Оценка случайного дрейфа лазерных гироскопов при помощи фильтров, основанных на уравнениях ошибок инерциальных навигационных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 629.7.05

ОЦЕНКА СЛУЧАЙНОГО ДРЕЙФА ЛАЗЕРНЫХ ГИРОСКОПОВ ПРИ ПОМОЩИ ФИЛЬТРОВ, ОСНОВАННЫХ НА УРАВНЕНИЯХ ОШИБОК ИНЕРЦИАЛЬНЫХ НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ

Д. В. Стафеев1, В. В. Тихомиров2

Для оценки случайной составляющей погрешностей лазерных гироскопов предлагается использовать алгоритм, основанный на уравнениях ошибок инерциальных навигационных систем. Оценка проводится как по навигационным параметрам инерциальной системы, так и по выходным данным лазерных гироскопов. Во втором случае алгоритм является фильтром низких частот. Его частотный анализ сравнивается с другими фильтрами.

Ключевые слова: лазерный гироскоп, оценка дрейфа, низкочастотные фильтры, уравнения ошибок.

An algorithm based on the error equations of inertial navigation systems is proposed to estimate the random components of errors for laser gyroscopes. The estimation is performed using the navigation parameters of an inertial system or using the output data from laser gyroscopes. In the second case, the proposed algorithm is a low-pass filter. Its frequency analysis is compared with other filters.

Key words: laser gyroscope, drift estimation, law-pass filters, error equations.

В настоящее время в бескарданных инерциальных навигационных системах в качестве датчиков угловой скорости широко применяются лазерные гироскопы, как, например, в авиационных системах высокой точности. Особенностью этих датчиков является присутствие в выходных данных широкополосной случайной составляющей погрешностей. Наличие низкочастотных случайных составляющих приводит к погрешностям решения навигационной задачи и задачи выставки. Для низкочастотной случайной составляющей погрешностей лазерных гироскопов иногда используют термин "нестабильность дрейфа". На практике для ее оценки применяют низкочастотные фильтры с конечной импульсной характеристикой. В качестве таких фильтров при оценке точностных характеристик гироскопов широко используются оценки среднего арифметического значения, важной особенностью которых является недостаточная фильтрация высокочастотной составляющей сигнала. Это приводит к погрешностям, особенно при увеличении интенсивности сигнала с ростом частоты [1], что имеет место в лазерных гироскопах [2].

В настоящей работе предлагаются фильтры с конечной импульсной характеристикой для оценки случайного дрейфа, основанные на полных и декомпозированных уравнениях ошибок инерциальных навигационных систем [3]. Под случайным дрейфом понимается низкочастотная случайная составляющая погрешностей лазерных гироскопов. Считается, что на заданном интервале времени оценка случайного дрейфа является постоянной величиной. Оценка проводится с помощью линейных преобразований по уравнениям ошибок как непосредственно по выходным данным лазерных гироскопов, так и по навигационным параметрам, полученным при работе бескарданной инерциальной навигационной системы в режиме навигации на неподвижном основании.

1. Оценка случайного дрейфа по выходным данным инерциальной навигационной системы. В экспериментах, проводимых для оценки случайного дрейфа, рассматривается двухком-понентная инерциальная навигационная система (ИНС) с горизонтируемым приборным трехгранником, относительно свободным в азимуте [4]. В этом случае уравнения ошибок имеют вид

Ay 1 = 5\1, Ау2 = $V2, 5V\ = 2и3 6V2 - да2, 6V2 = -2и3 5V\ + gai,

, д A2/1 , . SVi Ay2

ai =---h u3a2 - u2pз - u3--h vz\, ol2 =--u3ai + иф3 - u3--h vz2,

a a a a

(1)

• ( A y2\ ( А уЛ

Рз = -u2( ai + —1 U\ I (x2--—J + vz3,

1 Стафеев Данил Владиславович — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: danstafQyandex.ru.

2 Тихомиров Владимир Викторович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: tmrv45Qmail.ru.

где Ау 1, Ау2 — полные ошибки счисления координат; 5\5\2 — динамические ошибки определения горизонтальных составляющих относительной скорости У\, а\, а: 2 — угловые ошибки построения приборной вертикали; /?з — азимутальная кинематическая угловая ошибка ориентации приборного трехгранника; иХ2, ь'хз — инструментальные погрешности гироскопов; ср — широта; а = 6 378 245 м — большая полуось модели эллипсоида Земли; д = 9,814 м/с2 — ускорение свободного падения; и\ = 0, 11,2 = и созср, из = II вт^ — восточная, северная и вертикальная составляющие угловой скорости вращения Земли; II = 7,292115 • Ю-5 рад/с. Уравнения получены в предположении, что инерциальная система неподвижна и предварительно откалибрована.

