CC BY
21
Об учебно-методическом пособии «обыкновенные дифференциальные уравнения в системе maple» для бакалавров направления «педагогическое образование (с двумя профилями подготовки): математика и информатика»
On the textbook "Ordinary differential equations in the Maple system" in the system of training of bachelors of the direction "Pedagogical education (with two training profiles):
mathematics and computer science»
Захарова Анастасия Александровна.
Студентка 5-го курса,
Елабужский институт ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»,
Россия, г.Елабуга. e-mail:anast.zakharova2013@yandex.ru
Zakharova Anastasia Aleksandrovna.
5th year student,
Yelabuga Institute of Kazan (Volga Region) Federal University,
Russia, Yelabuga. e-mail:anast.zakharova2013@yandex. ru
Миронова Любовь Борисовна.
Кандидат физико-математических наук, Доцент, Елабужский институт ФГАОУ ВО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»,
Россия, г. Елабуга. e-mail:miro 73@mail. ru
Mironova Lyubov Borisovna.
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Yelabuga Institute of Kazan (Volga Region) Federal University,
Russia, Yelabuga. e-mail:miro 73@mail.ru
Аннотация.
В статье рассматривается возможность применения учебно-методического пособия «Обыкновенные дифференциальные уравнения в системе Maple» для обучения бакалавров направления 44.03.05 - Педагогическое образование (с двумя профилями подготовки): математика и информатика. Описывается содержание пособия по данной дисциплине - приводятся разделы изучаемого курса, а также их краткое описание. Для каждого раздела приводятся примеры задач, решаемых в курсе.
Annotation.
The article considers the possibility of using the methodological manual "Ordinary differential equations in the Maple system" for teaching bachelors of the direction 44.03.05 - Teacher education (with two training profiles): mathematics and computer science. The content of the manual for this discipline is described - the sections of the course being studied are given, as well as their summary. For each section, examples of the tasks that are solved in the course are provided.
Ключевые слова: обыкновенные дифференциальные уравнения, система Maple.
Key words: ordinary differential equations, Maple system.
Проблемы преподавания дифференциальных уравнений в высших учебных заведениях в последнее время привлекают внимание многих исследователей [1-6], а вопросы теоретического и практического содержания и по сей день являются объектом исследования многих ученых.
Современный образовательный стандарт предъявляет множество требований к образовательному процессу в целом. Так в рамках изучения курса «Дифференциальные уравнения» требуется реализация прикладной направленности курса, ознакомление обучающихся с математическим моделированием, с компьютерными программными пакетами, реализующими методы решения дифференциальных уравнений.
В условиях современного образования невозможно представить процесс обучения без использования IT-инструментов. В связи с этим возникает следующая проблема - необходимо разработать учебно-методическое пособие, направленное на изучение математических дисциплин с использованием различных IT-технологий, отвечающее всем предъявляемым требованиям.
На сегодняшний день существует множество различных математических пакетов, использование которых упрощает решение самых разнообразных математических задач. Однако, не все такие программные пакеты предназначены для решения дифференциальных уравнений.
Основной областью применения дифференциальных уравнений является, конечно же, математика. Однако такие уравнения успешно применяются и во многих других областях науки и техники, при математическом описании природных явлений. Помимо этого, дифференциальные уравнения применяются при решении таких задач, в которых невозможно установить прямую связь между значениями переменных величин, которые описывают некоторый процесс. Такие задачи часто возникают в биологии, физике и экономике. Различные науки естественно-математического цикла включают в себя задачи, основным способом решения которых является составление и дальнейшее исследование дифференциального уравнения.
Решение простых дифференциальных уравнений не требует особых усилий, а вот для решения более сложных видов уравнений необходимо наличие специальных математических знаний.
Система Maple является одной из самых мощных математических систем, широко применяющихся в научной сфере. Именно поэтому данная система имеет множество встроенных функций для решения любых дифференциальных уравнений и систем таких уравнений. С целью решения поставленной проблемы, авторами было разработано учебно-методическое пособие, которое содержит теоретические и практические сведения. Содержание пособия направлено на изучение возможностей математического пакета Maple и применения их при решении математических задач, в частности дифференциальных уравнений.
