Об уравнениях предельного состояния анизотропных идеально связных сред при плоском чистом сдвиге Текст научной статьи по специальности «Физика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 128-139

Механика

УДК 539.375

Об уравнениях предельного состояния анизотропных идеально связных сред при плоском чистом сдвиге

И. Е. Костиков, Е. Е. Кузнецов, Н. М. Матченко

Аннотация. Рассматривается предельное состояние анизотропной идеально связной среды для случая, когда параметр вида напряженного состояния Лоде равен нулю. Показано, что любые условия пластичности анизотропных идеально связных сред, согласованные с экспериментом при чистом плоском сдвиге, приводят к одному и тому же условию предельного состояния. Дана постановка задачи предельного плоского чистого сдвига.

Ключевые слова: ранжированные главные напряжения,

промежуточное главное напряжение, плоский чистый сдвиг, предельное состояние плоского чистого сдвига.

Сплошную среду отнесем к декартовой системе координат хг (г = 1, 2, 3). Напряженное состояние в элементе сплошной среды будем характеризовать симметричным тензором напряжений г^ или тройкой ранжированных напряжений Гтах, Гтеа, Гт;п и ортом их направлений. Здесь Гтах, Гтеа, гт;п — максимальное, промежуточное (медианное) и минимальное главное напряжение. Условие ранжирования имеет вид гтах ^ гтеа ^ гт;п. Растягивающие напряжения считаются положительными. Для возможности использования тензорного формализма будем использовать также обозначения Гтах = г[ , Гтеё = Г^, Гтш = Г^.

Компоненты тензора напряжений г^ связаны с ранжированными

V

напряжениями гг соотношениями

1. Напряженное состояние

3

(1.1)

т=1

где Тіт — направляющие косинусы ранжированных напряжений по отношению к лабораторной системе координат. Направляющие косинусы должны удовлетворять условиям ортогональности

г1тг]т — или тij ггт — Ь]т ■ (1-2)

Введем инварианты тензора напряжений: а — ау Ьу /3 — гидростатическое

давление; ттах — (а[ — аг3)/2 — максимальное касательное напряжение;

— (2а2 — а\ — а3)/(а1 — а3) — параметр Лоде [9].

Для ранжированных напряжений справедливы зависимости

а1 — а + а1ттах) а2 — а + а2ттах) а3 — а а3ттах) (1^3)

где а1 — 1 /3, а2 — 2^а/3, а3 — 1 + /3*

Подставляя (1.3) в соотношения (1.1), получим

ау — яЬу + (ат гд — Ьпзтуз)ттах, (1.4)

где

Я — а + 2^аттах/3, а — 1 , Ь — 1 + ■

При плоском чистом сдвиге уравнения (1.4) принимают вид

ау — аЬу + (ТцТ^1 — TiзTjз)Tmax■ (1.5)

Из (1.5) следует, что компоненты тензора напряжения зависят только от ориентации максимального и минимального главного напряжения.

2. Предельное состояние плоского чистого сдвига

Предельному состоянию плоского чистого сдвига соответствует значение параметра Лоде ц,а — 0. В этом случае соотношения (1.3) для вычисления ранжированных главных напряжений принимают вид

а1 — а + ттах) а2 — а) а3 — а ттах-

Экстремальные касательные напряжения в случае плоского чистого сдвига вычисляются по формулам

а1 а1 т а2 а3 ттах ^ а1 а

2 ’ 2 2

(2.1)

Из (2.1) следует, что на одной из площадок экстремальных касательных напряжений действует максимальное касательное напряжение Т13 — ттах, а два другие касательные напряжения одинаковы и равны половине максимального касательного напряжения.

Следовательно, при плоском чистом сдвиге предельное значение максимального касательного напряжения достигается только на одной из площадок экстремальных касательных напряжений.

Покажем, что любые условия пластичности анизотропных идеально связных сред, согласованные с экспериментом при

плоском чистом сдвиге, приводят к условию максимального касательного напряжения.

Заметим, что условие пластичности отличается от условия предельного состояния тем, что условие пластичности позволяет прогнозировать переход сплошной среды в пластическое состояние при любом виде напряженного состояния, а условие предельного состояния фиксирует переход сплошной среды в состояние пластичности при конкретном виде напряженного состояния.

