Об устойчивости решений одного класса разрывных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИИ ОДНОГО КЛАССА РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ

© В. И. Безяев

Ключевые слова: системы с разрывной правой частью; устойчивость решений; нормальная матрица.

В работе приводятся спектральные условия устойчивости и неустойчивости решений для одного класса нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений с кусочно непрерывными правыми частями.

1. Введение

Для неавтономных нелинейных систем ОДУ с нормальной (А* А = АА*) определяющей матрицей, имеющей кусочно непрерывные элементы, еформулированы простые спектральные условия устойчивости и неустойчивости решений. Предложенный подход применим для анализа устойчивости решений и более широкого класса систем.

Представленные результаты обобщают или дополняют известные ранее результаты (см., например, [1-7]), в том числе и классические теоремы об устойчивости линейных и нелинейных систем ОДУ с постоянной или почти постоянной матрицей. Для систем с непрерывной нормальной матрицей условия устойчивости частного вида были получены ранее (см., например, [7]).Кроме того, в данной работе, в отличие от [7], исследованы существенно более широкие классы нелинейных систем ОДУ, в том числе и с разрывными правыми частями.

Ниже под кусочно непрерывной (скалярной или матричной) функцией f (х, Ь) в ограниченной области О пространства 1 будем понимать функцию f (х, Ь) , непрерывную вплоть

( mes - мера Лебега). Если область G неограничена, то в определении кусочно непрерывной функции каждая ограниченная часть области G может иметь общие точки лишь с конечным семейством областей Gi .

Кроме того будем предполагать, что для каждой области Gi при почти всех t сечение границы области плоскостью t = const совпадает с границей сечения области той же плоскостью.

Система дифференциальных уравнений

с кусочно непрерывной вектор-функцией f (х,Ь) в области О доопределяется по А.Ф. Филиппову [5, § 4, п. 2а] до дифференциального включения

до границы каждой из подобластей Gi (г = 1, к) , где

G = (J Gi (J M, Gi р| Gj = 0 при i = j, M с \J dGi, mesM = 0

x = f (x,t)

(1)

x £ F(x, t),

(2)

1730

где многозначная функция F(x,t) определена при почти всех t (tET0, mesT0 = 0) и всех x , для которых (x,t) EG. При этом F(x,t) - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции f (x,t), когда (x,t)£M, x ^ x, t = const, а многозначная функция F(x,t) - в -непрерывна (полунепрерывна сверху относительно включения) по x,t в области G . Указанные свойства функции F(x, t) обеспечивают существование решения включения (2) в некоторой окрестности любой точки (x0,to) EG и возможность его продолжения до выхода на границу замкнутой ограниченной области D С G .

При этом решением системы (1) называется решение дифференциального включения (2).

Заметим еще, что при указанном выше условии на подобласти Gi, доопределение по А.Ф.Филлипову равносильно доопределению по Н.Н.Красовскому и А.И.Субботину [4].

2. Дифференциальные неравенства

Теорема1. Пусть в системе

х = А(х,Ь)Уу (3)

А(х, Ь) является кусочно непрерывной матричной функцией в области О и нормальной матрицей при всех (х, Ь) Е О\М (М — множество точек разрыва матричной функции А(х, Ь)) , ее спектр {Xj(х,Ь)}П удовлетворяет в О\М одному из неравенств

ц(х, ¿) < ¿) или ¿) < и(х, ¿) (¿ = 1,п), (4)

где ц и V — непрерывные функции в О, у(х) — дифференцируемая, а Уу(х)= дтайу(х) — кусочно непрерывная функции при \х\ <5 . Тогда для любого решения х(Ь) системы (3) при почти всех Ь Е I, где I —промежуток существования решения х(Ь), выполняется, соответственно, одно из неравенств

( ( < — у(х) или —у(х)<и(х,1)\Х7у(х)\2. (5)

(Ь (Ь

Доказательство. Для любого решения х(Ь) включения (2), соответствующего системе (3), имеем

(у(х) Т. т

dt

= Vv x Е Vv F(x, t) при почти всех t E I.

