CC BY
48
УДК 519.61, 372.851 ББК 22.1, 74.5
НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ КУРСА «ДИФФЕРНЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ» ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПЕДАГОГИЧЕСКИХ ВУЗОВ В УСЛОВИЯХ ФГОС ВПО ВТОРОГО ПОКОЛЕНИЯ
| О.В. Игнатова
Аннотация. В статье рассматриваются некоторые аспекты проблемы разработки курса «Дифференциальные уравнения» с учетом требований ФГОС ВПО, а также с использованием компьютерного математического обеспечения для улучшения процесса освоения материала и увеличения самостоятельной подготовки студентов. В статье приводится пример интеграции курса «Дифференциальные уравнения» для студентов математического факультета в рамках учебных программ «Математика и экономика» и «Информатика и экономика». Качественно разобрана структура курса по элементам с выделением главных целей и задач изучаемого курса «Дифференциальные уравнения». Рассмотрено конкретное содержание курса «Дифференциальные уравнения», рассчитанного на 18 учебных недель, а так же его соответствие ФГОС. Представлен развернутый план практических занятий и лабораторных работ с кратким описанием их содержания и тем.
Ключевые слова: компьютерные технологии, дифференциальные уравнения, лабораторный практикум, ФГОС.
127
SOME FEATURES OF THE COURSE "DIFFERENTIAL EQUATIONS" FOR PEDAGOGICAL UNIVERSITY STUDENTS IN TERMS OF THE SECOND GENERATION OF THE FEDERAL LEARNING STANDARDS
I O.V. Ygnatova
Abstract. The article considers some aspects of the development of the course "Differential equations" given the requirements of the Federal Learning Standards, as well as using computer software to enhance learning and increase the self-preparation of students. The article provides an example of the integration course "Differential equations" for students of the mathematics faculty in curriculum: Mathematics and Economics" and "computer sci-
ence and Economics. The structure of a course is qualitatively sorted on elements with allocation of goals and tasks of the studied course "Differential Equations". The specific maintenance of the course "Differential Equations" is calculated on 18 educational weeks, and also its compliance with the Federal Learning Standards is considered. The developed plan of a practical training and laboratory works with the short description of their contents and subjects is submitted.
Keywords: computer technology, differential equations, laboratory practice, Federal Learning Standards.
128
В ведущих российских университетах, осуществляющих подготовку по педагогическим направлениям, были разработаны новые образовательные программы «Математика и экономика» и «Информатика и экономика», которые, как нельзя лучше, характеризуют интеграцию математики как классической точной науки с экономикой, изучающей правила рационального поведения субъекта (человека, компании или государства) в рамках финансовой деятельности. Упоминаемые программы являются новыми для отечественной системы образования, но нельзя не отметить, что математические факты наиболее часто находят свои приложения именно в области экономики. Данное обстоятельство должно учитываться при отборе содержания обучения математическим дисциплинам в вузе, то есть кроме традиционного содержания математических дисциплин должны рассматриваться некоторые факты экономической теории, а также соответствующе задачи. Тем самым мы продемонстрируем практическую направленность получаемых теоретических знаний по математике. Кроме того, такой подход позволяет
реализовать принцип профессиональной направленности обучения.
Следует также учитывать требования ФГОС ВПО при разработке не только самих программ обучения, но и при разработке программ по отдельным предметам. Нами проектируется программа курса «Дифференциальные уравнения» для новых специальностей «Математика и экономика» и «Информатика и экономика». Отличительной чертой этих программ является учет всех требований ФГОС, а также широкое применение лабораторного практикума, использующего современные разработки ИКТ в области систем компьютерной математики.
Рассмотрим конкретное содержание курса, а так же его соответствие ФГОС. Курс «Дифференциальные уравнения» рассчитан на 18 учебных недель. Общая трудоемкость дисциплины составляет 2 зачетные единицы; 72 учебных часа, в том числе 54 часов аудиторных занятий (лекции — 18 часов, практические занятия — 36 часов) и 18 часов самостоятельной работы.
ФГОС ориентирует нас на достижение нас новых образовательных результатов [1], ориентированных на овладение обучающимися
следующими специальными компетенциями:
• владеть основными положениями раздела «Дифференциальные уравнения», базовыми идеями и методами раздела, системой основных математических структур, применяемых в данном разделе (СК-1);
• владеть культурой математического мышления, логической и алгоритмической культурой, понимать общую структуру математического знания, взаимосвязь между различными математическими (и не математическими) дисциплинами, реа-лизовывать основные методы математических рассуждений на основе общих методов научного исследования и опыта решения учебных и научных проблем, пользоваться языком математики, корректно выражать и аргументировано обосновывать имеющиеся знания (СК-2);
• понимать универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость в различных областях человеческой деятельности, роль и место математики в системе наук, значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, общекультурное значение математики (СК-3);
• владеть математикой как универсальным языком науки. Спо к-гном
Теоретический материал
г о;
1- Решение
X
т а> конкретных
а:
й Т примеров и
1-
го о заданий
► 1
моделирования явлений и процессов, способностью пользоваться построением математических моделей для решения практических проблем, понимать критерии качества математических исследований, принципы экспериментальной и эмпирической проверки научных теорий (СК-4);
• ориентироваться в информационном потоке, использовать рациональные способы получения, преобразования, систематизации и хранения информации, актуализировать ее в необходимых ситуациях интеллектуально-познавательной деятельности (СК-6).