Условие пластичности анизотропной идеально связной среды можно записать в общем виде

— модуль девиаторных напряжений.

Если учесть, что для модуля девиаторных напряжений Ха и максимального касательного напряжения справедлива зависимость [11]

Таким образом, условие предельного состояния при плоском чистом сдвиге принимает вид

ттах — /(Ра, Гу)|^=0 / л/2 — ко(таГд — ^3^3), а2 — (а£ + а3)/2. (2.4)

где ^(таГд — ГйГ/3) — предельное значение максимального касательного напряжения анизотропной идеально связной среды при плоском чистом сдвиге. Величина ко(таГд — т^т^) определяется из экспериментов в режиме нагружения ра — 0. Простейшим экспериментом в этом режиме нагружения является эксперимент на чистый сдвиг при различной ориентации площадки максимального касательного напряжения по отношению к лабораторной системе координат.

Условия предельного состояния (2.4) подчеркивают сдвиговую природу плоского пластического сдвига и справедливо для любых идеально связных анизотропных сред.

3. Уравнения предельного состояния при чистом плоском сдвиге в условиях плоской деформации

Одной из основных гипотез теории предельного состояния является предположение о том, что в зоне предельного состояния параметр вида

Х<1 — / (ра, ту ),

(2.2)

где

Ха — ттахл/ 2(1 + Ра/3),

то условию пластичности (2.2) можно придать вид

ттах — [2(1 + ра/3)] 1 /(ра, тij).

(2.3)

напряженного состояния является постоянной величиной [4-7, 12]. При плоском чистом сдвиге параметр Лоде равен нулю.

Далее рассмотрим класс задач, в которых известно направление промежуточного ранжированного напряжения оГ и его направление в процессе пластического деформирования остается неизменным. Для удобства дальнейшего изложения введем локальную систему координат ж, y, z и новые обозначения главных ранжированных напряжений:

^r = оi, = 03, a3i = 02-

Условимся, что направление промежуточного главного напряжения

03 = Oz (3.1)

совпадает с направлением оси z. Из (3.1) следуют соотношения

0xz — 0yz — °

общепринятые для задач плоской деформации тории идеальной пластичности [6, 7, 11, 12].

В этом случае из соотношений (2.6) следует

2 о

Ox = О1 cos p + 02 sin p = p + Tmax COS 2p, Oi ^ 02,

Oy = Oi Sin2 p + 02 COS2 p = p - Tmax COS 2p, Oxy = (01 - O2) = Tmax Sin 2p,

(3.2)

где p = (01 + o2)/2 = oz, Tmax = (01 — o2)/2, p — угол между первым главным направлением 01 и осью ж.

Составив характеристическое уравнение

0x oy 0xy

0xy 0y oy

= 0, (y = 1, 2)

и, определив его корни, получим

01,2 = 0x + 0y ± \\l(Ox — Oy)2 + 4oxy- (3.3)

2 — 2 V у у

Условия предельного состояния (2.4) при переходе к напряжениям а1, а2, а3 принимают вид

ттах — 0.5(а1 — а2) — &о(р), аг — 0, 5(а1 + а2). (3.4)

Используя зависимости (3.3), запишем условия предельного состояния при плоском чистом сдвиге (3.4) через компоненты тензора напряжений

(аж — ау )2 + 4аХу — 4^(р), аг — 0.5(аж + ау). (3.5)

Подставляя (З.4) в (З.2), получим соотношения Леви для анизотропных сред

ax = p + k0(p)cos2p, ay = p — k0(p)cos2p, axy = k0(p)sin2p. (3.6)

При подстановке зависимостей (З.б) в первое из условий предельного состояния (3.5) получим тождество.

Уравнения равновесия при плоском сдвиге имеют вид

dax daxy daxy day ,

—- + = 0, —xy + —^ =0. (3.7)

dx dy dx dy

Подставляя соотношения (З.б) в уравнения равновесия (3.7) , получим

dp , dp , dp

— — [2ko(p) sin 2p + k0(p) cos 2p] — + [2ko(p) cos 2p — k0(p) sin 2p] — =0,

dp , dp , dp

— — [2ko(p) cos2p + k0(p) sin 2p] — + [2ko(p) sin2p — k0(p) cos2p] — =0,

X X У (3.8)

где k0(p) = dk(p)/dp.