В силу определения F(x,t) ([5, § 4]) в любой точке (x,t) непрерывности всех элементов матрицы A(x, t) имеется равенство F (x, t) = A(x, t)Vv , а в любой в точке разрыва (x, t) EM множество F(x,t) определяется по формуле

F(x,t) = < ^2aiAi(x,t)Vvi(x) : У^щ = 1,щ>0,г = 1,1>, li=1 i=1 J

где Ai (x, t)Vvi (x) —пределы функции A(x,t)Vvi(x) при x—>x, (x,t) EQi,t = const>0, i = l,l.

В любой точке непрерывности (x, t) E Q\M матрицы A(x, t) с помощью унитарной подстановки Vv = U(x,t)y при почти всех tEl получаем, что

= VvTA(x,t)Vv = y*U*{x,t)A{x,t)U{x,t)y = y*AA(x,t)y =

1731

= у*Лл(х,Ь)у = Ке(у*Лл(х,Ь)у) = КеХ3(х,Ь)\у3?, (6)

з= 1

где

и(х,Ь)и*(х,Ь) = е, \Уу\ = \у\, у* = ут,

и* (х, Ь)А(х, Ь)и(х, Ь) = Лл(х, Ь) = (гад{Х1(х, 1),..., Хп(х, Ь)}.

Следовательно в любой точке непрерывности (х, Ь) € О\М матрицы А(х, Ь) выполняется соответствующее неравенство

( (

/.¿(ж, ¿)|Уи(ж)|2 < — ь(х) или — ь(х) < ь>{х, ¿)|Уи(ж)|2. (7)

(Ь (Ь

Аналогично в точках разрыва (х,Ь) € М при почти всех Ь € I имеем :

^^ € УутР(х,г) = : ^а, = 1, а, > 0, г = м| =

1г=1 г=1 )

= {Е ауг*иг*(х,Ь)Аг(х,Ь)иг(х,Ь)уг| = |£1 агуг*Ллг(х,Ь)уг| = = Ке{£ауг*КАг(х,Ь)уг\ = I аг(£КеХг](х,Щ\2) 1 ,

. г=1 ) I г=1 3=1

где

и*(х,Ь)иг(х,Ь) = Е, Уу = иг(х,Ь)уг, \Уу\ = \уг\,

и* (х, Ь)Аг(х, Ь)Щ (х,Ь) = Лл1 (х,Ь) = (1ад{\г1 (х,Ь),..., Хп (х,Ь)},

Ху — пределы функций при = (ж,1)еМ, 1 = 1,1, ] = 1,п.

Отсюда следует, что при почти всех Ь € I в точках разрыва (х,Ь) € М также выполняется соответствующее неравенство (7), так как в этом случае

{£!=! ЯеХц(х, Щ\2): £<=1 «г = 1, «г > 0, г = м} С (-оо, ф, *)Уф)|2)

или

{Е1=1 Яе\г](х, Щ\2) : Т!г=1 «г = 1, «г > 0, г = м} С (ф, *)Уг;(ж) I2, +оо). □

Теорему 1 можно обобщить на случай нелинейных систем вида (3), матрица А(х,Ь) которых может быть представлена в виде конечной суммы нормальных матриц (сумма нормальных

матриц в общем случае не является нормальной).

N _

Теорема 2. Пусть А(х,Ь) = £ А^х,^ , где А^х,^ (к = 1,М) квадратные кусочно

к=1

непрерывные в области О и нормальные в точках непрерывности матрицы, для которых при 3 = 1 ,п, к = 1, ./V, {х, ¿) € 0\М выполняется одно из неравенств

Ик(х,Ь)Ке < Хзлк(х,Ь) или КеХ^лк(х,Ь) < Vк(х,Ь),

где ¡1к{х,1) и (к = 1,М) непрерывные в О функции, а ь(х) такая же функция,

как и в теореме 1. Тогда для любого решения х(Ь) системы (3) при почти всех Ь € I

(I —промежуток существования решения х(Ь)) выполняется соответствующее неравен-

N N

ство (5), где ц(х,Ь)=£ Цк(х,Ь), V(х,Ь)=£ Vk(х,Ь) .