Далее в статье речь пойдет об учебно-методическом пособии, совмещающим в себе все предъявляемые требования, а также предполагающим использование одной из самых мощных математических систем - Maple, и предназначенном для бакалавров педагогического направления с двумя профилями подготовки (математика и информатика).
На отделении математики и естественных наук в Елабужском институте Казанского федерального университета по направлению 44.03.05 (Педагогическое образование с двумя профилями подготовки: математика и информатика) в рамках дисциплины «Дифференциальные уравнения» студенты изучают следующие разделы: задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям; основные понятия и определения; начальные условия; уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения, линейные уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах; теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка; особые решения; уравнения, не разрешенные относительно производной; уравнения, допускающие понижение порядка; линейные уравнения (фундаментальная система решений; определитель Вронского; формула Остроградского; метод вариации постоянных; линейные уравнения с постоянными коэффициентами; метод неопределенных коэффициентов); применение дифференциальных уравнений к задачам физики (свободные гармонические колебания, затухающие колебания, вынужденные колебания, резонанс). Для более успешного изучения курса, а также для реализации его прикладной направленности необходимо использование учебных пособий, которые предполагают самостоятельную работу студентов с различными математическими программами.
Описываемое учебно-методическое пособие «Обыкновенные дифференциальные уравнения в системе Maple» состоит из восьми разделов:
1. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
4. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка.
5. Уравнения в полных дифференциалах.
6. Особые решения дифференциальных уравнений.
7. Задача Коши.
8. Математический пакет Maple.
Первый раздел включает в себя дифференциальные уравнения с разделенными переменными и дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Здесь же дается определение общего решения дифференциального уравнения и приводится общая схема решения уравнений с разделяющимися переменными.
Второй раздел включает в себя теоретические сведения об однородных дифференциальных уравнениях первого порядка, о способах их приведения к дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными, а также методы решения уравнений данного вида.
Третий раздел включает в себя сведения о линейных дифференциальных уравнениях первого порядка. В данном разделе также приводится определение уравнения Бернулли и описываются три способа решения линейных дифференциальных уравнений — метод вариации произвольной постоянной, метод Бернулли (решение уравнений Бернулли) и нахождение решения уравнения в виде у = и • v.
Четвёртый раздел включает в себя сведения о линейных уравнениях. В данном разделе приводятся определения однородного линейного уравнения, неоднородного линейного уравнения, однородного линейного и неоднородного линейного уравнений с постоянными коэффициентами, фундаментальной системы уравнений. Данный раздел включает в себя также теорему о существовании фундаментальной системы. Здесь же описывается алгоритм решения линейного однородного уравнения n-го порядка, а также описывается метод неопределенных коэффициентов для неоднородных дифференциальных уравнений.
Пятый раздел включает в себя определение уравнений в полных дифференциалах и схему их решения.
Шестой раздел включает в себя теоретические сведения об особых решениях дифференциальных уравнений. В данном разделе дается определение дискриминантной кривой и описывается порядок нахождения особых решений одним из способов - исследованием так называемого р-дискриминанта дифференциального уравнения.
Седьмой раздел включает в себя дифференциальные уравнения с начальными условиями. В данном разделе приводится определение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и описывается геометрический смысл данной задачи.
Восьмой раздел включает в себя основные сведения о математическом пакете Maple и его операторах. Приводится краткое описание начала работы с математическом пакетом, а также указываются некоторые его особенности.
В каждом разделе помимо теоретической части также предусмотрены практические задания, выполнение которых необходимо осуществлять с использованием математического пакета Maple. Результаты выполненных заданий можно представить различными способами: сохранение кода программы непосредственно в самом математическом пакете или же в виде скриншота рабочего окна программы.
Для первых пяти разделов формулировка задания одинакова за одним лишь исключением — для каждого раздела приводятся уравнения именно того типа, которому этот раздел и посвящен.
Пример задания для первого раздела:
Решите уравнение V1 — х2у' = — ху с помощью средств Maple.
Пример решения задания данного раздела:
Код программы для решения данного уравнения будет выглядеть следующим образом:
> pri:=diff(y(x),x)*sqrt(1-xA2)= -x*y:
> dsolve(pr1,y(x));
y(x) = exp((1 -хЛ2)Л(1/2)) *_C 1,
где последняя строка есть вывод результата - корня исходного уравнения.
