О предельном распределении сингулярных чисел произведений степеней прореженны х случайны х матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.2

О ПРЕДЕЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ СИНГУЛЯРНЫХ ЧИСЕЛ ПРОИЗВЕДЕНИЙ СТЕПЕНЕЙ ПРОРЕЖЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ

Д.А. ТИМУШЕВ, А.Н. ТИХОМИРОВ

Отдел математики, Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар timushev@gmail.com, sasha-tikh@yandex.ru

Рассматриваются произведения степеней прореженных случайных матриц с независимыми элементами. Показано, что при выполнении условия Линдеберга для элементов матриц ожидаемая эмпирическая функция распределения сингулярных чисел произведения степеней матриц сходится к некоторому распределению.

Ключевые слова: случайная матрица, распределение Марченко-Пастура, числа Фусса-Каталана

A.N. TIKHOMIROV, D.A. TIMUSHEV. ON THE ASYMPTOTIC DISTRIBUTION OF SINGULAR VALUES OF POWERS PRODUCTS OF SPARSE RANDOM MATRICES

We consider products of powers of sparse random matrices with mutually independent entries. We prove that the expected empirical distribution of singular values of the products converges to some distribution assuming that the Lindeberg condition for the matrix entries is fulfilled.

Key words: random matrix, Marchenko-Pastur law, Fuss-Catalan numbers

Введение

Асимптотическое поведение спектра произведений и степеней случайных матриц рассматривалось в ряде работ последних десяти лет В частности, поведение собственных и сингулярных чисел произведения гауссовских матриц изучалось в [4,6]. Общему случаю произведения негауссовских матриц посвящены работы [1, 5]. Асимптотическое поведение сингулярных чисел степени одной матрицы исследовалось в [7]. Нас в данной статье будет интересовать асимптотическое поведение распределения сингулярных чисел произведения степеней случайных матриц.

Пусть т > 1 обозначает некоторое фиксированное натуральное число. Рассмотрим целые числа р1,...,рт > 1. Положим I := р! + ... + рт. Пусть далее Х^, 1 < < п, д = 1,... ,т обозначают неза-

висимые (возможно комплексные) случайные величины со средним Ех(1) =0 и дисперсией Е \х(ч^\ = 1, определенные на одном вероятностном пространстве {Ои,Е„,Рг}. Введем в рассмотрение матрицы Х(з) размера п х п с элементами [Х(з)]^ к = —иХ^, 1 < з,к < п. Обозначим в! > ... > ви сингулярные числа матрицы W := П^(Х^)^ и определим эмпирическую функцию распределения их квадратов:

и

^и(х) = ПХ!1{в2 ^ Х}.

3 = !

Здесь и далее 1{В} обозначает индикатор события В. В работе Алексеева, Гётце и Тихомирова [7], для

случая степени одной матрицы, m = 1, показано, что если вторые моменты элементов Xjк удовлетворяют условию типа Линдеберга, то ожидаемая спектральная функция распределения Fn(x) = EFn(x) сходится к функции распределения G(l)(x), преобразование Стилтьеса которой s(l)(z) удовлетворяет уравнению

1 + zs(l)(z) + (-1)l+1zl(s(l)(z))l+1 = 0. (1)

Мы докажем аналогичный результат для распределения сингулярных чисел произведения степеней случайных матриц.

Рассмотрим расстояние Колмогорова между функциями распределения G(l)(x) и Fn(x):

дП1) := sup G(l)(x) - Fn(x) I .

x I I

Основным результатом данной работы является следующая теорема.

Теорема 1. Предположим, что для всех т > 0 выполнено условиеЛиндеберга:

n

Ln (т) := max -1 V' E ixjf]2

q=1,...,m П2 ^—‘ jк

j, к =1

x I{\x(qk)\ > т^и} — 0, при n —— ^o. (2)

Тогда

lim дП1) = 0.

n—— ^О

Как следствие, мы имеем аналогичный результат для прореженных матриц. Обозначим ej), 1 < j, к < n, q = 1,...,m, независимые бернуллиевские случайные величины с вероятностью успеха рп :=

Prj = 1}, независимые от x( qk),

jk (q) jk

q = 1,... ,m. Пусть X^q) - матрица размера nxn с эле-

ejkXjkJ, 1 ^ j, к < n, а se,1 > ... > se,n

nm=1(xiq))^’.

ментами

пи ^к ^к

- сингулярные числа матрицы We ц

Рассмотрим эмпирическую функцию распределения

1и

^е,и(х) = п ^2 ^-{в2£,3 ^ х}

П 3=!

