CC BY
54
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том ХЫУ
2013
№ 6
УДК 532.526
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОСПРИИМЧИВОСТИ ГИПЕРЗВУКОВОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ К ВОЗМУЩЕНИЯМ В ВИДЕ ПЕРИОДИЧЕСКОГО ЭНЕРГОПОДВОДА
Выполнено численное моделирование восприимчивости двумерного пограничного слоя на плоской пластине при числе Маха набегающего потока Мш = 6 к возмущениям малой интенсивности в виде локального периодического энергоподвода, расположенного над пограничным слоем и внутри него. Тепловые пятна, взаимодействуя с пограничным слоем, формируют акустические колебания, которые генерируют там неустойчивые волны. Показано, что максимальная амплитуда этих волн достигается в случае, когда центр энергоподвода находится около верхней границы пограничного слоя.
Ключевые слова: гиперзвуковой пограничный слой, восприимчивость, акустика, энергоподвод.
При обтекании гладких поверхностей в «тихих» условиях набегающего потока ламинарно-турбулентный переход включает в себя: фазу восприимчивости; линейную фазу, связанную с экспоненциальным ростом амплитуды неустойчивой моды; нелинейный переход к турбулентности. Под восприимчивостью обычно понимают механизм, посредством которого внешние возмущения проникают в пограничный слой и генерируют неустойчивые волны [1]. Процесс восприимчивости недостаточно изучен, особенно при сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях потока. Это затрудняет разработку метода предсказания ламинарно-турбулентного перехода, связывающего параметры области перехода с параметрами внешних возмущений, что позволило бы
избежать эмпирики вм -метода [2].
Существует три типа малых возмущений однородного потока сжимаемого газа: быстрые и медленные акустические волны, волны энтропии и волны завихренности. В условиях эксперимента в аэродинамических трубах в набегающем на модель потоке обычно доминируют акусти-
А. А. РЫЖОВ, В. Г. СУДАКОВ, С. В. УТЮЖНИКОВ
РЫЖОВ
СУДАКОВ Виталий Георгиевич
кандидат физико-математических наук, начальник сектора ЦАГИ
УТЮЖНИКОВ
Александр Александрович
младший научный сотрудник ЦАГИ
Сергей Владимирович
профессор, университет Манчестера
ческие волны, генерируемые турбулентным пограничным слоем на стенках трубы. Наоборот, в условиях натурного полета акустических возмущений практически нет. В полете в набегающем на летательный аппарат потоке присутствуют слабая турбулентность и температурная неоднородность, которые связаны с вихревыми и энтропийными возмущениями соответственно. Для создания неэмпирического метода предсказания положения перехода необходимо знать механизмы восприимчивости к различным типам малых возмущений.
Восприимчивость гиперзвукового пограничного слоя к акустическим возмущениям неоднократно исследовалась аналитически [3 — 5], численно [6 — 8] и в экспериментах [9]. Восприимчивость к другим типам возмущений изучена существенно меньше. В [10, 11] численно исследована восприимчивость пограничного слоя на плоской пластине к волнам энтропии и завихренности с разными углами наклона. В [12] аналитически рассмотрена эволюционная задача с начальными данными для двумерного волнового пакета в пограничном слое, генерируемого локализованным возмущением температуры.
В [13] исследована восприимчивость гиперзвукового пограничного слоя к температурным (энтропийным) пятнам. Чтобы моделировать восприимчивость пограничного слоя к температурным флуктуациям потока, возмущения температуры накладывались на стационарное поле температуры в заданном сечении вниз по потоку от скачка. Пятна вводились периодически над пограничным слоем, в невязком потоке, и имели гауссово распределение по вертикали. Следует отметить, что пятна температуры были малой интенсивности и в линейном приближении они сносились невязким потоком. Было показано, что такая температурная неоднородность (без включения других типов малых возмущений, таких как акустика и вихревые волны) может генерировать неустойчивые волны в пограничном слое. В [14] проведено сравнение численных результатов [13] с результатами аналитических исследований, которое показало хорошее совпадение.
Кроме того, в [13] пятна температуры вводились вверх по потоку от головного скачка. В этом случае сначала они взаимодействовали с головным скачком, образуя все типы малых возмущений, включая и акустические волны за скачком. Затем эти малые возмущения попадали в пограничный слой. При этом акустические волны генерировали там наибольшие возмущения. Во всех случаях температурные возмущения вводились снаружи пограничного слоя и моделировали температурные флуктуации набегающего потока.
