CC BY
29
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 132-136
Механика
УДК 539.375
Вариант условия пластичности изотропных сыпучих сред
Е. Е. Кузнецов, Н. М. Матченко
Аннотация. Введены инварианты, связанные с плоскостями кратности промежуточного главного напряжения. Предложена полиномиальная формулировка условия пластичности изотропных идеально связных сред, обладающих трением и сцеплением.
Ключевые слова: главные напряжения, ранжированные главные напряжения, условие предельного состояния.
1. Рассмотрим трехмерное векторное пространство главных напряжений а г (г = 1,2,3). Наряду с неупорядоченными главными напряжениями а г введем ранжированные (упорядоченные) напряжения а[. Условие ранжирования примем в виде а\ ^ а3 ^ 03. Растягивающие напряжения считаем положительными.
Для ранжированных напряжений справедливы соотношения
а\ = а + ^1 - 11 ц^ ттах, а33 = а + 2цттах, а1 = а - ^ 1 + 1 ц
(1.1)
где а = (а 3 + а3 + а3)/3 — среднее напряжение, ттах = (а\ — а'3)/2 —
2аТ_дТ_дТ
максимальное касательное напряжение, ц = —рт_рт 3 — параметр Лоде [3]. Параметр Лоде изменяется в диапазоне —1 ^ ц ^ 1. Одноосному растяжению соответствует параметр ц = —1, чистому сдвигу — ц = 0, одноосному сжатию — ц = 1.
Ось, равно наклоненная к направлениям главных напряжений, называется осью среднего напряжения. Если через гидростатическую ось и направления главных напряжений провести три плоскости, то они разделят трехмерное векторное пространство на шесть сегментов.
Поскольку на плоскостях между сегментами промежуточное главное напряжение равно максимальному или минимальному напряжению, то эти плоскости будем называть плоскостями кратности. Ось среднего напряжения делит каждую из плоскостей кратности на две полуплоскости. Каждой из полуплоскостей задается уравнением
1 + ц = 0 или 1 — ц = 0.
Введем инварианты напряженного состояния
М = (1 — ц)Ттах, N = (1 + ц)Ттах- (1.2)
Отсюда следует
М + N = 2ттах) N — М = 2цТтах-
Используя инварианты (1.2), ранжированные главные напряжения (1.1) теперь можно вычислять по формулам
12 1
а\ = а + — (М + 2^, а3 = а + тг (М + ^, ад = а — — (2М + (1-3)
3 3 3
Из (1.3) следует, что на полуплоскостях сингулярности справедлива закономерность: если инвариант М = 0, то N = 2ттах и, наоборот, если инвариант N = 0, то М = 2ттах. Использование инвариантов девиаторных напряжений М и Н позволяет естественным образом выделить полуплоскости кратности промежуточного главного напряжения.
2. В общем случае поверхность предельного состояния изотропного тела является функцией главных ранжированных напряжений
РК, а3, 0з) = 1. (2.1)
Поскольку ранжированные главные напряжения являются функциями инвариантов а, М, N то условие (2.1) можно представить в виде
Р(а, М, N = 1.
В статье Э.Ву [1] рассматривались различные полиномиальные представления условий прочности, однако разложение по инвариантам а, М, N отсутствует.
Восполним этот пробел, рассматривая возможности обобщения трех константного условия пластичности [2] на среды, обладающие внутренним трением и сцеплением:
А 1М2 + A2MN + А3 N2 = 1 + 3А4а + 9А5а2, (2.2)
где А 1,... ,А5 — механические характеристики пластических свойств сплошной среды.
В разложении (2.2) перейдем к ранжированным главным напряжениям: °.25[А 1(1 — ц)2 + А2(1 — ц2) + Аз(1 + ц)2](а1 — аз)2 =
= 1 + А4К + а3 + а3) + А5К + а3 + а3)2.
(2.3)
Использование инвариантов М и N позволяет для каждой из полуплоскостей кратности сформулировать условие предельного состояния и для каждой из полуплоскостей назначить систему независимых экспериментов для определения констант, входящих в условие пластичности.
Для экспериментального определения механических характеристик предельного состояния А 1,...,А5 рассмотрим три группы базовых экспериментов.