и ее математическое ожидание ЕЕ,и(х) = Е^Е,и(х). Обозначим расстояние Колмогорова между функциями распределения С(г)(х) и Е£,и(х)

А(е% := вир G(г)(x) - Е£,и(х)

X

Следствие 1. Предположим, что для всех т > 0 выполнено условиеЛиндеберга:

Ln(T) := max

q=1,

n

і e e і xjq\2

j,k=1

x I{ \x(q^\ > T^npn} — 0, при n — Ж.

Тогда

(l)

Доказательство теоремы 1 проводится по той же схеме, что и доказательство соответствующей теоремы уже упомянутой работы Алексеева, Гётце и Тихомирова [7]. Сначала проводятся процедуры симметризации и усечения случайных величин. Далее показывается, что в пределе ожидаемая эмпирическая функция распределения квадратов сингулярных чисел произведения степеней случайных матриц с усеченными элементами ведет себя так же, как и ожидаемая эмпирическая функция распределения квадратов сингулярных чисел произведения степеней матриц с гауссовскими элементами (универсальность предельного распределения). Наконец, как показано в работах [1], [3], матрицы с гауссовскими величинами являются асимптотически свободными, а следовательно, асимптотически свободными являются и их степени. Поэтому предел эмпирической функции распределения квадратов сингулярных чисел произведения степеней матриц с гауссовскими элементами существует, и его преобразование Сти-лтьеса удовлетворяет уравнению (??). Мы более подробно остановимся на первых двух этапах доказательства. В оставшейся части работы мы договоримся опускать символ I в обозначениях, если это не будет вызывать путаницы.

1. Вспомогательные результаты

В этом разделе мы опишем процедуру симметризации одностороннего распределения, которая позволит нам перейти к рассмотрению уже эрмитовых матриц, а также проведем усечение элементов матрицы Х(з).

1.1. Симметризация

Рассмотрим неотрицательную случайную величину £2 с функцией распределения Е(х). Определим новую случайную величину £ := е£, где е обозначает радемахеровскую случайную величину, Рг{е =

±1} = 1/2, независимую от £. Пусть Е(х) - функция распределения случайной величины £. Тогда очевидно, что

F(x) = 2 (1+ sgn{x} F (x2)).

(3)

Лемма 1. Для любых односторонних функций распределения F(x) и G(x) имеет место равенство

sup | F(x) — G(x)| = 2sup | F(x) — G(x)|,

x>0 x

где F(x) и G(x) - симметризации функций F(x) и G(x) соответственно.

Доказательство. Из равенства (3) следует, что для всех x > 0

F(x) = 2F(tJx) - 1, G(x) = 2<G(^x) - 1.

Поэтому

sup \F(x) — G(x)

x>0

Лемма доказана.

= 2 sup \F(y/x) - G(y/x)\

x^0

= 2sup \F(x) - G(x)\.

□

Применим эту лемму к распределению квадратов сингулярных чисел матрицы W. Введем в рассмотрение матрицы

V

fW

1о

O

W*

)• J=(O. о)

и U = VJ,

где In - единичная матрица порядка n, O - матрица с нулевыми элементами. Заметим, что матрица U эрмитовая, причем ее собственными числами являются числа —si,..., -sn,sn.., si. Заметим также, что симметризация Fn(x) функции распределения Fn(x) является эмпирической функцией распределения собственных чисел матрицы U. В соответствии с леммой 1,имеем

Дп := sup\Fn(x) — G(x)\ = 2sup\Fn(x) — G(x)\ =: 2An.

X X

Таким образом, для доказательства теоремы 1 нам достаточно показать, что 11шп^ю Дп = 0. Везде далее мы будем рассматривать только симметризован-ные функции распределения, опуская символ ”F” в соответствующих обозначениях.

1.2. Усечение

Нетрудно убедиться в том, что Ln(т) - неубывающая по т функция и, кроме того, Ишп^ю Ln(T) = 0 для всех т > 0. Поэтому всегда можно построить последовательность тп ^ 0, удовлетворяющую условиям

lim Ln^n) = 0 (4)

lim тn Ln(Tn) = 0.

n—О

(5)

Введем новые случайные величины xv

(q,c)

xjqMxjq\ < cтnvn}, xjqkc) = xjic)-ex

jk

(k’c). Пусть

x

и

a^jk = E\х(і’с)\2■ Тогда имеет место неравенство получим

П

П2 Zs (1 - aqjk) ^ CLnijn). (6)

j,k=l

Рассмотрим матрицы Х(і1’с), х(^с) с элементами

[Х(9’С)Ь = -¿п[Х{Ч’С)и = ^х(1С\ и определим для них соответствующие V, и и И,, где