Экспериментальные исследования [15 — 17] позволили рассмотреть отклик, генерируемый лазерным лучом, в пограничном слое на конусе при гиперзвуковых скоростях набегающего потока. Также показано, что созданные лазерным лучом возмущения имеют приблизительно гауссово радиальное распределение температуры. Проведено численное моделирование эволюции локализованного теплового пятна [18] для условий, соответствующих эксперименту [19]. Однако в этих работах не были исследованы неустойчивые возмущения, образованные в пограничным слое тепловым пятном от лазерного луча.
В данной работе выполнено численное моделирование восприимчивости пограничного слоя на плоской пластине с острой передней кромкой при числе Маха набегающего потока М= 6 к тепловым пятнам, которые периодически генерируются источником энергии снаружи или внутри пограничного слоя. Следует отметить, что источник энергии формирует набор акустических, энтропийных и вихревых возмущений в отличие от работы [13], где рассматривались только энтропийные пятна. Кроме того, в [13] температурные (энтропийные) пятна вводились снаружи пограничного слоя, а в данной работе источник энергии вводится как снаружи, так и внутри пограничного слоя.
Локальный подогрев внутри пограничного слоя может осуществляться, например, плазменным разрядом и служить для управления пограничным слоем. Кроме того, эта задача может моделировать периодическое возбуждение потока, например, лазером. При этом решаются уравнения Навье — Стокса для двумерных нестационарных, сжимаемых течений с помощью алгоритма, описанного в [20].
1. ПОСТАНОВКА ЧИСЛЕННОЙ ЗАДАЧИ
Двумерные нестационарные течения вязкого сжимаемого газа моделируются уравнениями Навье — Стокса. Уравнения решаются в безразмерной форме. Искомые функции обезразмерены
с использованием параметров набегающего потока: (и, у)=(и*, у* — продольная и вертикаль-
*а_„
Рис. 1. Схема введения возмущений
ная компоненты скорости; р = р* /р^ — плотность; р = р* /(р^Ц^2) — давление; Т = Т* / Т^ —
температура. Координаты обезразмерены как (х, у) = (х*, у* )/I , время — I = ^Ц!, / I* . Здесь индекс « да » обозначает параметры набегающего потока, звездочками отмечены размерные величины, и^ — модуль скорости набегающего потока, I — длина пластины.
Рассматривается совершенный газ с отношением удельных теплоемкостей у = 1.4 и числом Прандтля Pr = 0.72. Динамический коэффициент вязкости зависит от температуры по степенному закону ц = Т0 7 . Численное моделирование выполнено для обтекания пластины при числах
Mда= 6 и Reда=р;u;L* / 2-106.
Расчетная область представляет собой прямоугольник, нижняя сторона которого на отрезке 0 < х < 1 совпадает с поверхностью пластины. Здесь ставилось условие прилипания, а пластина считалась теплоизолированной дТк / дп = 0. Высота прямоугольника выбрана так, чтобы ударная
волна, образующаяся на передней кромке из-за вязко-невязкого взаимодействия, попадала на правую границу (рис. 1). При этом на правой границе используется линейная экстраполяция зависимых переменных, а на левой и верхней границах ставятся условия набегающего потока.
Задача решается в два этапа. Сначала находится стационарное решение для продольного обтекания пластины. На втором этапе, после того как стационарное решение обтекания плоской пластины рассчитано с достаточной точностью, в поток вносятся малые, локальные по пространству и периодические по времени, возмущения в виде источника в уравнении энергии и решается нестационарная задача развития возмущений. Схема задачи показана на рис. 1.
Чтобы моделировать восприимчивость пограничного слоя к тепловым возмущениям, в начальный момент времени включается периодический источник энергии:
Е'( х, у; t) = в exp
-(х - Х0)2 - (у - У0)2
х5(0,
5(0 = 1 ,ие0,
где в — малый параметр, характеризующий амплитуду возмущений; ш = ш*1* /Ц^ — круговая частота. Гауссово распределение по осям х и у имеет центр при х = х0, у = у0 и характерную ширину С0 . При этом через заданный период времени Т^ = 2л / ш в течение одного шага по времени Дt вводится гауссово тепловое пятно, которое сносится потоком. Характерный диаметр пятна меньше длины волны генерируемых возмущений, так что следующее генерируемое пятно через период времени не накладывается на сносимое предыдущее.
