновых (средних) значений всех величин, входящих в уравнения. В результате линеаризации исходная система сводится к линейной системе уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами (см. [1])

(щ + 1 рх + ппх =0, (2)

\рг + ирх + ре2Чх = 0,

где с = д/р — скорость распространения пульсовой волны; в = ^тр-^ > 0 — коэффициент эла-

стичности сосуда, который характеризует изменение сечения сосуда при изменении давления в нем согласно уравнению состояния; п, р, в — некоторые фоновые значения, а функции и(х, Ь) и р(х, Ь) — малые отклонения от фоновых значений.

2. Задача Коши для линеаризованных уравнений гемодинамики

Рассмотрим задачу Коши для линеаризованных уравнений гемодинамики (2):

Щ + 1 рх + иих = 0, (—то <х< +х>,Ь> 0) „2„

рг + ПРх + рс их = 0, (3)

и\г=о = ф(х), р|г=0 = ф(х),

где ф(х) и ф(х) — заданные функции.

Используя инварианты Римана (см., например, [6]), получим представление общего решения системы (2) в виде:

иш)=/(х—Л+д(х—,

2 (4)

р(х,Ь) = рс/ (х — Л+Ь — 9(х — ,

где Л+ = и + с , Л- = и — с . Функции / и 9 представляют собой бегущие волны произвольной формы.

Как видно из (4), общим решением уравнений (2) является суперпозиция двух бегущих волн, одна из которых распространяется по направлению движения крови в сосуде, а вторая — в противоположном направлении.

Теорема 1. Решение задачи Коши (3) имеет следующий вид:

, , ф(х — Л+Ь) + ф(х — Л-Ь) ф(х — Л+Ь) — ф(х — Л-Ь)

и(х, Ь) = —------ +---------,

2 2рс (5)

, Л ф(х — Л+Ь) — ф(х — Л-г) ф(х — Л+Ь) + ф(х — Л-г) р(х, г) = рс-2-+-2-'

Доказательство. Подставим общее решение (4) в начальные условия задачи (3):

/ (х)+ 9(х)

2

= ф(x),

рс/(х) — 9(х) = ф(х).

Определяя из них функции

/ (х) = ф(х) + ^, 9(х) = ф(х) — ^

рс рс

и подставляя в общее решение (4), получим искомое решение задачи Коши (3) в виде (5). □

1945

3. Смешанная задача на графе одного сосуда

Рассмотрим один полуограниченный сосуд бесконечной длины. Представим такой сосуд ориентированным графом Г , состоящим из одной вершины и выходящего из нее ребра бесконечной длины, направленного вдоль оси сосуда. Введем на ребре систему координат с началом в этой вершине, пространственную ось которой направим вдоль ребра.

Пусть на ребре графа заданы линеаризованные уравнения гемодинамики (2) и начальные данные, а в вершине определены краевые условия 1-го рода. Тогда имеем следующую смешанную задачу на графе Г :

иг + 1 Рх + иих = 0, (0 <х< +то,Ь> 0) Рг + ирх + ре2их = 0, и\г=о = ф(х), р\г=о = Ф(х), и|х=о = V (Ь), р\х=о = КЬ),

(6)

где ф(х) , ф(х) и V(Ь) , к(Ь) — заданные функции.

Теорема 2. Решение смешанной задачи (6) имеет следующий вид

и(х, Ь) =

Р(х,Ь) =

' ф(х-х+г)+ф(х-х-г) . ф(х-\+г)-ф(х-\-г) 2 + 2рс ,

, х—\+1\ Ф( х-х-г)-ф(х-х-г) ф( х-х-г)-ф(х-х-г)

V (--Х^)--2--1 2рС-,

ф(x-х+t)-ф(x-х-t) . ф(х-х+г)+ф(х-х-г) рс 2 + 2 ,

, х-х+гл ф( х-х-г)+ф(х-х-г) | ф(х-х-г)+ф(х-х-г)

К( х+ ) рс 2 + 2 ,

х > Х+Ь х < Х+Ь х > Х+Ь х < Х+Ь

(7)

Доказательство. В формулах (4) общего решения линеаризованных уравнений гемодинамики определим функции / и д так, чтобы они удовлетворяли начальным и граничным условиям системы (6). Областью определения функции /(х — Х+Ь) в данном случае является вся прямая (—то, +то) , а функции д(х — Х-Ь) — полуось [0, +то) .

