CC BY
32
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 148-155
Механика
УДК 531.01
О сингулярности девиаторных функций на плоскостях кратности промежуточного главного напряжения
Е. Е. Кузнецов, Н. М. Матченко
Аннотация. Доказано, что сингулярность девиаторных функций на плоскостях кратности промежуточного главного напряжения в трехмерном векторном пространстве главных напряжений проявляется в виде ребра равносторонней шестигранной призмы, равно наклоненной к осям главных напряжений.
Ключевые слова: тензор напряжений, главные напряжения, плоскости кратности, девиаторные функции, сингулярность.
Сплошную среду отнесем к декартовой системе координат х^ (г = 1, 2, 3). Напряженное состояние сплошной среды характеризуется симметричным тензором напряжения .
Решая характеристическое уравнение
найдем три ранжированных напряжения отах, отеа, отІп, а затем и их направляющие косинусы гу относительно системы координат хі.
Условие ранжирования имеет вид отах ^ отеа ^ отІп. Здесь отах, отеа, 0Ьіп — минимальное, промежуточное (медианное) и минимальное главное напряжение. Далее растягивающие напряжения считаются положительными. Для возможности использования тензорного формализма введем также обозначения отах = а\, отеа = о£, отІп = а3.
Компоненты тензора напряжений оу связаны с ранжированными напряжениями оі соотношениями
1. Пространство главных напряжений
|(°у - \5у)| = 0,
(1.1)
3
(1.2)
т=1
Направляющие косинусы удовлетворяют условиям ортогональности
тгттут — или ту тгт — $ут ■ (1-3)
Для ранжированных напряжений справедливы зависимости [17]
а[ — а + й1Ттах, а2 — а + а2Ттах, а3 — а — азттах, (1.4)
где а1 — 1 — /3, а2 — 2^а/3, аз — 1 + /3.
В соотношениях (1.4) фигурируют инварианты тензора напряжений: а —
— ау /3 — гидростатическое давление; ттах — (а1 — а3)/2 — максимальное касательное напряжение; — (2а2 — а[ — а3)/(а1 — а3) — параметр Лоде [12, 16].
Подставляя зависимости (1.4) в соотношения (1.2), получим
ау — цЬу + (атцту1 — Ътгзтуз)т, (1.5)
где Я — а + 2^аттах/3, а — 1 ^(г, Ъ — 1 + ^(г.
Обратим внимание на то, что в соотношениях (1.5) фигурируют
направляющие косинусы только максимального и минимального
ранжированного напряжения.
2. Кратность промежуточного главного напряжения
Рассмотрим векторное пространство главных напряжений о^. Пусть векторы <7г образуют правую систему координат. Растягивающие напряжения считаем положительными.
Выделим девиаторную плоскость, проходящую через начало координат и имеющую одинаковые наклоны к осям главных напряжений а1 + а2 + аз — 0.
Ось, равно наклоненная к главным осям и проходящая через начало координат, называется осью гидростатического давления.
Через ось гидростатического давления и направления осей главных напряжений проведем три плоскости. Эти плоскости делят пространство главных напряжений на шесть равных сегментов, а девиаторную плоскость на шесть секторов.
Ось гидростатического давления делит плоскости, разделяющие пространство главных напряжений на шесть сегментов, в свою очередь на шесть полуплоскостей.
Полуплоскости между сегментами обладают замечательным свойством: на этих полуплоскостях промежуточное ранжированное напряжение а2 является кратным. Поэтому далее полуплоскости между сегментами будем называть полуплоскостями кратности промежуточного ранжированного напряжения.
Полуплоскости кратности задаются уравнениями: если — —1, то а2 — а3, а если — 1, то а2 — а\. Таким образом, полуплоскостям кратности промежуточного напряжения соответствуют крайние значения параметра Лоде Цчг — ^1.
3. Условия совместности компонент девиаторных напряжений на полуплоскостях кратности
Величина промежуточного ранжированного напряжения а2 определяется из условия равенства нулю определителя матрицы
Поскольку напряжение а2 является кратным, то ранг матрицы (3.1) равен единице, и все ее миноры второго прядка равны нулю [15]:
где о^ = 011 - о2, о|2 = 022 - о2, Од3 = О33 - о2,.
Из шести соотношений (3.2) и (3.3) независимыми будут только три. Например, если в соотношениях (3.2) попарно перемножить левые и правые части, а затем сложить, то получим соотношения (3.3).
Исключая из (3.2) промежуточное главное напряжение о2, получим два условия совместности компонент тензора девиаторных напряжений
где ву — ау — а.
Равенства (3.4) выражают необходимые и достаточные условия совпадения двух главных напряжений, то есть являются условиями кратности промежуточного ранжированного напряжения.
Из соотношений (1.5) следует, что на полуплоскостях кратности компоненты тензора напряжения вычисляются по формулам
где $1 — —1, §3 — 1. Индекс в — 1 соответствует полуплоскости кратности
— —1, а индекс в — 3 соответствует полуплоскости кратности — 1. Условия ортогональности направляющих косинусов (1.3) принимают вид
Следовательно, на полуплоскостях кратности промежуточного главного напряжения из пяти компонент тензора девиаторных напряжений независимыми будут только три компоненты.
