CC BY
39
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 135-142 Механика
УДК 539.375
Об уравнениях предельного состояния изотропных идеально связных сред при плоском чистом сдвиге
Е. Е. Кузнецов, Н. М. Матченко
Аннотация. Рассматривается предельное состояние изотропной идеально связной среды для случая, когда параметр вида напряженного состояния Лоде равен нулю. Показано, что любые условия пластичности изотропных идеально связных сред, согласованные с экспериментом при плоском чистом сдвиге, приводят к одному и тому же условию предельное. Уравнения поля напряжений и поля скоростей при предельном чистом плоском сдвиге совпадают с аналогичными классическими уравнениями плоской деформации теории идеальной пластичности идеально связных сред, полученными на основании использования частных условий пластичности Треска или Мизеса, причем цилиндр Мизеса вписан в призму Треска, то есть эти условия пластичности согласованы по эксперименту на чистый сдвиг. Показано, что при построении теории предельного состояния при плоском чистом сдвиге нет необходимости в использовании такого понятия как условие пластичности.
Ключевые слова: ранжированные главные напряжения,
линейные инварианты, промежуточное главное напряжение, плоский чистый сдвиг, предельное состояние.
1. Напряженное состояние. Сплошную среду отнесем к декартовой системе координат х (г = 1,2,3). Напряженное состояние в элементе сплошной среды будем характеризовать симметричным тензором напряжений а^ или тройкой ранжированных напряжений атах, атеа, ^тт и ортом их направлений. Здесь атах, атеа, ат;п — максимальное, промежуточное (медианное) и минимальное главное напряжение. Условие ранжирования имеет вид атах ^ атеа ^ атщ. Растягивающие напряжения считаются положительными. Для возможности использования тензорного формализма будем использовать также обозначения атах = а\, ате^ = а£,
_ Г
а тт — аз.
Компоненты тензора напряжений связаны с ранжированными
напряжениями а[ соотношениями
з
ау — ^ ' ГimГjmаm, (1-1)
т=1
где Гт — направляющие косинусы ранжированных напряжений по
отношению к лабораторной системе координат. Направляющие косинусы должны удовлетворять условиям ортогональности
ГimГjm = ёij или Гij Гт = ёут • (1-2)
Для ранжированных напряжений справедливы зависимости [8]
атах = а + a1Tmax, атеё = а + а2Ттах, атт = а а3Tmax, (1^3)
где а1 = 1 — /3, а2 = 2^7/3, а3 = 1 + ^7/3. В соотношениях
(1.3) фигурируют инварианты тензора напряжений: а = ау ёу /3
гидростатическое давление; ттах = (а[ — а2)/2 — максимальное касательное напряжение; ^7 = (2а2 — а[ — а2)/(а2 — а2) — параметр Лоде [2, 5]. Подставляя зависимости (1.3) в соотношения (1.1), получим
ау = аёу + (ЬГаГд — СПзГуз)Ттах, (1.4)
где а — а + 2^аттах/3, Ь — 1 ^7, с — 1 + ^7.
2. Предельное состояние плоского чистого сдвига. Задача Сен-Венана [10] в теории идеальной пластичности традиционно строится как задача теории плоской деформации [1, 3, 4, 6-10].
Рассмотрим построение задача Сен-Венана как задачи предельного состояния при плоском чистом сдвиге. Заметим, что при плоском чистом сдвиге параметр Лоде равен нулю.
Покажем, что любые условия пластичности изотропных идеально связных сред, согласованные с экспериментом при плоском чистом сдвиге, приводят к одному и тому же условию предельного состояния плоского чистого сдвига.
Следует пояснить, что условие пластичности отличается от условия предельного состояния тем, что условие пластичности позволяет прогнозировать переход сплошной среды в пластическое состояние при любом виде напряженного состояния, а условие предельного состояния фиксирует переход сплошной среды в состояние пластичности при конкретном виде напряженного состояния.
Условие пластичности изотропной идеально связной среды можно записать в общем виде
Х = / (^), (2.1)
где Х = [(а[ — а22)2 + (а22 — а3)2 + (а2 — а2)2]1/2/^3 — модуль девиаторных напряжений [3, 8, 9].
Если учесть, что для модуля девиаторных напряжений Xd и максимального касательного напряжения справедлива зависимость [8]
Xd = TmaxV 2(1+ ^/3), то условию пластичности (2.1) можно придать вид
Tmax = [2(1+ ^/3)]-1/2f (^). (2.2)
В случае, если напряженное состояние соответствует значению = 0, условие пластичности (2.2) переходит в условие предельного состояния плоского чистого сдвига
Tmax = kC (2-3)
где kc = f (^а)|=с /л/2 — предельное значение максимального касательного напряжения изотропной идеально связной среды при плоском чистом сдвиге. Величина kc определяется из эксперимента в режиме нагружения = = 0. Простейшим экспериментом в этом режиме нагружения является эксперимент на плоский чистый сдвиг.