Пример задания для третьего раздела:
Решите ЛДУ первого порядка у' = —2 у + 4х средствами пакета Maple.
Пример задания для пятого раздела.
Решите уравнение (х + y)dx + (х — y)dy = 0 при помощи Maple.
В данном разделе перед непосредственным нахождением решений уравнения необходимо проверить выполнение необходимого и достаточного условия полного дифференциала, и только в случае выполнения данного условия продолжать дальнейшие необходимые вычисления (см. рис. 1).
<£> Maple V Release 4 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^.
Рисунок 1. Пример решения уравнения в полных дифференциалах В шестом разделе формулировка задания немного изменена, поскольку в Maple задачу Коши можно
решить двумя способами.
Пример задания для шестого раздела:
Найдите численное и графическое решения дифференциального уравнения у — ху' = 2(1 + х2у') с начальным условием у(1) = 1.
Пример решения задачи Коши в Maple:
Для решения задачи Коши численным методом код программы может выглядеть следующим образом:
> F:=dsolve({diff(y(x),x)*x=x+y/(x+1),y(1)=0},y(x),type=numeric):
> F(2);
[x = 2, y(x) = 1.128764766350355],
где в результате Maple будет выдавать значение у для заданного значения х (см. рис. 2).
При нахождении графического решения в Maple необходим следующий формат кода программы:
> with(plots):
> p:=dsolve({diff(y(x),x)*(x+2*xЛ2)=y-2,y(1)=1},y(x),type=numeric):
> оаер1о1(р,[х,у(х)],-10..15,1аЪек=[х,у]);
и тогда в результате будет построена соответствующая интегральная кривая (см. рис. 3).
766350355]
Рисунок 2. Пример численного решения задачи Коши
Ф> Maple V Release 4 - [Untitled (6)]
Iii File Edit View Insert Format Options Window Help
D gS У ä
[g |z|t|[>i I«-m Г *n*i g] ЕЭ
P Maple Plot
- [Times New Roman T] ¡12 ^ |B |/ | U | |=;|l
> with(plots):
> p:=dsolve({diff(у(x),x)*(х+2*хЛ2)=y-2,y(1)=1},y(x), type=numeric)
> odeplot(p,[x,y(x)],-10..15,labels=[x, y]);
Рисунок 3. Пример графического решения задачи Коши В восьмом разделе пособия содержатся основные сведения о математическом пакете Maple. В этом
разделе описываются основные команды - diff, dsolve,условные выражения, int, odeplot, использование
которых способствует наиболее эффективному применению математического пакета Maple для нахождения
решений дифференциальных уравнений. К каждой команде, описанной в данном разделе, приводится справка со
всеми возможными ее параметрами и примерами использования.
Описанное методическое пособие также может быть интегрировано как составная часть в цифровой
образовательный ресурс по учебной дисциплине «Дифференциальные уравнения».
Список используемой литературы:
1. Балабаева Н.П. Профессионально-ориентированный подход к преподаванию раздела "Дифференциальные уравнения" студентам экономических направлений // Самарский научный вестник. - 2014. - №4(9). - С. 22-25.
2. Гнедаш Е.С., Сербина Л.И. Преподавание основ теории дифференциальных уравнений в дистанционной форме // Вопросы педагогики. - 2019. - №5-2. - С. 85-87.
3. Монако Т.П. Дифференциальные уравнения в обучении студентов экономических специальностей // Современные исследования социальных проблем. - 2017. - №2-2. - С. 146-150.
4. Муста Л.Г., Журов Г.Н. К вопросу о преподавании численных методов решения дифференциальных уравнений бакалаврам и магистрантам горного университета // Современное образование: содержание, технологии, качество. - 2018. - Т. 1. - С. 134-136.
5. Чернова Т.В. Проблемы преподавания дифференциальных уравнений в высших учебных заведениях // Человеческий капитал как фактор инновационного развития общества. - Уфа: ОМЕГА САЙНС, 2018. - С. 812.
6. Mironov A.N., Mironova L.B., Sozontova E.A. Elective course «Elements of the qualitative theory of ordinary differential equations« for bachelors of the pedagogical direction of education // AD ALTA: Journal of Interdisciplinary Research. - 2018. - V. 8, Iss. 1, Special issue III. - P. 285-288.