A. Экспериментальные точки находятся на полуплоскости 1 + ц = 0.
В этом случае условие предельного состояния (2.3) принимает вид
А 1К — а3)2 = 1 + А4К + а3 + а3) + А5К + а3 + а3)2. (2.4)
Назначим три базовых эксперимента при значении ц = —1:
1) одноосное растяжение. В этом случае а3 = ар, а2 = 03 = 0 и уравнение
(2.4) принимает вид
аРА 1 = 1 + ар А4 + арА5; (2.5)
2) двухосное сжатие. В этом случае а3 =0, а3 = а3 = — а2с и уравнение
(2.4) принимает вид
02с А 1 = 1 — 2а2с А4 + 4а|сА5. (2.6)
B. Экспериментальные точки находятся на полуплоскости 1 — ц = 0. Условие пластичности (2.2) принимает вид
АзК — а3)2 = 1 + А4К + а3 + 03) + А5(а3 + а3 + а3)2. (2.7)
Назначим три базовых эксперимента при значении ц = 1:
1) одноосное сжатие. При этом а3 = а3 = аР, а3 = —аР и уравнение (2.7) принимает вид
асА3 = 1 — 7 сА4 + а2А5; (2.8)
2) двухосное растяжение. При этом а 3 = а3 = 02Р, а3 =0 и уравнение
(2.7) принимает вид
а2рА3 = 1 + 2а2рА4 + 4а2р А5. (2.9)
Систему уравнений (2.5), (2.6), (2.8) и (2.9) запишем в виде
А 1 = а_2 + а_1А4 + А5, А 1 = а_с2 — 2а_с1 А4 + 4А5, (2.10)
Аз = а_2 — а_1А4 + А5, Аз = а2_р2 + 2а2_р1 А4 + 4А5. (2.11)
Исключив из уравнений (2.10) и (2.11) константы А 1 и Аз, получим систему двух уравнений относительно констант А4 и А5:
а 1А4 — ЗА5 — Ь 1, Й2А4 + ЗА5 — —2,
(2.12)
Решая систему двух уравнений (2.12), получим
А4 — —1Ц-2 I А5 — о (а 1А4 — Ь 1) — о (Ь2 — а2А4) •
а1 + а2 З 3
При известных значениях констант А4 и А5 по формулам (2.10) и (2.11) вычисляются константы А1 и Аз:
С. Эксперимент при значении ц = 0.
Плоский чистый сдвиг. При плоском чистом сдвиге 03 = Т8, 02 = 0, 03 = = —т8 и уравнение (2.2) принимает вид
Отсюда А2 = т_2 — А1 — Аз.
В зависимости от соотношения констант А4 и А5 предельная поверхность
(2.2) в трехмерном векторном пространстве главных напряжений будет
одного конца (А4 ^ 4А5).
3. Уравнение предельного состояния (2.4) справедливо в пределах каждого из сегментов между полуплоскостями сингулярности.
При пересечении предельной поверхности с полуплоскостью сингулярности образуется ребро сингулярности: при ц = —1
Ребра (3.1) и (3.2) можно называть ребрами полной пластичности [3], поскольку при значениях ц = ±1 предельное состояние наступает на двух площадках экстремальных касательных напряжений одновременно.
При плоском чистом сдвиге ц = 0 условие предельного состояния имеет
вид
А-1 — Ур 2 + Ур 1А4 + А5 — ^2С2 — 20'2с1А-4 + 4А5,
А3 — Ус 2 — Ус 1А4 + А5 — ^2р2 + 2ст2р1А4 + 4А5.
(А + А 2 + АзК2 — 1.
замкнутой с двух концов по оси среднего напряжения (А4 > 4А5) или с
к1 — д/ (1 + ЗА4 у + 9А5у2 )4/А1, уГ — Уз!
(З.1)
кз — л/ (1 + ЗА4 + 9А5)/4 Аз, у3) — у 3 •
(З.2)
ко — л/ (1 + ЗА4У + 9А5У2)/(А + А2 + Аз).
(3.3)
Список литературы
1. Ву Э. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред. Т. 2.
Механика композиционных материалов. М: Мир, 1978. С. 401-491.
2. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Гибридное условие
пластичности изотропных материалов // Вестник Чувашского гос. пед.
университета. Сер. Механика предельного состояния. Чебоксары, 2010. № 2(8).
Ч. 2. С. 265-273.
3. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и
сыпучих средах // Теория пластичности: сб. статей под ред. Ю.Н. Работнова.
М.: ИЛ, 1948. С. 41-56.
Кузнецов Евгений Евгеньевич (smithe71@yandex.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.
Матченко Николай Михайлович (ekc_05@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.
Variant of a condition of plasticity of isotropic loose
environments
Y.Y. Kuznetsov, N.M. Mattchenko
Abstract. The frequency rates of an intermediate main stress connected with planes are entered invariants. The formulation of a condition of plasticity of isotropic ideally coherent environments possessing is offered by friction and coupling polynomial.
Keywords: the main stress, the ordered main stress, a condition of a limiting condition.
Kuznetsov Yevgeniy (smithe71@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.
Mattchenko Nikolay (ekc_05@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mechanics plastic forming, Tula State University.
Поступила 29.03.2014