Подстановка общего решения в начальные условия позволяет определить / и д на полуоси [0, +то) следующим образом:

/ (г) = ф(г) +

Ф(г)

рс

д(г) = ф(г) —

Ш

рс

г> 0.

(8

Осталось определить функцию / на оставшейся части ее области определения, т. е. на интервале (—то, 0) . Используя краевое условие и(0,Ь) = V(Ь) и первую формулу в (4), получим

/ —х+) -ф(Й+МЙ

г < 0.

(9)

Используя теперь условие р(0,Ь) = /л(Ь), получаем

/ м=ы.-Х+)+ф(£ *НЧЙ

г < 0.

(10)

Используя теперь формулы (8)-(10) и (4), получим решение смешанной задачи (6) на графе Г в виде (7). □

1946

4. Смешанная задача на графе двух сосудов

Рассмотрим теперь стык двух полуограниченных сосудов. Представим его ориентированным графом Г2 , состоящим из одной вершины и двух ребер бесконечной длины, один из которых направлен к вершине, а другой — из нее. Введем систему координат с началом в этой вершине, а пространственную ось направим вдоль ребер так, что отрицательные координаты будут соответствовать входящему в вершину ребру, а положительные — выходящему из нее.

Пусть на каждом ребре i (i = 1, 2) графа Г2 заданы линеаризованные уравнения гемодинамики (2) и начальные данные, а в вершине выполняются линеаризованные условия сопряжения, первое из которых выражает закон сохранения массы крови (т. е. поток крови в первом сосуде равен потоку крови во втором), а второе — равенство давлений на стыке сосудов (см. [2]).

Таким образом получаем смешанную задачу для линейных уравнений с кусочно-постоянными на графе Г2 коэффициентами вида

(дщ 1 dpi дщ —- + + U—1 = 0, (-ж <x< 0, 0 < x < +ж, t> 0) dt p dx dx

dp- + _0p- + c2 ди- = 0

dt U dx pC dx ,

Ui(x, 0) = фi(x), (11)

Pi(x, 0) = ^-(x),

S\U\(0, t) + 6iU\Pi(0, t) = S2U2(0, t) + 02U2P2(0, t), Pi(0,t) = P2(0,t),

где i = 1 , если x < 0 , и i = 2 , если x > 0 .

Общие решения линеаризованных уравнений гемодинамики на каждом ребре определяются по формулам (4). Области определения функций fi и q- находятся из того, что эти функции удовлетворяют начальным условиям и условиям сопряжения. Таким образом получаем, что областью определения функции fi является полуось (-ж, 0] , функций gi и f2 — вся прямая (-ж, +ж) , а функции g2 — полуось [0, +ж) .

Подстановка общих решений в начальные условия позволяет определить fi и gi на полуоси (-ж, 0] , а f2 и g2 на полуоси [0, +ж) :

fi(z) = Ш + —, Qi(z) = Ш - —, (12)

pCi pCi

где z < 0 , если i = 1, и z > 0 , если i = 2 .

Функции gi и f2 на оставшихся частях их областей определения найдем, подставляя общие решения (4) в условия сопряжения. Переобозначая их соответственно Gi и F2 , получим:

Gi(z) = ki^i fi[ ^ z^ + k2^i g2^ j— z), z> 0

^■i Л < ъ „ (

(13)

F2(z) = ki^2 fi^ zj + k2^2 g^ zj , z < 0, где ki^i,k2^i,ki^2,k2^2 — коэффициенты, вычисляемые по формулам

k _i __ k. ._ __ i = '

^ si(ci—ui) I S2(c2+U2)\' i( Sl(ci-Ul) I S2(c2+U2) '

Из формул (13) видно, что волны С\ и Г2 , распространяющиеся по ребрам графа Г2 по направлению от его вершины, представляют собой суперпозиции волн /\ и 92 , распространяющихся по ребрам графа по направлению к вершине. При этом коэффициент к^^ показывает,

1947