О предельном поведении приращений сумм независимых случайных величин из областей притяжения асимметричных устойчивых распределений

Тертеров М.Н.

О ПРЕДЕЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ ПРИРАЩЕНИЙ СУММ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ИЗ ОБЛАСТЕЙ ПРИТЯЖЕНИЯ АСИММЕТРИЧНЫХ УСТОЙЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ*

М. Н. Тертеров

С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]

1. Введение. Пусть Х, Х1, Х2,... последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, Бп = Х\ + ... + Хп. Пусть {ап} —неубывающая последовательность натуральных чисел, 1 < ап < п. Изучается асимптотическое поведение приращений сумм Бп+сап — Бп, где с > 0. Цель нашей работы — описать нормирующую последовательность Ьп, для которой

1- 5п+сап 5п

итэир-------------= 1 п.н.

п—Ьп

Исследованию поведения приращений сумм случайных величин посвящены работы П. Эрдёша, А. Реньи, Л. Шеппа, М. Чёргё, П. Ревеса, Ш. Чёргё, П. Девельса, Л. Девроя, Й. Штайнебаха, А. Н. Фролова и др., см., например, [1], [2], [3], [4] и [7].

Асимптотические свойства приращений и вид нормирующей последовательности зависят от скорости роста ап. В случае больших приращений (ап/п ^ ж) нормирующая последовательность определяется только моментными условиями на X. Так, если ЕХ = О, ЕХ2 = 1, то Ъп = У-Нл^1о^п). Такие соотношения назы-

ваются законами Чёргё—Ревеса. Например, если ап = п, ЕХ = 0, ЕХ2 = 1, то имеет место закон повторного логарифма Хартмана—Винтнера, где Ьп = (2п loglog п)1/2.

В случае малых приращений (ап = 0(log п)) нормировка зависит от всего распределения Х. Это законы Эрдеша—Реньи и Шеппа (ем., например, [3]).

При ап = (log п)р предельное поведение приращений Бп+сап — Бп рассматривалось в работах Ланзингера [5], Ланзингера и Штадтмюллера [6] для величин с конечной дисперсией, а также в работе Фролова [4] для величин из областей притяжения нормального закона и асимметричных устойчивых законов. Нам удалось получить новый результат при условии принадлежности распределения области нормального притяжения асимметричного устойчивого закона с показателем а € (1, 2).

2. Основной результат. Пусть Х, Х\, Х2,... —последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, ЕХ = 0, Г(х) = Р(Х < х). Обозначим Бп = Х1 + ... + Хп, 5о = 0.

Пусть Г(х) принадлежит области нормального притяжения устойчивого закона с параметром а € (1,2), т. е. распределение случайной величины Бп/п1/а сходится к распределению некоторой устойчивой случайной величины. Мы будем рассматривать асимметричный устойчивый закон с характеристической функцией ф(Ь) = ехр{—а|£|“(1 + И/\Ц tg § а)}, где а = соз(7г(2 — а)/2). Пусть ап = (к^п)р, р > 1. Под Бу и ^2у=1, когда у — не целое, будет подразумеваться Бу и ^[=1 соответственно. Здесь [у]

* Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (грант №2010-1.1-111-128-033).

обозначает целую часть числа у. Определим, кроме того, cn = (logn)(p+a 1)/а, to = sup{t > 0 : Eet(X+)a/(p+a 4 < то},

Теорема 1. Пусть to G (0, то). Тогда

i. Sn+can Sn

Iimsup-------------------------------------—-= 1 п.н.

n——ж cn^(c)

Замечание. Несложно показать, что для всех достаточно больших c f(c) = в1/вc1/a. Результат теоремы 1 в этом случае получен в [4], с. 343. При а = 2

результат теоремы 1 получен в [5] а также в [6] для максимума приращений

maX0<k<n(Sk+can Sk ).

3. Вспомогательные леммы и утверждения. Введём следующие обозначения: kn =

(loglogn)2(logn)2-ap/(p+a-1\ 5n = an/cn, Tn = (loglogn)-1, pn = TnSn + EX+, в =

а/(а — 1), p = (p + а — 1)/а, ai = 1/(а — 1).

Заметим, что при а G (1, 2) и p > 1 имеет место неравенство p > p.

