CC BY
10ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6
59
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Постников А.Г. Введение в аналитическую теорию чисел. М.: Наука, 1971.
2. Dimitrov V.S., Jullien G.A., Miller W.C. An algorithm for modular exponentiation // Inform. Process. Lett. 1998. 66, N 3. 155-159.
3. Dimitrov V.S., Rowe E. W. Lower bounds on the lenghts of double base representations // Proc. Amer. Math. Soc. 2011. 159, N 10. 3423-3430.
4. Doche Ch., Imbert L. Extended double-base number system with application to elliptic curve cryptography // Proc. Conf. INDOCRYPT 2006. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. 335-348.
5. Burger E.B., Clyde D.C., Colbert C.H., Gea Hyun Shin, Zhaoning Wang. A generalization of a theorem of Lekkerkerker to Ostrowski's decomposition of natural numbers // Acta Arithmetica. 2012. 153, N 3. 217-249.
6. Чирский В.Г., Шакиров Р.Ф. О представлении натуральных чисел с использованием нескольких оснований // Чебышевский сб. 2013. № 1.
В статье рассматривается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Аналитически показано, что решения этой системы обладают свойством изохронности, что нехарактерно для нелинейных систем. Установлено, что в пределе при возрастании амплитуды решение представляет собой периодическую дельта-функцию.
Ключевые слова: нелинейная система, изохронные колебания.
A system of nonlinear ordinal differential equations of second order is considered. It is shown analytically that the solutions of this system are isochronous, which is not characteristic for nonlinear systems. It is also shown that the periodic delta-function is a limiting case for the solution if the amplitude tends to infinity.
Key words: nonlinear system, isochronous oscillations.
Введение. Нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений представляют несомненный практический и теоретический интерес, поскольку многие физические объекты только при определенных ограничениях могут описываться системами линейных уравнений. Элементарным примером является уравнение физического маятника X + sin x = 0.
В линеаризованном варианте получается уравнение гармонического осциллятора, решение которого записывается в элементарных функциях, период колебаний не зависит от амплитуды, относительно просто анализируются вынужденные колебания. Для уравнения физического маятника ситуация резко меняется: решение в элементарных функциях не записывается, период колебаний зависит от амплитуды, появляется дополнительный тип движения — ротация, в случае вынужденных колебаний (задача Дуффинга) возникают скачкообразные изменения амплитуды при плавном изменении параметров возмущающего воздействия.
Эта ситуация характерна для нелинейных систем. Даже в простых системах могут возникать сложные движения, вплоть до хаотических (аттрактор Лоренца).
В настоящей статье рассматривается следующая система:
Поступила в редакцию 27.02.2013
УДК 514.85
ОБ одной изохроннои нелинейной системе
В.М. Буданов
1
U + 2 uv = 0, V - и2 + v2 + 1 = 0.
(1)
1 Буданов Владимир Михайлович — канд. физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. лаб. общей механики НИИ механики МГУ,
e-mail: vlbudanov@gmail.com.
60
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6
Эта система очевидно относится к классу нелинейных систем и вместе с тем, как будет показано, обладает свойством изохронности — независимости частоты свободных колебаний от их амплитуды. Подобные системы возникают, в частности, при изучении неголономных систем [1, 2]. В монографии [3] подробно исследуются бифуркации сложных особых точек, система (1) выписывается с точностью до обозначений (гл. 7), отмечается наличие у нее периодических решений. В книге [4] данная система упоминается как вспомогательная при качественном анализе более сложной системы второго порядка, приводится ее фазовый портрет. Какие-либо аналитические оценки для решений системы (1) как функций времени в [3, 4] отсутствуют.
Особые точки и первые интегралы. Стационарные точки системы (1) определяются системой алгебраических уравнений
= 0,
-и2 + V2 + 1 = 0,
которая имеет два действительных решения и = ±1, V = 0.
Уравнения малых колебаний около стационарной точки, например и = 1, V = 0, получаем заменой и =1+ V = п, С ^ 1, П ^ 1, с удержанием членов первого порядка малости:
£ + 2п = 0, П - 2£ = 0.
(2)
Таким образом, уравнения малых колебаний — это уравнения гармонического осциллятора с частотой и = 2 и периодом колебаний T = п.
Теперь проведем анализ конечных колебаний в системе (1). Заметим, что она имеет первый интеграл [4, с. 233]
J = (u - d)2 + v2 - d2 + 1 = 0. (3)
Действительно, производная этого уравнения в силу системы (1) есть
J' = -4uv(u - d) + 2v(u2 - v2 - 1) = -2vJ = 0.