Несложно убедится в том, что при подстановке зависимостей (3.5) в соотношения (3.2), (3.3) и (3.4) получим тождества.
о12
Т
о22 - о2 о23
2 2 2 011023 = 012013 , 022013 = 012023 , 033 012 = О13О23;
(3.2)
°11°22 = 012 013, °22°33 = 012°23, °33 °П = 013023,
(3.3)
«11 °23 — 012013 «22013 — 012 023 «33012 — 013023
(3.4)
023
013
012
°І7 — (0 + 2^«ттах/3)^іу 2^sгisгjsTmax, (« — 1 3) (3.5)
г!з + г2« + г1 = 1 (« = 1, 3).
(3.6)
Заметим, что условия совместности компонент тензора девиаторных напряжений является топологическим свойством напряженного состояния, соответствующего плоскостям кратности промежуточного главного напряжения.
4. Пространственный чистый сдвиг
Для экстремальных касательных напряжений справедливы зависимости
т _ < - ^3 _ _ т _ < - ^2 _1 - ^ _ М1)
т 13 — п — ттах) т 12 — п п Ттах) У4-1/
Т23 =
2
^2 - ^3 _ 1 + Ма
22
Рассмотрим полуплоскость кратности ма = — 1- Из (4.1) следует, что в этом случае два экстремальных касательных напряжения равны между собой, а третье касательное напряжение равно нулю, то есть на полуплоскости кратности реализуется пространственный чистый сдвиг
Tmax = Т13 = Т12, Т23 = 0.
Функция равного уровня Tmax = const = с на полуплоскости кратности Ма = —1 образует ребро сингулярности
СТ1 — °з = 2с, а! — ^2 = 2с. (4.3)
Аналогично, на полуплоскости кратности ма = —1 реализуется пространственный чистый сдвиг
Tmax = Т13 = Т23, Т12 = 0, и функция равного уровня Tmax = d образует ребро сингулярности
а1 — а3 = d, а2— а3 = d. (4.4)
Из уравнений (4.2) и (4.3) следует, что функция максимального касательного напряжения равного уровня в трехмерном векторном пространстве главных напряжений при пересечении с полуплоскостями кратности промежуточного главного напряжения проявляет сингулярность в виде ребра равносторонней шестигранной призмы равно наклоненной к направлениям главных напряжений.
Самым первым литературным источником, в котором учет сингулярности функции максимального касательного напряжения связан с гипотезой о справедливости условия пластичности Треска, является статья А. Хаара и Т. Кармана [18]. Затем эта гипотеза последовательно применялась при построении уравнений пространственной задачи теории идеальной пластичности [1, 6, 7, 11, 13, 14, 19].
Попытки введения сингулярных моделей сплошной, связанных с использованием кусочно-линейных моделей сплошной среды были сделаны в гидродинамике вязкой жидкости [8], теории упругости [9, 10], теории вязкой пластичности [3], нелинейной механике [4, 5]. Все эти работы объединяет гипотеза о потенциальных функциях в виде правильной шестигранной призмы, образующие которой параллельны оси гидростатического давления.
Анализируя соотношения (4.3) и (4.4) сделаем принципиально иной вывод: поверхности потенциальных девиаторных функций равного уровня в трехмерном векторном пространстве главных напряжений при пересечении с плоскостями кратности промежуточного главного напряжения образуют ребра сингулярности в виде ребра равносторонней шестигранной призмы, равно наклоненной к направлениям главных напряжений.
Этот постулат обоснуем, рассматривая функцию модуля девиаторных напряжений.
5. Сингулярность функции модуля девиаторных напряжений
Рассмотрим функцию модуля девиаторных напряжений [1-3]
Xd = [К — )2 + (а2 — а3 )2 + (а3 — ^ )2]1/2/^3. (5.1)
В пространстве главных напряжений поверхности равного уровня модуля девиаторных напряжений Xd = const представляют собой цилиндры, образующие которых параллельны оси гидростатического давления. В теории идеальной пластичности это будет цилиндр Мизеса [2, 3].
В механике деформированного твердого тела принято считать, что поверхности равного уровня Xd являются регулярными, то есть производная от этой функции в пространстве главных напряжений по главным напряжениям имеет вид [1-3]
dXd 2< — ajj — ak
даГ 3Xd
(i = j = k). (5.2)
' г 3Xd
Согласно гипотезе о регулярности функции Xd из (5.2) следует, что вектор gradXd ортогонален к поверхностям Xd равного уровня во всех точках пространства главных напряжений, включая и линии пересечения поверхности Xd = const с плоскостями кратности.
Покажем, что представление о регулярности функции Xd является общепринятым заблуждением.
Подставляя (5.2) в уравнение
If ar = Xd, (5.3)
получим тождество.
Поскольку функция Xd удовлетворяет условию (5.3), то она является однородной функцией первой степени относительно своих аргументов [4]. Для примера рассмотрим пересечение поверхностей Xd = const с
rr
плоскостью кратности af = af.
