Научная статья на тему 'Об особенностях малого упругопластического деформирования'

Об особенностях малого упругопластического деформирования Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
70
25
Поделиться
Ключевые слова
РАНЖИРОВАННЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ / ЛИНЕЙНЫЕ ИНВАРИАНТЫ / ГИБРИДНОЕ УСЛОВИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ / МАЛЫЕ УПРУГО ПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ / ПРЕДЕЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Кузнецов Евгений Евгеньевич, Матченко Илья Николаевич

Показано, что в зависимости от пластических свойств материала дрейф параметров вида напряженного или деформированного состояния приводит к предельным состояниям.

Похожие темы научных работ по механике , автор научной работы — Кузнецов Евгений Евгеньевич, Матченко Илья Николаевич,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Об особенностях малого упругопластического деформирования»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 81-88

Механика =

УДК 539.3

Об особенностях малого упругопластического деформирования

Е. Е. Кузнецов, И. Н. Матченко

Аннотация. Показано, что в зависимости от пластических свойств материала дрейф параметров вида напряженного или деформированного состояния приводит к предельным состояниям.

Ключевые слова: ранжированные напряжения, линейные инварианты, гибридное условие пластичности, малые упруго пластические деформации, предельные состояния.

1. Инварианты ранжированных напряжений

Напряженное состояние элемента сплошной среды будем характеризовать

З З З

ранжированными напряжениями , а2, а3 и триэдром главных направлений. Растягивающие напряжения считаем положительными. Условия ранжирования имеют вид а\ ^ аЗ ^ °з.

В отличие от общепринятой формы инвариантов напряженного состояния [9, 10] введем набор инвариантов [1, 2, 4]:

£1 = ^(аЗ + аЗ + аЗ), £ = -^(аЗ - аЗ), £з = -^(2а2з - аЗ - аЗ).

(1.1)

Особенность предложенного набора инвариантов заключается в линейной зависимости от ранжированных напряжений.

Введем векторное пространство главных напряжений о^. Плоскость а1 + + а2 + а3 = 0, проходящая через начало координат и равно наклоненная к осям векторного пространства, называется девиаторной плоскостью. Ось, равно наклоненная к осям главных напряжений и проходящая через начало координат, называется осью гидростатического напряжения.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Если через направления осей главных напряжений провести три плоскости, то векторное пространство главных напряжений разделится на шесть одинаковых сегментов, а девиаторная плоскость на шесть секторов.

В каждом из сегментов трехмерного пространстве главных напряжений вектор напряжения определяется соотношением

3

Е(п) = £ = Е1 + Е+ Е3П) (п = 1,6). (1.2)

г=1

Квадрат модуля вектора напряжения определяется соотношением

Е 2 = ст? + ст? + ст? = Е ? + Е 2 + Е 3. (1.3)

Векторы Е1, Е2П), Е3П) имеют простой механический смысл [2]. Вектор Е1 является проекцией вектора напряжения Е (п) на нормаль к девиаторной плоскости. С напряжений

плоскости. Сумма векторов Е^ и Е^ является вектором девиаторных

V— Е+ Е

Е d — Е 2 + Е з •

Модуль девиаторных напряжений определяется соотношениями

£d — VK - а)2 + К - а)2 + К - а)2

— у Е 2 + Е 3 — Е з/sin иа — Е 2 / cos иа, (1.4)

где а — (ai + а2 + а3)/3 — гидростатическое напряжение, wa — угол вида напряженного состояния. Из (1.4) следует, ша — arctg(Е 3/Е 2). Угол вида напряженного состояния изменяется в диапазоне -п/6 ^ иа ^ п/6.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, направление вектора Edn) на девиаторной плоскости определяется углом вида напряженного состояния иа. Угол вида напряженного состояния на девиаторной плоскости в каждом из секторов отсчитывается от линии сдвига в сторону минимального ранжированного напряжения.

