Об учете влияния слабой неоднородности течения в пограничном слое на характеристики его устойчивости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIII

198 2

№ 6

УДК 532.526.013.4

ОБ УЧЕТЕ ВЛИЯНИЯ СЛАБОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ТЕЧЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ХАРАКТЕРИСТИКИ ЕГО УСТОЙЧИВОСТИ

На примере обтекания плоской пластины рассматривается влияние эффектов непараллельности течения в пограничном слое на характеристики его устойчивости в линейном приближении. При больших числах М учитывается градиент давления, обусловленный вязконевязким взаимодействием. Указывается модификация метода расчета, упрощающая анализ эффектов непараллельности.

1. Рассмотрим задачу об устойчивости слабонеоднородного течения в сжимаемом пограничном слое относително волн типа Толлмина — Шлихтинга, как было сделано в работе [1]. Ограничимся двумерным пограничным слоем и плоскими монохроматическими возмущениями с частотой ш. Пусть х и у —расстояние вдоль поверхности тела и по нормали к ней соответственно. Перейдем к безразмерным переменным с помощью характерного масштаба длины L, скорости набегающего потока U0 и времени L/U0. Считаем, что продольная и поперечная компоненты скорости U, V*, давление Р и температура Т основного течения слабо зависят от х: •

Будем искать решение линеаризованных уравнений Навье — Стокса в виде

где дЬ/дх = а (лгі), <?в/д/ = — <■>.

Считаем, что « — действительная частота, а = яг + іщ — комплексная функция .г,.

В главном приближении получаем системы обыкновенных дифференциальных уравнений для прямой и сопряженной задач

А. М. Тумин, А. В. Федоров

U — U (ДГ|, у), К* = t V(xu у), Р = Р (ж,), т = Т (д:„ у), Х\ — txt £ 1.

Я [Яо (*і. У) + £<7і (-«і. У) + • • • 1 ехр [/6 (i, а-)),

Ог,, — А (дг,) г0 = 0 (D = д ду); D:-Â(xt) Г=о

(1а)

(1)

с граничными условиями

Со* = ¡¡о* = ^ов = го1 = *аз = *<№ = 0 при у = 0;

і:і. 1*о|-+о

при у -*■ 00.

Матрица А размерности бхб и вектор-функция г0 даны в приложении. Из условия разрешимости задачи (1) —(2) находим собственные значения о.

В следующем приближении

— — дгп -*

йг1 — Аг, = £ + Ог„;

*и=*із = *ів = 0 при у «= 0;

| г, | -* 0 при у -*■ оо,

(3)

где Е = — ¡дА/да, О —матрица, элементы которой пропорциональны V, дУ/ду. 01116x1 (см. приложение).

Ортогональность правой части (3) к решению сопряженной задачи £ позволяет однозначно определить г0 как функцию х, [1]

Скалярное произведение

(£_Йт* Г)+(ОГ0, Г) = 0.

(г. Г) = ^ ^ ^ гтТя,^ <іу, где

(4)

означает комп-

лексное сопряжение.

Пусть *¡5 — произвольно нормированное решение задачи (I) —(2). Представляя г0 -- В (.V,) ¿о, получим

й 1п В

ах

= » («/<

*пр)<

(Ог*. Т)

а, ос = и

(Его- ')

(б)

Система уравнений (1) и сопряженная к ней система для случая обтекания плоской пластины интегрировалась методом Рунге— Кутта 4-го порядка точности с применением процедуры ортогонализации. Интеграл, определяющий скалярные произведения внутри пограничного слоя, рассчитывался методом Симпсона, вне его — аналитически с использованием известных асимптотик [2, 3]. Нормировка выбиралась из условия 1 при у=0. Поиск собственных значений

осуществлялся методом Ньютона и обеспечивал точность

Да,

Дії

®/

<0,1%.

Для проверки численного алгоритма проводилось сравнение с результатами работ [2 — 4].

2. Рассмотрим логарифмическую производную возмущения массового расхода д:

дх

пр,

где Чо (х, у) — массовый расход, рассчитанный по вектору г0.

