CC BY
34
ОБ УСИЛЕННОМ ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ
ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
БЕЗ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ О НЕЗАВИСИМОСТИ*
B. М. Корчевский
C.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]
1. Введение. Пусть {Хп} — последовательность случайных величин с конечными дисперсиями {ОХп}. Введем следующие обозначения: Бп = ^П=1 Хи, Бг,з = — Бг, где 2 ^ г ^ 1, Ыг,з = тах \5\,и |. Для х > 0 положим 1с^ х = log2(x V 2).
’ ’
Классическая теорема Колмогорова [1] об усиленном законе больших чисел утверждает, что если {Хп} — последовательность независимых случайных величин и
£^<ОС, (1)
п=1
то имеет место соотношение
Бп — ЕБп
—-------^0 п.н. (2)
п
Известно (см., например, [2]), что в теореме Колмогорова условие независимости не может быть заменено условием попарной независимости без введения дополнительных предположений. В работах [3, 4] приведены результаты, содержащие достаточные условия применимости усиленного закона больших чисел к последовательностям зависимых неотрицательных случайных величин, удовлетворяющих условию (1). В этих работах дополнительные условия, в частности, даны в виде ограничений на математические ожидания рассматриваемых случайных величин.
От условия взаимной независимости случайных величин в теореме Колмогорова можно отказаться, если условие (1) заменить более ограничительным условием. Доказательству результата такого рода и посвящена настоящая работа.
Условие (1) мы заменяем условием
ЕХп 2 „ /0\
2^ 1оё п < °°- (3)
п=1 п
Это позволяет распространить утверждение усиленного закона больших чисел на последовательность зависимых случайных величин, удовлетворяющих условию
з
ЕБг^ ^ С ОХи для всех 1,2 таких, что 2 > г ^ N0, (4)
и=г+1
и некоторых постоянных N0 и С.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00314-а). © В.М.Корчевский, 2011
Классическим результатом, содержащим условие вида (3), является теорема Меньшова—Радемахера (см., например, [5]), утверждающая, что если {Хп} — последовательность ортогональных случайных величин, удовлетворяющая условию
то Т? ^2
13 1оё2 п < °°> (5)
П=1
то
ьп
-----> 0 п.н.
п
Другие результаты опубликованы в работах [6, 7] и [8]. В [8] также представлен обзор публикаций по этому направлению.
В отличие от [3] и [4], в настоящей работе отсутствует условие неотрицательности случайных величин {Хп} и нет ограничений на математические ожидания этих случайных величин.
2. Результаты. Нашей целью является доказательство следующей теоремы.
Теорема. Пусть {Хп} — последовательность случайных величин, удовлетворяющая условиям (3) и (4). Тогда имеет место соотношение (2).
Для доказательства нам потребуется следующая лемма, являющаяся следствием теоремы Серфлинга ([9], теорема А).
Лемма. Если {Хп} —последовательность случайных величин с равными нулю математическими ожиданиями, удовлетворяющая условию
Щз < с ± ЕХ2
к=г+1
для всех г, / таких, что / > г ^ 1, и некоторой постоянной С, то
ЕИ?з < с(^20/ - г))2 ]Г ЕХ2
к=1+1
для всех г, / таких, что / > г ^ 1.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Не ограничивая общности, будем считать, что ЕХп = 0 для всех п ^ 1. Положим кп = [еп]. В силу неравенства Чебы-шёва для всякого е > 0 имеем
то то ес2 то ЕЯ2
^Р{\Зкп\>екп)^С^^^С1 + С Е
п=1 п=1 кп п=№с + 1 кп
^ Е&М0+Е&М0'кп + 2Е{3М03Ма,кп) ^
^°1+С Ь ---------------------*2--------------<
п=№0 + 1 п
^ Е8%о+Е8^кп + 2^Щ;о^Щ^
Ь.2
ГЬг,
с ]Г -------------------------- -т--------------------— ^
п=^о + 1
то ео2 <С72+С7 £ (6)
п=Щ + 1 п
где С\ и С2 —некоторые постоянные. Из условий (3) и (4) следует, что
еб1
^ < с
п=№о + 1
Е
то \^кп ех2
No,kn <(J ^2 ^ = 7У0 + 1 Ъ <
n=No + 1
k2
ГЪгг,
k2
ГЪгг,
то __ 1 то Т?у2
«С Е ЕХ? Е Е тг<“' <7>
i=No + 1 n:{kn^i}n
njn^No + 1}
i=No + 1
Применение леммы Бореля—Кантелли, с учетом (6) и (7), приводит к соотношению
Skn
kn
—> 0 п. н.
Для завершения доказательства достаточно показать, что
г п
iirn max — = 0 п. н.
п^то kn<k^kn+i к
Имеем
max
kn <k^kn + 1
Sk
к
max
kn<k^kn+1
Sk — Skn + Skn
max
kn <k^kn + 1
Skn kn . Skn,k kn+1
kn k kn+1 k
<
<
Skn $kn,k
kn + max kn-\-1
kn<k^kn+1
пг+1
kn
. (8)
Первое слагаемое в правой части (8) сходится к нулю п. н. при п ^ ж, и нам осталось доказать соотношение
lim max
n^-то kn <k^kn+i
Skn,k
kn+1
0 п. н.
По неравенству Чебышёва Skn ,k
Pi max
—4 \kn <k^kn+i
k
n+1
kn,kn + 1
1 kn+1
<
с + c e
то EMk k +
kmkn + 1
n=No + 1
kn+1
(9)
(10)
для всякого £ > 0. В силу леммы имеем
____ 1,2
n=No + 1 n+1
TO
< C+C E
n=No + 1
n=No + 1
2 kn+1
1.2
kn+1
anfen+i)2Ea:+1^
fc2+i
<
C1 + ^ E EX2 E
(lnfcn+i)2
kl_
<
i=No + 1 n:|kn+1^i}n n+1
njn^No + 1}
°° Г°° -r2 °° fin Л2 4- In? 4- -
^C2+C V EX2 ^-dx ^C2 + C V ДХ,21 j +2--------------------------+2. < ^ (11)
/in i e ' i2
i=No + 1 ,yln 1 i=No + 1
Сходимость ряда в правой части (11) следует из условия (3). Таким образом, в силу (10), (11) и леммы Бореля—Кантелли (9) выполнено.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В. В. Петрову за постоянное внимание и поддержку.
Литература
1. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974.
2. Csorgo S., Tandori K., Totik V. On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables // Acta Math. Hungar. 1983. Vol. 42. N 3-4. P. 319-330.
3. Etemadi N. On the law of large numbers for non-negative random variables // J. Multivariate Analysis. 1983. Vol. 13. P. 187-193.
4. Корчевский В. М., Петров В. В. Об усиленном законе больших чисел для последовательностей зависимых случайных величин // Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2010. Вып. 3. С. 26-30.
5. Дуб Дж. Л. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.
6. Moricz F. SLLN and convergence rates for nearly orthogonal sequences of random variables // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. Vol. 95. N2. P. 287-294.
7. Hu T.-C., Rosalsky A., Volodin A. On convergence properties of sums of dependent random variables under second moment and covariance restrictions // Statist. Probab. Lett. 2008. Vol. 78. P. 1999-2005.
8. Яськов П. А. Об одном обобщении теоремы Меньшова—Радемахера // Матем. заметки. 2009. Т. 86. Вып. 6. С. 925-937.
9. Serfling R. J. Moment inequalities for the maximum cumulative sum // Ann. Math. Statist. 1970. Vol. 41. N4. P. 1227-1234. N2. С. 379-382.
Статья поступила в редакцию 16 июня 2011 г.
