Анализ устойчивости решений одного класса квазилинейных неавтономных разрывных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.925

Анализ устойчивости решений одного класса квазилинейных неавтономных разрывных систем

В. И. Безяев*, Ю. А. Коняевt

* Кафедра дифференциальных уравнений и математической физики Российский Университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия ^ Кафедра высшей математики Российский Университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д. 6, Москва, 117198, Россия

С помощью спектрального метода исследована устойчивость решений разрывных квазилинейных систем дифференциальных уравнений с нормальными матрицами.

Ключевые слова: устойчивость, спектральный метод, нормальная матрица.

Для одного класса квазилинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывными правыми частями приведены конструктивные спектральные условия устойчивости и неустойчивости решений, доказаны теоремы, являющиеся аналогами теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению и принципа суперпозиции для квазилинейных систем. Приведены нетривиальные примеры. Полученные без использования аппарата функций Ляпунова результаты дополняют или уточняют ранее известные [1-5].

2. Устойчивость решений одного класса квазилинейных неавтономных разрывных систем

В дальнейшем под кусочно-непрерывной функцией (может быть матричной) /(х,Ь) в ограниченной области О пространства 1 понимается функция, непрерывная вплоть до границы каждой из подобластей Gi (г = 1, к), где

mes M = 0 — мера Лебега.

Если область G неограниченная, то в определении кусочно непрерывной функции каждая ограниченная часть области G может иметь общие точки лишь с конечным семейством областей Gi [2, § 4]. Наиболее часто встречается случай, когда множество M точек разрыва функции f состоит из конечного семейства гиперповерхностей. Кроме того, будем предполагать, что для каждой области Gi при почти всех t сечение границы области плоскостью t = const совпадает с границей сечения области той же плоскостью.

Система дифференциальных уравнений х = f (х, t) с кусочно непрерывной вектор-функцией f (x,t) в области G доопределяется по А.Ф. Филиппову [2, § 4, п. 2а] до дифференциального включения

1. Введение

х G F(х, t),

(1)

Статья поступила в редакцию 29 марта 2010 г.

где многозначная функция F(х, t) определена при почти всех t (t ^ То, mesТ0 = 0, mes — мера Лебега) и всех х, для которых (x,t) G G. При этом F(x,t) — наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функции f (x,t), когда (x,t) ^ M, х ^ х, t = const, а многозначная функция F(x,t) — ^-непрерывна (полунепрерывна сверху относительно включения) по x,t в области G. Указанные свойства функции F(х, t) обеспечивают существование решения включения (2) в некоторой окрестности любой точки (x0,to) G G и возможность его продолжения до выхода на границу замкнутой ограниченной области D С G, где (х0,to) G D [2].

Заметим ещё, что при указанном выше условии на подобласти Gi доопределение по А.Ф. Филлипову равносильно доопределению по Н.Н. Красовскому и А.И. Субботину [5].

Теорема 1. Пусть для автономной квазилинейной системы

х = А(х,£)х (2)

с кусочно непрерывной в области П = {(х,1) : х 6 Кп, |ж| < 5 < 1, £ > 0} и нормальной в области П\М матрицей А(х,Ь) (М — множество точек разрыва матричной функции А(х,£)), спектр (х,£)}П которой удовлетворяет в П\М неравенствам

у,(х,£) < И,е (х,1) или И,е Xj(х,£) < V(х,£) (= 1,п ), (3)

где — непрерывные функции на П. Тогда для любого решения х(£) включения (1), определённого системой (2), при п. в. £ 6 I С [0, то), где I — промежуток существования решения х(£), выполняются, соответственно, неравенства

2^(х,ф12 < ^ или ^ < (х,ф12. (4)

Доказательство. Для любого решения х(1) включения (1), соответствующего системе (2), имеем

1 d|x

2

хТх G хтF(x,t) при п.в. t G I.

2 di

В силу определения Р(х, £) [2, § 4] при п.в. £ 6 I в любой точке (х, £) непрерывности всех элементов матрицы А(х^) имеется равенство Р(х^) = А(х^)х, а при п. в. £ 6 I в любой в точке разрыва (х,1) 6 М множество Р(х^) определяется по формуле

Р(х, ^ = < а.гАъ(х, Ь)х : ^ а^ = 1, а^ > 0,1 = 1,1

I ®iAi(x, t)x : ai = 1, ai > 0, i = 1,1 > , [i=1 i=1 )

где Ai(x,t) — пределы матричной функции A(x,t) при х ^ х, (x,t) G П, г = 1,1, t = const > 0.

