CC BY
47
УДК 519.2
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Т. 3(61). 2016. Вып. 4
ОБ УСИЛЕННОМ ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
В. В. Петров
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
С помощью общих теорем о применимости усиленного закона больших чисел к последовательности зависимых случайных величин, формулируемых в терминах оценок для моментов сумм этих величин, найдены новые условия применимости этого закона к стационарной в широком смысле последовательности случайных величин. Библиогр. 4 назв.
Ключевые слова: усиленный закон больших чисел, стационарные последовательности.
В [1-3] исследована применимость усиленного закона больших чисел к последовательностям случайных величин без условий независимости или каких-либо специальных условий зависимости (стационарность, марковское свойство и т. д.). При этом условия налагаются только на поведение моментов некоторого порядка сумм рассматриваемых случайных величин. Полученные теоремы могут приводить к новым результатам и для случайных последовательностей с известными типами зависимости.
Целью настоящей заметки является доказательство одной теоремы об усиленном законе больших чисел для стационарной последовательности с помощью следующего результата из [3, теорема 2], относящегося к произвольной последовательности случайных величин с конечными дисперсиями.
Лемма. Пусть Х1,Х2, ■■■ —последовательность случайных величин с конечными дисперсиями, удовлетворяющая условию
Уаг(Бп - Бт) < С(п - т)2г-1 (1)
для всех п, т таких, что п > т, где г > 1 и С — постоянная. Тогда выполняется
ёп — Еёп / — %
—-п.н. 2
пг
Здесь и в дальнейшем Бп = Х1 + Х2 + ■■■ + Хп, п. н. обозначает «почти наверное», все предельные переходы совершаются при п ^ж.
Эта лемма представляет собой следствие более общего результата, полученного в [3] для последовательности случайных величин с конечными абсолютными моментами порядка р > 1.
В случае г =1, соответствующем классической нормировке в законах больших чисел, лемма сводится к следующему предложению: если {Хп} —последовательность случайных величин с конечными дисперсиями, удовлетворяющая условию
Уаг(Бп - Бт) < С(п - т) для всех п, т таких, что п > т, то выполняется
ёп - ЕБп „ --»0 п.н.
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2016 БОТ: 10.21638/11701/зрЪи01.2016.413 641
Теорема. Пусть Х1, Х2, ■■■ — стационарная в широком смысле последовательность случайных величин, ЕХп = Ь, р^ — коэффициент корреляции между случайными величинами X^ и X^. Если выполнено условие
£ Рц < с(п - т}2г-1 (3)
при некотором г > 1 и при всех п, т таких, что п > т, где С — постоянная, то справедливо
8п - пЬ
-;--> 0 п.н. (4)
Доказательство теоремы сводится к проверке выполнения (1) и применению леммы. Имеем
n
Var (Sn - Sm)= V VarXi + 2 V cov(Xi,Xj) = (n — m)a2 + 2a2Тщт,
, . ^ ... i | — ,
i=m+1 m<i<j<n
где
E
m<i<j<n
a2 = VarXn, Tn,m = V^ Pij ■
Поскольку r > 1 в условии (3), имеет место неравенство (1), и применение леммы завершает доказательство.
Условие (3) выполнено при любом r > 3/2, так что усиленный закон больших чисел в форме (4) при r = 3/2 применим к любой стационарной последовательности.
Если коэффициенты корреляции между любыми случайными величинами с различными индексами неположительны, то сумма в левой части (3) неположительна, условие (3) выполнено при любом r > 1/2, и соотношение (4) имеет место при r = 1. Условие
pij ^ 0 при \i — j \
влечет за собой применимость слабого закона больших чисел для стационарной последовательности в форме Sn/n ^ EX1 по вероятности (см., например, [4], теорема 5.3), что является известным результатом, восходящим к С. Н. Бернштейну.
Литература
1. Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел для последовательности неотрицательных случайных величин // Теория вероятностей и ее применения. 2008. Т. 53. Вып. 2. С. 379—382.
2. Петров В. В. К усиленному закону больших чисел для последовательности неотрицательных случайных величин // Зап. науч. семин. ПОМИ. Т. 384. 2010. С. 182-184.
3. Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел для последовательности зависимых случайных величин // Зап. науч. семин. ПОМИ. Т. 408. 2012. С. 285-288.
4. Petrov V., Mordecki E. Teoria de probabilidades. Moscu: Editorial URSS, 2003. 281 p.
Статья поступила в редакцию 21 марта 2016 г.
642
Вестник СПбГУ. Сер. 1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3 (61). 2016. Вып. 4
Сведения об авторе
Петров Валентин Владимирович —доктор физико-математических наук, профессор; [email protected]
ON THE STRONG LAW OF LARGE NUMBERS FOR A STATIONARY SEQUENCE
Valentin V. Petrov
St. Petersburg State University, Universitetskaya nab., 7—9, St. Petersburg, 199034, Russian Federation; [email protected]
New conditions of applicability of the strong law of large numbers to a stationary sequence are found by means of recent general results formulated in terms of moments of sums of random variables. Refs 4. Keywords: strong law of large numbers, stationary sequences.
References
1. Petrov V.V., "On the strong law of large numbers for nonnegative random variables", Theory Probab. Appl. 53(2), 346-349 (2008).
2. Petrov V. V., "On the strong law of large numbers for a sequence of nonnegative random variables", J. Math. Sci 176(2), 207-208 (2011).
3. Petrov V. V., "On the strong law of large numbers for a sequence of dependent random variables", J. Math. Sci 199(2), 225-227 (2014).
4. Petrov V., Mordecki E., Teoria de probabilidades (Moscu, Editorial URSS, 2003, 281 p.) [in Spanish].
Для цитирования: Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел для стационарной последовательности // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 1. Математика. Механика. Астрономия. 2016. Т. 3(61). Вып. 4. С. 641-643. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.413
For citation: Petrov V. V. On the strong law of large numbers for a stationary sequence. Vestnik of Saint Petersburg University. Series 1. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2016, vol. 3(61), issue 4, pp. 641-643. DOI: 10.21638/11701/spbu01.2016.413
Вестник СПбГУ. Сер.1. Математика. Механика. Астрономия. Т. 3(61). 2016. Вып. 4
643