Угол вида напряженного состояния и параметр Лоде [5] связаны соотношением

ma — tg ша — ^а/л/3,

где ma параметр вида напряженного состояния. Отсюда следует, что параметр Лоде является нормированной величиной параметра вида напряженного состояния. Параметр Лоде вычисляется через ранжированные напряжения по формуле А.А. Ильюшина [1]

^а —

2а2 - ai - аз аТ - а2

Аналогичные соотношения можно привести и для ранжированных деформаций ёЦ, ё?, ё^:

Е(п) = Е1 + Ё2П) + Е 3П) = Е1 + Ё^, Е ^ = Е 2п) + Ё3га),

E = ^(eí)2 + (e2)2 + (e3)2 =/e? + E? + E? = /E? + E?,

Ed = y (el - e)2 + (e? - e)2 + (e3 - e)2 = y E? + E2 = E3/ sin w = = E2/cos we, Ei = (el + e? + e3)/V/3 = e\/3,

me = ^e/\/3 = E3/E2 = tg we, —n/6 ^ we ^ n/6,

где e = (ei + e2 + e3)/3 — средняя деформация, — параметр Лоде для деформированного состояния, we — угол вида деформированного состояния, el ^ e? ^ e3 — условия ранжирования главных деформаций.

2. Гибридное условие предельного состояния идеально

связной среды

Исторически сложилось так, что в теории малых упругопластических деформаций развивалось два направления: теория пластичности Генки-Ильюшина [1] и теория полной пластичности Кармана-Хаара [6]. На сегодняшний день эти два направления трактуются как альтернативные [8]. Покажем, что формулировка гибридного двухконстантного условия пластичности позволяет получить соотношения, из которых эти концепции следуют как частные случаи.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Рассмотрим класс материалов, объемное деформирование которых является упругим. Эта гипотеза используется как в концепции Генки-Ильюшина, так и в концепции Кармана-Хаара. Концепции Генки-Ильюшина и Кармана-Хаара отличаются условиями перехода материала из упругого состояния в пластическое состояние. В концепции Генки-Ильюшина предполагается, что предел упругого деформирования определяется условием пластичности Мизеса [9]

S2d = S? + S3 = (1 + m2 )S? = R2, (2.1)

где R — характеристика предела упругого деформирования. В условии пластичности Мизеса предполагается, что пластическое состояние наступает в случае, если модуль девиаторных напряжений достигает предельного значения Sd = R. Из критерия (2.1) следует, что пределы упругого деформирования при одноосном растяжении ар и чистом сдвиге Ts связаны зависимостью ар = \/3ts.

В концепции Кармана-Хаара предел упругого деформирования определяется условием пластичности Треска [10]

Tmax = X2/V2 = k.

(2.2)

где ттах — максимальное касательное напряжение, к — характеристика предела упругого деформирования. Условие пластичности Треска постулирует, что пластическое состояние наступает при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения ттах = (ст[ — ст^)/2 = Е 2/л/2 = к. Из критерия (2.2) следует, что пределы упругого деформирования при одноосном растяжении стр и чистом сдвиге т8 связаны соотношением стр = 2т5.

Считая, что каждый из критериев Мизеса и Треска отражают свойства реальных материалов, сформулируем гибридное условие пластичности, обобщающее эти критерии. В качестве условия пластичности примем квадратичную функцию линейных инвариантов ранжированных напряжений [3]

( Е 2 + а Е 2) = Ь2, (2.3)

где а и Ь — характеристики пластических свойств материала.

Гибридное условие предельного состояния (2.3) объединяет концепции Генки-Ильюшина и Кармана-Хаара. Если пластические свойства материала таковы, что выполняется равенство а = 1, то материал подчиняется условию пластичности Мизеса, а если а = 0, то материал подчиняется условию пластичности Треска.

Значения характеристик предельного состояния а и Ь можно найти из двух базовых экспериментов на одноосное растяжение и чистый сдвиг. В эксперименте на чистый сдвиг имеем ст[ = — Стд = т8, Стд = 0, и из (2.3) следует Ь = л/2т8. В эксперименте на одноосное растяжение ст[ = стр, = ст^ = 0, и из (2.3) следует а = 3(4т2/ст2 — 1).

3. Упругопластическое деформирование

Работа деформирования изотропного тела определяется соотношением

w = стГ ё1 + стГё2 + стГё3 = Е1 Е 1 + Е 2га)Е2га) + Е 3П)Е 3П) = Е 1 Е 1 + Е 2 Е2 + Е3Е3.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(3.1)

В соответствии с законом Гука потенциал упругих деформаций имеет вид

иу = Цуо + Цуф, Цуо = ^Е 1/2, иуф = М Е 2 + Е 2 )/2, (3.2)

где Цу0 — потенциал упругого объемного деформирования, Цуф — потенциал упругого формоизменения, = (1 — 2^)/Е, ^ = (1 + V)/Е. Здесь Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона.