При пересечении Xd = const с плоскостью кратности af = af функция Xd
^(2) ^(3)
принимает два значения Xd и Xd , причем
Xd = Xd2) = д/2/3(ст[ — af) = const, Xd = Xd3) = д/2/3(ст[ — af) = const.
(5.4)
Из (5.4) следует, что сингулярность на линиях пересечения поверхностей Xd = const с полуплоскостью кратности af = af проявляется в виде ребра равносторонней шестигранной призмы, образующие которой равно наклонены к осям главных напряжений.
Следовательно, внешняя нормаль к поверхности Xd = const вырождается в веер нормалей
дот=^+<1—а) ^ ■ (5'5)
Правило суммирования имеет вид
Xd = AXd2) + (1 — A)Xd3). (5.6)
Поскольку, на линиях пересечения поверхности равного уровня Xd = = const с плоскостью кратности главных ранжированных напряжений af = = af функция Xd проявляет особенность, то она не является регулярной.
Выводы
1. Пространство главных напряжений разделяется плоскостями кратности промежуточного главного напряжения на шесть независимых сегментов.
2. Построение непрерывных потенциальных функций компонент тензора девиаторных напряжения возможно только в пределах каждого из сегментов.
3. На полуплоскостях кратности девиаторные функции равного уровня проявляют сингулярность в виде ребра правильной шестигранной призмы, равно наклоненной к осям главных напряжений.
Список литературы
1. Аннин Б.Д. Двумерные подмодели идеальной пластичности при условии полной пластичности // Проблемы механики. М.: Физматлит, 2003. С. 94-99.
2. Безухое Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1961. 534 с.
3. Быковцев Г.И., Быковцева Н.Г. Кусочно-линейные потенциалы в нелинейной механике // ДАН РАН. 1994. Т. 335. № 3. С. 310-312.
4. Быковцев Г.И. Общие свойства уравнений нелинейной теории упругости при кусочно-линейных потенциалах // ПММ. 1996. Т. 6. Вып. 3. С. 505-515.
5. Быковцев Г.И., Ярушина В.М. Об особенностях модели неустановившейся ползучести, основанной на использовании кусочно-линейных потенциалов // Проблемы механики сплошных сред и элементов конструкций. Владивосток, 1998. С. 9-26.
6. Ивлев Д.Д. Об общих уравнениях теории идеальной пластичности и статики сыпучих сред // Прикл. матем. и механика. 1958. Т. 22. Вып. 1. С. 90-96.
7. Ивлев Д.Д. О соотношениях, определяющих пластическое течение при условии пластичности Треска, и его обобщениях // ДАП СССР. 1959. Т. 124. № 3.
С. 546-549.
8. Ивлев Д.Д. К построению гидродинамики вязкой жидкости // ДАН СССР. 1959. Т. 124. № 3. С. 546-549. 1960. Т. 135. № 2. С. 280-282.
9. Ивлев Д.Д. К построению теории упругости // ДАН СССР. 1961. Т. 138. № 6.
С. 1321-1324.
10. Ивлев Д.Д. О математическом описании поведения упругого изотропного тела при помощи кусочно линейного потенциала // ПММ. 1961. Т. 25. № 5. С. 86-102.
11. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю. Полная пластичность в теории идеально-пластического тела // ДАН РАН. 1999. Т. 368. № 3. С. 333-334.
12. Ильюшин А.А. Пластичность. М.-Л: Гостехиздат, 1948. 376 с.
13. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001. 704 с.
14. Ковалев В.А., Радаев Ю.Н. Об одной форме определяющих соотношений математической теории пластичности (течение на ребре призмы Кулона-Треска) // Вестник СамГУё ё. Естественнонаучная серия. 2008. №6(65). С. 260-280.
15. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз. 1968. 432 с.
16. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов // Теория пластичности. М.: ИЛ, 1948. С. 168-205.
17. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 605 с.
18. Хаар А., Карман Т. К теории напряженных состояний в пластических и сыпучих средах // Теория пластичности. М: ИЛ, 1948. С. 41-56.
19. Шемякин Е.И. Синтетическая теория прочности. Часть 1 // Физическая мезомеханика. 1999. Т. 2. № 6. С. 63-70.
Кузнецов Евгений Евгеньевич (smithe71@yandex.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.
Матченко Николай Михайлович (ekc_05@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.
About singular deviators functions on planes of frequency rate of an intermediate main stress
Y. Y. Kuznetsov, N.M. Matchenko
Abstract. It is proved, that singular deviators functions on planes of frequency rate of an intermediate main stress in three-dimensional vector space of the main stress it is shown in the form of an edge regular hexagonal prisms equally inclined to axes of the main stress.
Keywords: tensor stress, the main stress, planes of frequency rate, deviators functions, singularity.
Kuznetsov Yevgeniy (smithe71@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.
Matchenko Nikolay (ekc_05@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mechanics plastic forming, Tula State University.
Поступила 10.04-2013