Уравнения (3.8) принадлежат к гиперболическому типу дифференциальных уравнений в частных производных. Характеристики а и в уравнений (3.8) и соотношения вдоль них имеют вид

dy —k0 cos 2p + 2k0 sin 2p ± 4k2 + k'0

dx k0 sin 2p + 2k0 cos 2p ’

p ± F(p) = const. F(p) — J \J4k2 + k'°dp. (3.9)

Очевидно, что характеристики ортогональны.

Выражение мощности рассеяния механической энергии при плоском чистом сдвиге имеет вид

N — ax^x + ay£y + az^z + 2axy^xy ax£x + ay£y +

+2a xy ^xy + 0.5(ax + ay )^z.

Рассмотрим функционал

J = ax£x + ay £y + 2axy ^xy + °-5(ax + ay )£z — (3.10)

— 0•5Л[(ax — ay)2 + 4axy — 4k()(p)]j

где Л ^ 0 — множитель Лагранжа. В функционале (3.4) первые три слагаемых представляют энергию рассеяния механической энергии. Выражение в скобках является ограничением на главные напряжения, вытекающим из первой части условия предельного состояния (3.5).

Из экстремума функционала (3.10) вытекают соотношения для компонент тензора скоростей пластических деформаций

вх + 0.5в^ — Л

;/ др

аж — ау — 4ко«о й— у о дах

, вху 4Л

, и др аху — ЛоЛо ^---------

о да-

ву + 0.5ву — Л

, др

ау — ах — 4ло ло м—

а

у J

Из соотношений (3.2) следует

2а

ху

ах — ау

Отсюда получим

ху J

(3.11)

др

дах

аху

,

др

дау

аху

4^1

Подставляя (3.12) в (3.11), запишем

др

да.

ху

ах ау

(3.12)

Ло

вх + 0.5в.г — Л ах — ау + Т- аху ) , ву + °-5£.2 — Л ау — ах — I- а;

Ло

Уху

вх ------ Л

1 ло

2аху — ^ ^ (ах — ау)

Соотношения (3.13) удовлетворяют условию несжимаемости

вх + ву + — 0.

(3.13)

(3.14)

Введем предположение, что плоский чистый сдвиг в пространстве напряжений реализуется в условиях плоской деформации

— 0.

(3.15)

Это предположение согласуется с основной гипотезой плоской задачи теории идеальной пластичности.

Тогда

(3.16)

и плоскому чистому сдвигу в пространстве напряжений соответствует плоский чистый сдвиг в пространстве скоростей деформаций

= (2rz — rx — ry )/(rx — ry) = 0.

(3.17)

Тогда из (3.13) следуют соотношения закона пластического течения

_ ( k0 \ _ . / k0

£x = Л I ax — ay + ~^axyI j ry = Л I ay — ax — ^axy

£x — Л

о 1 k0 I \

2axy — 2 ^ (ax — ay)

(3.1S)

Можно наоборот, принять гипотезу о том, что плоскому чистому сдвигу в пространстве напряжений соответствует плоский чистый сдвиг в пространстве скоростей деформаций. В этом случае легко доказать, что плоский чистый сдвиг реализуется в условиях плоской деформации.

Для компонент тензора скоростей деформации вх, ву, вху справедливы соотношения Коши

du dv 1 (du dv

dx , £y dy, £xy 2 \ dy + dx У ’

(З.19)

где и, V — компоненты скорости перемещения.

Если исключить из соотношений (3.17) компоненты тензора скоростей деформаций и множитель Лагранжа Л, получим два уравнения

относительно компонент скорости перемещения и и V.

Уравнения относительно компонент скорости перемещения принадлежат к гиперболическому типу и их характеристики совпадают с характеристиками поля напряжений.

Вдоль характеристик имеют место соотношения Гейрингер

dua — ve dp — 0 вдоль а — линии (в — const),

Г

x

dv/з — = 0 вдоль в — линии (а = const).