Условие предельного состояния (2.3) указывает на сдвиговую природу плоского пластического сдвига и справедливо для любых идеально связных изотропных сред.
В [7] сформулировано утверждение: «В случае плоской деформации, как нетрудно показать, любой критерий текучести изотропной среды приводит к виду
Tmax = k
и, следовательно, описывается в рамках критерия текучести Треска». В отличии от [7] в приведенной нами формулировке подчеркивается, что условия пластичности должны быть согласованы по эксперименту на плоский чистый сдвиг. Действительно, например, если условия пластичности Треска и Мизеса согласованы по эксперименту на плоский чистый сдвиг, то утверждение, приведенное в работе [7], справедливо. В этом случае цилиндр Мизеса вписан в призму Треска. Если же, например, условия пластичности Треска и Мизеса согласованы по эксперименту на одноосное растяжение [6], то эти два условия пластичности прогнозируют различные значения предельного сопротивления при плоском чистом сдвиге.
Заметим также, что одна из основных гипотез, используемых в задачах теории предельного состояния, состоит в том, что во всей пластической области параметр вида напряженного состояния считается постоянной величиной.
Поскольку напряженное состояние при плоском сдвиге в пространстве напряжений характеризуется значением параметра Лоде, равным нулю,
то такому виду напряженного состояния соответствует соотношение для промежуточного главного напряжения
*2 = (*2 + *5 )/2. (2.4)
Зависимость (2.4) является фундаментальным соотношением теории чистого плоского сдвига.
При чистом плоском сдвиге уравнения (1.4) принимают вид
*ij = vSij + (rilfjl - n3rj3)Tmax- (2.5)
3. Уравнения теории предельного состояния при плоском сдвиге.
Рассмотрим класс задач, в которых известно направление промежуточного ранжированного напряжения *2. Для удобства дальнейшего изложения введем локальную систему координат ж, y, z и новые обозначения главных ранжированных напряжений: *2 = *1, *2 = *3, *2 = *2. Условимся, что направление промежуточного главного напряжения *3 = *z совпадает с направлением оси z:
*3 = *z• (3.1)
Следствием положения (3.1) является отсутствие касательных напряжений *xz = *yz = 0, общепринятое в задачах плоской деформации теории идеальной пластичности [1, 3, 4, 6-10].
Тогда из соотношений (2.5) следует
*x = *1 cos2 p + *2 sin2 p = p + t cos2p, q = (*1 — *2)/2, (3.2)
*y = *1 sin2 p + *2 cos2 p = p — t cos 2p, *xy = (*1 — *2) = t sin2p, *1 ^ *2,
где p = (*1 + *2)/2 = *z, t = (*1 — *2)/2, p — угол между первым главным направлением *1 и осью ж.
Составив характеристическое уравнение
*х * а
*xy *y *а
= 0 (а = 1, 2)
и определив его корни, получим
а1,2 = аХ + аУ ± 1^/(ах — ау)2 + 4аХу• (3.3)
Условие предельного состояния (2.4) при переходе к напряжениям а1, а2, а3 принимает вид
Ттах = (а1 — а2)/2 = ко. (3.4)
*xy
Используя зависимости (3.4), запишем условие предельного состояния при чистом плоском сдвиге через компоненты тензора напряжений
При подстановке зависимостей (3.6) в условие предельного состояния (3.5) последнее удовлетворяется тождественно.
Уравнения равновесия при чистом плоском сдвиге имеют вид
Подставляя соотношения Леви в уравнения равновесия (3.7), получим
Уравнения (3.8) принадлежат к гиперболическому типу. Характеристики уравнений (3.8) и соотношения вдоль них имеют вид
вдоль а и в линий. Очевидно, что характеристики ортогональны.
Таким образом, в случае, если известно направление промежуточного главного напряжения и касательные напряжения ахх и аух равны нулю, то задача чистого плоского сдвига является статически определимой.
Принимая условие предельного состояния (3.4) в качестве пластического потенциала, запишем
где ^1, ^2 — главные скорости пластических деформаций, Л — множитель Лагранжа.
Из условия несжимаемости идеально связной изотропной сплошной среды
(ох - оу )2 + = 4к^
(3.5)
Подставляя (3.4) в (3.2), получим соотношения Леви:
ох = Р + к0 сов 2р, оу = р — к0 сов 2р, оху = ко віп2р. (3.6)
дох + доху =о доху + доу _о
дх ду ’ дх ду
(3.7)
Єї = Л, Є2
(3.9)
Єї + Є2 + Єз = 0
и ассоциированного закона пластического течения следует
Єз = єг = 0.
(3.10)
Из (3.9) и (3.10) также вытекает, что режиму нагружения = 0 соответствует режим деформирования = 0, то есть параметры вида напряженного и деформированного состояния при плоском сдвиге совпадают.