Здесь и далее lim, limsup, o, O, ^ берутся при n ^то, если не оговорено противное. Утверждение 1. Для каждого в G (0,1) и каждого x > 0 существует no такое, что для всех n > no

max P(Scan-k > cnX,Xi < pn, 1 < i < [can] — k) < n-0xl3/(ecai).

0<k<kn

Доказательство. Выберем в G (0,1) и s G (0,1). Пусть Xj(pn) — случайные величины с функцией распределения FPn (x) = P(X < x\X < pn), p,n = EXj(pn), Yn =

Xj (pn ) Mn.

(can-k \

У1 Xi(pn) > cnx) P(X < Pn)[can]-k <

(can-k \ /can-k

У1 Xi(pn) > cnxj = P ( £ yn > cnx — (can — k)Mn

Поскольку an^n ^ 0, для любого s G (0,1)существует ni такое, что для любого n > ni и для любого k G [0,... kn] будет выполнено cnx — (can — k)p,n > sxcn.

Таким образом, для достаточно больших n

(can-k

£ Yn > sxc

i=i

Для оценки последней вероятности рассмотрим функции n(h) = EehYj , mn(h) = V'n(h)/<fn(h), fn(h) = hmn(h) — log<^n(h), Zn(z) = fn(m-1 (z)).

Проводя рассуждения, аналогичные тем, что использованы при доказательстве лемм 10 и 11 в [4], получим, что при h = hn = (logn)(1-p)/a mn(h) = ha-1(1 + o(1)), fn(h) = (а — 1)М“(1 + o(1)), Zn(h) = (а — 1)М“/(“-1)(1 + o(1)).

Таким образом, из неравенства Чебышёва и определения функции Сп(г) следует, что для любого в € (0,1) выполнены неравенства

Р I £ YJ1 > sxcn J < exp |-(can - k)UcaCn_ ksx)^j ^

< exp{—canexa/(a-1) (log n)1-pc-a/(a-1)(a — 1)/а} = n-9x /(ec<X1).

□

Утверждение 2. Пусть to G (0, то). Тогда для каждого п > 1 найдется такое no, что для всех n > no выполнено

min P(Scan-k > cnx,Xi < pn, 1 n-nX/(l3cai ).

o<k<kn

Доказательство. (Все обозначения взяты из утверждения 1.)

/can-k \

P(Scan-k > cnx,Xi < Pn, 1 cnx) P(X < Pn)[can]-k <

\ i=1

( can — k

> P J2 Yn > cnx — (can — kK P(X < Pn)[can]

Поскольку сапР(Х > рп) = сапР(ег°х1/р > е1оР^/р) < саг/р Ее*°(х+)1/:Р ^ 0, то

е40 Рп

Р(Х < Рп)1саП = ехр^(1 - Р(Х > Рп))[аап]) ~ ехр([са.п]Р(Х > Рп)) ^ 1. Значит, для достаточно больших п и для всякого в > 1

1 /can-k

Р(‘5'са1г — к — X-i рП11 сап /с) ^ Р | ^ ^ Y^ > спх ([сап] к)(лп I ^

■Jni ь '-u'n 1X1J — 2 I / / г VL гь)И,п

\ i=1

/ can — k

n > cnsx] .

Применив лемму 4 из [4] и технику из доказательства утверждения 1, мы получим, что для любого р > 1 для всех достаточно больших п верно неравенство

Р f £ Y™ > cnsx\ > exp |-сап/лСп | ^

i=1

Поскольку m — произвольное, получим

min P(Scan-k > cnx, Xi < pn, 1

o< k<kn n

□

nxe/(Pcai)

n

Введем следующие величины: Х^’1 = Хк 1{хк<рп}, Хкп’2) = Хк 1{хк>рп}.

Лемма 1. Пусть Ьо > 0. Предположим, что Евг(х+) /р < ж для всех Ь € (0,Ьо). Тогда

О / Сп \

Е Р ( Е Хкп’2) > вп'х) п- < ж

п=1 \к=1 )

для всех х,х > 0, таких, что хр /х < Ь0.

Доказательство. Введём случайные величины Ук = Хк 1{хк>С1} — °21{хк<С1}, к =

1, 2,...