Влияние неоднородности основного течения вниз по потоку на характерис-

тики неустойчивости проявляется в зависимости г0 от х1 [выражение в квадратных скобках (6)] и в появлении в правой части уравнения (3) членов, содержащих дЩдх^, V, дУ/ду \1„р в уравнении (6)). Выражение в квадратных скобках

в (6), а следовательно, и «о инвариантны относительно выбора нормировки ?*.

На рис. 1 приведены зависимости мнимых частей а и ад (кривые 2 и 3 соответственно) от У^е* = Уи0х1-*0, где х — расстояние от передней кромки пластины, ^—кинематический коэффициент вязкости в набегающем потоке (здесь

и далее з измеряется в единицах у ). Расчеты проводились при числе

Прандтля о = 0,72, температуре торможения 310 К. Предполагалось, что коэффициент вязкости зависит от

температуры по формуле

Сазерленда. Данные на рис. 1 соответствуют частотному параметру И и»о/^о=20Х10—«, Моо = 0,6, Ч = У/У^ЩГо = = 1,36.

При этом на протяжении всей области расчета оказалось, что | піпр | =

Рис. 1

Рис. 2

= 3x10". На рис. 2 приведены результаты для №^=1,5 и высокочастотного возмущения с /=■ = 40-10 При этом на протяжении всей области расчета І з,лр | 10~* (на рис. 2: / — а/, 2—а*0 при г, = 2,98).

Таким образом, при решении задач об устойчивости слабонеоднородных течений в пограничных слоях эффектами, связанным с <хпр, по-видимому, можно пренебречь и ограничиться рассмотрением локально-параллельного приближения в рамках системы (I) при условии нормировки

3. Система уравнений (1) использовалась в работах [1, 2, 6). В [3] предлагается использовать в главном приближении укороченную систему Дана — Линя, которая получается из полной системы отбрасыванием внепорядковых вязких членов. Из проведенных в настоящей работе расчетов и результатов Мэка, упомянутых в [1], следует, что система Дана — Линя дает отличие в величине а/ до 10% и более. На рис. 1 для сравнения приведены а0£ (кривая /), рассчитанные по укороченной системе.

Использование в главном приближении системы Дана—Линя является фактически разложением матрицы А = Д, 4- еЛ, с последующим уточнением собственных значений. В правой части (3) появится слагаемое А1 г*, а в уравнении (7) возникает соответствующая добавка в(. Расчеты показали, что сумма и а,

хорошо аппроксимирует а, найденное из полной системы. Например, при М =

= 1, /=• = 20-10—^:

/йе, аО! + *• а

674 4,16-10 * + 2,4- Ю-3 4.16-10—» + 2,4-Ю-з

734 4.47-10~з 4- 1,6-10-8 4,47-10—* + 1,6-10—3

794 4,77-10_5 + 0,8-Ю-з 4,78-10-» + 0.8-10-‘

4. Результаты, изложенные выше, а также результаты работы [3] были получены без учета градиента давления основного течения, который возникает в результате взаимодействия пограничного слоя с внешним течением [7]. С ростом числа М роль этого эффекта возрастает. Здесь влияние индуцированного градиента давления на неустойчивость учитывалось следующим образом.

Основное течение рассчитывалось в приближении локальной автомодельности с условиями на внешней границе пограничного слоя, зависящими от х. Эти условия определялись в рамках теории сверхзвукового обтекания тонкого профиля с уравнением поверхности _у = «*(д:), где 5* — толщина вытеснения.

На рис. 3 приведена зависимость аго от т( Ддя М00 = 4,5 VИех = 1550; Р =

=» 130-Ю“6 без учета (кривая I) и с учетом (кривая 2) индуцированного градиента давления. Из графика видно, что эффект взаимодействия через давление оказывается сильнее эффектов непараллельности, соответствующих <чпр — = —1,8-10 и его необходимо учитывать при проведении измерений в окрестности максимума модуля возмущения массового расхода.

