О законе повторного логарифма для последовательностей зависимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2 MSC 60F15

Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. Т. 4 (62). 2017. Вып. 1

О ЗАКОНЕ ПОВТОРНОГО ЛОГАРИФМА

ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ЗАВИСИМЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В. В. Петров

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Получены достаточные условия применимости закона повторного логарифма к последовательности зависимых случайных величин. Следствием этого результата является теорема о законе повторного логарифма для последовательности т-ортогональных случайных величин. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: закон повторного логарифма, последовательности т-ортогональных случайных величин.

Теорема 1. Пусть {Yn; n = 1, 2, • • • } — последовательность случайных величин на некотором вероятностном пространстве, {an; n = 1, 2, •••} —последовательность положительных чисел, такая что an ^ ж при n ^ ж и выполнено следующее условие: для любого е > 0 имеет место неравенство an+r > an(1 — е) для всех r > 1 и всех достаточно больших n (условие A). Пусть

ЕР max Yk > (1 + e)auni I < то (1)

V [c"]<t<[c"+1] /

n= 1 4 y

для некоторого c> 1 и любого е > 0. Тогда выполняется

Yn

lim sup — <1 п.н. (2)

an

Доказательство. Пусть 5 — произвольное положительное число, c > 1. В силу условия А имеем

Р (Yn > (1+ 5)an б.ч.) < PI max Yk > (1 + 5)au „,(1 — е) б.ч.)

\[cn]<fc<[cn+1] )

для любого е > 0. Поэтому справедливо неравенство

P(Yn > (1 + 5)ап б.ч .)<Р( max Yk > (1 + £) а[с„, б.ч.),

\[c„]<k<[c„+1] V 2 J 1 1 J

если положительное число е выбрать столь малым, что (1 + 5)(1 — е) > 1 + 5/2.

Взяв число c удовлетворяющим условию (1) и применив лемму Бореля—Кан-телли, приходим к неравенству (2).

Условие A представляет собой ослабление условия неубывания нормирующей числовой последовательности {an}, позволяющее применить теорему 1 к последовательностям случайных величин при нормирующей последовательности, которая

© Санкт-Петербургский государственный университет, 2017 DOI: 10.21638/11701/ spbu01.2017.107 49

не является неубывающей, но удовлетворяет условию А. В частности, с помощью теоремы 1 можно получить достаточные условия применимости закона повторного логарифма к суммам т-зависимых случайных величин. Напомним, что последовательность случайных величин {Хп; п = 1,2,...} называется последовательностью 'т-зависимых случайных величин, где т есть целое неотрицательное число, если случайные векторы (Хр,..., Хд) и (Хг,..., Хя) независимы при любых целых р, д,г, в, удовлетворяющих условиям 1 < р < д < г < в и г — д > т.

Понятие последовательности т-зависимых случайных величин введено Хёфдин-гом и Роббинсом в классической работе [1], содержащей также условия применимости центральной предельной теоремы к последовательностям т-зависимых случайных величин. К настоящему времени литература по предельным теоремам для сумм т-зависимых случайных величин весьма обширна.

В [2] введено понятие последовательности т-ортогональных случайных величин. Пусть т — целое неотрицательное число. Будем говорить, что заданная на некотором вероятностном пространстве последовательность случайных величин {Хп; п = 1, 2, •••} есть последовательность т-ортогональных случайных величин, если ЕХПП < го для любого п и Е(ХнХ^) = 0 при условии \к — > т. В частности, последовательность 0-ортогональных случайных величин есть последовательность ортогональных случайных величин. Если {Хп} есть последовательность т-зависимых случайных величин с математическими ожиданиями, равными нулю, и конечными дисперсиями, то она является последовательностью т-ортогональных случайных величин. Последнее утверждение остается верным, если в нем заменить условие га-зависимости более слабым условием попарной т-зависимости. Заметим, что проверка выполнения условия т-ортогональности значительно проще, чем проверка условия т-зависимости или попарной т-зависимости. Исследование предельных теорем для последовательностей т-ортогональных случайных величин представляет определенный интерес с учетом того большого внимания, которое было уделено предельным теоремам для сумм ортогональных случайных величин и сумм т-зависимых случайных величин. Приведем одну теорему о законе повторного логарифма для последовательностей т-ортогональных случайных величин.

