Применение системы компьютерной математики Maple для решения задач дифференциальной геометрии Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Голанова Анна Викторовна

канд. пед. наук, доцент кафедры информатики и вычислительной математики

Ленинградского государственного университета имени А.С. Пушкина, РФ,

г. Пушкин E-mail: golanova @yandex.ru Голикова Екатерина Ивановна канд. пед. наук, доцент кафедры информатики и вычислительной математики

Ленинградского государственного университета имени А. С. Пушкина, РФ,

г. Пушкин

E-mail: golikova kat@inbox.ru

THE SYSTEM OF COMPUTER MATHEMATICS MAPLE TO SOLVE PROBLEMS OF DIFFERENTIAL GEOMETRY

Anna Golanova

candidate of Science, associate professor of department of computer science and calculus mathematics of Pushkin Leningrad State University, Russia, Pushkin

Ekaterina Golikova

candidate of Science, associate professor of department of computer science and calculus mathematics of Pushkin Leningrad State University, Russia, Pushkin

АННОТАЦИЯ

В статье представлен алгоритм решения геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям первого порядка, и рассмотрена его реализация в системе Maple.

ABSTRACT

The article presents an algorithm for solving geometric problems leading to differential equations of the first order, and its realization in Maple system.

Ключевые слова: компьютерное моделирование; дифференциальное уравнение, геометрическая задача

Keywords: computer simulation; differential equation, geometric problem.

В компьютерном моделировании дифференциальные уравнения занимают особое место. Математическое исследование какого-либо реального явления или процесса часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами

законы, которым подчиняется то или иное явление или процесс, записывают в виде дифференциальных уравнений.

В курсе «Компьютерное моделирование» для бакалавров по направлению 050100.62 «Педагогическое образование» рассматриваются геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений первого порядка [1].

Выделим основные типы таких задач (по [2, с. 158—161]):

1. задачи, приводящие к решению уравнений с разделяющимися переменными (например, найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания);

2. задачи, приводящие к решению однородных уравнений (например, найти кривые, у которых поднормаль равна разности между модулем радиус-вектора кривой и абсциссой точки касания);

3. задачи, приводящие к решению линейных уравнений (например, найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина постоянная, равная 3 а2);

4. задачи, приводящие к решению уравнений, не разрешённых относительно производной (например, найти кривую, проходящую через начало координат и такую, что отрезок нормали к ней, отсекаемый сторонами первого координатного угла, имеет постоянную длину, равную 2);

5. задачи, приводящие к уравнениям, допускающим понижение порядка (например, найти кривые, у которых радиус кривизны обратно пропорционален косинуса угла между касательной и осью абсцисс).

Рассмотрим алгоритм решения геометрических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям первого порядка:

1. построить чертёж в декартовых или полярных координатах;

2. обозначить искомую кривую через у = у(х) (если задача решается в прямоугольных координатах) и выразить все упоминаемые в задаче величины через три величины: х, у, у;

3. воспользоваться данным в условии задачи соотношением, которое позволяет получить дифференциальное уравнение;

4. решить полученное уравнение и найти искомую функцию y(x).

Для составления дифференциального уравнения необходимо знать некоторые простейшие результаты по теории плоских кривых из дифференциальной геометрии, а именно:

1. способы задания кривых: в декартовых координатах, в параметрическом виде, в полярных координатах;

2. положительное направление кривой;

3. уравнение касательной, уравнение нормали, положительное направление касательной, положительное направление нормали;

4. подкасательная кривой, поднормаль кривой;

5. длина дуги кривой;

6. радиус кривизны кривой, радиус-вектор.

Для решения полученного дифференциального уравнения можно использовать системы компьютерной математики (например, Mathcad, Maple) и онлайн калькуляторы.

В качестве примера приведём решение следующей геометрической задачи: найдите уравнение кривой, проходящей через точку (1,2) и обладающей тем свойством, что отношение ординаты любой её точки к абсциссе пропорционально угловому коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности k = 3 [1, c. 114, № 368].

При решении задачи будем использовать описанный выше алгоритм.

1. Построим чертёж к задаче в декартовых координатах (см. Рис. 1).

Рисунок 1. Иллюстрация задачи

2. Обозначим искомую кривую через y=y(x).