Константы С1, С2 > 0 выберем так, чтобы ЕУк = 0. Ясно, что ЕУ^2 < ж. Обозначим

V(п’1) _ V 1 г , V(п’2) __ V, 1 г

*к *к 1{Xk<pn}, *к к 1{Ук>рп}.

Докажем, что в условиях леммы

ОО / Сп

т,р[ Е ^

п=1 \к=1 /

Заметим, что Ев*к¥ +)1/р < Евгкх+)1/р < ж для всех Ь € (0, Ьо). Тогда из [5], с. 74, следует,

'к1'22 > cnx\nz 1 < то.

P Е Yk > cnu < An-tul/p. (1)

\k=1

Далее, поскольку E(Y(

n'1))2 <

E(Yk)2 < то и \Yfc(n'1)\ < pn, мы можем применить лемму

2 из [5] и получим, что

р (-E*fд) ^ ^ р (-E(yi”д) -Eyin,1)) ^ ^

< exp |— g~" | — eXP { — g (logn)2^~P log log n j = exp | —-(logn)<J log log n j —> 0,

т. к. a = 2p — p > 1 при p > 1 и а < 2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Далее, выберем е > 0 и t G (0, to), такие что x — е > zp/tp,

P Е Yk >cnx \ cn(x — e) + P — ^ Ytn'1) > ecn

\k=1 J \k=1 J \ k=1

Тогда из (1) следует, что

E pE y(

> cnx n < OO.

п=1 \к=1

Поскольку, начиная с некоторого п, рп > с, можно считать, что у^п,2') = Х^п22 для = 1 ХкП,2'> > Сг,.х)пг~1 < ОО в

всех к, а значит P(2fc=i > cnx)nz 1 < oo в условиях леммы. □

Лемма 2. Пусть y > 1. Пусть x,z > 0, такие, что

Ж / cnY \

£ P ]Г Xf V > n x nYZ-1 < то.

Тогда Евг(х ) р < ж для всех Ь € (0,г/х1/р).

Доказательство. Пусть х* > х и выполнены условия леммы 2. Тогда, применяя рассуждения, аналогичные использованным в доказательстве леммы 1, мы получим

О / Сп1 \

53 Р Хк > пх*\ п^-1 < ж.

п=1 \к=1 )

Далее, выберем г < г и достаточно большое п1, такое, что для любого п > п выполнены неравенства [(^(п + 1)7)р] < [сп7] + 1 и (п + 1)72 -1 < 2пуг-1. Тогда

р ж О рп+1

/ Р(Ь\оеЧг,-,) > х logp (V')Х2-1Ло < 2^ Р^,^) > хСпт )п72 -1Ло <

п1 п=п1 п

< 2 53 P(ScnY > xcnY)nYZ-1 + 2 53 P(ScnJ+1 > in)nYZ-1 < то.

n= n1 n= n1

Таким образом,

/Ж ~

P(Su > xu)d(ezU/p) < то.

(Здесь мы сделали замену u = logp (vY).) Далее, из утверждения 2 в [5] следует, что Eetx /р < оо для всех t G (0, z/xl!p). □

Обозначим Sn = 1/cn Yn+a+\ X(n'1) и Sn = 1/cn Yn+a+\ X(n'2).

Лемма 3. Предположим, что для всех S > 0

Ж Ж

53 P(Sn > c1/ae1/e + S) + 53 P(Sn > t-p + S) < то (2)

n=1 n=1

и для всех пар x,y > 0, таких что xe/(pcai) +toy1/p > 1,

Ж

53P(Sn > x, sn >y) < то. (3)

n=1

Тогда

t Sn+can Sn ^ / Л\

limsup--------—----- < 1 п.н. (4)

cn^(c)

oo

{Яп+Сап — Яп > сп(р(с) + 3(5)} = {£п + Т > р(с) + 3(5} С

С {£п > с1/ав1/в + 5}и {^п > — + 5}и и {^п > хт, тп > Ут},

тЕЫ

где хт = ш5, ут = р(с) + (1 — ш)5, М = {ш €{0,1, 2 ...} : ш5 < с1/ар1/в}. Воспользовавшись (2) и (3), получим

ОО

]Гр(Яп+Сап — Яп > Сп(р(с) + 3<5)) = 53 Ртп + Т > (р(с) + 3(5)) < ж.