Для овладения всеми этими компетенциями, курс разбит на 3 условных блока (см. рисунок).
Разбиение осуществляется и на уровне выделенного учебного времени, причем на равные части для соблюдения требований ФГОС ВПО. Ключевым моментом в разработке курса является включение в практические занятия и самостоятельную работу лабораторного практикума, предусматривающего овладение навыками работы со специальными математическими пакетами. Применение данных пакетов предусмотрено и при изучении теоретического материала.
Лабораторные работы позволяют интегрировать теоретические знания тт иоактические умения студентов в
Выполнение
5 £ лабораторных
к
£ ™ работ и
домашних заданий.
129
ВЕК
130
едином процессе деятельности учебно-исследовательского характера.
Упражнения, предусмотренные в процессе обучения, чаще всего выполняются непосредственно после изучения теоретического материала и преследуют цели первичного закрепления полученных знаний, что подразумевает в основном репродуктивный характер деятельности, причем для математических дисциплин в основном деятельности теоретической.
Лабораторные работы опираются на более обширный, по сравнению с упражнениями, теоретический материал и носят более продуктивный характер работы. Они требуют от студентов большей творческой инициативы, большей самостоятельности, более глубокого понимания и освоения учебного материала, а также умения анализировать, самостоятельно принимать решения, осуществлять поиск информации и представление результата деятельности. Наиболее характерной чертой лабораторных практикумов является организация самостоятельной практической работы обучающихся, которая проводится под руководством преподавателя, благодаря наличию четкого, подготовленного заранее плана работы, обширной теоретической справки.
В лабораторном практикуме различают два вида работ:
• фронтальная работа, представляющая собой одновременное выполнение общего задания всеми студентами группы; чаще всего она используется в методе демонстрационных примеров при изучении нового материала;
• индивидуальная работа, при которой каждому студенту даются за-
дания, из которых он может осуществить отбор тех заданий, что ему необходимы для овладения данным разделом на необходимом ему уровне. Выполнение задания способствует формированию определенных умений и навыков, которые оцениваются преподавателем во время отчета.
Лабораторные занятия могут проводиться в рамках различных учебных дисциплин для достижения многообразных целей обучения, к которым относят:
• практическое освоение научно-теоретических положений изучаемого предмета;
• закрепление и совершенствование соответствующего учебного материала;
• приобретение определенных практических умений;
• инструментализация полученных знаний, то есть превращение их в средство для решения учебно-исследовательских, а затем и реальных практических и экспериментальных задач (установление связи теории с практикой).
Одним из важнейших преимуществ лабораторно-практических занятий (по сравнению с другими видами учебной работы) являются их значительные интегративные возможности, проявляющиеся в объединении теоретических знаний и практических умений/навыков обучаемых в едином процессе учебно-исследовательской деятельности. В обще-методическом плане выполнение обучаемыми лабораторных работ направлено на решение следующих задач обучения и развития:
• обобщение, систематизация, углубление и закрепление полученных теоретических знаний по кон-
кретным темам соответствующих учебных дисциплин;
• формирование умений применять полученные знания на практике, реализация единства интеллектуальной и практической деятельности;
• выработка и развитие при решении поставленных задач таких личностных (и профессионально значимых) качеств, как самостоя-
тельность, ответственность, точность, творческая инициатива.
Нами разрабатывается курс «Дифференциальных уравнений», включающий лабораторно-практические задания, соответствующие всем изучаемым теоретическим темам курса.
Основное содержание разрабатываемого курса представлено в следующей таблице:
Таблица
Содержание курса «Дифференциальные уравнения»
Наименование раздела дисциплины Содержание раздела (дидактические единицы)
Основные определения и понятия, связанные с дифференциальными уравнениями Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные определения и понятия, связанные с дифференциальными уравнениями. Решение дифференциального уравнения. Начальные и граничные условия. Задача Коши; общее, частное и особое решение. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка (без доказательства). Огибающая. Особые точки дифференциального уравнения. Поле направлений, изоклины.