3. Составим дифференциальное уравнение, воспользовавшись условием задачи.

Отношение ординаты любой точки к абсциссе пропорционально коэффициенту касательной к этой кривой, проведенной в той же точке, т. е.

У = ky

x .

^ = 3 У

Коэффициент пропорциональности равен 3, отсюда: x . Так как кривая проходит через точку (1,2), то начальное условие задачи Коши: y(1) = 2.

4. Найдём аналитическое решение получившегося дифференциального уравнения в системе Maple.

Подключим пакет DETools для решения дифференциального уравнения и зададим само уравнение:

with(DETools): d := y(x)/x = 3*(diff(y(x), x)):

Воспользуемся функцией dsolve для нахождения общего решения: dsolve(d, y(x)); В результате получим: y(x) = _C1 x1/3;

Найдём частное решение дифференциального уравнения, воспользовавшись начальным условием y(1) = 2. dsolve({d, y(1) = 2}, y(x)); В результате получим: y(x) = 2 x1/3;

Таким образом, уравнение искомой кривой имеет вид: y(x) = . Отметим, что система Maple позволяет решить дифференциальное уравнение не только аналитически, но и численно. Для этого воспользуемся функцией dsolve, но с дополнительными параметрами, например:

dsol:=dsolve(d1, type = numeric, method = classical[foreuler], output = array([1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2])),

где d1 - задача Коши, type - параметр, указывающий на то, что решение будет численным, method - выбранный численный метод решения, output -массив выводимых значений.

В Maple реализованы следующие численные методы решения дифференциальных уравнений: метод Рунге-Кутта-Фельберга 4—5-ого порядка (rkf45); классический метод Рунге-Кута 4-ого порядка (classical[rk4]); прямой метод Эйлера (classical[foreuler]); усовершенствованный метод Эйлера (classical[heunform]); модифицированный метод Эйлера (classical[impoly]); метод Рунге-Кутта 7—8 порядка (dverk78); одношаговый (gear) и многошаговый методы Гира (mgear).

Существует возможность построения графиков аналитического и численного решений.

Для построения графика аналитического решения воспользуемся функцией plot из пакета plots, например:

plot(2*xA(1/3), x = 1 .. 2, style = point, color = yellow),

где: 2*xA(1/3) — найденное аналитическое решение, x — интервал построения,

style — стиль графика, color — цвет графика.

Для построения графика численного решения воспользуемся функцией odeplot из пакета DETools, например:

odeplot(dsol, [x, y(x), color = red, style = POINT], 1 .. 2),

где: dsol - найденное численное решение, x, y(x), color, style — параметры графика, 1..2 — интервал построения.

pi := odeplot( dsol, [x, y(x), style = point color = blue, symbol — circle, symbolsize = 15 ], 1 ..2):

p2 plot(2- x1 x = 1 .2,, color = black thickness = 1): display (p2, pi):

2.5 2.4 2.3 2.2 2.1 2

1 1.2 1.4 1 £ 1.8 2

x

Рисунок 2. Графики аналитического и численного решений дифференциального уравнения

Таким образом, использование системы Maple при решении данной геометрической задачи позволяет не только найти аналитическое и численное решение, но и визуализировать его. Возможность построения графиков аналитического и численного решения в одной плоскости даёт возможность оценить ошибку найденного численного решения.

Список литературы

1. Высшая математика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей высших учебных заведений / Арутюнов Ю.С., Полозков А.П., Полозков Д.П.; Под ред. Ю.С. Арутюнова. М.: Высш. школа, 1983. — 128 с.

2. Голанова А.В., Голикова Е.И. К вопросу об отборе содержания лабораторных работ по дисциплине «Компьютерное моделирование» для бакалавров по направлению «Педагогическое образование». // XVIII Царскосельские чтения: материалы междунар. науч. конф. СПб: ЛГУ им. А.С. Пушкина, — 2014. — Т. III. — С. 130—134.

3. Зайцев В.Ф., Петрушенко А.А., Швецкий М.В. Дифференциальные уравнения (структурная теория). Практикум. Часть 1. Учебное пособие для студентов математического факультета. СПб.: Интерлайн, 2008. — 596 с.