символ И обозначает резольвенту соответствующей

эрмитовой матрицы: И, := (и - г!) !. Пусть в!с) > ... > вПс) и > ... > ¿4с) - сингулярные числа матриц W(c) и W(c) соответственно. Определим также эмпирические функции распределения собственных чисел эрмитовых матриц и(с) и и(с):

^nc) (x) = 2- Е < *} + 2: Z1!-^ < x},

k = l

k=l

■^(C)(x) = 2П E1^ < x} + 2n E1]—4C) < x}.

k = 1 k=1

Наконец, пусть sn(z), s(c)(z) и sic)(z) обозначают преобразования Стилтьеса ожидаемых спектральных функций распределения Fn(x), F^c)(x) := EFic)(x) и Fnc)(x) = E^(x) соответственно.

Мы вначале сравним друг с другом функции

(c)

распределения Fn(x) и Fn (x). Применим ранговое неравенство (см. [2], неравенство (A.6.2))

sup |Fn(x) — Fn^x^ ^ — E rank(V — V(c)). (7)

x

Несложно убедиться, что

rank(V — V(c)) < 2rank(W — W(c))

< 2l max rank(X(q) — X(qc)).

l^q^rn

Так как ранг матрицы не больше числа ненулевых элементов, то имеем неравенство

n

E rank(V — V(c)) < C max Pr{|X(k^| ^ rn^u}

1<q<m ^ jk

j,k=1

< max — V E\Xfk\2I{\X)q\ > r^} 1<q<m птП ' jk jk

П j,k=1

CnLn(Tn)

<

Подставляя последнее неравенство в (7), получим

sup \Fn(x) - Fnc)(x)\ < CLn2Tn).

Теперь мы сравним преобразования Стилтьеса вП)(г) и в(ис)(г). Во-первых, заметим, что имеют место равенства

в(ис)(г) = — Е Тг И(с), 4с)(г) = — Е Тг И(с).

и 2п ’ и 2п

Воспользовавшись резольвентным соотношением

(А+Б-,г1)-! = (А - г!)-!-(А-,г1)-!Б(А+Б-,г1)-!,

\sic)(z) -3ic)(z)\ < 2пE \TrR(c)(V(c)-V(c))JR(c)\. (8) Введем матрицы

wacb = II (X^r, W<c> = n (X(qc))Pq,

при a < b, и

w(c) = W(cb = I,

a,b a,b ’

при a > b. Тогда имеет место равенство

v(c) — V(

где

r(c) _ V(c) I A O

(O B)

A

EW(c) ^(X(q,c))Pq — (X(q,c))Pq^W(c)

W

q+1,m

q=i

m Pq — 1

Z E Wi^1 (XX(q,c))v(x(q’c) - X(q,c))

q=1 v=0

X (X^)* —1 —VW<+1,m,

f(c)* f (x(m — q+1?c)*)Pm—q+1

B = E W(cc— q+2,m( (X(m — q+1’c)y q=1

__ (X(m—q+1,c) * ^pm-q+l ^ W^c^*

r(m—q+1,c) * ^(q,c) *

m Pm-q + l-1

= E E Wm—q+2,m(X

q=1 v=0

- X (q,c) * ) (x(m —q+1,c) * ) Pm-q+1 — 1 — v W(c) *

1,m—q'

Принимая во внимание соотношение \Tr AB\ < ||A||2 ||B||2 и (8), приходим к неравенству

\s(nc)(z) - ^nc)(z)\ < CE ||(V(c) - V(c))|2|| JR(c)R(c)||2

C

< -П-2E ||(V(c) - V(c))||2. (9)

ynv2

Воспользовавшись неравенством Гёльдера, получим

m Pq

1

E ||A||2 < E E E 2 |X(q’c) - XX(q’c)||2

q=1 v=0

X E 2 ||W(c)— 1(X (q’c)) V (X(q’c)) Pq — 1 — V wq+1m|2,

<

211 X(q,c) _ XX(q,c) ii2

^V^E E 2 l|X(q’c) - xX

q=1

m

CV^E ||EX(q’c)|

q=1

(10)

В последнем неравенстве мы применили лемму 3. По определению величин x(k’c),

\EX(q’c)\ = \EX(1>I{\X(1>\ > cTnVn}\

1

CTn^/П

q=a

q=a

X

Поэтому

EX

ñH lE x(Í f‘

j,k=1

(q,c) 12 < CLn(Tn)

Подставляя это неравенство в (10), получим

тт II л II ^ ГУ П У^и(ти)

Е IIАМ2 ^ С^/п —--------.

