CC BY
40
СЕКЦИЯ
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ»
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ СРЕДСТВАМИ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE
Голанова Анна Викторовна
канд. пед. наук, доц кафедры информатики и вычислительной математики Ленинградского государственного университета
имени А.С. Пушкина, РФ, г. Пушкин E-mail: golanova@yandex. ru
Голикова Екатерина Ивановна
канд. пед. наук, доц. кафедры информатики и вычислительной математики Ленинградского государственного университета
имени А.С. Пушкина, РФ, г. Пушкин E-mail: golikova_kat@inbox.ru
COMPUTER SIMULATION OF PHYSICAL PROCESSES BY MEANS OF COMPUTER ALGEBRA SYSTEM MAPLE
Anna Golanova
candidate of Science, associate professor of department of computer science and calculus mathematics of Pushkin Leningrad State University,
Russia, Pushkin
Ekaterina Golikova
candidate of Science, associate professor of department of computer science and calculus mathematics of Pushkin Leningrad State University,
Russia, Pushkin
АННОТАЦИЯ
В статье описан и реализован в системе компьютерной математики Maple алгоритм решения физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям первого порядка.
ABSTRACT
The article described and implemented in the computer algebra system Maple algorithm for solving physical problems leading to differential equations of the first order.
Ключевые слова: физическая задача, дифференциальное уравнение, компьютерное моделирование, математическая модель.
Keywords: physical problem, differential equation, computer simulation, mathematical model.
Компьютерное моделирование используется для описания и анализа процессов разнообразной природы и является частью научно-исследовательской деятельности. Построение компьютерной модели требует не только знаний в конкретной предметной области, но и знаний в области вычислительной математики и программирования.
Бакалавры, обучающиеся по направлениям 09.03.03 «Прикладная информатика» (профиль подготовки «Прикладная информатика в экономике») и 44.03.05 «Педагогическое образование» (профили подготовки «Математика и информатика», «Информатика»), в рамках дисциплины «Компьютерное моделирование» должны иметь представление о классах программных средств и их назначении, знать инструментарий и владеть технологическими приёмами работы. При изучении этой дисциплины рассматриваются различные физические и геометрические задачи. В процессе решения таких задач возникает необходимость построения их математической и компьютерной моделей. Математическими моделями таких задач очень часто являются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка с заданными начальными условиями [1; 2].
Процесс решения геометрических и физических задач состоит из последовательности взаимосвязанных этапов. Для геометрической задачи этот процесс был подробно описан в [2]. В данной статье мы остановимся на описании алгоритма решения физической задачи.
Для решения физической задачи, сводящейся к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, необходимо:
1) построить чертёж в декартовой системе координата;
2) записать второй закон Ньютона в векторной форме и найти проекции на оси координат;
3) получить дифференциальное уравнение и найти его общее решение;
4) найти частное решение дифференциального уравнения, используя исходные данные задачи;
5) используя найденное частное решение, найти искомую величину и ответить на поставленный вопрос задачи.
Для нахождения, численного и аналитического решений полученного дифференциального уравнения удобно использовать онлайн калькуляторы (http://matematikam. ru/calculate -online/differential-equations.php, http://reshit-online.ru/diff-equation.html,
http://math.semestr.ru/math/diffur.php и др.) и различные системы компьютерной математики (Mathematica, Maple, MatLab, Mathcad, Maxima и др.). Основная задача онлайн калькуляторов - нахождение аналитического решения. Использование систем компьютерной математики направлено, в первую очередь, на нахождение не только аналитического, но численного решения обыкновенного дифференциального уравнения, а также на построение графиков решений.
Для наглядной иллюстрации вышеописанного алгоритма, рассмотрим решение следующей физической задачи.
Снаряд выпущен вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 100 м/с. Сопротивление воздуха замедляет его движение, сообщая снаряду отрицательное ускорение, равное -kv2 (где v - мгновенная скорость снаряда, а k - аэродинамический коэффициент). Определить время достижения снарядом наивысшего положения (по [3, с. 111, № 36]).
Для решения данной задачи:
1. Построим чертёж к задаче в декартовых координатах (Рис. 1).
Y
■з
X
Рисунок 1. Иллюстрация задачи
2. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
где: т - масса снаряда, ^ - сила притяжения, - сила аэродинамического сопротивления, Е3 - сила ветра. Найдём проекции на оси:
где: g - ускорение свободного падения, V - скорость ветра (проекция на ось X).
3. Проинтегрируем второе уравнение системы и подставим результат в первое уравнение:
В результате получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Его общее решение:
4. Для нахождения частного решения воспользуемся начальным условием уу(0) = 100:
Выразим постоянную C:
Таким образом, частное решение имеет вид:
5. В момент достижения снарядом наивысшего положения его скорость равна 0, следовательно:
Зададим значения коэффициентов:
• аэродинамический коэффициент к = 0,5 (коэффициент лобового сопротивления для конуса 2:1);
• ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2;
• скорость бокового ветра Vx = 2 м/с.
В результате получим: tmax = 0,6267 с.
Таким образом, время достижения снарядом наивысшего положения составляет 0,6267 с.
