CC BY
37
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 81-88
Механика =
УДК 539.3
Об особенностях малого упругопластического деформирования
Е. Е. Кузнецов, И. Н. Матченко
Аннотация. Показано, что в зависимости от пластических свойств материала дрейф параметров вида напряженного или деформированного состояния приводит к предельным состояниям.
Ключевые слова: ранжированные напряжения, линейные инварианты, гибридное условие пластичности, малые упруго пластические деформации, предельные состояния.
1. Инварианты ранжированных напряжений
Напряженное состояние элемента сплошной среды будем характеризовать
З З З
ранжированными напряжениями , а2, а3 и триэдром главных направлений. Растягивающие напряжения считаем положительными. Условия ранжирования имеют вид а\ ^ аЗ ^ °з.
В отличие от общепринятой формы инвариантов напряженного состояния [9, 10] введем набор инвариантов [1, 2, 4]:
£1 = ^(аЗ + аЗ + аЗ), £ = -^(аЗ - аЗ), £з = -^(2а2з - аЗ - аЗ).
(1.1)
Особенность предложенного набора инвариантов заключается в линейной зависимости от ранжированных напряжений.
Введем векторное пространство главных напряжений о^. Плоскость а1 + + а2 + а3 = 0, проходящая через начало координат и равно наклоненная к осям векторного пространства, называется девиаторной плоскостью. Ось, равно наклоненная к осям главных напряжений и проходящая через начало координат, называется осью гидростатического напряжения.
Если через направления осей главных напряжений провести три плоскости, то векторное пространство главных напряжений разделится на шесть одинаковых сегментов, а девиаторная плоскость на шесть секторов.
В каждом из сегментов трехмерного пространстве главных напряжений вектор напряжения определяется соотношением
3
Е(п) = £ = Е1 + Е+ Е3П) (п = 1,6). (1.2)
г=1
Квадрат модуля вектора напряжения определяется соотношением
Е 2 = ст? + ст? + ст? = Е ? + Е 2 + Е 3. (1.3)
Векторы Е1, Е2П), Е3П) имеют простой механический смысл [2]. Вектор Е1 является проекцией вектора напряжения Е (п) на нормаль к девиаторной плоскости. С напряжений
плоскости. Сумма векторов Е^ и Е^ является вектором девиаторных
V— Е+ Е
Е d — Е 2 + Е з •
Модуль девиаторных напряжений определяется соотношениями
£d — VK - а)2 + К - а)2 + К - а)2
— у Е 2 + Е 3 — Е з/sin иа — Е 2 / cos иа, (1.4)
где а — (ai + а2 + а3)/3 — гидростатическое напряжение, wa — угол вида напряженного состояния. Из (1.4) следует, ша — arctg(Е 3/Е 2). Угол вида напряженного состояния изменяется в диапазоне -п/6 ^ иа ^ п/6.
Таким образом, направление вектора Edn) на девиаторной плоскости определяется углом вида напряженного состояния иа. Угол вида напряженного состояния на девиаторной плоскости в каждом из секторов отсчитывается от линии сдвига в сторону минимального ранжированного напряжения.
Угол вида напряженного состояния и параметр Лоде [5] связаны соотношением
ma — tg ша — ^а/л/3,
где ma параметр вида напряженного состояния. Отсюда следует, что параметр Лоде является нормированной величиной параметра вида напряженного состояния. Параметр Лоде вычисляется через ранжированные напряжения по формуле А.А. Ильюшина [1]
^а —
2а2 - ai - аз аТ - а2
Аналогичные соотношения можно привести и для ранжированных деформаций ёЦ, ё?, ё^:
Е(п) = Е1 + Ё2П) + Е 3П) = Е1 + Ё^, Е ^ = Е 2п) + Ё3га),
E = ^(eí)2 + (e2)2 + (e3)2 =/e? + E? + E? = /E? + E?,
Ed = y (el - e)2 + (e? - e)2 + (e3 - e)2 = y E? + E2 = E3/ sin w = = E2/cos we, Ei = (el + e? + e3)/V/3 = e\/3,
me = ^e/\/3 = E3/E2 = tg we, —n/6 ^ we ^ n/6,
где e = (ei + e2 + e3)/3 — средняя деформация, — параметр Лоде для деформированного состояния, we — угол вида деформированного состояния, el ^ e? ^ e3 — условия ранжирования главных деформаций.