При условии плоской деформации уравнения поля напряжений и поля скоростей пластических деформаций были получены и исследованы ранее для ортотропных сред Р. Хиллом [12] и в общем случае анизотропии Е.В. Маховером [10]. Соотношения обобщенной плоской задачи анизотропных сред получены Д.Д. Ивлевым [4-6].

4. Уравнения предельного состояния плоского сдвига

Уравнения предельного состояния плоского сдвига, приведенные здесь, во многом формально совпадают с аналогичными уравнениями теории идеальной пластичности идеально связных анизотропных сред в случае плоской деформации [1-3, 8, 10, 12].

На примере ортотропной идеально связной среды, подчиняющейся условию пластичности Мизеса-Хилла [12]

Р (оу — )2 + — ож)2 + Н (ож — °у )2 + — 1,

(4.1)

где Р, ..., N — пластические характеристики, покажем отличие теории предельного состояния при плоском чистом сдвиге от теории плоской деформации.

Закон пластического течения, ассоциированный с условием пластичности

(4.1), имеет вид

= Л[Н (°ж — ) + С(°г — °ж)]) %г — Л^°жу і

£y = Л[F (ay — az) + H (ay — ax)]J £zx = ЛМа,

zy

(4.2)

— Л[^(а2 — ах) + ^ (а2 — ау)]) вху — Л^аху.

Соотношения (4.2) удовлетворяют условию несжимаемости

вх + ву + — 0. (4.3)

Рассмотрим плоскую деформацию — в2х — ву2 — 0. Тогда из (4.2)

следует

С(а^ — ах) + ^ (а2 — ау) — 0.

Отсюда

az = : Т /y. (4.4)

Gox + Foy F + G

Подставляя выражение (4.4) в условие пластичности (4.1) и ассоциированный закон пластического течения (4.2), получим условие пластичности в случае плоской деформации

А(стж — Oy )2 + 2N^Xy = 1, (4-5)

= AA(°x — Oy), ^y = AA(°y — ^жу = AN°xy, (4-6)

где

A = (FG + GH + FH)/(F + G).

С помощью зависимостей (3.2) условию пластичности (4.5) можно придать вид

тmax = [2(2A cos2 2р + N sin2 2р)]-1/2. (4.7)

Рассмотрим плоский чистый сдвиг как задачу предельного состояния. При плоском чистом сдвиге

^ — (ах + ау )/2. (4.8)

Подставляя соотношение (4.8) в условие пластичности (4.1), получим условие предельного состояния при плоском чистом сдвиге

£(^х — ау )2 + 2^^ху — 1, аг — (ах + ау )/2, (4.9)

где

В — Я + (Р + С)/4.

В этом случае соотношения для компонент скоростей пластических деформаций принимают вид

£х — ЛВ(ах — Сту), £у — ЛВ(ау — ах), £ху — ЛЖаху. (4.10)

Используя зависимости (3.1), условию предельного состояния (4.9) придадим форму

Ттах — [2(2В сов2 2р + N 8т2 2р)]-1/2, аг — (ах + ау)/2. (4.11)

Введем безразмерные напряжения

Тх — а^л/^, Ту — аул/^, Тху — ахул/^. (4.12)

Условие пластичности (4.5) и условие предельного состояния (4.9) принимают вид

а(ах — ау )2 + 2паху — 1, (4.13)

и

Ь(ах — ау )2 + 2па^у — 1, аг — (ах + ау )/2, (4.14)

где

д + дН + Н 1 , . С Я N , ,

а — 1+ д , ь — Н +4(1+ д^ д — ^ Н — ^, п — ^. (4.15)

Условие пластичности при плоском деформировании (4.13) и первая составляющая условий предельного состояния при плоском чистом сдвиге (4.14) отличаются только коэффициентами а и Ь.

Условие пластичности Мизеса-Хилла (4.1) широко используется при расчете процессов обработки металлов давлением [1-3, 8, 13]. Известно, что листовые прокатные металлы в процессе прокатки приобретают пластическую анизотропию механических характеристик. В работах [1,

8, 13] представлены экспериментально определенные характеристики

пластической анизотропии стальных, алюминиевых и латунных листовых материалов. В таблице приведены экспериментальные данные некоторых листовых металлов.