Для нахождения, аналитического и численного решений полученного дифференциального уравнения, будем использовать систему компьютерной математики Maple.
1. Найдём аналитическое решение дифференциального уравнения
-mth(DETools) : 'with [plots ) :
de ■= diff(v(t),t) =-g - k*Vxn2 - Jfc*v(iln2;
v(i) = -g -k¥x2-k vit)2
dsolve(de, v(i));
tan G y k g + k2 V.'x2 + _Cl y k g + k2 V.'x2 ) J k g-h k2 Vx2
v(t) = -
a ■— rks{%) b ■■= subs(t = Ü,a)
tan(_C7 J к g + к2 Fx2 ) y к g + к2 Fx2 к
с ~ solve{m = b, _CI )
ardan
100 к
y' к g + A2 ^
V i g + Vt?
d := subs(_Cl =c,a)
tan ( t y' к g -+ к2 Vt? — arctan ( -
i, J kg+ k1 Vx2
J kg + k2 Vx2
soîve(%, t)
arctan
к
100 к
■J к g + к2 Fx2
y1 к g 4- k2 Vx2 evalf[subs[k = 0.5, g = 9.8, Vx = 2, %))
0.6267023247
2. Найдём численное решение дифференциального уравнения. Численное решение ищем, используя метод Рунге-Кутта четвертого порядка и метод Эйлера.
set?(0 .. 1, 0.0001 )
dsoil ■= dsolve (deqnl, numeric, method = clctssicctl[rk4], output = array( [ %]))
[1 v[t) .1
0. 100.
0.0001 99.5013134230898402
0.0002 99.0075642795362825
0.0003 98.5186795476080874
0.0004 98.0345876412416715
0.6263 0.00475811184006261212
0.6264 0.00357811096560915060
0.6265 0.00239811051337491394
0.6266 0.00121811034411879391
0.6267 0.0000381103186038456165
0.9996 -6.19481463600467384
0.9997 -6.19791438260502046
0.9998 -6.20101605099756714
0.9999 -6.2041 1964333643162
1.0000 -6.20722516177885897
dsol2 := dsolve (deqnî, numeric, method = classical[foreuler\ output = array {[ %%] ) )
[1 v{l] .1
0. 100.
0.0001 99.4988199999999950
0.0002 98.9976400000000040
0.0003 98.4964599999999990
0.0004 97.9952799999999940
0.6099 0.0110207170261192103
0.6100 0.00984047999394098427
0.6101 0.00866024296176275828
0.6102 0.00748000592958452532
0.6103 0.00630046546868444704
0.9996 -6.62383710632628908
0.9997 -6.62711221078163426
0.9998 -6.63038731523697944
0.9999 -6.63366241969232373
1.0000 -6.63693752414766891
3. Построим графики найденных решений.
pi ■■= odeplot(dsoll, \ t, v(i J, color = black, style = point, symbol = circle, symbolsize = 5 |, 0..1):
p2 ■= odeplot[dsol2, \ t, v(i), color = red, style = point, symbol = box, symbolsize = 5 J, 0 ..lj:
p3 ■■= plot(d, t = 0 .. 1, color = green, thickness = 5) : display(p3, pi, p2 )
f
Рисунок 2. Графики аналитического и численного решений дифференциального уравнения
Отметим, что использование системы компьютерной математики Maple позволило найти аналитическое и численное решения полученного дифференциального уравнения и построить их графики в одной системе координат, визуально оценить различия аналитического и численного решений.
Оценим погрешность найденного численного решения.
Таблица 1.
Абсолютная и относительная погрешности численных решений
Тип решения Численное (метод Эйлера) Численное (метод Рунге-Кутта)
Абсолютная погрешность 0,093 2,817-10-10
Относительная погрешность 0,00148 % 4,495-10-12%
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что при выбранном количестве разбиений (п = 1000), аналитическое и численное решение отличаются весьма незначительно.
Для более тщательного и подробного исследования полученной компьютерной модели, необходимо изменение исходных данных и сравнение полученных результатов. Например, при постоянном значении аэродинамического коэффициента отследить время достижения снарядом наивысшего положения при изменении
начальной скорости или при постоянном значении начальной скорости отследить время достижения снарядом наивысшего положения при изменении аэродинамического коэффициента.
Список литературы:
1. Голанова А.В., Голикова Е.И. К вопросу об отборе содержания лабораторных работ по дисциплине «Компьютерное моделирование» для бакалавров по направлению «Педагогическое образование». // XVIII Царскосельские чтения: материалы междунар. науч. конф. - СПб: ЛГУ им. А.С. Пушкина, 2014. - Т. III. - С. 130-134.
2. Голанова А.В., Голикова Е.И. Применение системы компьютерной математики Maple для решения задач дифференциальной геометрии. // Естественные и математические науки в современном мире: Сб. ст. по материалам XXIII междунар. науч. конф. № 23. - Новосибирск: Изд. «Сибак», 2014. - С. 23-29.
3. Самойленко А.М., Кривошея С.А., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. Учеб. пособие. - 2-е изд., перераб. - М.: Высш. шк., 1989. - 383 с.