Элементарные типы дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной Простейший тип дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка; уравнение Бернулли. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной; уравнения Лагранжа и Клеро. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами. Существование и единственность решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений п-го порядка. Линейные однородные дифференциальные уравнения п-го порядка. Характеристическое уравнение. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Метод вариации произвольной постоянной.
Системы линейных дифференциальных уравнений Системы дифференциальных уравнений. Существование и единственность решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений. Первые интегралы. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений.
Приложения дифференциальных уравнений в экономике Модель естественного роста выпуска. Рост выпуска в условиях конкуренции. Динамическая модель Кейнса. Модель рынка с прогнозируемыми ценами.
131
132
Практическое занятие 1. Основные понятия и определения, связанные с дифференциальными уравнениями.
Практическое занятие 2. Огибающая. Особые точки дифференциального уравнения. Поле направлений, изоклины.
Практическое занятие 3. Простейший тип дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
Практическое занятие 4. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Практические задачи.
Практическое занятие 5. Методы приближенного решения дифференциальных уравнений.
Практическое занятие 6. Однородные дифференциальные уравнения.
Практическое занятие 7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка; уравнение Бер-нулли.
Практическое занятие 8. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.
Практическое занятие 9. Дифференциальные уравнения первого порядка, неразрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Практическое занятие 10. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
Практическое занятие 11. Линейные дифференциальные уравнения п-го порядка.
Практическое занятие 12. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения п-го порядка.
Практическое занятие 13. Линейные дифференциальные уравнения
п-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида. Метод вариации произвольной постоянной.
Практическое занятие 14. Системы дифференциальных уравнений. Существование и единственность решения задачи Коши для системы дифференциальных уравнений.
Практическое занятие 15. Первые интегралы. Симметрическая форма системы дифференциальных уравнений.
Лабораторная работа 1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения.
Лабораторная работа 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бер-нулли и Риккати.
Лабораторная работа 3. Уравнения в полных дифференциалах и интегрирующий множитель.
Лабораторная работа 4. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Лабораторная работа 5. Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков.
Лабораторная работа 6. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).
Лабораторная работа 7. Системы дифференциальных уравнений.
Так же по курсу предусмотрено проведение контрольных работ. Помимо этого возможно написание курсовых и выпускных квалификационных работ. Как продолжение данного курса, могут быть разработаны различные курсы по выбору.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 050100 Педагогическое образование (квалификация (степень) "бакалавр") (утв. приказом Министерства образования и науки РФ от 17 января 2011 г. № 46) (в ред. Приказа Минобрнауки РФ № 1975 от 31.05.2011).
2. Асланов, Р.М. Лабораторный практикум по дифференциальным уравнениям: учебное пособие [Текст] / Р.М. Асланов, Н.Д. Мань, А.В. Синчуков. - Архангельск: КИРА, 2011. - 203 с.
3. Матросов, В.Л. Дифференциальные уравнения и уравнения с частными производными. Учебник для вузов [Текст] / В.Л. Матросов, Р.М. Асланов, М.В. Топу-нов. - М.: Владос, 2011. - 76 с.
4. Эдвардс, Г. Дифференциальные уравнения и краевые задачи моделирования и вычисление с помощью Mathematica,
Maple, и MATLAB [Текст] / Г. Эдвардс, Э. Пенни; пер. с англ. - М.: И.Д. Вильямс, 2008. - 1104 с.
REFERENCES
5. Federalnyj gosudarstvennyj obrazovatelnyj standart vysshego professionalnogo obra-zovanija po napravleniju podgotovki 050100 Pedagogicheskoe obrazovanie (kvalifkacija (stepen) "bakalavr") (utv. prikazom Minis-terstva obrazovanija i nauki RF ot 17 jan-varja 2011 g. No. 46) (v red. Prikaza Mino-brnauki RF N 1975 ot 31.05.2011).
6. Aslanov R.M., Man N.D., Sinchukov A.V., Laboratornyj praktikum po differencialnym uravnenijam, Arhangelsk, 2011, 203 p.
7. Matrosov V.L., Aslanov R.M., Topunov M.V., Differencialnye uravnenija i uravneni-ja s chastnymi proizvodnymi, Moscow, 2011, 376 p.
8. Jedvards G., Penni Je., Differencialnye uravnenija i kraevye zadachi modelirovanija i vychislenie s pomoshhju Mathematica, Maple, i MATLAB, Moscow, 2008, 1104 p.
Игнатова Ольга Григорьевна, учитель математики, СОШ № 56 им. академика В.А. Легасова; аспирантка, кафедра математического анализа, Московский педагогический государственный университет, ollik8@yandex.ru Ignatova O.G., Post-graduate Student, Mathematical Analysis Department, Moscow State Pedagogical University; Mathematics Teacher, V.A. Legasov Secondary School 56, ollik8@yandex.ru
133