2. Гибридное условие предельного состояния идеально
связной среды
Исторически сложилось так, что в теории малых упругопластических деформаций развивалось два направления: теория пластичности Генки-Ильюшина [1] и теория полной пластичности Кармана-Хаара [6]. На сегодняшний день эти два направления трактуются как альтернативные [8]. Покажем, что формулировка гибридного двухконстантного условия пластичности позволяет получить соотношения, из которых эти концепции следуют как частные случаи.
Рассмотрим класс материалов, объемное деформирование которых является упругим. Эта гипотеза используется как в концепции Генки-Ильюшина, так и в концепции Кармана-Хаара. Концепции Генки-Ильюшина и Кармана-Хаара отличаются условиями перехода материала из упругого состояния в пластическое состояние. В концепции Генки-Ильюшина предполагается, что предел упругого деформирования определяется условием пластичности Мизеса [9]
S2d = S? + S3 = (1 + m2 )S? = R2, (2.1)
где R — характеристика предела упругого деформирования. В условии пластичности Мизеса предполагается, что пластическое состояние наступает в случае, если модуль девиаторных напряжений достигает предельного значения Sd = R. Из критерия (2.1) следует, что пределы упругого деформирования при одноосном растяжении ар и чистом сдвиге Ts связаны зависимостью ар = \/3ts.
В концепции Кармана-Хаара предел упругого деформирования определяется условием пластичности Треска [10]
Tmax = X2/V2 = k.
(2.2)
где ттах — максимальное касательное напряжение, к — характеристика предела упругого деформирования. Условие пластичности Треска постулирует, что пластическое состояние наступает при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения ттах = (ст[ — ст^)/2 = Е 2/л/2 = к. Из критерия (2.2) следует, что пределы упругого деформирования при одноосном растяжении стр и чистом сдвиге т8 связаны соотношением стр = 2т5.
Считая, что каждый из критериев Мизеса и Треска отражают свойства реальных материалов, сформулируем гибридное условие пластичности, обобщающее эти критерии. В качестве условия пластичности примем квадратичную функцию линейных инвариантов ранжированных напряжений [3]
( Е 2 + а Е 2) = Ь2, (2.3)
где а и Ь — характеристики пластических свойств материала.
Гибридное условие предельного состояния (2.3) объединяет концепции Генки-Ильюшина и Кармана-Хаара. Если пластические свойства материала таковы, что выполняется равенство а = 1, то материал подчиняется условию пластичности Мизеса, а если а = 0, то материал подчиняется условию пластичности Треска.
Значения характеристик предельного состояния а и Ь можно найти из двух базовых экспериментов на одноосное растяжение и чистый сдвиг. В эксперименте на чистый сдвиг имеем ст[ = — Стд = т8, Стд = 0, и из (2.3) следует Ь = л/2т8. В эксперименте на одноосное растяжение ст[ = стр, = ст^ = 0, и из (2.3) следует а = 3(4т2/ст2 — 1).
3. Упругопластическое деформирование
Работа деформирования изотропного тела определяется соотношением
w = стГ ё1 + стГё2 + стГё3 = Е1 Е 1 + Е 2га)Е2га) + Е 3П)Е 3П) = Е 1 Е 1 + Е 2 Е2 + Е3Е3.
(3.1)
В соответствии с законом Гука потенциал упругих деформаций имеет вид
иу = Цуо + Цуф, Цуо = ^Е 1/2, иуф = М Е 2 + Е 2 )/2, (3.2)
где Цу0 — потенциал упругого объемного деформирования, Цуф — потенциал упругого формоизменения, = (1 — 2^)/Е, ^ = (1 + V)/Е. Здесь Е — модуль упругости, V — коэффициент Пуассона.
