CC BY
14ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6
63
Для системы (8) вследствие соотношений (9) получаем, что стационарные точки имеют координаты x = ±p, y = 0, а период колебаний равен п/p. Это позволяет ввести периодическую дельта-функцию произвольного периода 9:
Se(f) = - lim -j==-—■
0 т >оо — г COS t
Работа выполнена при поддержке комплексных проектов 13.G36.31.002, 02.G25.31.0030 Министерства образования и науки РФ в рамках программы развития кооперации вузов и предприятий, утвержденной Постановлением Правительства РФ № 218 от 09.04.2010.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чаплыгин С.А. К теории движения неголономных систем, теорема о приводящем множителе // Матем. сб. 1911. 28, вып. 2. 303-314.
2. Буданов В.М., Девянин Е.А. О движении колесных роботов // Прикл. матем. и механ. 2003. 67, вып. 2. 244-255.
3. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.; Ижевск, 2002.
4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию 13.06.2012
УДК 539.3
ОБ УГЛЕ МЕЖДУ ДЕВИАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ В ТЕНЗОРНО-НЕЛИНЕЙНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Д. В. Георгиевский1
Выведено выражение для угла между симметричными девиаторами напряжений и скоростей деформаций в тензорно-нелинейной изотропной сплошной среде. Проанализирована зависимость указанного угла от определенного ориентационного параметра в трехмерном пространстве главных скоростей деформаций.
Ключевые слова: тензорная нелинейность, определяющее соотношение, материальная функция, изотропная среда, девиатор, напряжение, скорость деформации.
An expression for the angle between the symmetric stress deviator and the strain-rate deviator in a tensor nonlinear isotropic continuum is derived. A dependence of this angle on a certain orientation parameter in the three-dimensional principal strain-rate space is analyzed.
Key words: tensor nonlinearity, constitutive relation, material function, isotropic medium, deviator, stress, strain rate.
Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве тензорно-нелинейную изотропную функцию
S = A1v + A2(V2-^I22I), (1)
связывающую между собой в некоторой точке x £ R3 два симметричных девиатора второго ранга s(x) и v(x). Здесь / — единичный тензор второго ранга, A\(l2,/3) и A2(/2,/з) — неотрицательные скалярные функции квадратичного и кубического инвариантов [1] тензора v:
I\ = trv = 0, /2 = h = \/tr (V3) = det v. (2)
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ,
e-mail: [email protected].
64
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6
Изотропия тензор-функции (1) означает инвариантность относительно полной ортогональной группы в Е3, т.е. для любого преобразования с ортогональным тензором Q выполняется равенство
Q-1 • 1 (С) • Q = з^-1 • с • Q).
На основе теоремы Гамильтона-Кели рекуррентно показывается [2-5], что в Е3 все степени тензора второго ранга, начиная с третьей и выше, являются линейными комбинациями нулевой, первой и второй степени этого тензора2, причем скалярные коэффициенты во всех этих комбинациях зависят от инвариантов (2). Поэтому соотношение (1) можно считать достаточно общим представлением в Е3 тензорно-нелинейной, полиномиальной вблизи нуля, изотропной функции, связывающей два симметричных девиатора. В механике сплошной среды объектам у и в может быть придан физический смысл [6, 7] соответственно тензора скоростей деформаций в несжимаемом материале и девиатора тензора напряжений а = в — р/, где р = —1г а/3 — давление. Тогда связь (1) — тензорное определяющее соотношение (в литературе также употребляется синоним "векторное определяющее соотношение") некоторой нелинейной изотропной сплошной среды.
Функции А и А2 интенсивности /2 скоростей деформаций и кубического инварианта /3 называются материальными функциями [8] определяющих соотношений (1). Они определяют конкретную выбранную среду в классе (1) и могут быть найдены только из установочных экспериментов. Один из таких виртуальных экспериментов подробно описан в [9].
Наличие такого скалярного потенциала Ш(/г,/), что в = дШ/ду, налагает определенные ограничения на А1 и А 2 .В случае, когда в и у — девиаторы, такое необходимое и достаточное ограничение — условие потенциальности — одно:
дАг , дА2
12ж-1зж~ (3)
Заметим, что тензорная линейность, или квазилинейность [3], потенциальной среды, по определению означающая, что Аг = 0 в (1), эквивалентна независимости единственной материальной функции А1 от кубического инварианта.