к=1 к=1 Доказательство теоремы 2 является непосредственным обобщением доказательства

теоремы 1.

п

1732

3. Утверждения об устойчивости

Теорема 3. Пусть A(x, t) является кусочно непрерывной матричной функцией в области Q и нормальной матрицей при всех (x, t) E Q\M (M — множество точек разрыва функции A(x,t)) , {Xj(x,t)}n — ее спектр и:

а) v(x) — дифференцируемая положительно определенная (v(x) > 0 при \x\ > 0, v(0)=0) функция при \x\ <S ;

б)\Vv(x)\2 > w(x) при 0 < \x\ <S, где Vv(x) и w(x) — непрерывные положительно определенные функции при \x\ <S . Тогда решение x(t) = 0 системы (3) является:

1) устойчивым при Re\j(x, t) < 0 для j = 1, п, (х, t) £ Q\M ;

2) асимптотически устойчивым при Re\j(x, t) < —ß{x) для j = 1, п, (х, t) £ Q\M ;

3) неустойчивым при Re\j(x, t) > ß(x) для j = 1, n, (x, t) £ Q\M ,

если ß(x) — непрерывная при \x\ <S и положительная при 0 < \x\ <S функция.

Доказательство теоремы 3 во всех случаях 1) - 3) является непосредственным следствием теоремы 1, условий на функцию v(x) и следующей леммы.

Лемма1. Пусть v(x) — непрерывно дифференцируемая и положительно определенная функция при \x\ <Si . Пусть, далее, абсолютно непрерывная функция x(t)=x(t; x0) (x° = = x(0) и \x0\ <S1), график которой содержится в цилиндре Z = {(x,t) ЕМП+1: \x\<S1,t > 0} , может быть продолжена абсолютно непрерывной функцией до выхода на границу любой замкнутой ограниченной области D С Z , а функция x(t)=x(t; x0), tE [0,T) , где T < , является ее максимальным продолжением в Z . Тогда если при почти всех t E [0, T) функция x(t) удовлетворяет одному из дифференциальных неравенств:

d d d

1) jfv(x) < 0; 2) —v(x) < -W(x) или 3)—v(x) > W(x),

где W(x) непрерывная при \x\ <S и положительная при 0 < \x\ <S функция, то соответственно:

1) T = +ж и lim x(t; x0) = 0 равномерно по tE [0, ж);

2) дополнительно к утверждению 1) еще lim x(t; x0) = 0 при достаточно малых \x° \;

3) T < и \x(t; x0)\^S1 при t ^ T - 0 , если x0 = 0 .

Доказательство леммы повторяет, по существу, доказательства теорем Ляпунова об устойчивости и неустойчивости (см., например, [6, п. 7.2]). Для «неоднородных» систем вида

x = A(x,t)Vv(x) + f(x,t) ( f (0,t) = 0) (8)

c кусочно непрерывными в области Q матрицей A(x, t) и вектор-функцией f (x, t) и нормальной в Q\M матрицей A(x, t) , имеет место следующий аналог теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению.

Теорема 4. Пусть для системы (8) спектр {Xj (x, t)}™ кусочно непрерывной в области Q и нормальной в Q\M матрицы A(x, t) удовлетворяет неравенствам

Re\j(x,t) < —ß{x) при j = 1 ,п, (x,t) £ Q\M,

где ß(x) — непрерывная при \x\ <S и положительная при 0 < \x\ <S функция, f (x,t) — кусочно непрерывная в Q функция и

\f (x,t)\ < j(x)ß(x)\Vv(x)\ для (x,t) E Ü\M, y(x) ^ 0 при x ^ 0,

а v(x) — удовлетворяет условиям а) и б) теоремы 3. Тогда решение x(t) = 0 системы (8) асимптотически устойчиво.

