CC BY
12СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Spencer A.J.M. Continuum Physics. V. 1. Part III: Theory of invariants. N. Y.; L., 1971 (Спенсер Э. Теория инвариантов. М.: Мир, 1974).
2. Rivlin R.S., Ericksen J.L. Stress-deformation relations for isotropic materials //J. Ration. Mech. Anal. 1955. 4, N 2. 323-425.
3. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов // Прикл. матем. и механ. 1963. 27, № 3. 393-417.
4. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.
5. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды. Т. 1: Тензорный анализ. М.: Изд-во МГТУ, 2011.
6. Георгиевский Д.В. Тензорно-нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механ. 2002. 1, № 2. 150-176.
7. Георгиевский Д.В. Тензорно-нелинейные сдвиговые течения: материальные функции и диффузионно-вихревые решения // Нелинейная динамика. 2011. 7, № 3. 451-463.
8. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
9. Георгиевский Д.В., Мюллер В.Х., Абали Б.Э. Установочные эксперименты для нахождения материальных функций тензорно-нелинейных определяющих соотношений // Изв. РАН. Сер. физ. 2012. 76, № 12. 1534-1537.
Поступила в редакцию 18.01.2013
УДК 531.383
ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТР С КОНЕЧНОЙ ПАМЯТЬЮ ДЛЯ ОЦЕНКИ ДРЕЙФА ЛАЗЕРНЫХ ГИРОСКОПОВ
В. В. Тихомиров1
Описывается алгоритм цифрового фильтра с конечной памятью для оценки низкочастотной составляющей ошибки выходного сигнала лазерного гироскопа. На практике эту составляющую ошибки называют дрейфом, а ее медленные изменения — нестабильностью дрейфа. Особенностью предложенного алгоритма является большее подавление высокочастотных составляющих сигнала, чем в широко используемых фильтрах, основанных на вычислении среднего арифметического значения. Проведен сравнительный анализ частотных свойств этих фильтров.
Ключевые слова: дрейф лазерных гироскопов, случайная последовательность, полиномиальная аппроксимация, метод наименьших квадратов, цифровой фильтр с конечной памятью, функция веса, передаточная функция, частотная область.
A digital finite impulse response filter is described for estimating the low frequency laser gyro output signal. In practice, such components are called the drift and its variation is called the drift instability. A feature of the proposed algorithm is a stronger damping of high-frequency components compared to common filters based on the calculation of arithmetic mean. A comparative analysis of the frequency properties of these filters is discussed.
Key words: laser gyro drift, random sequence, polynomial approximation, least-squares method, digital finite-memory filter, weight function, transfer function, frequency domain.
Введение. В настоящее время в бескарданных инерциальных навигационных системах высокого класса точности широко используются лазерные гироскопы. Их особенностью, отличающей их от гироскопов предыдущего поколения — механических, является широкополосная случайная составляющая ошибки выходного сигнала, наличие которой приводит к ошибкам решения основных задач инерциаль-ных навигационных систем — начальной выставки и вычисления текущих навигационных параметров.
1 Тихомиров Владимир Викторович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tmrv45@mail.ru.
На практике низкочастотные составляющие ошибки называют дрейфом, а их медленное изменение — нестабильностью дрейфа. Анализ и контроль стабильности дрейфа осуществляются как в процессе заводской подготовки гироскопов, так и при эксплуатации систем с лазерными гироскопами. Для анализа низкочастотных составляющих ошибки широко применяется вычисление среднего арифметического значения сигнала на заданном временном интервале, величина которого определяется из условия заданной полосы пропускания фильтра [1]. Распространенным методом анализа частотных свойств ошибок инерци-альных датчиков, в том числе лазерных гироскопов, является так называемый метод вариаций Аллана [2], в котором для разных характерных временных интервалов определяются интенсивности составляющих ошибки, при этом используется вычисление среднего арифметического значения. В настоящей работе для выделения низкочастотных составляющих выходного сигнала лазерного гироскопа предлагаются фильтры, основанные на полиномиальной аппроксимации данных. Проводится сравнение частотных свойств указанного фильтра и фильтра, вычисляющего среднее арифметическое значение. Описанный цифровой фильтр используется на предприятии, разрабатывающем и изготавливающем бескарданные инерциаль-ные навигационные системы с лазерными гироскопами.