В любой точке непрерывности (x,t) G П\М матрицы A(x,t) имеем

1 d|x

2

2 di

х1 A(x,t)x = у* U *(x,t)A(x,t)U (x,t)y =

П

= у* Л A(x,t)y = Re (у* Л A(x,t)y) = £ Re Xj (x,t)\y312, (5)

=1

где и (х,г)и * (х,г) = е , ж = и (х,г)у, |ж| = 1у1, у* = ут, и * (х,г)А(х,г)и (х,г) = КА(х,1) = diag{\1(х,1),... ,\п(х,!)}. Следовательно в любой точке непрерывности (х,1) £ 0,\М матрицы А(х^) выполняются неравенства

,п 1d|x|2 1d|x|'

М^И < 2~аТ или 2~аТ ^ и(хМх1 .

Аналогично, при почти всех £ £ I в точках разрыва (х,£ М получаем

1 d|x| е хтF(x,t) = I^ aiXTAi(x,t)x : ^ щ = 1, щ > 0, i = м} =

2 di

i=1 i=1

I

г* ,

= Г£ агуг*Ul*(x,t)Ai(x,t)Ui(x,t)yi\ = Г£ агуг*ЛА% (х,1)уг\ =

{I ]( 1 п

£ агуг*ЛА% (х,1)уЛ = Y, Re (Х,Щ |2)

i=1 ) U=1 3 = 1

где U*(x,t)Ui(x,t) = Е, х = Ui(x,t)yi, |ж| = г = 1,1 ,U*(x,t)Ai(x,t)Ui(x,t) = kAi (x,t) = diag{A i1 , i) , • • • , ^in (x,t)}, Xij(x,t) — пределы функций Xj(x,t) при x ^ x, (x, t) G Qj,, t = const, (x, t) G M, j = 1,п, i = 1,1.

Следовательно при почти всех t G I в точках разрыва (x,t) G M также выполняются неравенства (4), так как в этом случае

{In I

^ Re Х^(х,Щ |2) : ^ «i = 1,: ац > 0, i = lj\ С (-ж, р(х,ф\2)

i=1 з = 1 i=1 J

или

{In I }

^ ai(Y, Re \ц(х,Щ |2) : ^ ai = 1,: on > 0, i = lj\ С (и(x,t)lxl2, +ж).

=1 =1 =1

2

Следствие 1. Пусть выполнены условия теоремы 1 и неравенства

1) (p(t)lxla < Re Xj (x,t) или 2) Re Xj (x,t) < (p(t)lxla (6)

для j = 1,n, (x,t) G Q\M, где функция ip(t) кусочно-непрерывна при t > 0, а а ^ 0. Тогда решение x(t) = 0 рассматриваемого включения (2), соответственно:

1) неустойчиво при lim b(t) = +то, где b(t) = p(s)ds или 2) асимптотически t^+ro J о _

устойчиво при lim b(t) = —то, либо устойчиво при lim b(t) <

t^+ro i^+ro

Доказательство. При а > 0 и а = 0 положим Н(и) = ln(u/a), 0 < и < а, а при а > 0 пусть Н(и) = (2/о)(а-а/2 — и-а/2), 0 < и < а. Тогда Н(и) — непрерывная отрицательная возрастающая при 0 < и < а функция и Н (и) ^ —то при и ^ 0+. Следовательно обратная функция Н-1(v) является непрерывной положительной возрастающей функцией при —то < v < 0 и Н-1(v) ^ 0 при V ^ —то.

Далее из неравенства (6) (случай 2) ) и второго неравенства (4) для любого решения x(t), t G I С [0, то), рассматриваемого включения (1) (I — промежуток

существования решения х(Ь)), имеем дифференциальное неравенство

^ < 2ф)1х1а+2 при п.в. г 6 I. Отсюда для х(0) = 0 непосредственно получаем неравенство

|ж(;£)|2 < н-1(н(1х(0)12) + 2Ь(г)) при г 6I,

из которого сразу следуют оба утверждения об устойчивости.