1733

Доказательство. Правая часть F (x,t) включения (2), соответствующего системе (8), определяется по формулам:

F(x, t) = A(x, t)Vv(x) + f (x, t) при (x, t) e Q.\M, Fix, = ai[Ai(x, t)Vvi(x) + ¡\х, i)] : E щ = 1, щ > 0, i = 1J > при [x, t) G M,

li=1 i=1 J

где Ai(x,t)Vvi(x) и fl(x,t) — пределы функций A(x,t)Vvi(x) и f(x,t) при x^x, t = const> > 0, (x,t) eOj, i = l,l.

Отсюда, как и при доказательстве теоремы 1, для любого решения x(t) данного включения получаем дифференциальное неравенство

dv(x) / ОЛ..МГ7..Л_м2

dt

< -ß(x)\Vv(x)\2(1 + Y(x)) при почти всех t Е I.

Так как 7(х) ^ 0 при х ^ 0 , то рассматривая решения х(Ь) данного включения (2) в области = {(х, Ь): \х\ <¿1, £ > 0}с П для достаточно малого ¿1 > 0 , с помощью леммы 1 (случая 2)) сразу получаем асимптотическую устойчивость тривиального решения этого включения. □

Замечание. Результаты теорем 3 и 4 могут быть обобщены ( аналогично теореме 2) на нелинейные системы вида (3), матрица А(х,Ь) которых может быть представлена в виде конечной суммы нормальных матриц.

4. Примеры

П р и м е р 1. Нелинейная система

¿={ -x(x2 + y2\ y5 T(x + УЛ (z = (x, y)T)

1 -x sgn(x + y) -y5(x2 + y2) ' v v

представима в виде

*=( - y) SmX+ y)) ()) - A(z,t)4v(z),

2 6

где v(z) = \ + \ > 0 при \z\ > 0 , матрица A(z,t) является кусочно непрерывной при zgR2, t е R и нормальной во всех точках непрерывности, а ее спектр удовлетворяет соотношениям

ReX3 (z,t) = - | z | 2 (j = 1,2).

Отсюда по теореме 3 тривиальное решение данной системы асимптотически устойчиво. П р и м е р 2. Решение x(t) = 0 нелинейной системы

Х = (-t2Xx2) "-И (XD + (l^) XI 6S9n(Xi + X2) , А(Х,^(Х) + f (x, t),

/ \ x3 X4 1 1

где v(x) = -ф + > 0 при \x\ > 0, асимптотически устойчиво в силу теоремы 4, так как для спектра (кусочно непрерывной и нормальной) матрицы А(х, t) выполняются тождества ReXj(x,t) =—\х\2 (j = 1,2) и имеет место оценка \f(x,t)\<2^/2\x\6<4^/2\x\s^/Щ^~Щ (при xix2 = 0, xi + x2 = 0, IхI< 1, t > 0).

ЛИТЕРАТУРА

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

1734

2. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978.

3. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

4. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.

5. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

6. Чезари Л. Асимптотическое поведение и устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1964.

7. Безяев В.И., Коняев Ю.А. Анализ устойчивости решений одного класса квазилинейных неавтономных разрывных систем // Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. Москва, 2010. № 4. С. 5-10.

Поступила в редакцию 16 сентября 2015 г.

Bezyaev V.I. STABILITY OF SOLUTIONS TO ONE CLASS DISCONTINUOUS SYSTEMS

We give spectral conditions for stability and instability of solutions to one class of quasilinear nonauto-nomous systems of differential equations with discontinuous right-hand sides. The results obtained do not use the Lyapunov functions.

Key words: stability; spectral method; normal matrix.

Безяев Владимир Иванович, Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, e-mail: vbezyaev@mail.ru

Bezyaev Vladimir Ivanovich, Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Applied Mathematics Department, e-mail: vbezyaev@mail.ru

1735