Теорема 2. Пусть {Хп; п = 1, 2,...} — последовательность т-ортогональных случайных величин с математическими ожиданиями, равными нулю. Положим = £П=1 Хн, Еп = ЕБ2п, х(п) = (2Вп loglogВ„)1/2. Пусть

Вп ^ го, (3)

(4)

Е Р(< , Sk > (1 + £)x([cn])) < ~ (5)

при n —>■ го и выполнено условие

m

1 v[cn]<fc<[cn+1]

для некоторого c > 1 и любого е > 0. Тогда справедливо неравенство

limsup < 1 п.н. (6)

X(n)

Доказательство. Покажем, что последовательность {Bn} удовлетворяет условию А. Справедливы равенства

Вп = Е (5п+1 — Хп+1)2 = Вп+1 + ЕХ;2+1 — 2Е(£п+1Хп+1) =

= вп+1 + ЕХП+1 +20 (Е^П+1ЕХП+1)

в силу неравенства Буняковского—Коши, где \0\ < 1. Поэтому

2 X 1/2

= 1 + + 20

Вп , ЕХ1+1 / ЕХп+1

Вп+1 Вп+1 V Вп+1

Условие (4) приводит к соотношению

ТГ^--у 1 (п^сх). (7)

Вп+1

Для любого целого р > 1 имеем

Вп+р = Вп + Е(Хп+1 + • • • + Хп+р)2 + 2Е[^п(Хп+1 + • • • + Хп+р)] >

> Вп + 2Е[^п(Хп+1 + • • • + Хп+р)],

Е[^п(Хп+1 + • • • + Хп+р)] = Е [(Хп-т+1 + • • • + Хп)(Хп+1 + • • • + Хп+р)]

при п > т в силу условия т-ортогональности. Используя это же условие, нетрудно убедиться, что выполняется неравенство

т т — з

Е\^п(Хп+1 + • • • + Хп+р)\ < ^^ ^^ \Е(Хп—зХп+г)\.

3=0 ¿=0

Поэтому

т т—3 т т—3

Вп+р > Вп — \Е(Хп—з Xn+¿)\ > Вп — 2^]Г (ЕХ2—з ЕХ2+01/2. (8)

3 = 0 ¿=0 3=0 ¿=0

Для любого целого фиксированного р имеем

В

->• 0 (п оо) (9)

_ Вп+р -Вп+1

Вп Вп+р Вп+р—1 В-..

вследствие (4) и (7). Из (8) и (9) следуют неравенства

V 3=0 ¿=0 V Вп Вп ,

Вп+8 > Вп(1 — е) (10)

для любых е > 0, в > 1 и всех достаточно больших п. Таким образом, последовательность {Вп} удовлетворяет условию А.

Неравенство (10) сохраняет силу, если в нем заменить Вп на х(п) = (2Вп ^^Вп)1/2. Таким образом, последовательность ап = х(п) удовлетворяет

условию А. Условие (1) теоремы 1 также выполнено в силу (5) для Уп = Бп и ап = х(п)- По теореме 1 справедливо соотношение (6).

Теорема 2 сохраняет силу, если в ней заменить условие т-ортогональности условием т-зависимости (с сохранением остальных условий теоремы) или даже более слабым условием попарной т-зависимости. Полученный таким образом результат представляет собой обобщение теоремы 2 из [3], в которой предполагались выполненными условия (3) и (4), а вместо (5) было наложено следующее условие: для любого Ь > 1 существуют положительные постоянные С и 6, такие что выполняется неравенство

для всех достаточно больших п. Теорема из [2] отличается от последнего результата заменой условия m-зависимости условием m-ортогональности.

Литература

1. Hoeffding W., Robbins H. The central limit theorem for dependent random variables // Duke Math. J. 1948. Vol. 15, N3. P. 773-780.

2. Петров В. В. Последовательности m-ортогональных случайных величин // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1982. Т. 119. P. 198-202.

3. Петров В. В. О законе повторного логарифма для последовательностей зависимых случайных величин // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1980. Т. 97. P. 186-194.

Статья поступила в редакцию 19 мая 2016 г.; рекомендована в печать 6 октября 2016 г. Сведения об авторе

Петров Валентин Владимирович —доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]

ON THE LAW OF THE ITERATED LOGARITHM FOR SEQUENCES OF DEPENDENT RANDOM VARIABLES

Valentin V. Petrov

St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7-9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]

Some sufficient conditions are obtained for the applicability of the law of the iterated logarithm to sequences of dependent random variables. By means of this result we get a theorem on the law of the iterated logarithm for a sequence of m-orthogonal random variances. Refs 3.

Keywords: law of the iterated logarithm, sequences of m-orthogonal random variables.

1. Hoeffding W., Robbins H., "The central limit theorem for dependent random variables", Duke Math. J. 15(3), 773-780 (1948).

2. Petrov V. V., "Sequences of m-orthogonal random variables", Zap. Nauchn. Sem. LOMI 119, 198-202 (1982) [in Russian].

3. Petrov V.V., "Law of the iterated logarithm for sequences of dependent random variables", J. Math. Sci 24(5), 611-617 (1984).

Для цитирования: Петров В. В. О законе повторного логарифма для последовательностей зависимых случайных величин // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2017. Т. 4 (62). Вып. 1. С. 49-52. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.107

For citation: Petrov V. V. On the law of the iterated logarithm for sequences of dependent random variables. Vestnik SPbSU. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2017, vol. 4(62), issue 1, pp. 49-52. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2017.107

References