Исследуя упругопластические деформации, введем предположения, что при упругопластическом деформировании объемное деформирование описывается законом Гука, в упругой области формоизменение

также описывается законом Гука, а деформации упругопластического формоизменения определяются потенциалом

Uyp = иуф + ирф, ирф = F (f )/2, f = £2 + а £§. (3.3)

Тогда за пределом упругого деформирования соотношения между линейными инвариантами ранжированных напряжений и деформаций можно записать в виде

Ei = Vi£i, E2 = (v + а)£2, Ез = (v + аЛ)£э, (3.4)

где А = дирф/df.

Перепишем соотношения (3.3) в виде

Ei = W£i, Е2 = v(1 + х)£2, Ез = v(1 + а—)£з, (3.5)

где х = a/v — обобщенная мера пластических деформаций. При развитии пластических деформаций величина — растет. Из (3.5) видно, что при

упругопластическом деформировании обобщенные жесткости в направлении

^ (n) ^ (n) векторов Е2 и Е3 различны.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Используя два последних соотношения из (3.5), получим зависимости

между параметрами Лоде для напряженного и деформированного состояний

и обобщенной мерой пластических деформаций

1 + аХ /о

Ve = у—— V*. (3.6)

1 + X

Здесь учтено, что Е3/Е2 = me, а £3/£2 = m*.

Отсюда следует вывод: так как при условии пластичности Мизеса характеристика пластических свойств а = 1, то обобщенные модули жесткости пластического деформирования в направлении Е2 и Е3 одинаковы и параметры Лоде для тензора деформации и тензора напряжений также одинаковы, то есть ve = V*. Если же справедливо условие пластичности Треска, то а = 0 и в направлении Е2n) и Е2п)

коэффициенты жесткости различны. Причем в направлении вектора Е3п) при упругопластическом деформировании деформация будет упругой, а параметры Лоде напряженного и деформированного состояния связаны соотношением ve = V*/(1 + х).

4. Дрейф параметров вида напряженного и деформированного состояния при простом нагружении

Рассмотрим процесс простого деформирования в пространстве деформаций. В этом случае направления осей главных деформаций не изменяются. Кроме того, параметр Лоде деформированного состояния в процессе нагружения также остается постоянным ve = Ve = const.

В силу изотропии материала направление осей главных напряжений в процессе деформирования также остается неизменным, а параметры вида напряженного и деформированного материала будут связаны соотношением

= г+И- <«>

Из (4.1) следует, что в случае, если материал подчиняется условию пластичности Мизеса, то а = 1, и = = const, то есть процессу простого деформирования в пространстве деформаций, как отклик, соответствует процесс простого нагружения в пространстве напряжений.

Если свойства материла таковы, что характеристика пластических свойств 0 ^ а < 1, то в процессе пластического деформирования числитель в соотношении (4.1) растет быстрее, чем знаменатель, и в зависимости от знака параметра параметр вида напряженного состояния при развитых пластических деформациях стремится к своим крайним значениям ^ ^1.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Иная ситуация складывается, если характеристика пластических свойств материала а > 1. В этом случае знаменатель соотношения (4.1) растет быстрее, чем числитель, и параметр вида напряженного состояния при развитых пластических деформациях стремится к нулю, то есть ^ 0.

Следовательно, процесс простого нагружения в пространстве деформаций для материалов, пластическая характеристика которых а не равна единице, сопровождается дрейфом параметра Лоде для напряженного состояния к своим крайним значениям или нулю, то есть в пространстве напряжений отклик не будет простым.

Таким образом, для материалов, пластическая характеристика которых а не равна единице, процесс упруго пластического деформирования будет квазипростым.

Отсюда также следует, что предельными состояниями изотропной среды являются три состояния: плоский чистый сдвиг, при котором напряженное состояние характеризуется параметром = 0 и пространственный чистый сдвиг, при котором напряженное состояние характеризуется крайними значениями параметра Лоде = ±1.