ти

Аналогичная оценка имеет место для блока Б. Таким образом,

E ||(V(c) - V(с))||2 < СVñ

л/ Ln (тп)

Тп

Подставляя это неравенство в (9), имеем

| n - вППс)(г)| <

CyJ Ln(Tn)

TnV2

Таким образом, матрицы ' и ' (С) имеют одно и то же предельное распределение сингулярных чисел. Поэтому, не умаляя общности, везде далее мы будем считать, что для всех п > 1, д = 1,

3 = 1,.. .п, к = 1,...,п выполнено:

jk

1jk

где Tn — 0 таково, что

Ln(Tn) —— 0 и при П — ТО.

|X1k>| < cTnVñ,

(11)

Tn Ln(Tn) —— ТО,

2. Универсальность предельного распределения сингулярных чисел

В этом разделе мы покажем, что предельное распределение сингулярных чисел произведения степеней случайных матриц, удовлетворяющих условиям теоремы 1, не зависит от распределения самих матричных элементов.

Рассмотрим независимые гауссовские величи-

ны Y к с нулевым средним E Y

ей E \ У1

(k)|2

(k) = jk

0 и дисперси-

,ljk I - aqjk' при j = 1,---,n. k = 1,...,n,

q = 1,... ,m. Более того, будем полагать, что

E \Re = E \Re X^f, E\Im = E \Im X^f,

E Re y(kk)Im Y к

jk jk

r(k)

E Re X(fIm X(f.

jk jk

(k)

Пусть величины Yjk и Xjk независимы в совокуп-

jk

ности при указанных значениях индексов. Составим случайные матрицы Y(1),...,Y(m) размера n х n с элементами [Y(q)]jk = —nYjk^. Для произвольного Ф е [0, П ] и всех q = —,... ,m введем в рассмотрение матрицы

Z(q)(^) = X(q) cos ф + Y(

Kk) •

K4J sin ty

с элементами

lz1kV)]jk = Vñj = cos v + Yk sin V)

(k))

(k)

jk

Re xjk) cos v + Re yjkk) sin v и jk

Im xjk cos v + Im ук sin ф. Определим матрицы W(v), V(v), U(v), R(v) равенствами

W(v)= П (z1k>{v))pq•

k=l

(W(v) o

V(v) =

V о

(W(v))

U(v) = V(v)J,

R(v) = (U(v) - zI)-

В этих обозначениях, матрицы W(0), У(0), и(0), И(0) представляют собой не что иное, как матрицы W, V, И, И, введенные в предыдущем разделе, а матрицы W(2), V(2), И(§), И(32) - аналогичные матрицы, но уже порожденные гауссовскими матрицами У(к), д = 1,...,т, а не исходными Х(к), д = 1,... ,т. Пусть ви(г,ф) обозначает преобразование Стилтьеса симметризации ожидаемой функции распределения сингулярных чисел матрицы W(у). Тогда ви(г, 0) = ви(г) обозначает преобразование Сти-лтьеса функции распределения Еп(х), а вп(г, §) -преобразование Стилтьеса симметризации ожидаемой функции распределения сингулярных чисел матрицы W(§), порожденной гауссовскими матрицами У(з), д = 1, ... ,т. Мы докажем следующую лемму. Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда для любого 6 > 0, равномерно по г = и + т в области V > 6, имеет место сходимость

П

\ви(г, ^) — ви(г, 0)\ —У 0, при п —У то.

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница имеем

/ п / дви(г,у)

ви(г,—) - ви(г, 0) = ----—----йу.

Положим

ду

V(v) = Vi(v)+ V2(v),

где

(W{y) O

)’ V2(v) (o (w(v)T).