п=1 п=1

Таким образом, 11ш8ир(Яп+Сап — Яп)/сп < р(с) + 35 п.н. Поскольку 5 — произвольное, получим утверждение леммы 3. □

4. Доказательство теоремы. В условиях теоремы 1, не умаляя общности, можно считать, что Ьо = 1. Докажем сначала (4). Для этого достаточно показать, что в условиях теоремы 1 справедливо (2) и (3). Тогда (4) будет следовать из леммы 3.

Докажем (3). Рассмотрим х,у > 0, такие что хв/(вса1 )+у1/р > 1. Выберем в € (0,1) и у < у так, чтобы вхв/(рса1) + у1/р > 1,

can

P(^n >x, ^ У у) = 53 P(sn >x, ^ У у, Xt(n’2) = 0 ровно k раз) <

k=o

<53 P(sn У x, sn У у, X(n,2) = 0 ровно k раз)+

k=o

+ P(Xi У Pn для по крайней мере [kn] индексов 1 < i < can). Обозначим последнее слагаемое как Pn и покажем, что ТО=1 Pn < ж. Легко видеть,

kn

[can]

что Pn < C'a]P(Xi У Pn)kn. Выберем s Є (0,1). Тогда

Pn < [can][kn]P(es(X+) /p > espn/p )kn] < exp{kn (log can+log Ees(X +) /p )—kns1/p(TnSn)1/p}.

Несложно убедиться в том, что kn log an/logn ^ 0 и kn(тпSn)1/p/logn ^ то. Следовательно, ЖЖ=1 Pn < то.

Далее,

kn

^2 P(Sn > x, Sn > y, X^’2 = 0 ровно k раз) =

k=o

kn

= Ckcan]P(Scan-k > cnxXi < pn, 1 cny,Xi > pn, 1 < i < k) <

k=o

kn

cnx, Xi < pn, 1 cny, Xi > pn, 1 < i < k) <

o<k<kn n k=o can

в kn

< neW*T 53 dv (Sk > cny, Xi>Pnil<i< к).

k=o

lOO

Здесь мы использовали утверждение 1. При этом

kn can

Y^CkanP(Sk > cny,Xi > pn, 1 cny\. k=o \i=1 J

Следовательно,

Ж Ж в ~ / cn \

]TP(^>x,^>y) < С^2^кпП^^1/Р+1Р (J2Xin,2) > спУ К

k=o n=1 \i=1

Ясно, что aПп/пт ^ 0 при произвольном т > 0, а по лемме 1

Цр £x<"'2>>cny)n*1/p-1 <то.

n=1 \i=1

по Таким образом, (3) доказано.

Теперь докажем (2). Рассмотрим Р(Тп > с1/а(31/в + 5). Утверждение 1 позволяет для каждого 5 выбрать такое в, что ^ОО=1 Р(Тп > с1/ав1/в + 5) < ^ОО=1 п-(1+Й1) <

ж. Далее, рассмотрим Р(Тп > 1 + 5). Применяя технику из доказательства (3), мы получим, что Р(тп > х) < 2а^Р($^СП 1 Хкп’2) > спх). По лемме 1 (х = 1 + 5) для

любого 5 найдется такое 51 > 0, что У~]ОО=1 Р(5^СП 1 Х\п'2^ > спх)п&1 < ж. Вспомнив, что ап/пт ^ 0 при произвольном т > 0, мы завершим доказательство (2). Таким образом, мы доказали (4).

Теперь докажем, что

1* Яп+Сап Яп ^ /-\

итэир---------—---- >1 п.н. (5)

СпР(с)

Пусть х + у = Ь — 5, где 5 € (0, Ь) и хв/(вса1) + у1/р < 1. Выберем п,1 > 1, У > у, такие что ^(пхв/(вса1)+ у1/р) < 1.

