CC BY
17
УДК 512.71
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1933-1937
O ВЫЧИСЛЕНИИ КВАДРАТИЧНОЙ ГРАНИЦЫ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА
© А. Г. Акритас 1) , Г. И. Малашонок 2)
Университет Фессалии 38221, Греция, г. Волос E-mail: akritas@uth.gr 2) Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: malaschonok@ya.ru
Лагранжева квадратичная оценка, для границы положительных корней многочленов состоит из двух частей. Сортировка одномерных массивов используется во второй части алгоритма Лагранжа во всех известных реализациях. Мы предлагаем изменить эту часть алгоритма так, чтобы исключить сортировку. В итоге сложность вычислений в этой части уменьшается с O(n ■ log(n)) до O(n) .
Ключевые слова: квадратичная граница Лагранжа для корней; положительные корни полиномов
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Lagrange Joseph-Louis Sur la résolution des équations numériques, 1767. In: Mémoires de l' Académie Royale des Sciences et des Belle-Lettres de Berlin, (1769), 23, 539-578. This is in vol. 2 of J. A. Serret's Œuvres de Lagrange.
2. Lagrange Joseph-Louis Traité de la résolution des équations numériques de tous les degrés. Paris, 1808. This is vol. 8 of J. A. Serret's Œuvres de Lagrange.
3. Serret, J. A. Œuvres de Lagrange. Paris: Gauthier-Villars, 1879.
4. Akritas A.G., Strzebonski A.W., Vigklas P.S. Lagrange's Bound on the Values of the Positive Roots of Polynomials. Submitted.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-07-00420).
Поступила в редакцию 18 октября 2016 г.
Акритас Алкивиадис Г., Университет Фессалии, г. Волос, Греция, доктор наук, профессор кафедры электронной и вычислительной техники, е-mail: akritas@uth.gr
Малашонок Геннадий Иванович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры функционального анализа, е-mail: malaschonok@ya.ru
Информация для цитирования:
Akritas A.G., Malaschonok G.I. On the computation of Lagrange's quadratic bound for positive roots of polynomials. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Review. Series: Natural and Technical Sciences, 2016, vol. 21, no. 6, pp. 1933-1937. DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1933-1937
1937
УДК 517.925
DOI: 10.20310/1810-0198-2016-21-6-1938-1943
ОБ УСТОЙЧИВОСТИ решении разрывных систем С КВАЗИНОРМАЛЬНОЙ ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ МАТРИЦЕЙ
© В. И. Безяев
Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6 E-mail: vbezyaev@mail.ru
Для неавтономных квазилинейных систем ОДУ с нелинейной квазинормальной определяющей матрицей, имеющей разрывные элементы, исследуются эффективные условия устойчивости. Результаты получены без использования функций Ляпунова. Приводятся примеры.
Ключевые слова: системы с разрывной правой частью; устойчивость и неустойчивость решений; нормальная и квазинормальная матрица
1. Введение
Дифференциальные уравнения и системы с разрывной правой частью стали активно изучаться в связи с важными приложениями в технике [1]. Вопросы устойчивости решений нелинейных ОДУ и их систем, в том числе и с разрывной правой частью, исследовались, например, в [1-7]. В данной работе для нелинейных систем с квазинормальной определяющей матрицей (в общем случае разрывной) развивается метод (см., например, [8-10]), дающий конструктивные условия устойчивости и неустойчивости решений систем с нормальной определяющей матрицей. Отметим, что применение функций Ляпунова для рассматриваемых в данной работе систем в общем случае весьма проблематично. Приведены примеры.
Как известно, кусочно непрерывной (может быть матричной) функцией f (х, Ь) в ограниченной области О пространства 1 называется функция f (х, Ь) , непрерывная вплоть до границы каждой из подобластей О^ (г = 1,к) , где
(здесь mes - мера Лебега). Если область Q неограничена, то в определении кусочно непрерывной функции каждая ограниченная часть области Q может иметь общие точки лишь с конечным семейством областей Q (см., например, [5]). Наиболее часто встречается случай, когда множество M точек разрыва функции f (x, t) состоит из конечного семейства гиперповерхностей.