^(у) ^ о' о) , ^(у) 1^0 (W(^))*

Применяя формулу для производной резольвентной матрицы, получим

двф^) = - 2.Е ТгИ(у) ^ЛИ(у) д^ 2п ду

- ^ Е Т: к<у» (12)

Везде далее мы будем опускать аргумент у в обозначениях матриц, если это не будет вызывать недоразумений. Введем матрицы

Hl” = (ZO’ ^ • H2k> = (

О О

о (z(m—q+1))* Очевидно, что в этих обозначениях

.

v1 = J]^(H(1k))pq, v2 = J^(H2k>)Pm-q+1. k=i k=i

l

0

По определению матрицы V1 имеем

Положим

dv1 = ^ V'V(1) (H1k))V-i д Hi

dv = ^Z_. Vi,k-uHi J dv

(k>

x (H«)Pq-vM,,,,

где V(ab = nk=a (H1k>)Pq. Определение матрицы

H1k) дает

d H

1k) n ( d Hlk> dRezlk)

i = n (jH

jfclV dRe Z

dv jj=i\ dRe j dv

(k> dIm Z(k>'

+

d H(k) dIm Z

jk

dIm Z<'.k> dv jk

Пусть = (0,..., 0,1,..., 0)т обозначает вектор длины 2п, все элементы которого, кроме 3-го, равны нулю, а 3-й элемент равен 1. Тогда для всех з = 1,...,п, к = 1,...,п мы можем написать

дHlk> _ 1 ( )T дHÍk) _ .1 ( )T

dRe Z{k} Jñ8j ^ • dIm Z{k} 1 Vñ ^ ^ '

jk jk

Из определения величин Zik) следует

jk

Ák>

j := dRe Zjк = _ Rex(q) gin ^ + Re Y(q) cog ^

3k dy jk^ jk

( ) dIm Z^k ( ) ( )

jk := -r3— = _ Im X(k sin y + Im Y к/ cos y.

jk dy jk jk

После несложных вычислений имеем

ЯЛ г m n pq

dvi = _L^V^ V(i) (H1k>)V-Ie

dy ^ ^ 1’k-1( 1 ' j

^ v k=1 j,k = 1 v=1

x (ek)T(h“)»-v<«i,3

m n pq

1 ^"^-г(1) (u(k))V-1r

+ Evllk-^<>) -j

k=1 j,k=1 v=1

x (ek)T(H“)Pq-V<+i.3

Аналогично,

m n pm-q+1

dV2 = 1 V-' V(2) (H1k))V-1e

= -Jñ^^ Ъ vi,k-i\H2 ) ek+n

^ v k=1 j,k=1 v=1

Y (e )T (H(k))Pm-q+1-VV(2> M

X (ej+n) lH2 J Vk+1,m?jk

m n Pm-q + 1

-VzЕЕ E v12k-i(H2k>)v-1 ek+n

k=1 j,k=1 v=1

X (ej+n )T (H<k>)P"-'+1-v V<+>imj’.

Pq

h“) ‘

V=1

x (ek)T(h“)p-v1+>i.JJR,

Pm-q+1

:= - Tr R( E v12^-l(H2k))V-1ek+n

ujr := - TrR(EV1;k-l(Hn ej

x (eJ+n)T(H^)^ -vVf+im) JR, ( Pq

1Ґ := - Tr R( E V(1k-l (H1k)) V-1ej '=1

(ek )T (h“)p--v v1+>i.J JR

Vjk

V(k,2) :=TrR jk

V=1

x ek 1

Pm-q + 1

( £ vi2- (H<«>) ^Vn

V=1 ej

x (ej+^T(H2k^vVf+im) JR,

при д = 1,... ,т, 3 = 1,... ,п, к = 1,... ,п. Тогда производную преобразования Стилтьеса можно переписать в виде

mn

dsn(z,v) -чт-^ -чт-^ 1 / (k,l)Ulk) . -п 1k,i)—(k)

----„ ' = > > -----= (E+ iEv^’ n ,

dv Z-í Z^ 2ñ/ñv jk 3k ' 3k jk

k=i j,k=i v

+ E ujfj + iE vjkk2)Ulkk)). (13)

Рассмотрим функцию и^.к’!) = 4кД)(£!;к),п(1]). Разлагая в ряд Тейлора, получим

du1k’1)

ujkki)(Cjkk),njkk)) = ujkk,i)(0, 0) + j j (0^ 0)

du(k'1)

+ njkk} ~Зж~ (0^ °)

dvjV

0,2 (k, l) d u\.

+ E , {fjf)2» - Т {Tjk j)

d2u(k,i)

I E n(k)^(k) jk (0 Tn(k))

+ ErVjk Zjk (k) (k) {0,Tnjk )

d^jk dnjk

jk (TC(k) n(k))

+ ET(njkk))2{1 - т)

r\2 (k, l)

d u\, J

jk___{0 Tn(k)

dn

(k)

jk

^(0Tnjk ).