Здесь рассматриваются возмущения с амплитудой в = 0.1, при которой процесс восприимчивости линеен. Такая величина в приводит к максимальному возмущению поля температуры Вт = 0.0095 . Заметим, что амплитуда возмущений должна быть много больше погрешности численного решения стационарной задачи. Следовательно, для малых амплитуд возмущений решение стационарной задачи должно быть получено с большой точностью. Это сильно увеличивает время, необходимое для расчета невозмущенного поля течения. Уравнения Навье — Стокса интегрировались до момента, когда нестационарное решение выходит на установившийся периодический режим.
Частота возмущений ю = 260 соответствует частотному параметру F = ю /Ие = 1.3 -10 и выбрана таким образом, чтобы максимум возмущений в пограничном слое достигался на конце расчетной области. Возмущения температуры на пластине отсутствуют, т. е. Т^ = 0.
Возмущения вводятся вниз по потоку от скачка (Хо > 0) с различными вертикальными начальными положениями ^ (над пограничным слоем или внутри него). Параметры возмущений соответствуют Сто = 0.58е, Хо = 0.3, где 8е — толщина пограничного слоя в середине пластины х = 0.5 (толщина, на которой скорость потока равна 0.99 от скорости внешнего течения). Исследовались различные начальные вертикальные положения источника: у = 0.55е, 0.755е, Ъе, 1.258е, 1.58е.
Задача решается численно с помощью неявного метода конечного объема второго порядка аппроксимации по пространству и времени, детально описанного в [20]. Конвективные слагаемые аппроксимируются с помощью WENO-схемы третьего порядка.
Расчетная сетка составляет 2001 х 301 узлов и имеет сгущение в области пограничного слоя по нормали к поверхности, так что около 50% всех ячеек сосредоточено вблизи поверхности тела. При этом на длину волны возмущений приходилось не менее 45 узлов расчетной сетки, а на
период возмущений — не менее 400 шагов по времени (Л = 5 -10"5).
2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
На рис. 2 показано поле возмущений давления и температуры (разница между мгновенным полем в нестационарной задаче и стационарным полем перед внесением возмущений). Видно, что периодический источник энергии кроме возмущений в поле температуры вносит также значительные возмущения давления, т. е. акустические волны. По интерференционной картине в поле возмущений давления снаружи пограничного слоя можно судить, что источник генерирует как быстрые, так и медленные акустические волны.
Эти волны, наряду с энтропийными возмущениями, также порождаемыми тепловыми пятнами, попадают в пограничный слой и генерируют там возмущения. Развитие этих возмущений удобно иллюстрировать с помощью диаграммы фазовых скоростей сХ возмущений давления, распространяющихся вдоль поверхности пластины (рис. 3).
Кривые F и S соответствуют фазовым скоростям возмущений мод F и S дискретного спектра, посчитанным с помощью линейной теории устойчивости [5]. Такая терминология предложена в [5] в связи с асимптотическим поведением данных мод вблизи передней кромки ( х ^ 0). Фазовая скорость моды F (быстрая мода, кривая на рис. 3) стремится к фазовой скорости сХ = 1 + 1/М» быстрой акустической волны (линия 2 на рис. 3) в набегающем потоке, фазовая ско-
Рис. 2. Поля возмущений давления (а) и температуры (б), генерируемые источником в уравнении
энергии (у0 = 1.1258е)
Рис. 3. Распределение фазовой скорости возмущений давления вдоль стенки:
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Рис. 4. Распределение возмущений давления на стенке, У0 = 1.258е
Б — возмущения моды F, полученные по линейной теории устойчивости; 8 — возмущения моды 8, полученные по линейной теории устойчивости; 1 — энтропийные возмущения в набегающем потоке; 2 — быстрая акустическая волна в набегающем
потоке; 3 — медленная акустическая волна в набегающем потоке; рость моды 8 (медленная мода, кривая «8» на
4
возмущения в пограничном слое, полученные при численном моделировании с У0 = 1.1258е
рис. 3) — к фазовой скорости сХ = 1 - 1/Мда медленной акустической волны в набегающем потоке (линия 3 на рис. 3). Для случая У0 = 1.1258е по распределению возмущения давления на стенке р^(х) была приближенно рассчитана фазовая скорость сХ(х) = шЛх/п (кривая 4 на рис. 3), где Лх — расстояние между нулями функции р'м>( х ).
