Об условиях применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям независимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ УСЛОВИЯХ ПРИМЕНИМОСТИ УСИЛЕННОГО ЗАКОНА БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ К ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН*

B. М. Корчевский

C.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

1. Введение. Классическая теорема Колмогорова [1] об усиленном законе больших чисел утверждает, что если Х\,Х2,... — последовательность независимых случайных величин с конечными дисперсиями и

Е

n=1

(!)

то имеет место соотношение

Sn — ESn

—-------^0 П.Н., 2

n

где Sn = Xi + ... + Xn. Если условие (1) не выполнено, то соотношение (2) может не иметь места. Условие (1) будем называть условием Колмогорова. Показано [2], что при некоторых дополнительных предположениях условие Колмогорова достаточно для применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям неотрицательных случайных величин без каких-либо предположений о независимости.

Классическая теорема Маркова (см., например, [3]) утверждает, что если Xi,X2,...—произвольная последовательность случайных величин с конечными дисперсиями и

DSn = o(n2) (n ^ ж), (3)

то (Sn — ESn)/n ^ 0 по вероятности. Условие (3) будем называть условием Маркова. Как показано В. В. Петровым [4], некоторое усиление условия Маркова приводит к усиленному закону больших чисел в форме (2).

Следуя Петрову [4, гл. 9], будем использовать обозначение Фс для множества функций ф(х) таких, что каждая ф(х) положительна и не убывает в области x > xo при некотором xo и ряд У] 1/(пф(п)) сходится. Здесь У] f (n) означает суммирование по всем целым положительным n, для которых значения f (n) определены и положительны. Значение xo не предполагается одним и тем же для различных функций ф(х). Если в этом определении заменим слово «сходится» словом «расходится», то мы получим определение класса функций Ф^. Примерами функций класса Фс являются функции xs и (log x)l+s при любом 5 > 0. Функции log x и log log x принадлежат классу Ф^.

Теорема Петрова [4, гл. 9, теорема 26] утверждает, что если Xi, X2,... —последовательность независимых случайных величин с конечными дисперсиями и

( n2 \

DSn = О —-—- для некоторой функции ф G Фс, (4)

\ф(и))

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00314-а). © В.М.Корчевский, 2010

то имеет место соотношение (2). Условие (4) будем называть условием Петрова. Это условие нельзя ослабить, потребовав вместо него выполнение содержащегося в (4) ра-

такой, что п/ф(п) не убывает в области п > по при некотором по, существует последовательность независимых случайных величин Х1, Х2,... с конечными дисперсиями, для которой ПЯп = 0(п2/ф(п)), но соотношение (2) не имеет места. В [5] показано, что при некоторых дополнительных предположениях условие Петрова достаточно для применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям случайных величин без каких-либо предположений о независимости.

Условия (3) и (4) имеют суммарный характер, в отличие от условия (1), для проверки выполнения которого требуется информация о дисперсиях индивидуальных случайных величин из рассматриваемой последовательности.

Если случайные величины Х1, Х2,... независимы, то условие Петрова равносильно условию

Нашей целью является исследование связи между условиями (1) и (5).

2. Результаты. Пусть 61,62,...—последовательность положительных чисел. Нас интересует связь между условиями

Лемма. Пусть 61,62,... — последовательность положительных чисел. Для того чтобы было выполнено соотношение (6), необходимо и достаточно, чтобы существовала положительная функция /(п), п = 0, 1, 2,..., такая, что

Доказательство. Сначала докажем достаточность. Пусть существует положительная функция /(п), п = 0,1, 2,..., такая, что выполнены соотношения (8), (9) и (10). Из соотношения (10) следует, что

венства для некоторой функции ф € Ф^. Как показано в [4], для любой функции ф € Ф^

для некоторой функции ф € Фс.

(5)

(6)

п=1

для некоторой функции ф € Фс.

(7)

(8)

(9)

(10)

V) == _____ __ __________

" /(«О /(«■-!)'

п2 (п — I)2

Имеем

Е^ = Е

= 1

__ ________

П \ ' ґ(п) /(п-1)

О 1 1

где

У^(---------------------1---------------------------) = Ті + То — Тч, (и)

/("-) /("--1) «-/(«--1) п2/(п- 1)

О

гі = £е

ОО 1

'/(п) /(п - 1)'

О

^ = Е

1

О 2

п/(п - 1)’

П=1

О1

п2/(п — 1)

п=1 ^ 4 '

Из (8) и (9) следует, что все три ряда Т1, Т2 и Т3 сходятся, поэтому имеет место (6). Теперь докажем необходимость. Пусть выполнено условие (6). Определим функцию / (п) равенствами

п2

/(п) = ——- (п> 1), /(0) = 1. (12)

2^=1Ой

Таким образом, /(п) —положительная функция такая, что выполнено равенство (10). Из (6) и леммы Кронекера (см., например, [4]) получаем соотношение (8). Учитывая (6), (8), (10) и (11), приходим к утверждению о сходимости рядов Т1, Т3 и Т2. Отсюда следует (9). Лемма доказана.

Теорема 1. Пусть 61,62,--- — последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию (7). Тогда имеет место соотношение (6).

Доказательство. Определим функцию /(п) равенствами (12). Эта положительная функция удовлетворяет равенству (10). Из (7) и (10) следует, что

"2 о(-^г-), #т = 0( 1) (*-»).

/ (п) \Ф(п)У / (п)

Отсюда следуют (8) и (9). Таким образом, соотношение (6) выполнено в силу леммы. Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Пусть 61,62,... — последовательность положительных чисел, удовлетворяющая условию (6), и /(п) — функция, определенная равенствами (12). Если существует неубывающая функция фо(х) такая, что

Фо(п) х /(п) (п ^ж), (13)

то фо(х) принадлежит классу Фс и

.2

к=1

5> = ° ЇХЙ • <>«>

Доказательство. В силу леммы функция f (п) положительна и удовлетворяет соотношениям (8), (9) и (10). Из (9) и (13) следует, что У~] 1 /(пфю(п)) < ж, таким образом,

П

функция фо(х) принадлежит классу Фс. Из (12) и (13) следует (14). Теорема 2 доказана. Литература

1. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974.

2. Etemadi N. On the law of large numbers for non-negative random variables // J. Multivariate Analysis. 1983. Vol. 13. P. 187-193.

3. Petrov V. V. Limit theorems of probability theory. Oxford: Clarendon Press, 1995.

4. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

5. Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел для последовательности неотрицательных случайных величин // Теор. вероятн. и примен. 2008. Т. 53. №2. С. 379-382.

Статья поступила в редакцию 18 марта 2010 г.