Используя условие предельного состояния (3.5) в качестве пластического потенциала, запишем соотношения для компонент скоростей тензора деформации
^Х = Л(ах ау)) £у = Л(ау ах), £ху = 2Лаху. (3.11)
Из (3.11) следует, что поле скоростей перемещений определяется двумя уравнениями: условием изотропии
Єх ЄУ ____ ох оу
2Єху 2оху
= ^2р, (3.12)
и условием несжимаемости
Єх + Єу = 0. (3.13)
Для компонент тензора скоростей деформации Єх, Єу, Єху справедливы соотношения Коши
дих диу 1 / дих диу
Єх дх , Єу ду , Єху 2 \ ду + дх
где их, иу — компоненты скорости перемещений.
Перейдя в уравнениях (3.12) и (3.13) к компонентам вектора скоростей перемещения, получим
дих дих диу диу дих , диу
------ctg 2р —----------^2р—^ ^ =0, — + ^=0. (3.14)
дх ду дх ду дх ду
Система уравнений (3.14) принадлежит к гиперболическому типу и имеет характеристики, совпадающие с характеристиками поля напряжений. Вдоль характеристик имеют место соотношения Гейрингер
ё,Уа — -Мра = 0, = 0
вдоль а и в линий. Здесь Vа — проекция скорости на направление а характеристики, а -ї — проекция скорости на направление, перпендикулярное а характеристике, ра — угол на а характеристике к оси х, аналогично для -в, -2, рв.
Уравнения предельного состояния плоского сдвига совпадают с аналогичными уравнениями теории идеальной пластичности идеально связных изотропных сред в случае плоской деформации [1, 3, 4, 6-10].
Отличие приведенного здесь построения уравнений теории предельного состояния при плоском сдвиге от классических построений идеальной пластической плоской деформации является принципиальным.
В основе построении теории плоской деформации лежит частное предположение о справедливости условия пластичности Треска (или Мизеса), то есть теория плоской пластической деформации является разделом теории идеальной пластичности. При этом предполагается, что условие пластичности Треска и условие пластичности Мизеса согласованы с экспериментом на чистый сдвиг, то есть цилиндр Мизеса вписан в равностороннюю шестигранную призму Треска.
Выводы.
1. При построении теории предельного состояния при плоском чистом сдвиге такое понятие как условие пластичности не используется, поскольку любые условия пластичности идеально связных изотропных сред при условии их согласования с экспериментом на чистый сдвиг сводятся к одному и тому же условию предельного максимального касательного напряжения.
2. Соотношения пластического плоского чистого сдвига относится к теории предельных состояний сплошных сред.
Список литературы
1. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 605 с.
2. Ильюшин А.А. Пластичность. М.:Л: Гостехиздат, 1948. 376 с.
3. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов: сб. ст. // Теория пластичности. М.: Гост. изд. иностранной литературы, 1948. С. 168-205.
4. De Saint-Venant B. Memoire sur des equations generales des mouvements interieurs des corps solides ductiles au dela des limites ou les seiasticite pourrait les ramener a leur premier etat // Comptes Rendus de sAc. Des Sciences, 1870. T. 71. P. 1323-1325.
5. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 234 с.
6. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит. 2001. 704 с.
7. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1956. 324 с.
8. Радаев Ю.Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Изд-во СамГУ, 2006. 340 с.
9. Радаев Ю.Н. К теории плоской деформации идеально пластических тел // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2008. № 3 (62). С. 272-289.
10. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. 407 с.
Кузнецов Евгений Евгеньевич (smithe71@yandex.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.
Матченко Николай Михайлович (ekc_05@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.
Limiting condition of isotropic ideally coherent environments at flat simple sear in conditions of flat deformation
Y.Y. Kuznetsov, N.M. Mattchenko
Abstract. The limiting condition of isotropic ideally coherent environment for a case when the parameter of a kind of intense condition Lode is equal to zero is considered. It is shown, that any conditions of plasticity of the isotropic ideally coherent environments, freeman with experiment at flat simple shear, lead to a condition maximal касательного stress. The equations of a field of stress and fields of speeds at limiting simple shear flat shift coincide with the similar classical equations of flat deformation of the theory of ideal plasticity of ideally coherent environments, received on the basis of use of individual conditions of plasticity of the Tresca or Mize’s provided that these conditions of plasticity are agreed on experiment on flat simple shear shift, i.e. cylinder Mize’s is entered in a prism of the Tresca. It is shown, that at construction of the theory of a limiting condition of ideally coherent isotropic environments there is no necessity for use of such concept as a condition of plasticity.
Keywords: ranged main stresses, linear invariants, an intermediate main stress, flat simple shear, a limiting condition.
Kuznetsov Yevgeniy (smithe71@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.
Mattchenko Nikolay (ekc_05@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mechanics plastic forming, Tula State University.
Поступила 27.07.2013