Из рис. 3 видно, что сХ колеблется между кривыми, соответствующими модам F и 8. Это говорит о том, что попавшие в пограничный слой быстрые и медленные акустические волны генерируют там возмущения одного порядка. Так как мода F устойчива, ее амплитуда уменьшается вниз по потоку. Возмущения моды 8 начинают расти вниз по потоку из-за неустойчивости. Это подтверждается распределением возмущений давления на пластине р^, которое показано на рис. 4 для случая у0 = 1.1258е.
Следует отметить, что вверх по потоку от точки синхронизма мод F и 8 возмущения моды 8 соответствуют первой моде, а ниже по потоку — второй моде по терминологии Мэка [21]. Далее амплитуда моды 8 интенсивно растет вследствие ее неустойчивости (рис. 4, х > 0.7). В этом диапазоне фазовая скорость возмущений, полученных в ходе численного моделирования, близка
к фазовой скорости моды 8 (рис. 3, х > 0.7). Здесь возмущения давления имеют двухъячеис-тую форму, а возмущения температуры — веретенообразную структуру (рис. 2, х > 0.7), что характерно для возмущений второй моды [7].
Таким образом, численное моделирование показывает, что локальный периодический энергоподвод может вызвать неустойчивые волны внутри пограничного слоя.
На рис. 5 показаны огибающие распределений возмущений давления вдоль поверхности пластины для различных вертикальных начальных положений теплового пятна. Видно, что все огибающие качественно похожи. Разница наблюдается только в амплитудах.
Рис. 5. Огибающие распределений возмущений давления При высоких п°л°жениях ист°чника ШД
на стенке при разных у0 пограничным слоем рождаются акустические
10
14
12
8
0.66,
0.86,
1.06,
1.2 де
1.46«, Уо
Рис. 6. Зависимость максимальной амплитуды возмущений температуры в пограничном слое, индуцированных энергетическим источником, от у0
волны, которые затухают по мере распространения в сторону пограничного слоя. Чем выше источник, тем большее расстояние необходимо преодолеть акустике, тем больше она затухает и, следовательно, меньшие возмущения генерирует внутри пограничного слоя.
По мере уменьшения у0 источник сильнее начинает взаимодействовать с вязким пограничным слоем. И это взаимодействие приводит к немонотонной зависимости коэффициента восприимчивости от у0 . На рис. 6 показана зависимость максимальной амплитуды возмущений температуры в пограничном слое Тпах, отнесенной к гт, от у0 . Видно, что эта зависимость носит немонотонный характер с максимумом при у0 ~8е. Таким образом, можно сделать вывод, что верхняя часть пограничного слоя наиболее восприимчива к тепловым возмущениям.
Следует отметить, что коэффициенты восприимчивости в случае теплового пятна такого же порядка, как и коэффициенты восприимчивости в случае введения пятен температуры перед скачком [13]. Это также говорит о том, что механизмы восприимчивости в данных случаях схожи. При этом основным механизмом является восприимчивость к порождаемым акустическим волнам.
Выполнено численное моделирование восприимчивости гиперзвукового пограничного слоя на плоской пластине с острой передней кромкой к тепловым возмущениям в виде локального по пространству и периодического по времени источника энергии. Такой способ моделирует тепловое пятно, генерируемое лазером или плазменным разрядом. Рассмотрены физические механизмы восприимчивости к двумерному тепловому пятну.
Вместе с температурными возмущениями генерируются акустические волны, которые проникают в пограничный слой и возбуждают там неустойчивые волны. Таким образом, в данном случае доминирующим является механизм восприимчивости к акустическим волнам. Максимальный коэффициент восприимчивости достигается, когда центр пятна лежит около верхней границы пограничного слоя.
Авторы выражают глубокую благодарность Федорову А. В. и Егорову И. В. за помощь и обсуждение работы.
Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ по постановлению № 220 «О мерах по привлечению ведущих ученых в российские образовательные учреждения высшего профессионального образования» по договору № 11.G34.31.0072, заключенному между Министерством образования и науки РФ, ведущим ученым и Московским физико-техническим институтом (государственным университетом).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
1. Reshotko E. Boundary-layer stability and transition // Ann. Rev. Fluid Mech. 1976. V. 8, р. 311 — 349.
2. Malik M., Zang T., Bushnell D. Boundary layer transition in hypersonic flows // AIAA Paper 90-5232. 1990.
3. Mack L. M. Linear stability theory and the problem of supersonic boundary layer transition // AIAA J. 1975. V. 13, р. 278 — 289.
4. Гапонов С. А. Взаимодействие сверхзвукового пограничного слоя с акустическими возмущениями // Изв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 6, с. 51— 56.
5. Fedorov A. V. Receptivity of a high-speed boundary layer to acoustic disturbances // J. Fluid Mech. 2003. V. 491, р. 101 — 129.
6. Ma Y., Z h o n g X. Receptivity of a supersonic boundary layer over a flat plate. Part 2. Receptivity to free-stream sound // J. Fluid. Mech. 2003. V. 488, р. 79— 121.
7. Судаков В. Г. Численное моделирование влияния угла наклона акустических волн на восприимчивость гиперзвукового пограничного слоя // Ученые записки ЦАГИ. 2010. Т. XLI, № 3, с. 31 — 41.
8. Malik M., Balakumar P. Receptivity of supersonic boundary layers to acoustic disturbances // AIAA Paper 2005-5027. 2005.
9. Maslov A., Shiplyuk A., Sidorenko A., Arnal D. Leading-edge receptivity of a hypersonic boundary layer on a flat plate // J. Fluid Mech. 2001. V. 426, р. 73 — 94.
10. Ma Y., Zhong X. Receptivity of a supersonic boundary layer over a flat plate. Part 3. Effects of different types of free-stream disturbances // J. Fluid. Mech. 2005. V. 532, р. 63 — 109.
11. Судаков В. Г. Численное моделирование восприимчивости гиперзвукового пограничного слоя к энтропийным и вихревым волнам // Ученые записки ЦАГИ. 2013. Т. XLIV, № 2, с. 25 — 32.
12. F e d o r o v A. V., T u m i n A. M. Initial-value problem for hypersonic boundary-layer flows // AIAA J. 2003. V. 41, № 3, р. 379 — 389.
13. Рыжов А. А., Судаков В. Г. Численное моделирование восприимчивости сверхзвукового пограничного слоя к энтропийным возмущениям // Изв. РАН. МЖГ. 2012. № 3, с. 59 — 67.
14. Fedorov A. V., Ryzhov A. A., Soudakov V. G., Utyuzhnikov S. V. Receptivity of a high-speed boundary layer to temperature spottiness // J. Fluid Mech. 2013. V. 722, р. 533 — 553.
15. Schneider S. P., Collicott S. H., Schmeisseur J. D. Laser-generated localized freestream perturbations in supersonic and hypersonic flows // AIAA J. 2000. V. 38, № 4, р. 666 — 671.
16. Schmeisseur J. D., Schneider S. P., Collicott S. H. Supersonic boundary-layer response to optically generated freestream disturbances // Experiments in Fluids. 2002. V. 33, p. 225 — 232.
17. Salyer T. R., Collicott S. H., Schneider S. P. Characterizing laser-generated hot spots for receptivity studies // AIAA J. 2006. V. 44, № 12, p. 2871 — 2878.
18. Huang Y., Zhong X. Numerical study of laser-spot effects on boundary-layer receptivity for blunt compression-cones in Mach-6 freestream // AIAA Paper № 2010-4447. 2010.
19. Schneider S. P., Wheat on B. M., Julinao T. J., Berridge D. C., Chou A., Gilbert P. L., Casper K. M., Steen L. E. Instability and transition measurements in the Mach-6 quiet Tunnel // AIAA Paper № 2009-3559. 2009.
20. Egorov I. V., Fedorov A. V., Soudakov V. G. Direct numerical simulation of disturbances generated by periodic suction-blowing in a hypersonic boundary layer // Theoretical and Computational Fluid Dynamics. 2006. V. 20, N 1, p. 41 — 54.
21. Mack L. M. Boundary layer stability theory // JPL Rep. 1969. N 900-277. Part B.
Рукопись поступила 26/III2013 г.