Система дифференциальных уравнений
с кусочно непрерывной вектор-функцией f (х,Ь) в области О доопределяется по А.Ф. Филиппову [5, § 4, п. 2а] до дифференциального включения
Q = д Qi, mesM = 0
x = f (x,t)
(1)
x € F (x, t),
(2)
1938
где многозначная функция F(x,t) определена при почти всех t (t£To, mesT0 = 0) и всех x , для которых (x,t)(zQ. При этом F(x,t) - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции f (x,t), когда (x,t)£M, x ^ x, t — const, а многозначная функция F(x, t) - в -непрерывна (полунепрерывна сверху относительно включения) по x,t в области Q . Указанные свойства функции F(x, t) обеспечивают существование решения включения (2) в некоторой окрестности любой точки (x0,to) и возможность его продолжения до выхода на границу любой замкнутой ограниченной области D С П . Решением системы (1) называется решение дифференциального включения (2).
2. Основные утверждения
Теорема1. Пусть в неавтономной нелинейной системе
А(х, Ь) является кусочно непрерывной матричной функцией в области О = {|х| <5, Ь> 0} С С 1 и нормальной матрицей при всех (х, Ь) € О\М (М — множество точек разрыва функции А(х,Ь)), а {Xj(х,Ь)}П — ее спектр. Тогда решение х(Ь) = 0 системы (3) является:
1) устойчивым при ReXj(х,Ь) < 0 для з = 1,п, (х,Ь)€О\М ;
2) асимптотически устойчивым при ReXj(х,Ь) <-/3(х) для з = 1,п, (х,Ь) €О\М или
3) неустойчивым при ReXj (х, Ь) > в(х) для з = 1,п, (х, Ь) € О\М ,
если в (х) — непрерывная при 1х1 <5 и положительная при 0 < 1х1 <5 функция.
Доказательство. Теорема 1 является частным случаем теоремы 3 в [10] при
В некоторых случаях нелинейные системы вида (3), у которых матрица А(х,Ь) не является нормальной, удается свести с помощью замены переменной х к системе того же вида, но с нормальной определяющей матрицей. В этом случае матрицу А(х, Ь) будем называть квазинормальной.
Теорема2. Пусть для системы вида (3) с кусочно непрерывной в области О = {|х| <5, Ь > 0} С 1 матрицей А(х,Ь) существует такая диагональная матрица д(х) = ёгад(д\(х\),... ^п(хп)), где qj(xj) кусочно непрерывные и положительные при |xj I <5 функции (з = 1, п), а В(х,Ь) = q(x)A(x,t) нормальная при всех (х,Ь) €О\М матрица со спектром (х,Ь)}П (М — множество точек разрыва кусочно непрерывной в О матричной функции В(х,Ь)). Тогда решение х(Ь) = 0 системы (3) является:
1) устойчивым при Re^j(х,Ь) < 0 для з = 1,п, (х,Ь)€О\М ;
2) асимптотически устойчивым при Reц,j(х,Ь) <-@(х) для з = 1,п, (х,Ь)€О\М или
3) неустойчивым при Reц,j (х, Ь) > в(х) для з = 1,п, (х, Ь) € О\М ,
если в (х) — непрерывная при х <5 и положительная при 0 < х <5 функция.
Доказательство. Во включении (2), соответствующем системе (3), сделаем замену переменных вида у = Q(x), где Q(x) = (Ql(xl),... ,Qn(xn)),
В силу свойств функций qj (xj) функции Qj (xj) являются непрерывными и возрастающими, имеющими кусочно непрерывные производные при 0 < |xj| <5, з = 1,п , причем Q(0) = 0 . Следовательно, преобразование у = Q(x) взаимно однозначно отображает шар х <51 < 5 в шар У < 7, где 0 и определитель Якоби ёе! Q'(x) = 0 при |x| <5 (кроме точек разрыва). Отсюда и из теоремы о замене переменных в дифференциальных включениях (см. в [5, § 9] теорему 1 и замечания к ней) получаем, что включение (2), соответствующее системе (3), эквивалентно включению вида
x — A(x, t)x
(3)
v(x) — (1/2)\x\2.
