Об усиленном законе больших чисел для последовательностей зависимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОБ УСИЛЕННОМ ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В. М. Корчевский1, В. В. Петров2

1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

Нашей целью является доказательство ряда теорем, содержащих достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям неотрицательных случайных величин без предположения о независимости. Эти теоремы были анонсированы в [1]. Некоторые из них являются обобщениями результатов работ [2] и [3]. Другие достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям неотрицательных зависимых случайных величин были получены Этемади [4, 5].

1. Следуя [6, гл. 9], будем использовать обозначение Фс для множества функций ф(х) таких, что каждая ф(х) положительна и не убывает в области x > xo при некотором xo и ряд У] 1/(иф(и)) сходится. Здесь f (п) означает суммирование по всем целым положительным n, для котрорых значения f (n) определены и положительны. Значение xo не предполагается одним и тем же для различных функций ф(х). Если в этом определении заменим слово «сходится» словом «расходится», то мы получим определение класса функций Ф^. Примерами функций класса Фс являются функции xs и (log x)1+<5 при любом S > 0. Функции log x и log log x принадлежат классу Ф^.

В дальнейшем мы рассматриваем последовательность неотрицательных случайных величин {Xn} с конечными абсолютными моментами некоторого порядка p ^ 1 и полагаем Sn У —1 Xk.

Теорема 1. Пусть {wn} —последовательность положительных чисел,

n

n

(1)

k—1

k—1

Пусть выполнены следующие условия: Wn ^ ж (n ^ ж),

n

n

wkEXk ^ C 'Sy^j Wk для всех достаточно больших n — m, (2)

k—m

k—m

где C — постоянная,

для некоторой функции ф £ Фс. (3)

Тогда

© В.М.Корчевский, В.В.Петров, 2010

Приведем два следствия теоремы 1.

Теорема 2. Если

Е(Бп — Бт) ^ С(п — т) для всех достаточно больших п — т (5)

и

( пр \

Е \Бп — ЕБп\р = О ——- для некоторой функции ф Є Фс, (6)

ф(п)

5П — ESn

Теорема 2 следует из теоремы 1 при тп = 1 для всех п. В [2] этот результат был доказан для p = 2.

Теорема 3. Если ESn ^ то (п ^ то) и

/ (ES )р \

Е \Бп — ЕБп\р = О ” для некоторой функции ф Є Фс, (8)

ф(ЕБп),

то

1 /п\

- ->■ 1 п-н- (9)

Мы получим это предложение, применяя теорему 1 к последовательности случайных величин {Уп}, где Уп = Хп/(ЕХп) (предполагая без ограничения общности, что ЕХп > 0 для всех п), и полагая ,тп = ЕХп. Тогда Тп = Бп = ^П=1 Хк, Шп = ЕБп = ЕТп, так что (4) сводится к соотношению (9).

Теоремы 1 и 3 являются обобщениями результатов из [3], соответствующих значению р = 2. Иные достаточные условия для соотношений (4), (7) и (9) получены Этемади [4, 5].

В [2] и [3] показано, что в случае р =2 условия (6) и (8) теорем 2 и 3 нельзя заменить более слабыми условиями, соответствующими замене слов «для некоторой функции ф(х) € Фс» словами «для некоторой функции ф(х) € Ф^». Отсюда, в частности, следует, что условия (5) и ЕБп = О (n2/(logп)1+г) при некотором 5 > 0 достаточны для соотношения (7), в то время как условия (5) и ЕБп = О (n2/logп) не гарантируют выполнения (7).

Перейдем теперь к доказательству теоремы 1. Пусть Ь > 1. Положим

кп = {к : > Ьп}. (10)

Имеем Шкп > Ьп, Шкп-1 < Ьп, так что ^кп+1_1 < Ьп+1. Если кп < кп+1, то кп < кп+1 -1, Шкп ^ ^кп+1-1 < Ьп+1. Поэтому Ьп ^ Wkn < Ьп+1 для всех п и

^к +, 2

К-тг+1 , 7 2

<Ь2. (11)

Если же кп = кп+1, то неравенство (11) остается верным, ибо Ь > 1. По неравенству Чебышёва имеем

Р(\Ткп - ЕТкп| > е\Укп) < Е |Т*" ~ ЕТкЛР

£РШк

кп

для любого £ > 0. Использование условия (3) приводит к неравенству

ОО ОО ..

'£Р(1П„ - ЕТк, I г Л14,,) < С'£-.- Т.щ-у <12>

п=1 п=1 ^ кп)

где С — постоянная. В силу леммы 1 из [2] ряд У~] !/ф(Ьп) сходится для любого Ь > 1, если ф(х) € Фс. Поэтому ряд в правой части (12) сходится, и по лемме Бореля—Кан-телли имеем

р (Iткп — ЕТкп | > £~№кп !.о.) = 0

для любого £ > 0. Следовательно,

Тк — ЕТк

кп

Жкп

Если кп ^ к < кп+1, то

Тк — ЕТк ^ |^п+1 ЕТкп+1\ У^кп+1 ЕТкп+1 ЕТкп . ,

" игкп+1 ' wkn + шкп [ }

в силу неотрицательности исходных случайных величин. Первое слагаемое в правой части (14) сходится к нулю почти наверное вследствие (13) и (11). Второе слагаемое не превосходит С(^кп+1 — Шкп)/^кп ^ С(Ь2 — 1) в силу (2) и (11). Справедливы аналогичные оценки снизу для левой части (14). Поэтому

,• IТк - ЕТк\ ( 2 1 ^

итэир-----—------ < 6(6 —1) п.н.

