CC BY
33
УДК 539.3, 539.374
Е.Е. Кузнецов, канд. физ.-мат. наук, доц., (4872) 35-14-82, екс_05@ mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ),
И.Н. Матченко, д-р физ.-мат. наук, проф., (4872) 35-14-82, екс_05@ mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ),
Н.М. Матченко, д-р физ.-мат. наук, пр°ф., (4872) 35-14-82, екс_05@ mail.ru, (Россия, Тула, ТулГУ)
О ПРОБЛЕМЕ НЕПОЛНОЙ И ПОЛНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
Для материалов, пластические свойства которых не зависят от гидростатического давления предложено гибридное условие предельного состояния, из которого, как частные слячи, вытекают критерии Треска и Мизеса. Выписаны соотношения теории малых упуугопластяческях деформаций, позволяющие объединить концепции Хенки-Илъюшинаи Хаара-Кармана.
Ключевые слова: напряжения, деформации, условие предельного состояния, пластичность, неполная, полная.
В теории малых упругопластических деформаций сложилось два направления: теори Хенки - Ильюшина [4] и теория Хаара - Кармана [8]. В основе концепции Хенки - Ильюшина лежит представление о гладком предельном условии Мизеса [5], а в основе концепции Хаара - Кармана сингулярное кусочно-линейное условие Треска-Сен-В енана [5]. При построении своей теории Карман - Хаар ввели понятия неполной и полной пластичности. Напряженное состояние, при котором предельное макси-маьное касательное напряжение достиается только на одной площадке, они навали неполной пластичностью. При полной пластичности предельного значения главные касательные напряжени достигают на двух площадках. Принято считать эти два направления льтeрнaтивными [3, 10, 12]. Преобладающее развитие получила теори Хенки - Ильюшина. Однако, в последнее время появился рад работ [1,2, 9-12], равивающих теорию Хаа-ра - Кармана.
Ниже вводится гибридное условие предельного состояния, позволяющее объединить обе концепции.
1. Главный и основной базисы. Рассмотрим пространство главных напряжений а. (/ = 1,2,3). Декартов единичный базис л л ' л/ = ^, связан -
ный с направлением главных напряжений, будем шзывать главным баи-сом.
Напряженное состояние в точке характеризуется вектором напряжен и X:
где а. - проекции главных напряжений на оси главного базиса.
Квадрат модуля вектора напряжения в точке определяется соотношением
Е2 = арц . (2)
Из (2) видно, что напряжения а являются собственными векторами квадрата модуля напряжения в точке. Три собственных значения этих векторов одинаковы и равны единице .
Представление вектора Е напряжения через собственные векторы а соотношениями (1) и (2) не является единственным.
Введем единичный орт еа (а = I,II,III) еа ■ ер = 6а/3 , направляющие
косинусы которого по отношению к главному базису определяются таблицей
^ =
1 1 -1
л/3 л/2 л/6
1 0 2
л/3 л/6
1 -1 -1
л/2 л/2 л/6
Напряженное состояние в точке в базисе еа будет характеризоваться тройкой векторов Еа, причем
III
Е = ^Е = Е е ,
/ ^ а а а ■*
а =1
где Ъ = ст/ .
^ а гг а
Квадрат модуль вектора напряжения в точке в базисе е определя-
ется соотношением
III
Е2 = ^Е Е
/ ^ а о
а=1
Следовательно, собственные значения векторов Еа одинаковы и равны единице.
Фундаментальной характеристикой линейно упругого деформирования является удельная энергия деформации, которую для изотропного тела представим квадратичной функцией вида
Ж =41(0-12 +^2 +СГз2) +2А2(^^2 +^3 +0'l0'з), (3)
где А = 1/ Е, А2 =~у/ Е, Е - модуль упругости, V - коэффициент Пуассона.
Непосредственно из (3) видно, что векторы главного базиса а не являются собствентши векторами квадратичной формы (1.4). В то же
—►
время можно покаать, что векторы Еа являются собственными векторами квадратичной формы (3):
2W = ^A2 + ^11К + ИШКш , где Ц1=ЛЛ1 + 2A2 = (1 -2v)/E = 1/3K , цш=цш = Л11 - Л12 = (1 +v)/E = 1/2G - собственные значения, K - модуль объемного деформирования, G - модуль сдвига.