Для правой полуплоскости уравнение J =0 задает окружность при каждом неотрицательном значении параметра d, превосходящем единицу; эти окружности являются фазовыми траекториями и заполняют всю правую полуплоскость u > 0. Параметр d задает смещение центра окружности вдоль оси и, а ее радиус есть г = \/сР — 1. Для левой полуплоскости получается симметричная картина. Ось v соответствует окружностям бесконечного радиуса. Общий вид фазового портрета приведен на рис. 1.
В дальнейшем ограничимся рассмотрением решений в правой полуплоскости.
Явный вид решения. Поскольку фазовыми траекториями являются окружности (3), то они могут быть представлены как функции одной переменной — угла а (рис. 2):
u = d + r cos а, v = r sin а, d2 = r2 + 1. (4)
Рис. 1
Подставив (4) в первое уравнение (1), получим
-га sin а + 2(d + r cos а)г sin а = 0. Поскольку последнее равенство должно выполняться при всех значениях а, приходим к уравнению
а = 2(d + r cos а). (5)
Это уравнение с разделяющимися переменными, которое интегрируется с помощью замены у = t.g^:
f da f
_= f 2 dy
d + r cos a J d + r + (d — r)y2
dr = 2arctg\/ —y.
Полагая, что а уравнения (5):
откуда
= 0 при t = 0, получаем следующее решение
. / d — r а \ arctgU/^tg^í,
а = 2 arctg (t,g '
или с учетом третьего соотношения (4)
а = 2 arctg ((d + r) tg t).
(6)
Нетрудно заметить, что особенности этого решения в точках t = n/2 + kn, k G Z, являются устранимыми. Если положить а(п/2 + kn) = п + 2kn, то получаем непрерывное решение, которое может быть представлено в виде комбинации линейной и периодической функций:
a(t) = 2t + <p(t), f(t + kn) = <p(t).
Графики этой функции приведены на рис. 3: при положительных конечных значениях r — кривая 1, при r ^ 0 — кривая 2 (линейная функция), при r — кривая 3 (ступенчатая функция со скачками величиной 2п в точках t = kn, k G Z). Поскольку решение (6) является нечетным, то функция <^(t) также нечетна и может быть представлена в виде ряда
те 1
сp(t) = ^ — Cfc sin 2kt. k=l
Рис. 2
Рис. 3
Выясним явный вид коэффициентов е^. Обозначим 0 = 2£. Для коэффициентов, применяя интегрирование по частям и учитывая, что <р(к = 0, получаем
п п п
Ск = ~ I V (0 ё[пк9(1'е = I ! Ч>' (0 сов кем = ^ ! (о! - сов ком.
Поскольку в силу (6)
то
c 1
1
or. _, =__=_
2 ) d- г + (d +г) t,g2 § d —г cos 0'
п п
1 cos 0 dC_ 1 í d ir d — r eos 0 irr \d — r eos 0
- 1 ) dO = -{d- 1).
Далее, используя соотношение cos k0 = 2cos(k — 1)0 cos 0 — cos(k — 2)0, нетрудно показать, что
C2 = 2
d1
2
d
и ck = 2- ck-1 - Cfc_ 2 = 2
d1
k
Г I Г V Г
Таким образом, решение (6) уравнения (5) может быть записано в виде ряда
a(t) = 2t + X;-
~ 2 /d- ^ k
k= 1
sin 2kt.
п
п
п
п
—п
Этот ряд является сходящимся для любых конечных d, r, связанных третьим соотношением (4), поскольку d — 1 г ^
r d +1
Явный вид решения в исходных переменных. Заметим, что sin а и cos а могут быть выражены через тангенс половинного угла с использованием представления (6):
sin а
2(d + r) tgt
2tgt
sin 2t
1 + (d + r)2 tg2t d - r + (d + r)tg2t d - r cos2t'
cos а =
1 - {d + r)2 t,g2 i d - r - (d + r) t,g21 dcos 21 - r 1 + (d + r)2 tg2t d — r + (d + r)tg2t d — r cos2t' Подставляя эти выражения в (4), получаем решение в исходных переменных u, v:
1
u
d — r cos 2t
Рис. 4
Отметим также, что следующая система:
= г sin 2t d — r cos 2t'
Это решение, а также решение (6) для угла а представлены на рис. 4. Решение (7) есть частное решение системы (1), которое, как и (6), получено в предположении, что а = 0 при t = 0 и соответственно uo > 1, vo =0. Общее решение находится с помощью замены t ^ t + ао в уравнениях (7), при этом d определяется из интеграла (3), а ао — в соответствии с рис. 2. При r ^ 0 решение (7) дает малые гармонические колебания u ^ 1 + r cos 2t, v ^ r sin 2t, что соответствует уравнениям малых колебаний (2). Из (7) нетрудно вычислить максимальное значение vmax = r, для u при r ^ то верна оценка umax ^ 2r, что полностью соответствует рис. 2.