В режиме навигации в дискретные моменты времени ¿д. = кАТ, к = 1,... (где АТ — шаг дискретизации), известными величинами являются модельные значения координат уу2, относительных скоростей У\, и азимутального угла в. При неподвижной системе координаты и азимутальный угол постоянны, а относительные скорости равны нулю, поэтому величины ошибок в моменты времени считаются измерениями г = (Дуь Дуг, ^^ъ /?з)-

Задача заключается в построении оценок случайного дрейфа щ, И2, ^з в моменты времени Случайный дрейф считается постоянным на интервале оценивания ... ^к-\-гт поэтому вводится формирующее уравнение г> = 0. Объединяя уравнения ошибок и формирующие уравнения, получим систему линейных однородных уравнений вида х = Ах с вектором состояния х = (Ду1, Ау2,5У1,5У2, а\, ск2, /?з, ^ъ ^з)Т и матрицей А вида

А =

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0\

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 2и3 0 -9 0 0 0 0

0 0 -2и3 0 9 0 0 0 0 0

а 0 0 _ 1 а 0 из —«2 1 0 0

0 из а 1 а 0 -из 0 щ 0 1 0

«1 а «2 а 0 0 щ —щ 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0/

Для произвольного момента времени запишем рекуррентные соотношения, используя дискретные уравнения х{Ък+1) = Фх(Ьк), где Ф = Е + ААТ — переходная матрица системы, х(Ьк) и х{Ък+1) — значения вектора состояния в моменты измерений и Ьк+г-

'ж(^) =х(гк),

=Ф2х(Ьк), .х(гк+т) = ф тх(гк).

На основании этих соотношений составим переопределенную систему уравнений 7 = НХ + г, в

которой X = х(1к) , % = (-г(^),..., г(1к4-т))Т, г — вектор невязки системы, 10x1 5(т+1)х1

я

5(т+1)х10

( \ \рт)

5x10

(Ф\ ! Ф\ 2 Ф\ з Ф14 5 6 7 8 9 ю\ $2 1 Ф2 2 Ф2 3 Ф2 4 Ф2 5 Ф2 6 Ф2 7 Ф2 8 Ф2 9 Ф2 10 Фз 1 Ф3 2 Ф3 3 Ф3 4 Ф3 5 Ф3 6 Ф3 7 Ф3 8 Ф3 9 Ф3 10 Ф41 Ф42 Ф43 Ф44 Ф45 Ф46 Ф47 Ф48 Ф49 Ф4 10

г = 0,. .

, т.

\Ф71 $7 2 $7 3 $74 $7 5 $7 6 $7 7 $7 8 $79 $7ю/

Переопределенная система 7, = ИХ + г решается методом наименьших квадратов

= \\г- нх = (г- нх)Т (г - нх)

тт.

Для исключения плохой обусловленности матрицы НТН при решении применяется сингулярное разложение [5, 6]:

Я = 11БУТ,

и~1 = ит,

V-1 = Vх,

5 = С^(<71, . . . ,(7ю) •

Обозначим р = rank (S) ^ 10, тогда решение переопределенной системы можно записать в виде

. 0

^8 1 ••• Vsp V91 ... Vgp 4VlO 1 ••• Vio p

3 xp

... (T,

pXp

-1

5(m+l)/

z .

5(m+l)xl

px5(m+l)

Произведение матриц является весовой функцией фильтра:

h

3x5(m+l)

Via 1 ••• Vio p

0

0 ...a,

-1

ilJT IJT

U11 1 5(m+l)

TJT TJT I

\UP 1 ••• Upb(m+1) J

2. Алгоритм обработки выходных данных лазерных гироскопов. Предложим алгоритм оценки постоянной составляющей случайного дрейфа на конечном интервале времени по первичным данным лазерного гироскопа. Этот нерекурсивный фильтр строится как последовательное применение двух линейных преобразований [7]: Ь\ преобразует данные лазерного гироскопа в навигационные параметры, а Ь2 оценивает постоянную составляющую дрейфа по описанному в п. 1 алгоритму. Преобразование Ь\ выражается через дискретную схему решения уравнений ошибок инерциальных навигационных систем [4] методом Эйлера на временном шаге АТ (будем считать, что АТ = 1). Преобразуем данные гироскопа в навигационные параметры, составляющие вектор измерений 2 в п. 1, используя дискретную схему, соответствующую уравнениям ошибок, в виде