Если ввести посредством ранжированные главных напряжений ст^ > ar2 > ст3г, то модули собственных векторов Уа можно выразить через классические инварианты соотношениями
r , r , r r r
V + CT2 + CT3 Л/3СТ V СТ3 Л/2т
у ^ 3<СТр, V_ ^2 _ 2 T max ,
/-\rrr /-\rrr
V _ 2 — CTi — СТ3 _т у m _ 2 — СТ1 — СТ3 _tgm
V _ л/(6 _тсту ,т _ Т3(ст; - ст) _tg^
— 1/л/3 <tg^CT < 1/л/3, —7г/6 <(^ст < к/6 , где <ст _(CTjr +<j2r + ст3г)/3 - среднее напряжение, Tmax _ (of — ст3г)/2 - максимальное главное касательное напряжение, тст _ л/3^ст - параметр вида напряженного состояния, ¡1ст - параметр Лоде для напряжений [7], (рст - фазовый инвариант девиатора напряжений.
Векторы Уа имеют ясный геометрический смысл. Направляющие
косинусы ta _ 1/ л/3 задают в главном баисе направление вектора У1. Оно совпадает с направлением вектора среднего напряжения. Направляющие косинусы tjH _(1/л/2,0,-1/л/2) задают направление вектора Уц, который лежит в девиаторной плоскости и совпадает с направлением максимаьно-го касательного напряжения. Вектор Уш ортогонален векторам У1, V11 и лежит в девиаторной плоскости.
—> —>
Сумма векторов V11 и V111 является вектором интенсиности девиа-торных напряжений
V d_Vii + 1 •
Модуль этого вектора вычисляется с помощью соотношений
Vd _ _ VII V1 +mCT _ VIICOSLfa •
—>
Направление вектора Уд определяется углом вида напряженного состояни Lpa _ arctg(VtII /V11), который отсчетывается в девиаторной
плоскости от вектора V11 •
Далее единичные орты еа будем наывать основным баисом собст-
—>
венных векторов Уа квадратичных форм (2) и (3).
Следовательно,
V _ ст + ст; + ст; _v 1+ v 11+ v ш _v 1 + v д ,
у_л/К)2 +(ст2)2 +(ст3)2 _л/У27у7У_VS +Vd.
Аналогичные представления можно ввести в пространстве ранжированных главных деформаций е[ > s? > :
е _;;+;; +_Ё1 + ёд +ёш =ё, +Ёд , Ёд _ ёд + е; , e_V«)2 +fe'f +«)2 _Ve;+ё2 +её _л/ё;+Ёд,,
Ёд _^1ЁИ + Ё.':У _ Ё7 V1 + т■ _ Ё//COVs , Tmax = ^2ЕII ,
Г.Г.Г гг г\ Г Г Г
Е S + S 2 + S3 Е S ^ 3 E S S
V3 '11 л/2 ’ 111 >/б
m _Ё^_ '2s—5—-f3-_tg<^> , —к/6< <^ <к/6,
S Ё11 « — S3r )>£ S S
где £ср = (£г + £ 2Г + £з )/3 - средняя деформация; Гтах - сдвиговая деформация на площадке максимального главного касательного напряжения; т£ = л/з^£ - параметр вида деформированного состояния; ц£ - параметр Лоде для деформаций; р£ - фазовый инвариант девиатора деформаций, который изменяется в диапазоне —7г/6 <ср£ < 7/6.
Удельна энергия линейного упругого деформирования может быть представлена через инварианты основного базиса собственных векторов [6] в виде
= Е,у1 + Ея Ел + Еш Еш = (Е2 + Е^) = ^ Е^ +
+ Тл (1 + т22) = ^1 Т + МцТ Е / + (ЕЛ + ЕЖ )/=
= Е / 1^1 + ЕЯ (1 + т£ )/ 1^11 = Е1 / 1^1 +Е / ^11 .
Теперь закон Гука можно записать в виде
Е1 = ^1Т , ЕII = , Еш = ТШ
или
Е = А Т , Ец = , т£ = т..
Из последнего уравнения видно, что в линейно упругом изотропном теле параметры вида девиатора напряженного и деформированного совпадают.
2. Гибридное условие предельного состояния идеально связной
среды
Концепции Хенки - Ильюшина и Хаара - Кармана отличаются формулировкой предельного условия перехода материала из упругого в упругопластическое состояние. В концепции Хенки - Ильюшина предполагается, что предел упругого деформирования определяется критерием Мизеса [5]
(Е= +£;„ )/72 = (1 + тЖ/72 = (1 + т‘)Т„х = ¿2, (4)
т.е. предельное максимаьное касательное напряжение зависит от вида напряженного состояния.