□
x € G(x, t),
(4)
1939
соответствующего системе
У = В(Я-1(у),Ь)Я-1(у). (5)
Под эквивалентностью данных включений (2) и (4) понимается то, что для любого решения х(Ь) включения (2), соответствующего системе (3), функция у(Ь) = Q(x(t)) является решением включения (4), соответствующего системе (5), а для любого решения у(Ь) включения (4) функция х(Ь) = Q-1(y(t)) является решением включения (2), соответствующего системе (3). Положим
Г Уз
<У) = ^ Рз Шв,
где
Рз (в)= Qj1(s), 3 = 1,п. Тогда при \у\<7 функция у(у) является непрерывной и положительно определенной, имеющей кусочно непрерывный градиент grad ь(у) , а функция
п
\ gradу(у)\2 = £ Р2(у3)
3=1
также непрерывна и положительно определена. Таким образом, система (5) имеет вид у = В(Q-1(y),t) grad V и для нее применима теорема 3 из [10]. Поскольку Q(0) = 0 и данные включения (2) и (4) эквивалентны, то отсюда сразу следуют все утверждения теоремы. □
3. Примеры
Приведем несколько простых примеров применения теоремы 2 для исследования устойчивости нелинейных систем с квазинормальными определяющими матрицами.
Пример 1. В ( [11, гл. 5, § 5]) приведена теорема об устойчивости положения равновесия консервативной механической системы с одной степенью свободы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнение второго порядка
у = ! (у),
(6)
где f € С2(\у\ < 5), f (0) = 0. Показано, что если потенциальная энергия механической системы и (у) = — /(У f имеет в точке х = 0 строгий минимум (то есть f '(0) < 0 ) , то положение
равновесия устойчиво.
С помощью теоремы 2 это утверждение легко обобщить. Будем предполагать, что функция f € С (\у\<5), f (0) = 0, а f (у)/у кусочно непрерывна и отрицательна при \у\<5. Простейшим примером такой функции, не удовлетворяющей условиям из [11] в начале примера, является f (у) = —у(вдп(у) + 2). Сведем уравнение (6) к нелинейной системе
х — А(х)х,
(7)
где
А(х) = Ц) 0) ' х = (х1,х2)Т = (у,уу)Т, д(у) = f (у)/у-
С помощью диагональной матрицы
Я(х)= > 1)
1940
с кусочно непрерывными и положительными при \xi\ <5 диагональными элементами получаем нормальную матрицу
B ® = Q(x)A(x)= Ц,
с чисто мнимым спектром. Применяя теорему 2, получаем устойчивость тривиального решения системы (7).
Пример 2. Поведение некоторых консервативных систем моделируется уравнением Дуф-финга y + ay + by3 = 0, где a и b —вещественные параметры (см., например, [12]). С помощью теоремы 2 при a> 0, b = 0 докажем устойчивость тривиального решения системы, эквивалентной уравнению Дуффинга (отметим при этом, что данный пример является частным случаем примера 1). Записывая уравнение Дуффинга в векторной форме
x = ^ (x ) 0) x = A(x)x (x = (xi, x2) = (y, y)T, c(x\) = a + bx2) (8)
, , fc(xi) 0\
и используя диагональную матрицу Q(x) =1 0 , получаем нормальную матрицу
ад s QiX)A(x) = (-eh) с{0))
с чисто мнимым спектром. Отсюда и из теоремы 2 (при \xi \ < \Ja/\b\ ) сразу получаем устойчивость тривиального решения системы (8).
Пример 3. Простейшая модель механизма генетического контроля у бактерий описывается нелинейной системой (см., например, [4], с. 55)
( U = p/v — a , , ...
1 • . (a,b,p,r> 0) l v = ru — b
с точкой покоя u0 = b/r, v0 = p/a . После замены x1 = и — u0, x2 = v — v0 получим систему
x=(0 C{x2)) x = A(x)x, (9)
где х = (х1,х2)Т, с(х2)= а2/(ах2 + р) > 0 при \х\ <5. Для применения теоремы 2 легко подобрать диагональную матрицу вида
^ = (0 •
при которой матрица
является кососимметрической и, значит, имеет чисто мнимый спектр. Следовательно тривиальное решение системы (9) и точка покоя (uo,vo) исходной системы устойчивы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.
2. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.
3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. СПб.: Лань, 2008.
1941