Таблица 1

Экспериментальные данные листовых материалов

Материал 9 Н п а Ь

Сталь 08кп 1,625 2,122 3,16 2,741 2,778

12Х18Н9 0,988 0,759 3,886 1,256 1,256

10 (отожженная) 0,99 0,833 2,653 1,294 1,294

СтЗсп 0,932 1,062 3,07 1,497 1,497

11ЮА 1,25 1,25 4,5 1,805 1,813

Алюминиевый сплав АМцАМ 1,175 0,328 3,186 0,868 0,872

Амг2М 0,875 0,471 2,261 0,938 0,94

АмгбМ 0,901 0,653 2,566 1,127 1,128

Латунь Л63 1,14 0,759 2825 1,292 1,294

Из таблицы видно, что параметры анизотропии а и Ь практически совпадают.

Выводы

1. В основе построении теории плоской пластической деформации анизотропных сред лежат частные предположения о справедливости условия пластичности Треска или Мизеса, то есть плоская задача является разделом теории идеальной пластичности.

2. При построении теории предельного состояния анизотропных сред при плоском чистом сдвиге такое понятие как условие пластичности не используется, поскольку любые условия пластичности идеально связных анизотропных сред при условии их согласования с экспериментом на чистый сдвиг сводятся к единому условию максимального касательного напряжения при плоском чистом сдвиге.

Список литературы

1. Андрейченко В.А.., Яковлев С.П., Яковлев С.С. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант, 1997. 331 с

2. Арышенский Ю.М., Гречников Ф.В. Теория и расчеты пластического формоизменения анизотропных материалов. М.: Металлургия, 1990, 304 с.

3. Головлев В.Д. Расчет процессов листовой штамповки. М.: Машиностроение, 1974. 136 с.

4. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966, 234 с.

5. Ивлев Д.Д. Чем отличается теория идеальной пластичности от теории предельного состояния // Вестник Чувашского государственного педагогического университета. Сер.: механика предельного состояния. 2007. № 3. С. 3-10.

6. Предельное состояние деформированных тел и горных пород // Д.Д. Ивлев [и др.]. М.: Физматлит, 2008. 832 с.

7. Ивлев Д.Д., Ишлинский А.Ю. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит. 2001. 704 с.

8. Кухарь В.Д., Яковлев С.П. Штамповка анизотропных заготовок. М.: Машиностроение, 1986. 136 с.

9. Лоде В. Влияние среднего главного напряжения на текучесть металлов: сб. ст. // Теория пластичности. М.: Гост. изд. иностранной литературы, 1948. С. 168-205.

10. Маховер Е.В. Некоторые задачи теории идеальной пластичности анизотропных сред // ДАН СССР. 1948. Т. 28. № 2. С. 209-212.

11. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969. 605 с.

12. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М.: ГИТТЛ, 1956. 407 с.

13. Шевелев В.В., Яковлев С.П. Анизотропия материалов и ее влияние на вытяжку. М.: Машиностроение, 1972. 134 с.

Костиков Иван Евгениевич (01999@list.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.

Кузнецов Евгений Евгеньевич (smithe71@yandex.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра строительства, строительных материалов и конструкций, Тульский государственный университет.

Матченко Николай Михайлович (ekc_05@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.

About the equations of a limiting condition anisotropic it is ideal connected environments at flat simple shear

I.Y. Kostikov, Y.Y. Kuznetsov, N.M. Matchenko

Abstract. The limiting condition of anisotropic ideally coherent environment for a case when the parameter of a kind of intense condition Lode is equal to zero is considered. It is shown, that any conditions of plasticity of the anisotropic ideally coherent environments, agreed with experiment at flat simple shear , lead to the same condition of a limiting condition. Statement of a task of limiting flat simple shear is given.

Keywords: arrange the main stress, an intermediate main stress, flat simple shear, a limiting condition of flat simple shear.

Kostikov Ivan (01999@list.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.

Kuznetsov Yevgeniy (smithe71@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of building, building materials and designs, Tula State University.

Matchenko Nikolay (ekc_05@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mechanics plastic forming, Tula State University.

Поступила 10.04-2013