В концепции Хаара - Кармана предел упругого деформирования определяется критерием Треска [5]:
т.е. предельное касательное напряжение является константой и не зависит от вида напряженного состояния.
Здесь к1 и к2 - характеристики пластических свойств материала. Сформулируем гибридное условие предела упругого деформирования [6]
где п и к - характеристики пластических свойств материала.
Гибридное условие предельного состояния объединяет концепции Хенки - Ильюшина и Хаара - Кармана, так как при равенстве п = 1 имеем критерий Мизеса (4), а если п = 0, то материал подчиняется критерию Треска (5).
Значения пластических характеристик п и к можно найти из экспериментов на чистый сдвиг и одноосное растяжение. В эксперименте на чистый сдвиг имеем сс = -ст3 = т, тс = 0, Ттах = т. Из (2.1) еле дет к = т.
В эксперименте на одноосное растяжение с = , та = -1/л/З , Ттах = с( /2
и из (4) еле дет п = 3(4Т / сС -1).
Следовательно, в условии предельного состояния фигурирует фундаментальна характеристика п, величина которой определяет тип предельной поверхности. Таким обраом, при условии п = 0 пределы упругого деформирования при одноосном растяжении и чистом сдвиге связаны зависимостью =2тх, а при условии п = 1 для пределов упругого деформирования справедливо соотношение с = л/Зг
Следовательно, если энергия упругого деформирования достигает критического значения
то на площадке максимального касательного напряжения создаются условия для пластического сдвига. Соотношение (5) является обобщением энергетического условия пластичности Мизеса.
Подчеркнем, что зависимость (5) определяет достижение макси-
Т = к /^ + пт2С , при котором в теле на всех трех площадках главных касательных напряжений начинают развиваться пластические деформации.
3. Упругопластическое деформирование
(5)
(6)
мальным касательным напряжением предельного значени
Рассмотрим упругопластическое деформирование. Связь между напряжениями и деформациями примем в квазилинейной форме
Е,=Е, 13К, ЕЛ=2Л ПОш, Еш = уш ИОш, (7)
где 1/20ц и 1/20ш - коэффициенты податливости в направлении векторов
Отсюда следует 1
9К
(О + °2 +а3) +
1 1
■ +
\°и
30,
<7,
4 6(0,
V0//
30
сг
3
£3 =
1
9К
9К
(О1 + °2 + О3) -
1 (о + ст2 +СГ3)+—^[2ст2 -(о-! +СГ3)];
60
III
1
1
30
О_ - _2_ 4 60,
О2 +
11
■ +
30
— • (8)
О 30 4
V II III )
Примем, что за пределом упругого деформирования энергия деформирования определяется суммой двух потенциальных функций:
& = ЖУ+ЖР; Жу = у2/6К + (Е2 + Е^)/40Жр = Ф(Л/2,
где / = х2 + п£2ш •
Тогда 1/20,, = (1+о)/20, 1/20ш =(1 + соп)/20, где
(0 = 0/ 0р = Г^/Г^, 0р - модуль пластического сдвига, Гах - уппугая со-
ставляюща деформации сдвета на площадке максимаьного главного касательного напряжения. Здесь учтено, что
дФ дФ д „дФ^ дФ дФ д/ . дФv
- •/ _ т V _------1— = 2п--У .
аХц д дт,п д II ’ /2ш дд дУш д/
III •
Из следующих уравнений следуют соотношения между главными деформациями и напряжениями:
1
1
-(о. + о + о) + — 9К 1 2 3 0
1 + о +
оп
3
ст,
опо
2
1
60 0
1 -
оп
3
1
1
-(о, +о2 + о3)---------------
9К 1 2 3 0р V
1 -
3
о\
п
1
-о- +
60Р 0Р V
1 + п
3
ст,
(9)
Следовательно: если пластические свойства таковы, что параметр п =1 (о = л/Г), то соотношения (9) переходят в уравнения теории маых упругопластических деформаций Хенки - Ильюшина [4].
Если же пластические свойства материаа таковы, что параметр п = 0 (о = 2т,), то соотношения (9) переходят в уравнения Хаара - Кармана [7].