Здесь т - равномерно распределенная на отрезке [0; 1] случайная величина, независимая от Х^ и ук\ а ЕТ - условное математическое ожидание относительно т. Непосредственно вычисляя, можно проверить справедливость равенств

eU(?)c(k) = 0, e jVÍ = 0, jk jk jk jk

что дает

где

E = E £$( j )2(1 - T)

d2ujjk ) ( e(q) (q))

X ~^Г (Tj j ) j

d2u(q,1) ' c(q)c(q)^(q) jk

+ E jk j j

djfdnjf

(0,Tnjk))

+ E (j)2 j (1 - T)

д2 (q,1) d u\, '

j

jk 2~ (0,Tnjq)).

Принимая во внимание (11), не умаляя общности можем считать

max {j \ > |njq} j \} < CTnvn.

Если показать, что существует такая константа C, что для всех q = 1,...,m, 1 < j < n, 1 < k < n, выполнено

{ d2 u(q,1)

max { E i —ok (T1j ’ TVjqk]) j ’ j} dejk

E

a2u(q,1)

jk u. t(q^„(q))L(q)

(q)2

dnjk E

d2u(q>1) 'i

{ d£(q)d (q) (T1j ’ j \j ’ jk} \ і

'-j dj J

jk jk

(14)

d2B(q)

T1 = Tr -12 JR2

дІ

(q)2

jk

T2 = -2Tr

dBjlk 2 dV

jk JR2 dV

dj

dj

д Bj} dV 2

JR- 2Tr—jk-JR—^JR2,

dj dj-

T3 = 2Tr B^JR2^ JR-^rr JR jk dj dj

+ 2Tr B^JR^ JR2-^ JR jk dj dj

+ 2Tr B^JR^ JR-^ JR2, jk dj dj ’

T4 = -TrBgJR2 dV2 JR - TrB^JR dV2 JR2.

Оценим член

di

(q)2

jk

jk

di

(q)2

jk

dB^jk 2 dV

T21 = -2Tr—jk- JR2——JR.

di

(q)

jk

di

(q)

jk

Для этого заметим, что

получим

r1=ax2 {\E jkvjhr)(ejk>njk

CTn —4 < ^v . n

Последнее, вместе с (13), даст

dsn(z, y)

dy

4

dB(q)

Pq V—1

^ = ^EE V11q—1(H1q))Vl —1ej (ek )T

dj V%=1

x (H1q))v—1—vi ej (ek )t (H1q))Pq—v Vq+1,

Pq Pq —V

+ ^ EE v<«—1 (н1«у-‘e, (ek)r

V= 1 V2 = 1

x (H(q))v2—1 ej (ek)t (H(q))Pq—v—v2 Vq+

q+ 1,m.

\sn(z, 2) - Sn(z, 0)\ < CTnV 4,

Для производной матрицы V имеем

что и завершит доказательство леммы.

Для доказательства (14) рассмотрим матрицу

j:=е V(:i- 1 (Hiq))

Pq

( 1 ) (u (q))V—1,

(e )T(H(q))Pq—vV( 1)

(ek) (H 1 j Vq+ 1,m.

Очевидно, что

Отсюда имеем:

d2U(q,1 )

—jV (T1 j > j) = T1 + T2 + T3 + T4 > j

dV = dV1 + dV2

d£(qk} dj dj jk jk jk m Pq ( )

= VnEE v“—1(H“r4

v q=1V=1

X (ek)T(H((»)P'—vV\'hf

m Pm-q+1

+VsEi; Vg—

3k+n

q=1 v=1

x (ej+n)T(H2q))Pm-q+i vVq+

q+1,m.

Подставляя последние два представления в T21, по-

и

j

X

лучим

Т21

Рч и-1

ЕЕтVII»-,(Нк')-' 'г

г КГ

V=1 ^1 = 1

х (Н1к))

(к))^-1-^1

т (Н(к))Рч-VV(1)

е, (е^т (НП

к+1,т

х ЛИ2 ЛИ

2 ^ , (1)

-"пЕЕ v(1lk-^ Н1к))

(к)^-1.

V=1 и<2 = 1

х (Н«)"-1^(ек)т(Н»)Рч~"--2V««

к+1,т

х ЛИ2 ЛИ

д£

(к)

,к

Рч и-1

- ^пЕЕ Т- vll2-1 (Н1к>)

г(9))^1 -1е

1,к-1^1 У с, (ек)Т

v=1 ^1 = 1

х (Н«)"-1-"1 е,(ек)Т(н1«')р--"V!«

к+1,т

х ЛИ2 Щ2ЛИ

д£

(к)

,к

-^££ V(l1 ¡-ЛНк))е, (ек)

У ^=1 1/2 = 1

х (Н1к))"2-1е, (ек)Т(Н1к))рч-"-"2 V(1)

к+1,т

х ЛИ2ЛИ.