Постановка задачи. Пусть известен набор дискретных значений выходного сигнала лазерного гироскопа ук = у(Ьк), к = 0,1,...,М, где ук — случайная последовательность, — моменты времени, ¿'+1 ~ ¿к = Д£ — постоянная величина. Предполагается, что после вычитания среднего значения набор данных представляет собой стационарную случайную последовательность ошибок гироскопа с широкополосным спектром. Необходимо построить нерекуррентный фильтр (фильтр с конечной памятью) для оценки низкочастотной составляющей сигнала — дрейфа гироскопа. К фильтру предъявляется следующее требование: ошибка оценки постоянной величины на низких частотах должна быть "малой"; пропущенные фильтром высокочастотные составляющие должны приводить к меньшей ошибке, чем при оценке среднего арифметического значения. Для решения задачи предлагается фильтр, алгоритм которого состоит из однократного или двукратного интегрирования сигнала и из оценки первой или второй производной при полиномиальной аппроксимации проинтегрированного сигнала. В работе приводятся выражения для функций веса и передаточных функций соответствующих фильтров и выполняется сравнение частотных свойств предложенных фильтров и фильтров среднего арифметического.
Алгоритм фильтра с конечной памятью на основе полиномиальной аппроксимации данных. Как и фильтр вычисления среднего арифметического значения сигнала на заданном конечном интервале времени при непрерывном входном сигнале, предлагаемый фильтр строит оценку низкочастотной составляющей сигнала в некоторой текущей точке оценивания. Обработка сигнала проводится следующим образом. Сначала входной сигнал в непрерывном случае интегрируется один или два раза и затем строится оценка на заданном интервале времени первой или второй производной соответственно. В случае дискретного выходного сигнала сначала проводится однократное или двукратное суммирование данных, затем полиномиальная аппроксимация с оценкой соответственно первой или второй производной аппроксимирующего полинома. Аналитические выражения передаточных функций для таких полиномиальных фильтров оценки производных представлены в [3]. Оценка производных строится при помощи полиномиальной аппроксимации данных и вычисления коэффициентов аппроксимации, что соответствует применению фильтра Савицкого-Голая [4]. В результате проводится оценка постоянной составляющей сигнала, аналогичная оценке метода среднего арифметического значения, однако с лучшей фильтрацией высоких частот. Для дискретного сигнала интегрирование заменяется построением однократной или двукратной суммы и также оценкой соответствующих производных при полиномиальной аппроксимации.
Алгоритмы оценивания. Рассмотрим случай дискретного набора данных для оценки дрейфа гироскопа, широко распространенный в приложениях. Пусть имеется некоторый набор измерений у1 = у (¿г), I = — т, —т + 1,.. .,т. Общее число точек измерения составляет N = 2т + 1 при длине интервала измерения Т = NД£. Обозначим через х' величины, полученные при однократном суммировании выходного сигнала гироскопа, а через х'к при двукратном суммировании:
Хг+1 = х + уг+I = -т - 1,...,т - 1, х'_т_1 = 0; (1)
х1'+1 = Х1' + 21+1 Д*, (2)
где 2г+1 = 2г + уг+1Д£, I = -т - 1,...,т - 1, 2_т_1 = х-т_1 = 0.
Для получения формул в общем случае однократного или двукратного суммирования введем переменную хк, которая будет обозначать х' из (1) при рассмотрении однократной суммы либо х' из (2) при рассмотрении двукратной суммы. Аппроксимируем дискретные данные х', к = — т, ...,т, полиномом
68
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2013. №6
второй степени по методу наименьших квадратов, минимизируя функционал вида
1 т 12 ^ (хк-а- bkAt - - ck2At2^j .