Соотношения (7) и (9) позволяют также установить связь между параметрами вида деформированного т и напряженного т состояний
1
1
(1+o) |me| = (1+no) |mj. (10)
Рассмотрим режим простого нагружения в пространстве деформаций. В этом случае ms = m*s = const. Из (10) еле дет
I I 1 + со
т\ =----------------
См 1
1 + nrn
*
т
(11)
Если п <1, то при повышении пластических деформаций величина
1 + о растет быстрее, чем 1 + по . Следовательно, зависимость (10) устанавливает дрейф параметра \та\ от значения т** до предельного значения
\тО = 1/л/3, при котором материа переходит в состояние полной пластичности.
Следовательно, если пластические свойства материла таковы, чго п =1, т.е. о = л/Г , то его yпрyгoллаcтлчеcкoе деформирование описывается соотношениями Хенки - Ильюшина и во всех режимах нагружения
*
т
<1/л/з реализуется состояние неполной пластичности, и только режи-
мами нагружения
* m
є
1/л/э задается состояние полной пластичности. Если же пластические свойства материала таковы, что п = 0, т.е. = =/3г,, то его упругопластическое деформирование описывается соотношениями Хаара - Кармана, и при всех режимах нагружения, кроме ре-
жима
тс
= 0, реализуется состояние полной пластичности. При развитом
пластическом течении материал переходит в состояние полной пластичности.
Если рассматривать процесс режима простого нагружения в пространстве напряжений, то параметр ma=m*a = const.
В этом случае параметры вида деформированного и напряженного состояний связаны соотношением
ms = (1 + no) m* /(1 + о).
Отсюда следет, что при n = 1 и режиме нагружения m* =0 параметры вида деформированного и напряженного состояний совпадает. При всех остальных режимах нагружения развитие пластических деформаций приодет к дрейфу абсолютного значения параметра ms в сторону уменьшения. Состояние полной пластичности задается режимами нагружения m* = ±1/л/з .
Структура уравнений (9) показывает, что в общем случае при пластическом деформировании возникает деформационная пластическая анизотропия в направлении промежуточного главного напряжения <г2. Только
если n =1, уравнения (9) переходт в соотношения теории малых упругопластических деформаций Хенки - Ильюшина и деформационная пластическая анизотропия не возникает.
Библиографический список
1. Зубчанинов В.Г. Процессы и состояния полного и неполного пластического деформирования материалов при сложном нагружении // Механика материалов и прочность конструкций. СПб: Изд-во СПбГПУ, 2004. №489. С. 141-152.
2. Зубчанинов, В.Г. К модели неполной пластичности материалов Е.И. Шемякина // Проблемы механики деформируемого твердого тела и горных пород: сб. статей к 75-летию Е.И. Шемякина. М.: Физматлит, 2006. С. 284-287.
3. Ивлев Д.Д. Об экстремальных свойствах условий пластичности // ПММ. 1960. Т. XXIV. Вып. 5. С. 951-955.
4. Ильюшин А.А Пластичность. М., Л.: ОГИЗ, 1948. 376 с.
5. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит. 2001. 701 с.
6. Кузнецов, Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Формулировка условия предельного состояния изотропных сред в инвариантах собственных упругих состояний // Проблемы механики деформируемого твердого тела и горных пород: сб. статей к 75-летию Е.И. Шемякина. М.: Физмат-лит, 2006. С. 369-375.
7. Л оде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов // Теория пластичности: сб. переводов. М.: Ил. 1948. С. 168-205.
8. Хаар А.Ю, Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности: сб. переводов. М.: Ил. 1948. С. 41-56.
9. Христианович С.А., Шемякин Е.И. К теории идеал ной пластичности // Инж. журнал МТТ. 1967. №4. С. 86-97.
10. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности. Часть 1 // Физическая мезомеханика. 1999. Т. 2. № 6. С. 63-70.
11.Шемякин Е.И. О сложном нагружении // Упругость и неупруго-сти. М.: Изд-во МГУ. 2001. С. 124-132.
12. Шемякин Е.И. А.Ю. Ишлинский - механик-прочнист // Проблемы механики: сб. статей к 90-летию А.Ю. Ишлинского. М.: Физматлит, 2003. С. 39-44.
Kuznetsov Y., Mattchenko IMattchenko N.
About a problem of incomplete andfull plasticity
For materials which limiting properties do not depend on hydrostatic pressure the hybrid limiting condition from which criteria of the Tresca’s and Mises’s follow is offered.
The equations of the theory of the small elastic-plastic deformations are written out, allowing to unite concepts Hencky-Ilyushin’s and the Haar-Karman’s.
Получено 05.08.09