Аналогично из неравенства (6) (случай 1)) при х(0) = 0 получается неравенство 1х(Щ2 > Н-1(Н(|ж(0)|2) + 2Ъ(1)) при £ 6 I, из которого сразу следует утверждение о неустойчивости. □

Пример 1. Включение (1), соответствующее квазилинейной системе с нормальной матрицей

/ (а + cost)lxla t sgn^i + x2)\ \—t sgn^ + x2) (a + cos t)lxla J '

имеет устойчивое решение х(1) = 0 при а = 0, асимптотически устойчивое при а < 0 и неустойчивое в случае а > 0 (таким образом при а = 0 имеется бифуркация), если а ^ 0. Эти утверждения получаются непосредственным применением следствия 1, поскольку И,е Xj(х,£) = (а + ео81)1х1а для ] = 1, 2, х1 + х2 = 0, 1> 0.

Для квазилинейных «неоднородных» систем имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Если для квазилинейной неавтономной системы

х = А(х,€)х + / (х,г), / (0,г) = 0, (7)

с кусочно непрерывными в области П = {(x,t) : х £ Rn, |ж| < ё < 1,t > 0} век-тор-функциеи f (x,t) и матрицей A(x,t), нормальной в П\М, спектр {Xj(x,t)}n матрицы A(x,t) удовлетворяет неравенствам Re Xj(x,t) < —С1|ж|а (j = 1,п, C1 > 0, а > 0, (x,t) £ П\М) и для функции f (x,t) справедлива оценка |/(x,t)l < С2|ж|1+^ (С2 > 0, 0 < а < /3, (x,t) £ П\М), то решение x(t) = 0 включения вида (1), соответствующего системе (7), асимптотически устойчиво.

Доказательство. Правая часть F(x,t) включения (1), соответствующего системе (7), определяется по формулам: F(x,t) = A(x,t)x + f (x,t) при (x,t) £ П\М,

F(x,t) = \ ai[Ai(x,t)x + f (x,t)] : ^ai = 1, щ > 0, i = 1,71

U=1 ¿=1 J

при (x,t) £ M, где A¿(x,t) и p(x,t) — пределы функций A(x,t) и f (x,t) при x ^ x, t = const > 0, (x, t) £ П¿, i = 1,1.

Отсюда, как и при доказательстве теоремы 1, для любого решения x(t) данного включения (1) получаем дифференциальное неравенство

l^dr ^ —C1l^|2+a + C2lxl2+lS = —C1lxl2+a(1 — (С2/С1 )lxf-a) при п.в. t £ I.

Рассматривая решения x(t) данного включения (1) в области П1 = {(x,t) : Ixl < 61, t ^ 0} С П для достаточно малого > 0, при п.в. t £ I получа-1 d|x|2

ем неравенство ^ dt ^ —C3lxl2+a (|ж(0)| ^ 1, С3 > 0). Следовательно при

а > 0 и х(0) = 0 1x^)1 < (аС^г + |х(0)|-а)-1/а ^ 0 (г ^ +го), а при а = 0 |хф| < |х(0) | ехр(—С31) ^ 0 (£ ^ т.е. х(1) = 0 является асимптотически

устойчивым решением рассматриваемого включения (1). □

Замечание 1. Теорему 2 можно считать аналогом теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости по первому приближению для систем вида (6) с кусочно-непрерывной правой частью.

Пример 2. Тривиальное решение включения вида (1), соответствующего системе

X = А(х, £)х + /(х, 1),

,)=( — | х |2 Sgn(Xl +х2)СО^г\ Лх|3(1+8Ш2 ¿)\

(X, ) = sgn(xl +х2)совг — |х|2 ) , *(х,)=\|х|3 (1 + совг))

с нормальной матрицей А(х, 1), асимптотически устойчиво в силу теоремы 2, так как КеЛ^(х, ^ =—|х|2 и |¡(х, ¿)| < л/2|х|3 (з = 1,2, х1 + х2 = 0, 0).

Предположение о нормальности матрицы системы вида (2) может быть ослаблено.