у (и+1) = Ф'у (и) + г/ (ti)

где у (и) = (Ауг (и), Ау2 (и), 5У1 (и), 5У2 (и), ац (и), а2 (и), /З3 (и)) , Ф' — переходная матрица системы (1), V (и) = (0, 0, 0, 0,1У\ (¿¿), и2 (и), г/3 (¿¿))Т. Тогда на конечном интервале времени ..., получим

'у (Ьк) =у{Ьк),

У (4+0 = Ф'у (4) + V (4),

У$к+2) = Ф'У (4+0+^(4+1), (2)

, У (¿к+т) = Ф'У (¿к+т-1

Введем вектор рк+г = (УТ ) > ) (¿й+г))Т размерности 10, в котором первые 7

/о о 4

= 4x7

10 I 0 Е3/

координат постоянны, и матрицы = (0 ), К

7x10 V <х-у 7x1

формулу (2) следующим образом:

(у^к) =ОРк,

\ У (4+г) = Ф'ЯРк+г-1 + ЯРк+г-1 = (Ф'<5 + Я) Рк+г-1 Выпишем уравнения для каждого шага конечного интервала:

/ Я \ I 0 \

Представим рекуррентную

Ук =

( y(tk) \ yitk+1, У (tk+2]

\у (tk+m)J

Q

Ф 'Q + R Ф/2д + Ф'П

\ф'тЯ + Ф'т~1п)

Рк +

о о

R

\Ф lm~2Rj

Pk+i +■■■+

г = 1,..., т.

/0\

о о

Рк+т-1-

\RJ

Таким образом, составной вектор У& = (уТ ,... ,ут (¿А;+т))Т всех координат при конечном

т / \

числе преобразований т записывается в виде суммы У& = ^ I С г Рк+г ) 5 что соответству-

7(т+1)х1 ¿=0 \7(т+1)х1010х1/

ет представлению нерекурсивного фильтра [3]. Несмотря на неустойчивость дискретной рекуррентной схемы (2), при конечном т для обоих преобразований Ь\ и Ь2 можно построить передаточные функции в частотной области.

Для описания алгоритма оценки постоянной составляющей дрейфов перепишем систему (2) преобразования Ь\ в следующем виде:

ук =

7(т+1)х1

/ Е \ ( 0 0 . 0 0\

Ф' Е 0 . 0 0

ф'2 У (4) + Ф' Е . 0 0

ф/(т-1) 7x1 ф 1(т- -2) ф 1(т- "3) . . Е 0

\ ф'т -1) ф 1(т- -2) . . Ф' е)

7(т+1)х7

7(т+1) X 7т

( У^к) \ ^{Ьк+1)

V к+т-2)

т— 1)/ 7 шх 1

Обозначим N = (гк), г/2 (4), г/3 (4)

, г/1 , г/2 , г/3 (4+т_!))т и удалим

строки, соответствующие переменным а 1, скг, тогда из вектора получим вектор измерений

7(т+1)х1

для линейного преобразования ¿2: 2 = Н1 у^к) + В N. Объединяя преобразова-

5(т+1)х1 5(т+1)х7 5(т+1)хЗт

ния Ь1 и ¿2, находим г/2 = ¡1 Н' у + Н В N .

I Зх5(т+1) 5(т+1)х7 тХ1 Зх5(т+1) 5(т+1)хЗт Зтх1

Численные результаты моделирования показывают, что передаточные функции преобразования от начальных условий у к оценке постоянной составляющей дрейфов, а также перекрестные передаточные функции преобразования от щ к г/.,-, г ф можно считать нулевыми. Диагональные передаточные функции преобразования от к щ и от г/2 к г/2 эквивалентны "квартическому окну", а передаточная функция от г/3 к г/3 — "окну Епанечникова".

3. Алгоритм обработки выходных данных лазерных гироскопов на основе декомпозированных уравнений ошибок. Сравним с предыдущим фильтром алгоритм, использующий декомпозированные по слабым связям уравнения ошибок инерциальных навигационных систем [4]:

Д?/1 = ЗУх, Ау2 = Ь\1 = -да2, 6Ц2 = да\, ¿1 = а2 = уг2, ¡З3 = (3)

Алгоритм строится аналогично рассмотренному в пп. 1, 2 случаю полных уравнений ошибок: к выходным данным лазерных гироскопов последовательно применяются два описанных линейных преобразования, но в них используется система уравнений (3) вместо системы (1).