д,

ство Гельдера, получим

Е\Т211 \ < ^-3п-1 Е 4|[(Н(1к))"-1-"1 ],

хЕ 4 М (ек)Т (Н1к))Рч-^ V«

к+1,т М 2

ХЕ 4 IIV

Ц-ЦНП ‘ е,М2

(к)\^1-1 ||4

хЕ 81 Н)т (н“) Рч - v<+l,„ |2

хЕ 8 |IV

(1)

т(к))” -1 ||8

1,к-1(Н((к)Г е, М2.

Воспользовавшись Леммой 4, придем к оценке

Е\Т211\ < Сn-1v-4, которая приводит нас к неравенству

Е {\Г21\|£,к),пЙ)} < Сп-\-4.

Остальные слагаемые в (15) оцениваются подобным же образом. В итоге, мы имеем

Е

2 (к,1) д2 и

(и и,к ( Ля) (к)\ с (к) (к)!

I —(т1 ,, тпТк) Чк, , \

< Сп-1 V-4.

Схожим путем показывается, что

{К

2 (к,1) д2 и

Чк

Е

дЧкдЧ

я2 (к, 1)

д2 и

(т1£Ч к^Ч

{д иЧк , Лк) (кК с(к (к)!

{ кт(т1£,к’,тщк) кпк1}

дЧ

Мы оценим первый член этого разложения, оставшиеся три оцениваются аналогично.

1т2,|« сп‘|ТТv<^q_l(н™)"‘ ЧЫ‘ х (Н“)"-1--е, (ек)т(и1«>)Р--"

(к))^-1

xV(1) (Н(к))^ ^-(е? 'И (Н(к)')

1>к-1'4 1 ' у ! ^ 1 ! ' к+1,т"''соответствующие матрицы W/, V', V,1, V2, И'. Обо-

< Сп-1|[(Н(к))Рч-V11J1 ЛИУ(1) -,(Н(к)Г1-1], • значим ви(г) и ^П(г) преобразования Стилтьеса ожи-

I I- V 1 / к+1 ,т 1,к— 1 \ 1 / \кп I

даемых спектральных функций распределения матриц И и И'. В этих обозначениях имеет место соотношение

\ви(г) - з'и(г)\ < ^Е |ТгR/(Vl - V,l)ЛR\

+ 2пЕ \ТгИ'(V2 - V2)ЛR\. (16)

Оценим первое слагаемое правой части.

^пЕ \ТгR/(Vl - V,)ЛИ \

т (Н(к))рч-”' v(1)

Это доказывает (14) и завершает доказательство леммы 2. □

2.1. Нормирование

Рассмотрим случайные величины У^к? =

а

1ky3'Я). Составим случайные матрицы У/(к) разме-

ЛИ|

ра п х п с элементами [У/(к)Ь к = У,

1 / (к)

Введем

Отсюда имеем

\ Т2(1 \ < Сv-3n-1|[(н(lk))v-1-vl]

,

т (Н(к))рч-и' v(1)

х М (е к)т (Н1к))

к+1,т II2

X |^

11)-ЦНП ‘ е, М2

(к))^1-1

хЦ (ек )т (Н<к^ Рч - v(+l,„ (2

(1) (Н(к))^'-1^ II о

1,к-и Н^ е,М2.

Применяя последовательно несколько раз неравен-

<

<

С

Рч - 1

пЕЕ е 1Тг R/Vi(,1k)-^ Н,1(к))

/(к))

к=1 ^=0

х (Н(1к) - Н,1(к))(Н(1к))рч-1-"V(1)

к+1,т'

ЛИ|

С

y/nv

Ее2МН(1к) - Н1(к)м2.

к=1

4

4

тах

V

2

Далее, из неравенства (6), для каждого д = 1,... ,т Доказательство. Из определения векторной нормы имеем следует, что

1E ||H(1q) - H'1(q)y2 < C n 1 1 n2

ä Е e \ Yk - Y'“ \ 2

j,k=1

< пІЕ ЕІ ^ - 1 І2Е

3,к=1

с п

^ п2 £ (1 - °‘2^к) ^ сЬп(тп).

З’к=1

Последние две оценки дают

2пЕ | ТR,(Vl - V!)ЛИ І < Су-2у'Ьп(гп).