х' + 2ху = 0, у' - х2 + у2 + р2 = 0,
где штрихом обозначены производные по времени т, заменой переменных
х = ри, у = рт, £ = рт
(8)
(9)
приводится к системе (1).
Отметим три интересных свойства решения (7).
Свойство А. Период решения (7) не зависит от амплитуды колебаний и равен п, что очевидно из выписанного решения и согласуется с параметрами линеаризованной системы (2). Как отмечалось во введении, изохронность колебаний несвойственна нелинейным системам и является особенностью системы (1).
Свойство Б. Среднее значение функции и за период равно единице. В соответствии с (4), (5) заключаем, что а = 2и, поэтому udt = п и среднее значение равно единице.
Свойство В. Имея дополнительно в виду, что и(кп) ^ то при г ^ то, получаем аналогию с ¿-функцией Дирака с тем отличием, что последняя бесконечна в единственной точке. В связи с этим можно ввести следующее определение.
Определение. Периодическая дельта-функция 5Ж(¿) есть предел решения и(£) при г ^ то:
5ir(t) = — lim
1
7Г г^оо д/1 + г2 _ r cos 2t
Для произвольной ограниченной функции f (t) интеграл J^ f (т(т) dr — это ступенчатая функция, изменяющаяся в точках kn на величины f (kn).
Для системы (8) вследствие соотношений (9) получаем, что стационарные точки имеют координаты x = ±p, y = 0, а период колебаний равен п/p. Это позволяет ввести периодическую дельта-функцию произвольного периода 0:
Se(f) = - lim -j==-—■
0 т >оо — г COS t
Работа выполнена при поддержке комплексных проектов 13.G36.31.002, 02.G25.31.0030 Министерства образования и науки РФ в рамках программы развития кооперации вузов и предприятий, утвержденной Постановлением Правительства РФ № 218 от 09.04.2010.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Чаплыгин С.А. К теории движения неголономных систем, теорема о приводящем множителе // Матем. сб. 1911. 28, вып. 2. 303-314.
2. Буданов В.М., Девянин Е.А. О движении колесных роботов // Прикл. матем. и механ. 2003. 67, вып. 2. 244-255.
3. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. М.; Ижевск, 2002.
4. Андронов А.А., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.
Поступила в редакцию 13.06.2012
УДК 539.3
ОБ УГЛЕ МЕЖДУ ДЕВИАТОРАМИ НАПРЯЖЕНИЙ И СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИЙ В ТЕНЗОРНО-НЕЛИНЕЙНОЙ ИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
Д. В. Георгиевский1
Выведено выражение для угла между симметричными девиаторами напряжений и скоростей деформаций в тензорно-нелинейной изотропной сплошной среде. Проанализирована зависимость указанного угла от определенного ориентационного параметра в трехмерном пространстве главных скоростей деформаций.
Ключевые слова: тензорная нелинейность, определяющее соотношение, материальная функция, изотропная среда, девиатор, напряжение, скорость деформации.
An expression for the angle between the symmetric stress deviator and the strain-rate deviator in a tensor nonlinear isotropic continuum is derived. A dependence of this angle on a certain orientation parameter in the three-dimensional principal strain-rate space is analyzed.
Key words: tensor nonlinearity, constitutive relation, material function, isotropic medium, deviator, stress, strain rate.
Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве тензорно-нелинейную изотропную функцию
S = A1v + A2(V2-^I22I), (1)
связывающую между собой в некоторой точке x £ R3 два симметричных девиатора второго ранга s(x) и v(x). Здесь / — единичный тензор второго ранга, Ai(/2,/3) и A2(/2,/з) — неотрицательные скалярные функции квадратичного и кубического инвариантов [1] тензора v:
h = trv = 0, h = h = \/tr (v3) = ^3 det v. (2)
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ,
e-mail: georgiev@mech.math.msu.su.