к^о ™к

Правая часть последнего неравенства может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора числа Ь достаточно близким к единице. Отсюда следует соотношение (4). Теорема 1 доказана.

2. Далее мы будем рассматривать последовательность неотрицательных случайных величин {Хп} с конечными дисперсиями.

Теорема 4. Пусть выполнены условия (5),

п

ПБп ^ С^№ для всех п, (15)

к=1

где С — некоторая постоянная,

2^~^~ < 00• (16) п= 1

Тогда имеет место соотношение (7).

Условие (16) было введено Колмогоровым (см., например, [6, гл. 9]) при исследовании усиленного закона больших чисел для последовательности независимых случайных величин. Этемади [4] использовал это условие при исследовании усиленного закона больших чисел для последовательности зависимых случайных величин.

Перейдем к доказательству теоремы 4. Пусть Ь > 1, кп = [Ьп]. По неравенству Чебышёва имеем

ОО

иЬк

кп

]Г Р (|5кп — ЕБкп | > £кп)

2к2

п= 1 п= 1

для любого £ > 0. В силу условий (15), (16) и неравенства 1/кп ^ С1/*2 получим

2 кп

п-.кп^ъ

кп

ОО р. ^ ОО о 1 О

п=1 п п=1 п г=1 п:кп^г £=1

Применение леммы Бореля—Кантелли приводит к соотношению

^^0 п.н. (17)

кп

Если кп ^ к < кп+1, то с учетом неотрицательности случайных величин из исходной последовательности получаем

5\ - ЕБк ^ \Якп+1 - Евкп+1\ _ &п+1 + -£^+1 - Евкп ^

к кп+1 кп кп

Вследствие (17) первое слагаемое в правой части (18) сходится к нулю почти наверное. Второе слагаемое в правой части (18) при всех достаточно больших п не превосходит С(кп+1 — кп)/кп в силу условия (5). Аналогичные оценки снизу справедливы для левой части (18). Поэтому

\Sb-ESbl ^

итэир------- ----<6(6—1) п.н.

к——о к

Правая часть последнего неравенства может быть сделана сколь угодно малой за счет выбора числа Ь достаточно близким к единице. Отсюда следует соотношение (7). Теорема 4 доказана.

Применяя теорему 4 к последовательностям случайных величин {(Хп — ЕХп)+} и {(Хп — ЕХп)-}, где {Хп} —последовательность попарно независимых случайных величин (не обязательно неотрицательных), удовлетворяющая условиям (16) и 5^п=т+1 Е |Хк — ЕХк I ^ С(п — т) для всех достаточно больших п — т, где С — некоторая постоянная, можно доказать, что для этой последовательности выполнено соотношение (7). Теорема 4 и указанное следствие из нее обобщают некоторые результаты Этемади [4].

Теорема 5. Пусть {и>п} —последовательность положительных чисел. Определим ^п и Тп равенствами (1) и предположим, что

ттл ^п А / \

И/п —>• сю,->■ 0 (п —> оо),

^п

О2

(19)

п= 1 п

п

№п < с£>2ВХк (20)

к=1

и выполнено условие (2). Тогда имеет место соотношение (4).

Доказательство. Пусть Ь > 1. Определим кп равенством (10). Поскольку ^п/Шп+\ ^ 1 при п ^ то, имеем 1№кп ~ Ьп для всех достаточно больших п. По неравенству Чебышёва, учитывая соотношения (19), (20), имеем для любого е > 0

кп

ТО ТО „Т ТО Ху „Хг

Е Р^~ - ЕГ‘-| > < с Е < с Е !=тр— <

п=1 п=1 кп п=1 кп

то 1 (~то 2 п V

<с5>?зд Е „!, ■ ^Е"'и ' '•

г=1 п:кп^г кп г=1 ^

Применение леммы Бореля—Кантелли приводит к соотношению (13). Используя рассуждения, приведенные при доказательстве теоремы 4, получаем требуемый результат.

Теорема 6. Пусть выполнены условия (15),

ЕХ

ЕБп —> то, п —> 0 (п —> то),

ЕЬп

<°°-

= 1 (ESn)

Тогда имеет место соотношение (9).

Эта теорема доказывается применением теоремы 5 к последовательности случайных величин (Уп|, где Уп = Хп/ЕХп, »п = ЕХп.

Из теоремы 6 следует, что соотношение (9) выполнено для последовательности одинаково распределенных случайных величин Х1, Х2,..., удовлетворяющих условиям ЕХ1 > 0 и ВБп < Сп для всех п.

Литература

1. Petrov V. V., Korchevsky V. M. On the strong law of large numbers for sequences of dependent random variables // Proceedings of the 6th St. Petersburg Workshop on Simulation. 2009. P. 977980.

2. Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел для последовательности неотрицательных случайных величин // Теор. вероятн. и примен. 2008. Т. 53. №2. С. 379-382.

3. Петров В. В. Об устойчивости сумм неотрицательных случайных величин // Зап. науч. семин. ПОМИ. 2008. Т. 361. С. 78-82.

4. Etemadi N. On the law of large numbers for non-negative random variables // J. Multivariate Analysis. 1983. Vol. 13. P. 187-193.

5. Etemadi N. Stability of sums of weighted non-negative random variables // J. Multivariate Analysis. 1983. Vol. 13. P. 361-365.

6. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Наука, 1972.

Статья поступила в редакцию 14 января 2010 г.