Аналогичным образом оценивается второй член в (16), что дает нам неравенство

І $п (^) — &п(^) І ^ Су \/ Ьп(Тп).

Таким образом, пределы ожидаемых спектральных функций распределений матриц и и и' совпадают

3. Приложения

В следующих далее леммах мы будем полагать, что

ЕХ(к = 0, Е І Х^І2 = 1, І Х^І < сти^п п.н., (17)

для всех 3,к = 1,...п.

Лемма 3. В условиях теоремы 1, предполагая (17), для всех 1 < а < в < т выполнено неравенство

Е |^(1)„||2 < Сп.

її а,в'2

2E Y(q) 2

Доказательство.

E ||Vae ||2

<

3,31,32 ,...,jß-a ,k = 1

x [(x(“+1')p-+1 ]jij2 [(X(«)pß]jß_

X

jj1

j,j 1 ,j2 ,---,jß — a ,k=1

E j[(X(»+1>)p-+1 jj’-E j[(X(«)Pß ]j

J jlj2 I I L4 > j ß — ak '

Можно убедиться (см. [7, лемма 5.1]), что

Ej[(X(a))Pa]І2 < — Y E\x(a)\2

I LV ) J jk I ^ nPa / J ' jjl '

jl,j2,...,jpa — 1

x\ xj l2"-\ j—ik \2 « C"-1

Вместе с предыдущим соотношением это дает тре буемую оценку.

Лемма 4. В условиях леммы 2, предполагая (17), выполнено

E Ii(ej )t v(1,e и! < c

E IlV^eek III < C,

(18)

с некоторой положительной константой C > 0.

,fV'1» II2 = L j|V™ ]jk

2

k=1

Е II Ы Vii>í»1 = Е Е|^],к1|

к1,к2,кз,к4

х К1,!?],кз |2 ^],к4 |2 .

Заметим, что оценка для случая а = в доказана в работе [7, лемма 5.2]. Поэтому мы рассмотрим случай а < в. Имеет место цепочка неравенств

е |2 кв],к

к1,к2,кз,к4

Х Кв],кз Г |^],к4|

< Е E j[Vi,e-1]j'«ij j[Va,e-1]

Si ?s2 ,s3 ,s4

X jlV(-.e-1]j1'3 I jlV(.,e-1]jS4j

E E j[(X(»)pß]„k, j j[(X(«)pß]

ki,k2,k3,k4

S2k2

j j 2 і j 2

X j[(X(e))Pß ]s3k3 j |[(X(«r ]s

-I S4 k4 j

-1 ^3 кз I

< с Е Е Ки-|2 Кі-]^^2|2

51 ’^2 ’53 ,54

Х ^ав-іЬ5 1 |^ав-іЬ'«4| .

Здесь, в последнем неравенстве, мы опять воспользовались результатом работы [7, лемма 5.2]. По индукции с базой а = в, получаем требуемую оценку

ll(ej )t vS Il2 < C.

Аналогичным образом можно оценить второе неравенство из условия леммы. Лемма 4 доказана. □

Работа выполнена при поддержке программы фундаментальных исследований УрО РАН, проект № 12-П-1-1013, гранта РФФИ № 11-01-00310-

А.

Литература

1. Alexeev N., Götze F., Tikhomirov A.N. On the asymptotic distribution of singular values of products of large rectangular random matrices. arXiv:1012.2586.

□ 2. Bai Z.D., Silverstein J.W. Spectral analysis of

large dimensional random matrices. Springer, 2010. 551 p.

3. Banica T., Belinschi S., Capitaine M., Collins B. Free Bessel Laws // Canad. J. Math. 2011. Vol 63. No. 1. P. 3-37.

4. Burda Z., Jarosz A., Livan G., Nowak MA, Swiech A. Eigenvalues and singular values of product of rectangular Gaussian random

e

и

2

2

2

k

2

matrices // Phys. rev. E. 2010. Vol 82. No. 6. P. 061114-1-061114-10.

5. Götze F., Tikhomirov A.N. On the Asymptotic Spectrum of Products of Independent Random Matrices. arXiv:1012.2710.

6. Müller R. A random matrix model of communication via antenna arrays // IEEE

Transactions of Information Theory. 2002. Vol 48. No. 9. P. 2495-2506.

7. Алексеев H.B., Гётце Ф., Тихомиров А.Н. Об асимптотике распределения сингулярных чисел степени случайной матрицы // Зап. научн. сем. ПОМИ. 2012. Т. 408. С. 9-42.

Статья поступила в редакцию 7.11.2012.