Теорема 3. Пусть для квазилинейной системы вида (2) матрица А(х, 1) =

N

^^Ак(х, 1), где Ак(х, 1) (к = 1,М) квадратные кусочно непрерывные в области

к=1

и матрицы, нормальные в точках определения и удовлетворяющие при к = 1,М, (х, 1) е и\М условиям

№к(х, ^ < КеЛ^ (х, 1) или КеЛ^ь (х, ^ < рк(х, 1) для всех ] = 1,п,

где ßk(х, t), uk(х, t) (к = 1,N) —непрерывные в Ü функции. Тогда для любого решения x(t) включения (1), соответствующего данной системе (2), при п.в. t £ I, где I — промежуток существования решения x(t), выполняются неравен-

N N

ства (4), где ß(x, t) = (х, t), и(х, t) = ^ uk(х, t).

k=i k=i

Доказательство. Доказательство этой теоремы является непосредственным обобщением доказательства теоремы 1. □

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3 и равенства

1) ß(x, t) = p(t)lxla или 2) и(х, t)=p(t)lxla для (х, t) £ Ü,

где функция p(t) непрерывна при t ^ 0, а а ^ 0. Тогда решение x(t) = 0 включения (1), определённого данной системой (2), соответственно: 1) неустойчиво

при lim b(t) = где b(t) = p(s)ds, или 2) асимптотически устойчиво при

t^+ж Jo _

lim b(t) = —<X), либо устойчиво при lim b(t) < tt

Доказательство. Доказательство этих утверждений повторяет доказательство следствия 1. □

Пример 3. Включение (1), соответствующее квазилинейной системе

' а + sint ^sgn^i +: -t 2sgn(xi +х2) а + sint

а + sint t2sgn(xi^ + x2)\ f (1 + i) 1 sgn^x^AA

^V-sgn(xix2) (l+t)-1))3'x

матрица которой является суммой двух нормальных матриц Ai(x,t) и A2(x,t), имеет асимптотически устойчивое решение x(t) = 0 при а < 0 и неустойчивое при а ^ 0. Доказательства получаются непосредственно из тождества Re\a± j(x,t) + Re XA2j(x, t) = a + sin t + (1 + t)-1 (j = 1, 2, x1 + x2 = 0, x1x2 = 0, t > 0 ) и следствия 2.

Замечание 2. Нетрудно сформулировать и доказать аналог теоремы 2 для системы вида (7) с матрицей A(x,t) = 1 (х,^) как в теореме 3.

Отметим ещё, что моделирование в программной среде MAPLE многочисленных примеров систем, рассмотренных в данной статье, подтверждает полученные теоретические результаты.

3. Заключение

Предложенный в работе метод исследования устойчивости квазилинейных неавтономных разрывных систем ОДУ с нелинейной нормальной матрицей отличается от ранее известных и особенно полезен в критических случаях. Полученные без использования аппарата функций Ляпунова результаты позволяют сформулировать и нелокальные условия устойчивости решений.

Литература

1. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с. [Demidovich B. P. Lekcii po matematicheskoyj teorii ustoyjchivosti. — M.: Nauka, 1967. — 472 s.]

2. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.: Наука, 1985. — 224 с. [Filippov A. F. Differencialjnihe uravneniya s razrihvnoyj pravoyj chastjyu. — M.: Nauka, 1985. — 224 s.]

3. Руш H.and Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — М.: Мир, 1980. — 300 с. [Rush N.and Abets P., Lalua M. Pryamoyj metod Lyapunova v teorii ustoyjchivosti. — M.: Mir, 1980. — 300 s.]

4. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. — М.: Наука, 1971. — 288 с. [Rozo M. Nelineyjnihe kolebaniya i teoriya ustoyjchivosti. — M.: Nauka, 1971. — 288 s.]

5. Красовский Н. Н, Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. — М.: Наука, 1974. — 456 с. [Krasovskiyj N. N., Subbotin A. I. Pozicionnihe differencialjnihe igrih. — M.: Nauka, 1974. — 456 s.]

UDC 517.925

Stability Analysis of Solutions to One Class Quasilinear Nonautonomous Discontinuous Systems

V. I. Bezyaev*, Yu. A. Konyaev^

* Department of Differential Equations and Mahtematical Physics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia ^ Department of Mathematics Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., Moscow, 117198, Russia

Stability of solutions to one class quasilinear differential systems with normal matrices studied by spectral method.

Key words and phrases: stability, spectral method, normal matrix.