С учетом (3) потенциал Ш с точностью до константы находится из совместной системы уравнений
дШ дШ г2 .
Ж = ^ Ж = ^ (4)
Тензорная линейность и нелинейность функции (1), очевидно, эквивалентны тому, совпадают или нет единичные безразмерные направляющие тензоры ¿о = ¿/Ц^Ц и г>о = ^/1М1) ГДе 1Ы1 = V(¿2), = ¡2, или, другими словами, соосны или нет девиаторы ¿и у. Остановимся ниже на отыскании угла р между ¿о и уо и на анализе его зависимости от вида деформированного состояния в рассматриваемой точке х.
Согласно определению, сов р = ¿о : Уо. На основании следующих из (1) и (2) вспомогательных формул
t™4 = - It Hill2 = A\l\ + 2AMI + - Api (5)
\lt \\sf = A\ll + 2AlA2ll + \ и алгебраических преобразований найдем sin2 р:
. 2 с2(/26 — 6/36) (с,
где с(/2,/3) = А2/А1.
Видно, что материальные свойства среды входят в выражение для р только через отношение с. Для любой функции с(/2, /3) можно подобрать пару материальных функций А1, А2, удовлетворяющих условию потенциальности (3), причем потенциалом Ш будет служить (см. (4)) интеграл уравнения первого порядка
/Т тЛт2 дШ г дШ
Выберем оси декартовых координат в точке х, совпадающие с главными направлениями тензора у в этой точке, и обозначим через Л одну из ненулевых главных скоростей деформаций (тривиальный
2 Заметим, что обратимость линейных комбинаций позволяет включить в базисную тройку и три любые другие степени данного тензора, на что нечасто обращается внимание в специальной и учебной литературе.
случай V = 0 в = 0, означающий, что деформации в точке х отсутствуют и тензор а шаровой, здесь опускается). Тогда два других главных значения V равны аА и -(1 + а)А, где а € (—те, те) — ориентационный параметр, а А играет роль масштабирующего параметра. Из (2) следует, что
= 2А2 (1 + а + а2), /| = -ЗА3 а(1 + а).
(7)
Исследуя на экстремумы функцию одного переменного (if/lfXa), можно показать, что: областью ее значений является отрезок [0; 1/6]; она равна нулю при amin;i = 0, amin;2 = —1 и стремится к нулю при а ^ ±те (формально amin;3 = ±те); она равна 1/6 при amax;1 = —2, amax;2 = —1/2, amax;3 = 1.
Тройка ориентаций (а^^ ,аmin;2 ,аmin;з) соответствует тому, что одно из главных значений А, аА, — (1 + а) А нулевое, а два других равны по модулю и противоположны по знаку.
Тройка ^max;i, ащах;2 , а,пах;з) соответствует случаю, когда два главных значения равны друг другу, а также половине третьего значения с противоположным знаком.
Из выражения (6) следует, что sin2 ^ обращается в нуль (т.е. тензоры s и v соосны), если c = 0 (тензорная линейность функции (1)) либо а принимает одно из значений а^^, i = 1, 2, 3 (вид функции c при этом не важен). Значит, деформированное состояние с главными скоростями деформаций вида (А, А, —2А) всегда вызывает соосное ему напряженное состояние (1) с коэффициентом пропорциональности |А|, — \/б А) — (л/б |Л|, — \/б А), который может быть и неположительным.
Далее для определенности остановимся на классе степенных тензорно-нелинейных изотропных функций, обладающих потенциалом, таких, что
Ai = aLY2L
Y2 т 73
A 2 =
аТз 72 + 2
г72+2 Г7з-3 Т2 Т3 ,
Y3
Т 2 Т2
72 + 2 Т33
= const > 0; y2 ^ —1, Y3 ^ 0. (8)
Отметим сразу, что значение 73 =0 соответствует тензорной линейности в (1). При этом если 72 = — 1, то имеем идеально жесткопластический материал с пределом текучести а; если 72 > —1 — ньютоновскую (72 = 0) либо неньютоновскую среду с вязкостью а. Подставляя материальные функции (8) в (5), получим
Isll = aL
-72+1 т- 73
2
3
'1 +
273
1
+ 7:
Y3
Y2 + 2 6V 72 + 2/ Т36'
2 Т 6 Т2
в частности (см. (7)) для любого А = 0
lim ||s|
{те, если 0 < y3 < 3; Уба/272+4/[2(72 + 2)], если 7з = 3; 0, если y3 > 3.