Теперь рассмотрим поведение материала в случае, если процесс упруго пластического деформирования будет задан простым нагружением в пространстве напряжений. В этом случае в силу изотропии материала направление осей главных напряжений в процессе деформирования задается неизменным = = const, а параметры вида напряженного и деформированного материала будут связаны соотношением

1 + аХ * (л 0Ч

^e = 7—— - (4-2)

1 + х

Из (4.2) следует, что в случае, если материал подчиняется условию пластичности Мизеса, то а = 1, и = ^ = const, то есть процессу простого

нагружения в пространстве напряжений как отклик соответствует процесс простого нагружения в пространстве деформаций.

Если свойства материла таковы, что характеристика пластических свойств 0 ^ а < 1, то при пластическом деформировании числитель в соотношении (4.2) растет медленнее, чем знаменатель, и параметр вида деформированного состояния при развитых пластических деформациях стремится к нулю, то есть ^ 0.

Если же свойства материла таковы, что характеристика пластических свойств а > 1, то в процессе пластического деформирования числитель в соотношении (4.2) растет быстрее, чем знаменатель, и в зависимости от знака параметра параметр вида деформированного состояния при развитых пластических деформациях стремится к своим крайним значениям ^ ^1.

Таким образом, в случае, если характеристика пластических свойств материала а не равна единице, то в процессе пластического деформирования происходит дрейф параметра Лоде деформированного состояния, то есть процесс пластического деформирования будет квазипростым.

Отсюда также следует, что предельными состояниями изотропной среды являются три состояния: плоский чистый сдвиг, при котором деформированное состояние характеризуется параметром = 0 и пространственный чистый сдвиг, при котором деформированное состояние характеризуется крайними значениями параметра Лоде = ±1.

Вывод

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

При пластическом деформировании в качестве моделей предельных состояний следует рассматривать шесть состояний: = ^1, = 0, = ^1, = 0. Предельным состояниям = 0 соответствует плоский чистый сдвиг в пространстве напряжений и = 0 в пространстве деформаций. Предельным состояниям = соответствует пространственный чистый сдвиг в пространстве напряжений и = в пространстве деформаций.

Список литературы

1. Ильюшин А.А. Пластичность. М.-Л: Гостехиздат, 1948. 376 с.

2. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Формулировка условия предельного состояния изотропных сред в инвариантах собственных упругих состояний // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: сб. статей. М.: Физматлит, 2006. С. 369-376.

3. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Гибридное условие пластичности изотропных материалов // Вестник ЧГПУ им. И.Я.Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2010. № 2(8). Ч. 2. С. 265-273.

4. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. К построению теории малых упруго пластических деформаций // Вестник ЧГПУ им. И.Я.Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2010. № 2(8). Ч. 2. С. 288-295.

5. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов // Теория пластичности: сб. статей. М.: ИЛ, 1948. С. 168-205.

6. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности: сб. переводов. М.: ИЛ, 1948. С. 41-56.

7. Шемякин Е.И. Об инвариантах напряженного и деформированного состояния в математических моделях сплошной среды // Докл. РАН. 2000. Т. 373. № 5. С. 632-634.

8. Шемякин Е.И. Вопросы прочности твердых тел и горных пород // сб. статей: Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. М: Физматлит, 2006. С. 26-45.

9. Mises R. Mechanic der plastischen Formagerung von Kristalen // Z. angew. Math. Und Mech. 1928. V. 8. № 5. S. 161-185.

10. Tresca H. In Memoires presents par divers // Acad. Sci., Paris. 1868. № 18. С. 733-799.

Кузнецов Евгений Евгеньевич (smithe71@yandex.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.

Матченко Илья Николаевич (ekc_05@mail.ru), д.ф.-м.н., доцент, кафедра городского строительства и архитектуры, Тульский государственный университет.

About features of small elastic-plastic deformation Y.Y. Kuznetsov, I.N. Mattchenko

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Abstract. It is shown, that depending on plastic properties of a material drift of parameters of a kind of the intense or deformed condition leads to limiting conditions.

Keywords: arrange stress, linear invariants, the hybrid condition of plasticity, small is elastic plastic deformations, limiting conditions.

Kuznetsov Yevgeniy (smithe71@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.

Mattchenko Ilya (ekc_05@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, city construction and architecture, Tula State University.

Поступила 29.03.2014