Исследуя упругопластические деформации, введем предположения, что при упругопластическом деформировании объемное деформирование описывается законом Гука, в упругой области формоизменение
также описывается законом Гука, а деформации упругопластического формоизменения определяются потенциалом
Uyp = иуф + ирф, ирф = F (f )/2, f = £2 + а £§. (3.3)
Тогда за пределом упругого деформирования соотношения между линейными инвариантами ранжированных напряжений и деформаций можно записать в виде
Ei = Vi£i, E2 = (v + а)£2, Ез = (v + аЛ)£э, (3.4)
где А = дирф/df.
Перепишем соотношения (3.3) в виде
Ei = W£i, Е2 = v(1 + х)£2, Ез = v(1 + а—)£з, (3.5)
где х = a/v — обобщенная мера пластических деформаций. При развитии пластических деформаций величина — растет. Из (3.5) видно, что при
упругопластическом деформировании обобщенные жесткости в направлении
^ (n) ^ (n) векторов Е2 и Е3 различны.
Используя два последних соотношения из (3.5), получим зависимости
между параметрами Лоде для напряженного и деформированного состояний
и обобщенной мерой пластических деформаций
1 + аХ /о
Ve = у—— V*. (3.6)
1 + X
Здесь учтено, что Е3/Е2 = me, а £3/£2 = m*.
Отсюда следует вывод: так как при условии пластичности Мизеса характеристика пластических свойств а = 1, то обобщенные модули жесткости пластического деформирования в направлении Е2 и Е3 одинаковы и параметры Лоде для тензора деформации и тензора напряжений также одинаковы, то есть ve = V*. Если же справедливо условие пластичности Треска, то а = 0 и в направлении Е2n) и Е2п)
коэффициенты жесткости различны. Причем в направлении вектора Е3п) при упругопластическом деформировании деформация будет упругой, а параметры Лоде напряженного и деформированного состояния связаны соотношением ve = V*/(1 + х).
4. Дрейф параметров вида напряженного и деформированного состояния при простом нагружении
Рассмотрим процесс простого деформирования в пространстве деформаций. В этом случае направления осей главных деформаций не изменяются. Кроме того, параметр Лоде деформированного состояния в процессе нагружения также остается постоянным ve = Ve = const.
В силу изотропии материала направление осей главных напряжений в процессе деформирования также остается неизменным, а параметры вида напряженного и деформированного материала будут связаны соотношением
= г+И- <«>
Из (4.1) следует, что в случае, если материал подчиняется условию пластичности Мизеса, то а = 1, и = = const, то есть процессу простого деформирования в пространстве деформаций, как отклик, соответствует процесс простого нагружения в пространстве напряжений.
Если свойства материла таковы, что характеристика пластических свойств 0 ^ а < 1, то в процессе пластического деформирования числитель в соотношении (4.1) растет быстрее, чем знаменатель, и в зависимости от знака параметра параметр вида напряженного состояния при развитых пластических деформациях стремится к своим крайним значениям ^ ^1.
Иная ситуация складывается, если характеристика пластических свойств материала а > 1. В этом случае знаменатель соотношения (4.1) растет быстрее, чем числитель, и параметр вида напряженного состояния при развитых пластических деформациях стремится к нулю, то есть ^ 0.
Следовательно, процесс простого нагружения в пространстве деформаций для материалов, пластическая характеристика которых а не равна единице, сопровождается дрейфом параметра Лоде для напряженного состояния к своим крайним значениям или нулю, то есть в пространстве напряжений отклик не будет простым.
Таким образом, для материалов, пластическая характеристика которых а не равна единице, процесс упруго пластического деформирования будет квазипростым.
Отсюда также следует, что предельными состояниями изотропной среды являются три состояния: плоский чистый сдвиг, при котором напряженное состояние характеризуется параметром = 0 и пространственный чистый сдвиг, при котором напряженное состояние характеризуется крайними значениями параметра Лоде = ±1.