(9)
При этом /2 = \/2 |А|. Пределы (9) показывают, что помимо точки 73 = 0 физически достоверным является луч 73 ^ 3.
Подставляя далее с из (8) в (6), придем после упрощений к выражению
sin2
^26-6/36 il + ¡3ir
(10)
где в = 6(72 + 2)(72 + 2 + 27з)/72.
На основании приведенных после формулы (7) рассуждений о поведении функции (/|//|)(а) сделаем из (10) следующие выводы:
а) при а = атах;г, г = 1, 2, 3, девиаторы в и V соосны (это уже отмечалось ранее и для более общего, чем в (8), вида с(/2,/з));
б) при а = ат;п;г, г = 1,2,3, девиаторы в и V ортогональны друг другу для класса изотропных сплошных сред с определяющими соотношениям и (() и степенными материальными функциями (8);
в) остальные значения угла ^ между в и V заметаются при прохождении ориентационным параметром а интервалов монотонности функции (/|//|)(а).
Автор приносит благодарность И.Н. Молодцову за комментарии к работе и полезные замечания.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 12-01-00020а, 11—01—00181а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Spencer A.J.M. Continuum Physics. V. 1. Part III: Theory of invariants. N. Y.; L., 1971 (Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974).
2. Rivlin R.S., Ericksen J.L. Stress-deformation relations for isotropic materials //J. Ration. Mech. Anal. 1955. 4, N 2. 323-425.
3. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // Прикл. матем. и механ. 1963. 27, № 3. 393-417.
4. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.
5. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 1: Тензорный анализ. М.: Изд-во МГТУ, 2011.
6. Георгиевский Д.В. Тензорно-нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механ. 2002. 1, № 2. 150-176.
7. Георгиевский Д.В. Тензорно-нелинейные сдвиговые течения: материальные функции и диффузионно-вихревые решения // Нелинейная динамика. 2011. 7, № 3. 451-463.
8. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
9. Георгиевский Д.В., Мюллер В.Х., Абали Б.Э. Установочные эксперименты для нахождения материальных функций тензорно-нелинейных определяющих соотношений // Изв. РАН. Сер. физ. 2012. 76, № 12. 1534-1537.
Поступила в редакцию 18.01.2013
УДК 531.383
ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР С КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ ДЛЯ ОЦЕНКИ ДРЕЙФА ЛАЗЕРНЫХ ГИРОСКОПОВ
В. В. Тихомиров1
Описывается алгоритм цифрового фильтра с конечной памятью для оценки низкочастотной составляющей ошибки выходного сигнала лазерного гироскопа. На практике эту составляющую ошибки называют дрейфом, а ее медленные изменения — нестабильностью дрейфа. Особенностью предложенного алгоритма является большее подавление высокочастотных составляющих сигнала, чем в широко используемых фильтрах, основанных на вычислении среднего арифметического значения. Проведен сравнительный анализ частотных свойств этих фильтров.
Ключевые слова: дрейф лазерных гироскопов, случайная последовательность, полиномиальная аппроксимация, метод наименьших квадратов, цифровой фильтр с конечной памятью, функция веса, передаточная функция, частотная область.
A digital finite impulse response filter is described for estimating the low frequency laser gyro output signal. In practice, such components are called the drift and its variation is called the drift instability. A feature of the proposed algorithm is a stronger damping of high-frequency components compared to common filters based on the calculation of arithmetic mean. A comparative analysis of the frequency properties of these filters is discussed.
Key words: laser gyro drift, random sequence, polynomial approximation, least-squares method, digital finite-memory filter, weight function, transfer function, frequency domain.
Введение. В настоящее время в бескарданных инерциальных навигационных системах высокого класса точности широко используются лазерные гироскопы. Их особенностью, отличающей их от гироскопов предыдущего поколения — механических, является широкополосная случайная составляющая ошибки выходного сигнала, наличие которой приводит к ошибкам решения основных задач инерциаль-ных навигационных систем — начальной выставки и вычисления текущих навигационных параметров.
1 Тихомиров Владимир Викторович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