Передаточные функции построенных алгоритмов численно совпадают. Ключевыми моментами в алгоритмах оказываются численное интегрирование и последующая оценка производной, а не влияние второстепенных членов. При этом согласно построенным алгоритмам оценка восточной и северной составляющих дрейфа точнее оценки вертикальной составляющей, так как в процессе вычислений применяются двойное численное интегрирование и последующая оценка второй производной.

Фильтры для оценки случайных дрейфов лазерных гироскопов по их выходным данным, построенные на основе декомпозированных уравнений ошибок, эквивалентны полиномиальным фильтрам первой или второй степени [8, 9].

На рисунке, а изображены графики квадратов передаточных функций фильтров, основанных на уравнениях ошибок (кривая 1), и фильтра среднего арифметического (кривая 2). Квадраты передаточных функций фильтров, основанных на полных и декомпозированных уравнениях ошибок инерциальных навигационных систем, численно совпадают. При этом на практике проще реализовать фильтр, основанный на декомпозированных уравнениях ошибок.

На рисунке, б приведены графики квадратов передаточных функций в области высоких частот со > ш3. Из графиков следует, что фильтры, построенные на основе уравнений ошибок, низкочастотные и пропускают значительно меньше высоких частот, чем соответствующий фильтр среднего арифметического. При оценке случайных дрейфов лазерных гироскопов это свойство является важным, так как спектральная плотность случайной составляющей их ошибки увеличивается с ростом частоты [2]. Величины, соответствующие вкладу высоких частот фильтров, получены как отношение интеграла от квадрата передаточной функции фильтра на промежутке от частоты среза ш3 = 0,01 Нг до частоты Найквиста шм = 0,5 Нг к интегралу от квадрата передаточной функции фильтра на промежутке от 0 до частоты среза ш3. Эти безразмерные величины равны Ю-1 для фильтра среднего арифметического и 15 • Ю-5 для фильтров, основанных на уравнениях ошибок.

Сравнение квадратов передаточных функции фильтров, основанных на уравнениях ошибок (кривая 1), и

фильтра среднего арифметического (кривая 2) Ширина окон фильтров подобрана из условия эквивалентности, заключающегося в том, что фильтры имеют одинаковую полосу пропускания низких частот. То есть первый нуль обеих передаточных функций возникает при одном и том же значении частоты. На рисунке для фильтра среднего арифметического ширина окна равна 100 с, для фильтров на основе уравнений ошибок 160 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lawrence C.Ng. On The Application of Allan Variance Method for Ring Laser Gyro Performance Characterization. Techn. Rept. USA : Lawrence Livermore National Laboratory, 1993. UCRL-ID-115695.

2. Измайлов E.A., Кухтевич C.E., Тихомиров B.B., Стафеев Д.В., Фом,инее A.B. Анализ составляющих дрейфа лазерного гироскопа // Гироскошш и навигация. 2015. № 2 (89). 40 46.

3. Хем,м,и,н,г Г.В. Цифровые фильтры. М.: Советское радио, 1980.

4. Голован, A.A., Парует),ков H.A. Математические основы навигационных систем. Ч. I. Математические модели ннерцнаиьной навигации. 2-е изд., испр. и дон. М.: Изд-во МГУ, 2010.

5. Логинов Н.В. Сингулярное разложение матриц. М.: МГАПИ, 1996.

6. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.

7. Яглом, A.M. Корреляционная теория стационарных случайных функций. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

8. Тихомиров В.В. Цифровые фильтры с конечной памятью, основанные на полиномиальной аппроксимации данных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 2. 62 65.

9. Тихомиров В.В. Цифровой фильтр с конечной памятью для оценки дрейфа лазерных гироскопов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 66 69.

Поступила в редакцию 07.07.2015

УДК 531.396

ВОЗМУЩАЕМЫЕ СТАБИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ, I

В. В. Александров1, О. В. Александрова2, И. С. Коноваленко3, К. В. Тихонова1

Рассматривается возможность расширения понятия "грубые динамические системы" при наличии иостояннодействующего возмущения, определенного с точностью до функционального множества в пространстве кусочно-непрерывных функций. Конструктивность

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366@liotmail.com.

2 Александрова Ольга Владимиров на — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexaiidrova.o@inbox.ru.

3 Коноваленко Ирина Сергеевна — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: Igritsa@i.ua.

4 Тихонова Катерина Владимиров на — науч. сотр. ИМИСС МГУ, e-mail: kateriiia.tiklioiiova@iiniopractika.ru.