J = -
2 ^ 2
к=-т
В качестве оценки постоянной составляющей исходного сигнала ук в средней точке интервала оценивания (при к = 0) примем коэффициент Ь аппроксимирующей функции при рассмотрении однократной суммы или коэффициент с при рассмотрении двукратной суммы. Считаем в дальнейшем, что = 1. Обозначим оценку коэффициента Ь через Ь , а коэффициента с через с . Эти оценки получаются при решении системы нормальных уравнений, имеющей в данном случае вид
т т т
«о а + «2с = хк, «2 Ь = кхк, «2 а + 84с = ^ к2Хк, (3)
к=-т к=-т к=-т
где во = 2т + 1, «2 = Т^=-т к2, «4 = Т^=-т к4/4.
Во временной области фильтры для оценок Ь, с задаются функциями веса (весовыми последовательностями [1]), которые обозначим через fj(к), ] = Ь, с:
т
b = Y1 fb{k)yk, с = fc{k)yk.
к=-т k=-m
Функции веса имеют вид
fb(k) = 77— (т + к)(т - к + 1), fc(k) =(т - к + 1) + (к(к + 1)(2к + 1) - m(m + l)(2m + 1)), 2s2 D 6D
где D — определитель подсистемы уравнений, включающих а и с, в системе (3):
D = S0S4 — S2S2 = --— т(т + 1)(2т + 1)2(4т2 + 4т — 3). 45
Частотные свойства фильтра. Рассматривая дрейф ЛГ как стационарный случайный процесс, получаем, что на выходе фильтра с конечной памятью имеем случайную величину, характеризующую медленную составляющую дрейфа в некотором диапазоне частот, определяемом интервалом осреднения T. Для оценки полосы пропускания фильтра введем представление фильтра в частотной области, обозначив через u круговую частоту.
Передаточная функция фильтра равна произведению передаточных функций фильтра вычисления суммы hx(u) и фильтра оценки первой производной hb(u) при полиномиальной аппроксимации или второй производной hc(uj). Аналитические выражения этих передаточных функций следующие [3] (i = д/—1):
3i m sin(m + 1)u — (m + 1) sin mu
Пъ(ш) =
hc (u) =
m(m + 1)(2m + 1) 2sin2(u/2)
(2m + 1)(m - 2m2) sin((2m + 1)u/2) (2m + 1)
sin u sin mu
2m eos mu--
1 — cos u
3D sin u/2 2D sin2 (u/2)
Передаточная функция hx' (u) для уравнения (1) имеет вид [1]
MW) = 2i sin(u/2)'
Передаточная функция фильтра однократного суммирования и оценки первой производной равна произведению соответствующих функций: H¿(u) = hx'(u)h¿(u).
Передаточная функция фильтра двукратного суммирования и оценки второй производной соответственно равна Hc(u) = hX' (u)hc(u).
0,06
Графики квадратов модуля передаточных функций
На рисунке представлены графики квадратов абсолютных величин передаточных функций H^(w) (штрихпунктир) и Hc(u) (пунктир) и для сравнения абсолютная величина квадрата передаточной функции среднего арифметического (сплошная кривая) при одинаковой ширине полосы пропускания всех фильтров. В полосе пропускания низких частот графики практически совпадают. Видно, что пропускание высоких частот фильтра однократного суммирования значительно меньше, чем для среднего арифметического, а для двукратного суммирования еще на порядок меньше. Численная оценка ошибки из-за пропускания высоких частот при постоянной входной спектральной плотности сигнала фильтра однократного суммирования приблизительно в 50 раз меньше, чем у фильтра среднего арифметического, а при двукратном суммировании более чем в 500 раз меньше. Это свойство особенно полезно при оценке низкочастотных составляющих спектра входного сигнала, растущего по величине с увеличением частоты, что имеет место у лазерных гироскопов.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 11-08-00004.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Сов. радио, 1980.
2. Ng L.C. On the Application of Allan Varience Method for Ring Laser Gyro Performance Characterization. Technical Report UCRL-ID-115695, Lawrence Livermore National Laboratory. Livermore, 1993.
3. Тихомиров В.В. Цифровые фильтры с конечной памятью, основанные на полиномиальной аппроксимации данных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 2. 62-65.
4. Savitzky A., Golay M.J.E. Smoothing and differentiation of data by simplified least squares procedures // Anal. Chem. 1964. 36, N 8. 1627-1639.
Поступила в редакцию 08.08.2012