Приложение

г0 — (и, Ои, V, г., в, 06), и, V, т., в — возмущения продольного и поперечного компонентов скорости, давления, температуры соответственно.

А = / — 1« •••»6, / — 1 ■ • > •, 6,

л

«12 = «5в = 1 • азі = а3 - ішЯ'іцТ, а~> — — Ор/ц, а-23 = — 1а (т 4- 1) О Т; Т — /їОи'иі + /?/?£//(а Т,

, Л Л

(»54 = /а/?/р + (« + I) а со, д25 = — а (т 4- I) ш/ 7" — £> (^' 011)1^,

«**= — !х’Ои/ц, а3, = —/а, а^ — ОТіТ, д3| = <о,

Л

Аз5 = — /со/ 7\ а„ = /уа (гО 7"/ Г + 2Ди/[і), аи = — г/а,

Л

а,з = у. (— а3 + /<•</?'(* Т -г гО3 777 + /‘ОиО Т/рТ],

„ Л Л

л14 = — і/Г 1^1: [аОи — "*0 ТІ Т — шДи/ц],

л Л

а,5 = г/ \raDU\T 4- [л' а/ЗІ//ц — а4,5 = — ¡-¡гы/Т,

<*оа =* - 2 (? - 1) М^, с0£/, йбз = - 2і (і - 1) М*. з*Ои 4- ЯзО 7> Г,

«й* = < (7 — I) М2Ж 1, я45 =73 — ¡Яны рТ — (7 — 1) М*, :н-' - Я3ц/ц,

вм = — 2Д*/ц,

____ Л

где /? = V Не*, ¡л — динамический коэффициент вязкости, ¡а' = Лц1(1Т, <•> = «> — а£/, о Л

у. = — /г-^М^о о>] 1, /• = 2(е-{-2)/3, т = 2(е — 1)/3, 7 — показатель адиаба-

ты, е=0 соответствует гипотезе Стокса;

.... б; у = 1..6,

ЯУ -(КсК /,гди ,,д1/\

*»-,17,7" (%*, + %г)-

0*-£у. і = 1

Я

8п — .г ддг,

8 л - — - * (

..2 ,,2 Г и дТ ди дУ V дТ „ 1

*33«-^^«, *3( = 7ЛЦТ — _КЛ44],

Г и дТ ди дУ

[ Т дхх дх\ ду

дУ \ 2V дТ

<Эу / 7-3 ду - ЇМХ

К ■ у. а3\> — V У й33

К м2 „ У VI дУ

-Jr — ^MgoVatl¡, £,і = - — «зі. £.з = - — л3, — — —

V

8ч-----------------.р <*3»" 8а = — у, д35>

/?з г ,^,п(др ,, \ і а г і *<т-і>м*.

*«-----ГI*1 - 0 м“ Ыт + Н - Т А?} *■-----------------------------Ї->'•»

gi3 — — gts"

£<■6 =

ff0(7_l)M*

Va.

Rz

ЛИТЕРАТУРА

1. Nay fell A. H. Stability of three-dimensional boundary layers. .A1AA J.*, vol. 18. N 4, 1980.

2. Mack L. M. Computation of the stability of the laminar compressible boundary layers. In: .Methods in computational physics*, 1965, vol. 4.

3. Гапонов С. А., Маслов А. А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках. Новосибирск, .Наука*, 1980.

4. Ту мин А. М., Шепелев В. Е. Численный анализ развития возмущений в несжимаемом пограничном слое на плоской пластине. В кн.: .Численные методы механики сплошной среды*, Новосибирск, т. II, № 3, 1980.

5. Гапонов С. А. Влияние непараллельности течения на развитие возмущений в сверхзвуковом пограничном слое. ,Изв. АН СССР, МЖГ*, № 2, 1980.

6. Mack L. М. Linear stability theory and the problem of supersonic boundary-layer transition. .AIAA J.*, vol. 13, 1975.

7. Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., Изд. иностр. лит-ры, 1962.

Рукопись поступила 9/VI 1981 г. Переработанный вариант поступил 19IXI 1981 г.