Теперь рассмотрим поведение материала в случае, если процесс упруго пластического деформирования будет задан простым нагружением в пространстве напряжений. В этом случае в силу изотропии материала направление осей главных напряжений в процессе деформирования задается неизменным = = const, а параметры вида напряженного и деформированного материала будут связаны соотношением
1 + аХ * (л 0Ч
^e = 7—— - (4-2)
1 + х
Из (4.2) следует, что в случае, если материал подчиняется условию пластичности Мизеса, то а = 1, и = ^ = const, то есть процессу простого
нагружения в пространстве напряжений как отклик соответствует процесс простого нагружения в пространстве деформаций.
Если свойства материла таковы, что характеристика пластических свойств 0 ^ а < 1, то при пластическом деформировании числитель в соотношении (4.2) растет медленнее, чем знаменатель, и параметр вида деформированного состояния при развитых пластических деформациях стремится к нулю, то есть ^ 0.
Если же свойства материла таковы, что характеристика пластических свойств а > 1, то в процессе пластического деформирования числитель в соотношении (4.2) растет быстрее, чем знаменатель, и в зависимости от знака параметра параметр вида деформированного состояния при развитых пластических деформациях стремится к своим крайним значениям ^ ^1.
Таким образом, в случае, если характеристика пластических свойств материала а не равна единице, то в процессе пластического деформирования происходит дрейф параметра Лоде деформированного состояния, то есть процесс пластического деформирования будет квазипростым.
Отсюда также следует, что предельными состояниями изотропной среды являются три состояния: плоский чистый сдвиг, при котором деформированное состояние характеризуется параметром = 0 и пространственный чистый сдвиг, при котором деформированное состояние характеризуется крайними значениями параметра Лоде = ±1.
Вывод
При пластическом деформировании в качестве моделей предельных состояний следует рассматривать шесть состояний: = ^1, = 0, = ^1, = 0. Предельным состояниям = 0 соответствует плоский чистый сдвиг в пространстве напряжений и = 0 в пространстве деформаций. Предельным состояниям = соответствует пространственный чистый сдвиг в пространстве напряжений и = в пространстве деформаций.
Список литературы
1. Ильюшин А.А. Пластичность. М.-Л: Гостехиздат, 1948. 376 с.
2. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Формулировка условия предельного состояния изотропных сред в инвариантах собственных упругих состояний // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород: сб. статей. М.: Физматлит, 2006. С. 369-376.
3. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. Гибридное условие пластичности изотропных материалов // Вестник ЧГПУ им. И.Я.Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2010. № 2(8). Ч. 2. С. 265-273.
4. Кузнецов Е.Е., Матченко И.Н., Матченко Н.М. К построению теории малых упруго пластических деформаций // Вестник ЧГПУ им. И.Я.Яковлева. Сер. Механика предельного состояния. 2010. № 2(8). Ч. 2. С. 288-295.
5. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов // Теория пластичности: сб. статей. М.: ИЛ, 1948. С. 168-205.
6. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности: сб. переводов. М.: ИЛ, 1948. С. 41-56.
7. Шемякин Е.И. Об инвариантах напряженного и деформированного состояния в математических моделях сплошной среды // Докл. РАН. 2000. Т. 373. № 5. С. 632-634.
8. Шемякин Е.И. Вопросы прочности твердых тел и горных пород // сб. статей: Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. М: Физматлит, 2006. С. 26-45.
9. Mises R. Mechanic der plastischen Formagerung von Kristalen // Z. angew. Math. Und Mech. 1928. V. 8. № 5. S. 161-185.
10. Tresca H. In Memoires presents par divers // Acad. Sci., Paris. 1868. № 18. С. 733-799.
Кузнецов Евгений Евгеньевич ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.
Матченко Илья Николаевич ([email protected]), д.ф.-м.н., доцент, кафедра городского строительства и архитектуры, Тульский государственный университет.
About features of small elastic-plastic deformation Y.Y. Kuznetsov, I.N. Mattchenko
Abstract. It is shown, that depending on plastic properties of a material drift of parameters of a kind of the intense or deformed condition leads to limiting conditions.
Keywords: arrange stress, linear invariants, the hybrid condition of plasticity, small is elastic plastic deformations, limiting conditions.
Kuznetsov Yevgeniy ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.
Mattchenko Ilya ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, city construction and architecture, Tula State University.
Поступила 29.03.2014