Тогда

Р(Sn+can — Sn > (p(c) — S)cn) >

can can can

> УЗ Р(УЗ X(n'1) > cnx,^^X(n'2) > cny,X(n'1) = 0 ровно для k индексов) >

k=o i=1 i=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

kn

> Ckcan]P(Scan-k > cnx,Xi < pn, 1 cny,Xi > pn, 1

k=o an

kn

> inf P(Scan-k > cnx, Xi < ^, 1 cny, Xi >pn, 1

ПС k<k.. < ^ L nJ

k=o

kn

> n-nX/(ecai ) £ Ckcan]P(Sk > cny,Xi >pn, 1 < i < k).

k=o

В последнем неравенстве мы воспользовались утверждением 2. Далее,

к

У[Сап]

к=о

^2С[Сап]Р(Як > Спу,Хг > Рп, 1 < г < к) >

кп

> ^ ^ С[Сап]Р (Як > cny, Хк > ^, 1 < г < k, Хк < рn, к < г < Сп к=0

Р(У^ Х(п’2^ > Спу,Х>п’2 = 0 ровно для к индексов) —

к=0 1=1

Сп Сп

— ^2 Р(Х^ Х(п’2) > Спу, Х^71,2 = 0 ровно для к индексов) >

к=кп + 1 1=1

> Р ^=^/Хкп’2^ > спу^ —Р(Хкп,2') =0 для по крайней мере [кп] индексов г: 1 < г < [сап]).

Вычитаемая вероятность уже рассматривалась выше. Она обозначалась как Рп и было доказано, что У~]ОО=1 Рп < ж. Далее,

в Сп

Р(5'п+саг1 - вп > (^(с) - 5)сп) > П-^Р(^2Х^’2) > СпУ) - Рп-

1=1

Таким образом, учитывая выбор 7,

О О / Сп7 \

]ГР( Б^+Сап-, —Яп^ > (р(с) — 5)с^) + Рп7 >^ п-Пхв/квСа1 )Р £ Хкп1 > п у >

п=1 п=1 \к=1 /

О / Сп1 \

>£р ЕХ'Г’2) >Сп,у)^""-1. (6)

^(п1,2) > С у1\ п7у1/р-1

п=1 \ г=1

Предположим, что

^ Р (ЯпУ +Сап~/ — Яп~> > (р(с) — 5)Сп~>) = ж. (7)

п=1

Так как для достаточно больших п выполняется неравенство (п + 1)7 > п1 + сапу + 1, по лемме Бореля—Кантелли Р(Яп+Сап — Яп > (р(с) — 5)сп б.ч.) = 1. Поскольку 5 > 0 — произвольное, мы получим (5). Осталось доказать (7).

Предположим, что ^2ОО=1 РЕС='1 Хкп~' ’2) > сп-уу)п7У /р 1 < ж. Тогда по лемме 2 Евг(х+)1/р < ж для всех Ь € (0,у1/р/у1/р). Но это противоречит нашему условию, т. к. Ьо = 1, а у > у. Значит, £О°=1 Р(ЕС=1 Х^,2) > Спу у)п7у /р 1 = ж, что вместе с (6) означает справедливость (7).

Таким образом, (7) доказано, следовательно, имеет место (5) и это завершает доказательство теоремы.

1. Csorgo M., Steinebach J. Improved Erdos—Renyi and strong approximation laws for increments of partial sums, Ann. Probab. Vol. 9. 1981. P. 988-996.

2. Deheuvels P., Devroye L. Limit laws for Erdos—Renyi—Shepp type // Ann. Probab. Vol. 15. 1987. P. 1363-1386.

3. Erdos P., Renyi A. On a new law of large numbers // J. Analyse Math. Vol. 23. 1970. P. 103-111.

4. Frolov A. N. One-sided strong laws for increments of sums of i.i.d. random variables // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. Vol. 39. 2002. P. 333-359.

5. Lanzinger H. A law of the single logarithm for moving averages of random variebles under exponential moment condition // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. Vol. 36. 2000. P. 65-91.

6. Lanzinger H., Stadtmuller U. Maxima of increments of partial sums for certain subexponential distributions // Stochastic Processes and their Applications. Vol. 86. 2000. P. 307-322.

7. Shepp L. A. A limit law concerning moving averages // Ann. Math. Statist. Vol. 35. 1964. P. 424-428.

Статья поступила в редакцию 25 ноября 2010 г.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тертеров М. Н.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Тертеров М. Н.